MOVIMIENTO DE PROYECTILES

SIMULACIÓN

PRESENTADO A:

POR:

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA

FACULDAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS

SECCIONAL POPAYANINTRODUCCION

El presente documento es el fundamento de la simulación que representa el MOVIMIENTO DE PROYECTILES, ya que a partir de éste se desarrolla el tema permitiendo el entendimiento y tratamiento de la información de manera que sea una guía para las personas interesadas en él.

El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabólico son:

• Proyectiles lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un avión.

• Una pelota de fútbol al ser despejada por el portero.

• Una pelota de golf al ser lanzada con cierto ángulo respecto al eje horizontal.

JUSTIFICACIÓN

En la actualidad muchas empresas encuentran la necesidad de agilizar los procedimientos para mejorar el servicio prestado a sus clientes para lograr posicionarse en un buen nivel de competencia en el medio.

Partiendo de este principio la tecnología desea avanzar tan rápido como se pueda, para satisfacer los requerimientos de los clientes; razón por la cual se ha pensado en las simulaciones como una herramienta que permite prever los posibles estados que pueda tomar un sistema determinado de tal manera que se adelante a los fracasos obteniendo ventajas en costos, seguridad y tiempo de trabajo.

Con el presente proyecto se realizará un acercamiento a las simulaciones que en un futuro serán una de las áreas en la que se podría ejercer la profesión de Ingeniería de Sistemas.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Desarrollar e implementar una simulación que represente el Movimiento Parabólico de Proyectiles.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Integrar y Aplicar conocimientos adquiridos a lo largo de la carrera con el fin de obtener el resultado esperado.

• Incrementar conocimientos sobre leyes físicas, de simulación y programación.

• Brindar una nueva herramienta de aprendizaje a los estudiantes que necesitan conocer el tema.

MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL

Se denomina proyectil a cualquier objeto al que se le da una velocidad inicial y a continuación sigue una trayectoria determinada por la fuerza gravitacional que actúa sobre él y por la resistencia de la atmósfera. El camino seguido por un proyectil se denomina trayectoria.

Consideremos solo trayectorias suficientemente cortas para que la fuerza gravitacional se pueda considerar constante en magnitud y dirección. El movimiento se referirá a ejes fijos respecto al a tierra. Esta no es precisamente un sistema inercial, pero para trayectorias de corto alcance, el error que se comete al considerarla como tal es muy pequeño. Por último, no se tendrán en cuenta los efectos de la resistencia del aire; de este modo, nuestros resultados solo serán exactos par el movimiento en el vacío, de una tierra plana sin rotación. Estas hipótesis simplificadoras constituyen la base de un modelo idealizado del problema físico, en el cual se desprecian detalles sin importancia y se centra la atención en los aspectos más importantes del fenómeno.

Como, en este caso idealizado, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso considerado constante en magnitud y dirección, es mejor referir el movimiento a un sistema de ejes de coordenadas rectangulares. Tomaremos el eje x horizontal y el eje y vertical. La componente x de la fuerza que actúa sobre el proyectil es nula, y la componente y es el peso del proyectil. -mg. Entonces, en virtud de la segunda ley de Newton,

ax = Fx =0, ay = Fy = -mg = -g

m m m

o bien,

a = -gj

Esto es, la componente horizontal de la aceleración es nula, y la componente vertical, dirigida hacia abajo, es igual a la de un cuerpo que cae libremente. Puesto que aceleración nula significa velocidad constante, el movimiento puede definirse como una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante.

La clave para el análisis del movimiento de proyectiles reside en el hecho de que todas las relaciones vectoriales que se necesitan, incluidas la segunda ley de Newton y las definiciones de velocidad y aceleración, pueden expresarse por separado mediante las ecuaciones de las componentes x e y de las cantidades vectoriales. Además la ecuación vectorial F = ma equivale a las dos ecuaciones de componentes:

Fx = max y Fy = may

De igual forma, cada componente de la velocidad es la variación por unidad de tiempo de la coordenada correspondiente, y de cada componente de la aceleración es la variación por unidad de tiempo de la componente de la velocidad correspondiente. En este aspecto los movimientos en x e y son independientes y pueden analizarse por separado. El movimiento real es, entonces, la superposición de estos movimientos separados.

Supongamos que en el instante t = 0 nuestra partícula está situada en el punto (x0,y0) y que las componentes de la velocidad son vx y vy. Como ya se ha visto, las componentes de la aceleración son ax = 0 y ay = -g. La variación de cada coordenada con el tiempo es la de un movimiento uniforme acelerado, y pueden utilizarse directamente sus ecuaciones; sustituyendo v0x por v0 y 0 por ax tenemos para x

V = v0 + at

X = x0 + v0t + ½at2

Vx = v0x, 1

X = x0 + v0xt 2

Análogamente, sustituyendo v0y por v0 y -g por a,

Vy = v0y - gt, 3

Y = y0 + voyt - ½gt2 4

El contenido de las ecuaciones 1 y 4 puede representarse también por las ecuaciones vectoriales:

V = v0 - gtj,

r = r0 + vot - ½gt2j,

donde ro es el vector posición en el instante t = 0.

Normalmente conviene tomar el origen en la posición inicial; así, x0 = y0 = 0, o sea, ro = 0. esta puede ser por ejemplo, la posición de una pelota en el instante de abandonar la mano del lanzador o la posición de una bala en el instante en que sale del cañón del arma de fuego.

La figura muestra la trayectoria de un proyectil que pasa por el origen en el instante t = 0. La posición, la velocidad y las componentes de la velocidad del proyectil se representan en una serie de instantes separados por intervalos regulares. Como indica la figura vx no cambia, pero vy varía en los sucesivos intervalos en cantidades iguales, que corresponden a la aceleración constante en y.

La velocidad inicial Vo puede representarse por su magnitud Vo (la rapidez inicial) y el ángulo o que forma con la dirección positiva en x. En función de estas cantidades, las componentes Vox y Voy de la velocidad inicial son:

Vox = Vo cos o,

Voy = Vo sen o,.

Aplicando estas relaciones con las ecuaciones anteriores y haciendo xo = yo = 0, resulta:

X = (Vo cos o)t 5

y = (Vo sen o)t-½gt2 6

Vx = Vo cos o 7

Vy = Vo sen o, - gt. 8

Estas ecuaciones describen la posición y velocidad del proyectil de la figura en cualquier instante de tiempo (t).

Además de estas ecuaciones se puede obtener información adicionar; por ejemplo la distancia r del proyectil, desde el origen en cualquier instante (la magnitud del vector de posición r), será

r = "x2 + y2

La rapidez del proyectil (la magnitud de su velocidad resultante) es

r = "x2 + y2

La dirección de la velocidad, e función del ángulo  que forma con el eje positivo de las x, viene dada por:

Tan = Vy

Vx

El vector velocidad V es tangente a la trayectoria, por lo que su dirección es la de ésta.

Las ecuaciones 5 y 6 dan la posición de la partícula en función del parámetro t. Eliminando t, puede obtenerse la ecuación en función de x e y. Encontramos t=x/v0 cos o e

Y = (tan 0)x - g x2

2v02 cos2 0

las cantidades v0, tan 0, cos 0 y g son constantes; de este modo, la ecuación tiene la forma:

y = ax - bx2

donde a y b son constantes. Esta es la ecuación de una parábola.

EJEMPLO

En la figura anterior sean V0 = 160 pies/s y 0 = 53.1o. En tal caso,

Vox = Vo cos o = (160 pies/s )(0.60)=96 pies/s

Voy = Vo sen o = (160 pies/s )(0.80)=128 pies/s

Determínese la posición del proyectil y la magnitud y dirección de su velocidad cuando t = 2.0 s.

x = (96 pies/s )(2.0 s)=192 pies

y = (128 pies/s )(2.0 s)-½(32 pies/s) (2.0 s )2 = 192 pies

vx = 96 pies/s

vy = 128 pies/s - (32 pies/s) (2.0 s ) = 64 pies/s

v = "vx2 + vy2 = 115.4 pies/s

 = arctan 64 pies/s = arctan 0.667 = 33.7o

96 pies/s

Calcúlese el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar el punto más elevado de su trayectoria y la altura de dicho punto.

En el punto más elevado, la velocidad vertical vy es cero. Si t1, es el instante en el que alcanza dicho punto,

Vy = 0 = 128 pies/s -(32 pies/s)t1

t1 = 4s

la altura h del punto es el valor de y cuando t = 4s.

h = (128 pies/s )(4 s)-½(32 pies/s) (4 s )2 = 256 pies

Hállese el alcance horizontal R, es decir, la distancia horizontal desde el punto de partida al punto en el que el proyectil vuelve a su altura inicial, esto es y = 0. Sea t2 el instante en el que alcanza este punto. Entonces

y = 0 = (128 pies/s ) t2 -½(32 pies/s) t22

Esta ecuación de Segundo grado tiene dos raíces:

t2 = 0 y t2 = 8 s

que corresponden a los dos instantes en los que y=0. Sin duda, el tiempo buscado es la segunda raíz, t2 = 8 s, que es exactamente el doble del tiempo empleado en alcanzar el punto más elevado. El tiempo de bajada es, por consiguiente, igual al de subida.

El alcance horizontal R es el valor de x cuando t = 8 s:

R = vx t2 = (96 pies/s)(8s) = 768 pies

La componente vertical de la velocidad en este punto es:

vy = (128 pies/s) - (32 pies/s) (8 s) = -128 pies/s

Es decir, la velocidad vertical tiene la misma magnitud que la velocidad vertical inicial, pero dirección opuesta. Como vx es constante, el ángulo por debajo de la horizontal en este punto es igual al ángulo de parida.

Si no hay obstáculo, el proyectil sigue avanzando más allá de su alcance horizontal. Por ejemplo, el proyectil pudiera haber sido disparado desde el borde de un alcantarillado, de forma que serían posibles los valores negativos de y.

ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN

Teniendo como base toda la información recolectada sobre el Movimiento de Parabólico y el criterio profesional de la asesora del proyecto se determino que se debe partir de algunas hipótesis simplificadoras que constituyen la base de un modelo idealizado del problema físico, en el cual se desprecian detalles sin importancia y se centra la atención en los aspectos más importantes del fenómeno; lo cual se explica en el desarrollo del tema.

El producto esperado será la simulación del fenómeno, con la posibilidad de que el usuario pueda interactuar con el programa variando los datos iniciales para observar de forma gráfica la trayectoria y los resultados del movimiento.

LISTA DE REQUERIMENTOS

Al iniciar el proceso de captura y posterior análisis de la información se determinaron los siguientes requerimientos:

• Simular el fenómeno físico del movimiento de proyectiles, de manera que esta sea una representación gráfica.

• La simulación debe permitir que el usuario pueda interactuar con ella; inicializando todas las variables involucradas en el fenómeno.

• Debe tener un cierto grado de apertura, logrando que resuelva el fenómeno en general más no casos específicos (ejercicios).

• Implementar la simulación en el laboratorio de Física contribuyendo a un mejoramiento de la calidad de enseñanza.

• Para cumplir con lo requerido se dejara el documento que fundamenta el tema y es la base para comprenderlo en su totalidad.