Movimiento armónico simple

Partículas. Ecuaciones. Elongación. Velocidad. Aceleración. Período. Gráficas

  • Enviado por: Cardenal
  • Idioma: castellano
  • País: Colombia Colombia
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Movimiento armónico simple. MAS.

Es un movimiento vibratorio rectilíneo acelerado, donde la aceleración y la fuerza restauradora son proporcionales al desplazamiento yendo dirigidas hacia el centro.

El M,.A.S. se considera una proyección del M.C.U. sobre una recta.

Al girar P para generar el M.C.U. su proyección sobre la recta L se mueve de arriba hacia abajo y viceversa. Cuando P arranca de la posición E su proyección está en la posición de equilibrio E', al girar ¼ de vuelta su proyección ha llegado a la máxima elongación (A), al avanzar ½ vuelta la proyección está en el centro de la trayectoria E'(punto de equilibrio), cuando llega ¾ de vuelta, nuevamente la proyección ocupa la máxima separación (A) pero en el extremo opuesto, al completar la vuelta la proyección está en el punto de equilibrio.

Ecuaciones del M.A.S.

Al girar Q sobre la circunferencia del M.C.U. cuyo radio es A en un instante de tiempo t genera un ángulo ð luego la velocidad angular de Q = w t.

La proyección de Q sobre el diámetro horizontal del M.C.U. queda determinada por la posición de P el cual se mueve a uno y otro lado de la horizontal generando un M.A.S. donde el radio del M.C.U. es la amplitud A del M.A.S.

x = A cos w t

El período

ac = -w 2 x w =2 ð / T w 2 = 4 ð 2 / T 2 ac = 4 ð 2 x / T 2

T = 2 ð [ x / ac ]1/2

Gráficas del M.A.S.

Ejemplo.

Una partícula dotada de un M.A.S. cuya amplitud es de 1.5m, posee un período de 25seg, determinar la elongación, la velocidad y aceleración después de 15seg de haberse iniciado el movimiento.

Solución.

Puesto que elongación es: x = A cos wt w = 2 ð / T !

x = 1.5cm * cos (2  * 15seg / 25seg) ! x = 1.49cm

Como velocidad es: v = -wA sen wt !

v = - 3.1416 * 1.5cm * sen (2  * 15seg / 25seg) ! v = -0.31cm/seg

Para la aceleración se tiene que: a = w2 * x ! w2 = 42 / T2

a = 42 *1.49cm / (25seg)2 ! a = 0.09cm/seg2

Ejemplo.

Cual es la elongación, velocidad, período y tiempo de iniciado de un M.A.S. si posee una aceleración de 2.5cm/seg2, una frecuencia de 3vib/seg, una velocidad angular de 4.50rpm y ha realizado 150 vibraciones.

Solución.

w = 4.5rpm = 4.5rev/min * 2rad/1rev * 1min/60seg ! w = 0.47rad/seg

T = 1/f ! T = 1/3vib/seg ! T = 3seg

T = t/n ! t = T * n t = 3seg * 150vib ! t = 450seg

Como a = w2 x ! x = a / w2 ! x = (2.5cm/seg2) / (0.47rad/seg)2

  • x = 11.32cm

Puesto que x = A cos wt ! A = x / cos wt

! A = 11.32cm / cos(0.47rad/seg * 450seg) ! A = -13.28cm

ya que velocidad es v = -wa sen wt !

v = - (0.47rad/seg)*(-13.28cm) sen (0.47rad/seg * 450seg) ! v = - 3.26cm/seg

Tarea.

Una partícula dotada de M.A.S. vibra 250 veces durante un tiempo de 3.2min con una velocidad de 17cm/seg determinar su frecuencia, velocidad angular, amplitud, elongación y aceleración.

Si la partícula del ejemplo anterior duplica su aceleración cual será su nueva velocidad?

Si en el ejercicio anterior la amplitud se reduce a la mitad, cambiará la aceleración? Cuál será la nueva elongación?

Complete la siguiente tabla

n

rev

t

seg

T

seg

f

Rev/seg

W

Rad/seg

A

cm

X

cm

V

Cm/seg

A

Cm/seg2

ð

° ` “

5

2

5

4

2

3

4

3

5

5

3

30°

  • Obtenga las ecuaciones del M.A.S. a partir del M.C.U. proyectándolo sobre el eje Y del sistema coordenado que pasa por el centro de la circunferencia.

  • Realice las gráficas para el M.A.S. y a partir de ellas complete la tabla:

proyección

0

30

45

60

90

120

135

150

180

x

X

Y

v

X

Y

a

X

Y

proyección

210

225

240

270

300

315

330

360

ð ð ð

x

X

Y

v

X

Y

a

X

Y

* los ángulos están dados en grados

  • Con ð = 75° y ð = 255° complete la ultima columna de la tabla

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O

x = A cos w t

O

A

x

ð

Q

P

L

p

ð

r

A

p

E'

o

q

r

s

t

q

r

s

t

A

A

v

ð

Q

P

ð

vP

VQ = w A

Velocidad.

La velocidad -VP es la proyección de vQ = wA y como ð = w t, donde el signo menos es por la dirección de la velocidad de la proyección, luego

Sen ð = -vP / vQ

-vP = vQ Sen ð

vP = -w A Sen w t

VQ

ac = w 2 A

ð

O

A

ac

ð

Q

P

Aceleración

La aceleración -ac de P es la proyección de ac = w 2 A de Q, donde el signo menos es por la dirección de la aceleración de la proyección y como ð = w t, luego

cos ð = -acp / acQ

-acp = acQ cos ð

la cual se puede escribir:

-acp = w 2 x

acp = -w 2 A cos w t

Elongación.

La elongación x de P es igual a la abscisa de Q y el ángulo ð = w t

cos ð = x / A !

0

0.5T

1T

1.5T

A

-A

t

Elongación

Velocidad

t

-wA

wA

1.5T

1T

0.5T

0

Aceleración

t

-w 2A

w 2A

1.5T

1T

0.5T

0