Movimiento circular no uniforme

Matemáticas. Física. Estática. Movimiento. Vectores. Velocidad. Equilibrio. Sistema de fuerzas. Aceleración angular. Giro vertical

  • Enviado por: Kriss
  • Idioma: castellano
  • País: Chile Chile
  • 18 páginas

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Índice

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Introducción 3

Desarrollo del tema

  • Estática 5

  • Movimiento circular no uniforme 10

Conclusión 15

Bibliografía 18

Introducción

La Estática es parte de la física que estudia los cuerpos sobre los que actúan fuerzas y momentos cuyas resultantes son nulas, de forma que permanecen en reposo o en movimiento no acelerado. El objeto de la estática es determinar la fuerza resultante y el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo para poder establecer sus condiciones de equilibrio.

Un sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo puede ser reemplazado por una fuerza resultante y por un momento resultante que produzcan sobre el cuerpo el mismo efecto que todas las fuerzas y todos los momentos actuando conjuntamente. Como la fuerza resultante provoca un movimiento de traslación en el cuerpo y el momento resultante un movimiento de rotación, para que el cuerpo se encuentre en equilibrio debe cumplirse, simultáneamente, que la fuerza resultante y el momento resultante sean nulos. No obstante, equilibrio no es sinónimo de reposo, ya que una fuerza resultante nula y un momento resultante nulo implican una aceleración lineal y angular nula, respectivamente, pero el cuerpo puede encontrarse en reposo o tener un movimiento rectilíneo y uniforme. Así, un cuerpo está en equilibrio cuando se encuentra en reposo o cuando se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme.

Esta condición de equilibrio implica que una fuerza aislada aplicada sobre un cuerpo no puede producir por sí sola equilibrio y que, en un cuerpo en equilibrio, cada fuerza es igual y opuesta a la resultante de todas las demás. Así, dos fuerzas iguales y opuestas, actuando sobre la misma línea de acción, sí producen equilibrio.

El equilibrio puede ser de tres clases: estable, inestable e indiferente. Si un cuerpo está suspendido, el equilibrio será estable si el centro de gravedad está por debajo del punto de suspensión; inestable si está por encima, e indiferente si coinciden ambos puntos. Si un cuerpo está apoyado, el equilibrio será estable cuando la vertical que pasa por el centro de gravedad caiga dentro de su base de sustentación; inestable cuando pase por el límite de dicha base, e indiferente cuando la base de sustentación sea tal que la vertical del centro de gravedad pase siempre por ella.

También hablaremos sobre el Movimiento Circular, el cual es un movimiento cuya trayectoria es una circunferencia. En este movimiento el vector velocidad varía constantemente de dirección, y su módulo puede también variar o no. Esto permite clasificar el movimiento circular en movimiento circular uniforme, si el módulo de la velocidad no varía, y movimiento circular uniformemente variado, si el módulo de la velocidad varía de manera constante en el transcurso del tiempo.

Las ecuaciones de los movimientos circulares se expresan frecuentemente con magnitudes angulares como la velocidad angular, la aceleración angular y el ángulo barrido.

En este caso, se tratara el Movimiento Circular No Uniforme, el cual se caracteriza por que tanto el módulo como la dirección de la velocidad varían constantemente con el tiempo

Estática

Como anteriormente se definió, la estática estudia las condiciones para que un cuerpo sobre el cual actúan fuerzas o cuplas, o fuerzas y cuplas a la vez quede en equilibrio, es decir, un cuerpo esta en equilibrio cuando se halla en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme.

En dinámica llegamos a la conclusión de que un cuerpo esta en reposo o en moviendo rectilíneo uniforme cuando sobre él no actúa ninguna fuerza. Sin embargo, es evidente que un cuerpo puede estar sometido a dos fuerzas, o a dos cuplas, y seguir en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme; más todavía: en los trenes y automóviles, para que el movimiento sea rectilíneo y uniforme, es imprescindible la fuerza del motor para anular el rozamiento. Pero la contradicción es solo aparente.

Sistema de Fuerzas o de Cuplas

Se dice que un cuerpo esta sometido a un sistema de fuerzas, o de cuplas, cuando esta sometido a varias fuerzas o a varias cuplas.

También en este caso se necesita hablar de vectores, los cuales son modelos matemáticos, que tienen:

  • Modulo: valor numérico que se asigna una respectiva unidad de medida.

  • Dirección: recta de acción

  • Sentido: según el sistema de referencia, tendrá signo positivo o negativo

Resultante de un Sistema

Siempre es posible hallar una fuerza, o una cupla, que aplicada al cuerpo produzca exactamente el mismo efecto que todo el sistema. Esa fuerza, o cupla, única, se llama Resultante del Sistema.

Esta claro, ahora que si la resultante del sistema es nula, a pesar de tener aplicadas allí un conjunto de fuerzas o cuplas, el cuerpo seguirá en equilibrio. Por ejemplo, cuando se esta jugando al tirar la cuerda, y hay 3 niños por lado, habrían vectores con la misma recta de acción y sentido opuesto.

Condición General de Equilibrio

Para que un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas y a un sistema de cuplas este en equilibrio, la resultante de las fuerzas y la resultante de las cuplas deben ser nulas.

Condición de equilibrio:

  • Resultante de las fuerzas, R = 0

  • Resultante de las cuplas, M = 0

Condición Algebraica

'Movimiento circular no uniforme'
'Movimiento circular no uniforme'

Condición Grafica

Si el resultante de un sistema de vectores es nulo, el polígono que se forma será cerrado.

Por lo tanto, el problema por resolver, para poder determinar el equilibrio de un cuerpo, consiste en calcular las resultantes de fuerzas y de cuplas. Sin embargo, ya se conocen las soluciones en varios casos. En efecto: tanto las fuerzas como las cuplas son vectores, de modo que para hallar la resultante hay que componerlos, tal como se componen los vectores, ya sean velocidades, aceleraciones, fuerzas. Etc.

Resultante de un Sistema de Vectores

Se presentan diversos casos:

  • Todos los vectores tienen la misma recta de acción:

    • Con sentido opuesto.

    • 'Movimiento circular no uniforme'

        • con el mismo sentido

      'Movimiento circular no uniforme'

    • Todos los vectores son concurrentes.

    • 'Movimiento circular no uniforme'

    • Todos los vectores son paralelos:

      • Tiene el mismo sentido

      • 'Movimiento circular no uniforme'

        • Tienen sentidos opuestos

        'Movimiento circular no uniforme'

      • Los vectores son cualesquiera.

      • 'Movimiento circular no uniforme'

        Cuerpo Rígido: un cuerpo es rígido cuando no se ha deformado por grandes que sean las fuerzas aplicadas, es decir, cuando la distancia entre dos cualesquiera de sus puntos permanece invariable. En todo lo que sigue solo trataremos de fuerzas aplicadas a cuerpos rígidos.

        Vectores con la misma recta de acción y sentidos opuestos

        Tal como vimos en el caso de composición de velocidades, aceleraciones, etc., la resultante de dos vectores que tienen la misma recta de acción y sentidos opuestos tiene las siguientes características:

        • Recta de acción: la de las componentes

        • Medida: la diferencia de las medidas de las componentes

        • Punto de aplicación: cualquiera de los de su recta de acción

        Vectores con la misma recta de acción y el mismo sentido

        La resultante de dos o más vectores con la misma recta de acción y el mismo sentido tiene las siguientes características:

        • Recta de acción: la misma que los componentes

        • Sentido: el mismo que los componentes

        • Medida: la suma de las medidas de los componentes

        • Puntos de aplicación: cualquiera de los de su recta

        Movimiento Circular No Uniforme

        Si una partícula se mueve con velocidad variable en una trayectoria circular, demás de la componente centrípeta de la aceleración, también hay una

        componente tangencial de magnitud dv . Puesto que la aceleración total de la

        dt

        partícula es a = ar + at, la fuerza total ejercida sobre la partícula es r t F = F + F, como en la figura.

        El vector Fr dirigido hacia el centro del círculo y es responsable de la aceleración centrípeta. El vector Ft es responsable de la aceleración tangencial,

        la cual hace que la velocidad de la partícula cambie con el tiempo. El siguiente

        ejemplo demuestra este tipo de movimiento.

        Aceleración Angular

        Es una magnitud vectorial que caracteriza la variación de la velocidad angular de un móvil que describe una trayectoria circular o de un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo. Se representa por á y su unidad es rad·s-2.

        La aceleración angular se define como la derivada del vector velocidad angular respecto al tiempo. Como la derivada de un vector es también un vector, la aceleración angular es un vector, cuyo módulo vale at/r, donde at es la aceleración lineal tangencial y r es el radio de la trayectoria circular o la distancia al eje de giro. La dirección de la aceleración angular coincide con la de la velocidad angular, y su sentido depende de si la velocidad angular está creciendo o decreciendo. Si la velocidad angular está creciendo, el sentido de ambas magnitudes coincide, y si la velocidad angular está disminuyendo, sus sentidos son opuestos.

        En el caso de la rotación de un sólido alrededor de un eje fijo, la naturaleza vectorial de esta magnitud carece de importancia, ya que si se considera el eje Z como el eje de rotación, la aceleración angular sólo tiene componente z y, por tanto, sólo puede variar de módulo.

        Velocidad Angular

        Es una magnitud vectorial que caracteriza la variación del ángulo recorrido por un móvil que describe una trayectoria circular o de un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo. Se representa por ù y su unidad es rad·s-1, aunque también se suele expresar en revoluciones por minuto, r.p.m., y revoluciones por segundo, r.p.s.

        Cuando un móvil describe una trayectoria circular de centro O, su posición en cualquier instante viene dada por el vector de posición, r, y el ángulo, è, formado por este vector y otra recta de referencia fija en el espacio. Su velocidad angular, ù, está representada por un vector axial cuyo módulo es dè/dt, su dirección es perpendicular en O al plano de giro y cuyo sentido viene dado, en función del sentido de giro, por la regla de la mano derecha.

        Cuando un sólido gira sin deslizar alrededor de un eje fijo, los puntos situados en el eje son fijos, mientras que el resto de los puntos están animados de movimientos circulares cuyos centros se encuentran en el eje. Cada uno de estos puntos posee una velocidad lineal distinta, v, pero la velocidad angular de todos ellos es común, ù, y es la velocidad angular de rotación del sólido alrededor del eje.

        Giro vertical

        Una pequeña esfera de masa m está unida al extremo de una cuerda de longitud la cual gira en un círculo vertical alrededor de un punto fijo O, como se

        muestra en la figura. Determinemos la tensión en la cuerda en cualquier instante cuando la velocidad de la esfera es v y la cuerda forma un ángulo  con a vertical.

        Observemos que la velocidad no es uniforme puesto que hay una

        componente tangencial de aceleración que surge del peso de la esfera. A partir

        del diagrama de cuerpo libre de la figura 8a se ve que las únicas fuerzas que

        actúan sobre la esfera son el peso, mg, y la fuerza de tensión ejercida por la

        cuerda, T.

        Después de esto se descompone mg en una componente tangencial, mgsen , y una componente radical, mgcos. Al aplicar la 2º ley de Newton a las fuerzas en la dirección tangencial, se obtiene:

        Ft = mgsen = mat

        Esta componente hace que v cambie en el tiempo, puesto que t a = dv/dt . Si se aplica la 2º ley de Newton a las fuerzas en la dirección radical y se observa que tanto T como  están dirigidas hacia O, se encuentra que:

         Fr = T - mgcos = mv2

        r

        T = m ( v + gcos)

        r

        Casos límite: En la parte más alta de la trayectoria, donde  = 180°, se tiene cos180° = -1, y la ecuación de la tensión se vuelve:

        T arriba = ( v2 arriba - g)

        R

        Este es el valor mínimo de T. En este punto t a = 0 y, en consecuencia, la aceleración es radical y esta dirigida hacia abajo, como en la figura.

        En la parte inferior de la trayectoria, donde  = 0°, en virtud de que cos 0° = 1, se ve que:

        Tabajo = (v2 abajo + g)

        R

        Este es el valor máximo de T. Otra vez, en este punto t a = 0 y la aceleración es radical y esta dirigida hacia arriba.

        Conclusión

        La cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas. La velocidad (la tasa de variación de la posición) se define como la razón entre el espacio recorrido (desde la posición x1 hasta la posición x2 ) y el tiempo transcurrido y un tipo de movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como la velocidad varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad en un instante determinado. En el caso de una aceleración a constante, considerando una velocidad inicial nula (v = 0 en t = 0), la velocidad instantánea transcurrido el tiempo t será:

        v = a.t

        La distancia recorrida durante ese tiempo será

        e = ½.a.t2

        Esta ecuación muestra una característica importante: la distancia depende del cuadrado del tiempo (t2). En el movimiento uniformemente variado la velocidad varia y la aceleración es distinta de cero y constante.

        a ¹ 0 = cte

        v = variable

        Este movimiento se caracteriza porque su trayectoria es una circunferencia y tanto el módulo como la dirección de la velocidad varían constantemente con el tiempo. Por tanto, la aceleración tangencial es constante, ya que el módulo de la velocidad varía uniformemente con el tiempo, y la aceleración normal es constante por los mismos motivos que en el movimiento circular uniforme.

        La ecuación de la velocidad angular de un móvil que se desplaza con un movimiento circular uniformemente variado con una aceleración angular á es:

        ù = ù0 + á·t

        donde ù0 es la velocidad angular del móvil en el instante inicial.


        El ángulo total barrido por un móvil que describe un movimiento circular uniformemente variado es:

        è = è0 + ùt + ½·á·t2

        donde è0 es el ángulo barrido por el móvil en el instante inicial.

        Por otro lado, la estática, forma parte de la física que estudia los cuerpos sobre los que actúan fuerzas y momentos cuyas resultantes son nulas, de forma que permanecen en reposo o en movimiento no acelerado. El objeto de la estática es determinar la fuerza resultante y el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo para poder establecer sus condiciones de equilibrio.

        Un sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo puede ser reemplazado por una fuerza resultante y por un momento resultante que produzcan sobre el cuerpo el mismo efecto que todas las fuerzas y todos los momentos actuando conjuntamente. Como la fuerza resultante provoca un movimiento de traslación en el cuerpo y el momento resultante un movimiento de rotación, para que el cuerpo se encuentre en equilibrio debe cumplirse, simultáneamente, que la fuerza resultante y el momento resultante sean nulos. No obstante, equilibrio no es sinónimo de reposo, ya que una fuerza resultante nula y un momento resultante nulo implican una aceleración lineal y angular nula, respectivamente, pero el cuerpo puede encontrarse en reposo o tener un movimiento rectilíneo y uniforme. Así, un cuerpo está en equilibrio cuando se encuentra en reposo o cuando se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. Véase Mecánica.

        Esta condición de equilibrio implica que una fuerza aislada aplicada sobre un cuerpo no puede producir por sí sola equilibrio y que, en un cuerpo en equilibrio, cada fuerza es igual y opuesta a la resultante de todas las demás. Así, dos fuerzas iguales y opuestas, actuando sobre la misma línea de acción, sí producen equilibrio.

        El equilibrio puede ser de tres clases: estable, inestable e indiferente. Si un cuerpo está suspendido, el equilibrio será estable si el centro de gravedad está por debajo del punto de suspensión; inestable si está por encima, e indiferente si coinciden ambos puntos. Si un cuerpo está apoyado, el equilibrio será estable cuando la vertical que pasa por el centro de gravedad caiga dentro de su base de sustentación; inestable cuando pase por el límite de dicha base, e indiferente cuando la base de sustentación sea tal que la vertical del centro de gravedad pase siempre por ella.

        Bibliografía

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