Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

Energía cinética. Trayectoria. Suma de vectores. Desplazamiento. Aceleración. Ejes cordenados

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MOVIMIENTO CURVILÍNEO

Supongamos que el movimiento curvilíneo tiene lugar en el plano XY, situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil.

Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

 

Vector posición r en un instante t.

Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.

Diremos que el móvil se ha desplazado ðr=r'-r en el intervalo de tiempo ðt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

 

Vector velocidad

Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento ðr entre el tiempo que ha empleado en desplazarse ðt.

Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P' de la figura.

Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

 

Vector aceleración

Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia ðv=v'-v.

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad y el intervalo de tiempo ðt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

Y la aceleración a en un instante

Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

 

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un problema de geometría, tal como se ve en la figura.

Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

  • Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

  • Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

  • Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

  • Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

  • Se determina el ángulo ð entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cosð  an=a senð

Ejemplo:

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

  • Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración

  • vx =3t-2 m/s,   ax=3 m/s2
    vy=6t2-5 m/s,  ay=12t m/s2

  • Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son

  • vx =4 m/s,   ax=3 m/s2
    vy=19 m/s,  ay=24 m/s2

  • Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración

  • Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

  • Calculamos el ángulo ð  que forman el vector velocidad y el vector aceleración

    • Por el producto escalar: v·a=v·a·cosð

    • Calculando el ángulo que forma cada vector con el eje X, y restando ambos ángulos

  • Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración

  • at=a·cosð =24.1 m/s2
    an=a·senð=2.0 m/s2

    Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.

    v·a=va·cos=v·at

    Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

    La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial at

    Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

    Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido ut=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos

    Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

    El primero, tiene la dirección de la velocidad, es la componente tangencial de la aceleración

    Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

    El segundo, se puede demostrar que tiene la dirección perpendicular a la tangencial, es la componente normal de la aceleración.

    Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

    siendo  el radio de curvatura de la trayectoria. Relación que demostraremos para el movimiento circular uniforme.

    Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

    En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidad v+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura .

    Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez.

    • Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial.

    • Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal.

    • Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal

    MOVIMIENTO CIRCULAR

    Aquí,vamos a definir las magnitudes características del movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilineo.Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia.Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes:


    POSICIÓN ANGULAR, w.
    En el instante t el móvil se encuentra en el punto P.Su posición angular viene dada por el ángulo alfa, que hace el punto P,el centro de la circunferencia C y el Origen de ángulos O.

    En el instante t´el móvil se encuentra en la posición P´dada por el ángulo (teta)´.El móvil se habrá desplazado D(teta)=(teta)´en el intervalo de tiempo :
    Dt = t´- t

    comprendido entre :
    t' y t


    VELOCIDAD ANGULAR, w.
    Se denomina al cociente entre el desplazamiento y el tiempo.

    w= D(teta) / Dt

    Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo,la velocidad Angular en un instante dado se obtiene calculando la velocidad Angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

    w = lim [D(teta)/Dt] = d(teta)/dt
    Dt---->0


    ACELERACION ANGULAR
    , alfa.
    Se denomina velocidad angular media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo: alfa = Dw/Dt.
    La aceleración angular en un instante,se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero:

    alfa = lim Dw / Dt = dw / dt
    Dt---> 0

    Movimiento curvilíneo y Movimiento circular

    Suma de vectores

    Propiedad conmutativa
    v + w = w + v

    Propiedad asociativa
    (v + w) + u = w + (v + u)

    Existe elemento neutro, el vector 0 cuyo punto de aplicaión y punto final coinciden, por lo que su intensidad vale 0
    v + 0 = v

    Existe elemento opuesto (-v), de igual intensidad y dirección, pero sentido opuesto, de forma que al sumarlos se obtiene el vector 0
    v + (-v) = 0

    Cantidades vectoriales y escalares

    Vector aceleración y vector aceleracion

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