Movimiento armónico simple y circular uniforme

Oscilador, oscilaciones. Función de transferencia. Biela, manivela, pistón

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.- OBJETIVOS

En esta práctica se pretende estudiar y comprender la relación existente entre un movimiento armónico simple y un movimiento circular uniforme. Esta relación podrá ser estudiada a traves de un mecanismo denominado biela-manivela-pistón. Este mecanismo posee dos posiciones diferentes: pistón fijo y pistón oscilante. Para cada una de esas posiciones se obtendrán dos funciones, llamadas de transferencia que serán de una gran aproximación a la función armonica. Esta función armónica es la encargada de relacionarnos el movimiento armónico simple con el movimiento circular uniforme.

.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS

La base de esta práctica consiste en poder relacionar el movimiento armónico con el movimiento circular uniforme. Existe una relación matemática sencilla pero importante entre estos dos tipos de movimiento.

Consideremos una particula que se mueve con una velocidad cuyo módulo v es constante sobre una circunferencia de radio A. Su velocidad angular w es constante y está relacionada con la velocidad mediante la expresión w = v/A. El desplazamiento angular de la particula respecto al eje x viene dado por

(1)

donde Movimiento armónico simple y circular uniforme
es el desplazamiento angular en el instante t = 0. En la figura vemos que el componente x de la posición de la particula viene dado por.

(2)

De estas expresiones comprobamos que la proyección sobre una recta de una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme es un movimiento armónico simple.

Movimiento armónico simple y circular uniforme

En el caso concreto que nos ocupa tenemos un mecanismo de pistón-manivela-biela. En el desarrollo de la práctica tendremos dos modos de operar uno con pistón fijo y otro con pistón oscilante.

En el primer caso tenemos el pistón fijo lo que provoca que la biela tenga una longitud L constante con respecto al punto fijo. Esto provoca que el punto fijo del pistón únicamente pueda moverse a lo largo de un eje. La posición del punto A que se mueve a lo largo de una linea en función del tiempo nos indica que se trata de un movimiento armónico. Por el contrario el punto solidario a la manivela posee un movimiento circular uniforme (consideramos que a lo largo del tiempo la particula posee una velocidad constante). Mediante razones trigonométricas y geométricas podemos expresar la posición del punto A en función del angulo que gira el punto solidario a la manivela.

(3)

Donde Movimiento armónico simple y circular uniforme
es el cociente entre el radio de la manivela y la longitud L de la biela.

En el dispositivo experimental, lo que medimos es la distancia x entre la posición central del pistón, situada a una distancia sp = 145 mm y la distancia s medida desde el extremo: x = sp - s de modo que con la ecuación (3):

(4)

A esta función la llamaremos función de transferencia. La función de transferencia no es exactamente la que relaciona un movimiento armónico con un movimiento circular uniforme pero es una buena aproximación.

La función que realmente nos relaciona los dos tipos de movimiento que estamos estudiando es del siguiente tipo:

(5)

Sabiendo que  = wt podemos comprobar que la expresión (5) es exactamente la expresión (2) ajustada una distancia s0.

El siguiente tipo a estudiar es denominado de punto oscilante ya que ahora el pistón puede moverse angularmente debido a que fijamos el punto central de la carrera del pistón. De igual manera que en el primer caso a estudiar y procediendo de la misma forma a partir de razones trigonométricas y geometría conseguimos determinar la longitud del pistón. En este caso la longitud denota la distancia desde la periferia de la manivela hasta el punto de intersección con la horizontal y es variable en función del angulo que gira la manivela debido a que el pistón no ejerce ninguna restricción y puede moverse angularmente.

(6)

De igual manera que en el caso anterior necesitamos conocer la longitud fisica de la biela.

s = L - b + r (7)

Donde r es el radio de la manivela y b es la distancia del centro de la carrera del pistón al centro de la manivela.

Definiendo el cociente  = r/b obtenemos la función de transferencia que queríamos obtener.

(8)

Al igual que en el caso anterior esta función de transferencia es una buena aproximación a la función exacta (5).

.- DESARROLLO EXPERIMENTAL

El material utilizado en esta práctica consta de un tablero cuadrado en el que está montado un mecanismo denominado mecanismo de biela. Éste consta de una manivela circular, graduada en grados, una biela y un pistón graduado en milímetros.

El procedimiento experimental consta de dos partes; una parte en la que estudiaremos el movimiento de la biela con el pistón fijo y otra segunda parte con el pistón oscilante.

Para realizar la primera parte de la práctica sujetaremos el pistón por la parte derecha con un tornillo y así conseguiremos que se quede fija. En esta configuración el pistón sólo puede desplazarse a lo largo de una linea. Se tomará el valor del desplazamiento x para cada valor del ángulo, variando este en 10º. Repetir este procedimiento para cada uno de los tres radios de la manivela 50mm, 37.5mm y 25mm. Representar las tres figuras obtenidas y comparar con la armónica.

Para realizar la segunda parte de la práctica se cambiará la configuración a modo de pistón oscilante y se realizará el mismo procedimiento del apartado anterior y de nuevo se representarán las tres figuras resultantes y se compararán con la armónica.

IV.- ANÁLISIS DE DATOS

ANGULOS

FIJO50

FIJO37.5

FIJO25

OSC50

OSC37.5

OSC25

0 ± 0.5

89 ± 0.5

88 ± 0.5

91 ± 0.5

84 ± 0.5

88 ± 0.5

91 ± 0.5

10 ± 0.5

93 ± 0.5

95 ± 0.5

95 ± 0.5

93 ± 0.5

95 ± 0.5

95 ± 0.5

20 ± 0.5

102 ± 0.5

101 ± 0.5

100 ± 0.5

102 ± 0.5

101 ± 0.5

99 ± 0.5

30 ± 0.5

111 ± 0.5

109 ± 0.5

104 ± 0.5

110 ± 0.5

108 ± 0.5

104 ± 0.5

40 ± 0.5

120 ± 0.5

114 ± 0.5

108 ± 0.5

119 ± 0.5

114 ± 0.5

108 ± 0.5

50 ± 0.5

127 ± 0.5

120 ± 0.5

111 ± 0.5

127 ± 0.5

120 ± 0.5

111 ± 0.5

60 ± 0.5

134 ± 0.5

124 ± 0.5

114 ± 0.5

133 ± 0.5

124 ± 0.5

114 ± 0.5

70 ± 0.5

139 ± 0.5

128 ± 0.5

117 ± 0.5

139 ± 0.5

128 ± 0.5

116 ± 0.5

80 ± 0.5

142 ± 0.5

130 ± 0.5

118 ± 0.5

142 ± 0.5

130 ± 0.5

118 ± 0.5

90 ± 0.5

143 ± 0.5

130 ± 0.5

118 ± 0.5

143 ± 0.5

130 ± 0.5

118 ± 0.5

100 ± 0.5

142 ± 0.5

130 ± 0.5

118 ± 0.5

142 ± 0.5

130 ± 0.5

118 ± 0.5

110 ± 0.5

139 ± 0.5

128 ± 0.5

116 ± 0.5

139 ± 0.5

128 ± 0.5

116 ± 0.5

120 ± 0.5

135 ± 0.5

124 ± 0.5

114 ± 0.5

135 ± 0.5

124 ± 0.5

114 ± 0.5

130 ± 0.5

129 ± 0.5

121 ± 0.5

112 ± 0.5

129 ± 0.5

119 ± 0.5

111 ± 0.5

140 ± 0.5

121 ± 0.5

114 ± 0.5

108 ± 0.5

121 ± 0.5

114 ± 0.5

108 ± 0.5

150 ± 0.5

111 ± 0.5

108 ± 0.5

104 ± 0.5

111 ± 0.5

108 ± 0.5

104 ± 0.5

160 ± 0.5

103 ± 0.5

101 ± 0.5

101 ± 0.5

103 ± 0.5

101 ± 0.5

100 ± 0.5

170 ± 0.5

94 ± 0.5

95 ± 0.5

95 ± 0.5

94 ± 0.5

95 ± 0.5

95 ± 0.5

180 ± 0.5

85 ± 0.5

88 ± 0.5

91 ± 0.5

85 ± 0.5

88 ± 0.5

91 ± 0.5

190 ± 0.5

76 ± 0.5

82 ± 0.5

87 ± 0.5

77 ± 0.5

82 ± 0.5

87 ± 0.5

200 ± 0.5

69 ± 0.5

76 ± 0.5

83 ± 0.5

69 ± 0.5

76 ± 0.5

83 ± 0.5

210 ± 0.5

61 ± 0.5

71 ± 0.5

79 ± 0.5

63 ± 0.5

71 ± 0.5

79 ± 0.5

220 ± 0.5

56 ± 0.5

66 ± 0.5

76 ± 0.5

57 ± 0.5

67 ± 0.5

76 ± 0.5

230 ± 0.5

51 ± 0.5

63 ± 0.5

73 ± 0.5

52 ± 0.5

64 ± 0.5

73 ± 0.5

240 ± 0.5

48 ± 0.5

60 ± 0.5

71 ± 0.5

48 ± 0.5

60 ± 0.5

71 ± 0.5

250 ± 0.5

45 ± 0.5

58 ± 0.5

69 ± 0.5

46 ± 0.5

57 ± 0.5

70 ± 0.5

260 ± 0.5

44 ± 0.5

56 ± 0.5

68 ± 0.5

44 ± 0.5

56 ± 0.5

69 ± 0.5

270 ± 0.5

44 ± 0.5

56 ± 0.5

68 ± 0.5

44 ± 0.5

56 ± 0.5

68 ± 0.5

280 ± 0.5

44 ± 0.5

56 ± 0.5

68 ± 0.5

44 ± 0.5

56 ± 0.5

68 ± 0.5

290 ± 0.5

45 ± 0.5

57 ± 0.5

70 ± 0.5

45 ± 0.5

57 ± 0.5

69 ± 0.5

300 ± 0.5

48 ± 0.5

60 ± 0.5

71 ± 0.5

48 ± 0.5

60 ± 0.5

71 ± 0.5

310 ± 0.5

51 ± 0.5

62 ± 0.5

73 ± 0.5

52 ± 0.5

63 ± 0.5

73 ± 0.5

320 ± 0.5

56 ± 0.5

66 ± 0.5

76 ± 0.5

57 ± 0.5

66 ± 0.5

76 ± 0.5

330 ± 0.5

61 ± 0.5

71 ± 0.5

79 ± 0.5

62 ± 0.5

71 ± 0.5

79 ± 0.5

340 ± 0.5

68 ± 0.5

76 ± 0.5

82 ± 0.5

69 ± 0.5

76 ± 0.5

82 ± 0.5

350 ± 0.5

76 ± 0.5

82 ± 0.5

87 ± 0.5

76 ± 0.5

82 ± 0.5

87 ± 0.5

360 ± 0.5

89 ± 0.5

88 ± 0.5

91 ± 0.5

84 ± 0.5

88 ± 0.5

91 ± 0.5

ARM.OSC50

AR.OSC37.5

ARM.OSC25

ARM.FIJ50

ARM.FI37.5

ARM.FIJ25

93

93

93

93

93

93

102

99

97

102

99

97

110

106

102

110

106

102

118

112

106

118

112

106

125

117

109

125

117

109

131

121

112

131

121

112

136

125

115

136

125

115

140

128

116

140

128

116

142

129

118

142

129

118

143

130

118

143

130

118

142

129

118

142

129

118

140

128

116

140

128

116

136

125

115

136

125

115

131

121

112

131

121

112

125

117

109

125

117

109

118

112

106

118

112

106

110

106

102

110

106

102

102

99

97

102

99

97

93

93

93

93

93

93

84

87

89

84

87

89

76

80

84

76

80

84

68

75

81

68

75

81

61

69

77

61

69

77

55

65

74

55

65

74

50

61

71

50

61

71

46

58

70

46

58

70

44

57

68

44

57

68

43

56

68

43

56

68

44

57

68

44

57

68

46

58

70

46

58

70

50

61

71

50

61

71

55

65

74

55

65

74

61

69

77

61

69

77

68

75

81

68

75

81

76

80

84

76

80

84

84

87

89

84

87

89

93

93

93

93

93

93

F.TRANS50

F.TRAN37.5

F.TRAN25

F.T.50

F.T.37.5

F.T.25

87

89

91

87

89

91

96

96

95

95

95

95

105

103

100

104

102

100

114

109

104

113

108

104

122

115

108

121

114

108

130

121

111

129

120

111

136

125

114

135

124

114

141

129

116

141

128

116

144

131

118

144

130

118

145

132

118

145

131

118

144

131

118

144

130

118

141

129

116

141

128

116

136

125

114

135

124

114

130

121

111

129

120

111

122

115

108

121

114

108

114

109

104

113

108

104

105

103

100

104

102

100

96

96

95

95

95

95

87

89

91

87

89

91

78

83

87

79

83

87

71

77

83

71

77

83

64

72

79

65

72

79

58

67

76

59

67

76

53

63

73

54

63

73

50

60

71

50

60

71

47

58

69

47

58

69

46

57

68

46

56

68

45

57

68

45

56

68

46

57

68

46

56

68

47

58

69

47

58

69

50

60

71

50

60

71

53

63

73

54

63

73

58

67

76

59

67

76

64

72

79

65

72

79

71

77

83

71

77

83

78

83

87

79

83

87

87

89

91

87

89

91

Leyenda de las tablas:

  • ANGULOS: número de grados que gira la manivela.

  • FIJO50: datos obtenidos experimentalmente para la biela con pistón fijo y radio 50mm.

  • FIJO37.5: datos obtenidos experimentalmente para la biela con pistón fijo y radio 37.5mm.

  • FIJO25: datos obtenidos experimentalmente para la biela con pistón fijo y radio 25mm.

  • OSC50: datos obtenidos experimentalmente para la biela con pistón oscilante y radio 50mm.

  • OSC37.5: datos obtenidos experimentalmente para la biela con pistón oscilante y radio 37.5mm.

  • OSC25: datos obtenidos experimentalmente para la biela con pistón oscilante y radio 25mm.

  • ARM.OSC50: función armonica superpuesta para OSC50.

  • ARM.OSC37.5: función armonica superpuesta para OSC37.5.

  • ARM.OSC25: función armonica superpuesta para OSC25.

  • ARM.FIJ50: función armonica superpuesta para FIJO50.

  • ARM.FIJ37.5: función armonica superpuesta para FIJO25.

  • ARM.FIJ.25: función armonica superpuesta para FIJO25.

  • F.TRAN50: función de transferencia superpuesta para FIJO50.

  • F.TRAN37.5: función de transferencia superpuesta para FIJO37.5.

  • F.TRAN25: función de transferencia superpuesta para FIJO25.

  • F.T.50: función de transferencia superpuesta para OSC50.

  • F.T.37.5: función de transferencia superpuesta para OSC37.5.

  • F.T.25: función de transferencia superpuesta para OSC25.

Para la aproximación de funciones armónicas, del tipo (5), ha de utilizarse una técnica de aproximación un tanto intuitiva. Esta técnica es útil tanto para las funciones con punto oscilante como las de punto fijo. El primer paso consiste en averiguar la amplitud de nuestra función esperimental, para ello basta con restarle al valor máximo de nuestra función el valor mínimo también de dicha función, después se divide por dos. Se observa que se obtienen los valore máximos para un ángulo de 90º y los valores mínimos para un ángulo de 270º. El valor obtenido será el de la amplitud de nuestra función armónica a superponer a nuestra función experimental. Al representar la función ésta nos demuestra que está desfasada 90º. Por último comprobamos que la diferencia que existe en el eje vertical entre nuestra función y la armónica es de 93mm. Es curioso observar, a mi entender, que este valor es idéntico en las superposiciones de todas las funciones experimentales, ya sen de punto fijo como de punto oscilante.

A continuación se ofrece la diferencia de max y min en las funciones, y la correspondiente amplitud.

FIJO50 ! Max - Min = 99mm A =49.5mm

FIJO37.5 ! Max - Min = 74mm A =37mm

FIJO25 ! Max - Min = 50mm A =25mm

OSC50 ! Max - Min = 100mm A =50mm

OSC37.5 ! Max - Min = 75mm A =37.5mm

OSC25 ! Max - Min = 50mm A =25mm

De manera que las funciones armónicas que serán representadas y superpuestas con sus respectivas funciones experimentales son de la forma:

La representación de estas gráficas se pueden observar en las páginas finales. En dichas gráficas la escala de valores en el eje de abcisas corresponde a radianes debido a errores de configuración del Excel que no he podido conseguir que lo representara en grados.

En las gráficas se puede comprobar como coinciden en los máximos y minimos la función experimental y la función armónica pero que a medida que se separan de dichos puntos las funciones también dejan de acoplarse. Esto se debe a que nuestra función es una ligera aproximación a la armónica ideal y a esto hay que sumarle los errores. En el apartado de los errores cabe destacar los producidos en la toma de medidas, ya que ha sido de manera visual y con un error de escala de 0.5 grados y de 0.5 mm. Como se observará en las gráficas no se puede apreciar dicho error debido a que el error es tan pequeño que comparado con la escala de valores es insignificativo. Es necesario señalar que el error de 0.5 grados se ha considerado en unidades de radianes debido a que la gráfica está en dichas unidades. Por lo tanto también habría que sumar un pequeño error que cometería el excel en transformar grados a radianes. Junto a estos errores es necesario comentar que debido al uso del aparato y a sus posiciones tambien habría que contar coon el error de precisión que cometería el aparato debido a la holgura en sus materiales.

De las gráfica también se saca otra conclusión, y es que ha menor radio de la manivela la aproximación a la función armónica es mejor. Esto queda demostrado al observar las gráficas que tengan como radio 25mm, ya sea en las que compara la función armónica como en las que se compara la función de transferencia, de la que hablaremos más adelante. La explicación la encontramos en los fundamentos teñóricos ya que a menor radio la aproximación es mayor de bido a que la proyección de la biela sobre la guía es más horizontal.

En el apartado de la función de transferencia sería lógico imaginar y pensar que las funciones experimentales se asemejan mucho a dichas funciones. De hecho es así aunque hay un dato al que no he podido encontrar explicación y es al desplazamiento vertical al que hay que someter a las funciones de transferencia con radio 37.5mm y 25mm. En el caso de las funciones con punto fijo o oscilante tenemos:

PUNTO FIJO

PUNTO OSCILANTE

R = 37.5mm

13.5

14

R = 25mm

27

27

Al analizar conjuntamente las funciones con punto fijo y con punto oscilatorio se comprueba como la diferencia de valores entre una y otra es pequeña y esto es debido a que el tamaño de la biela con respecto al de la manivela guarda una relación más o menos normal. En el caso en que la manivela tuviera un tamaño bastante mayor al de la biela la diferencia entre funciones sería considerable.

V.- CONCLUSIÓN

Para concluir diremos que existe una función, denominada de transferencia, que nos sirve para aproximar un movimiento circular uniforme a un movimiento armónico simple. Esta función se obtiene de una forma bastante simple y nos ofrece un muy buena aproximación, independientemente de las pequeñas transformaciones que le podamos hacer, tales como cambio de amplitud, de fase o incluso de altura, que nos permita superponer una muestra de datos con dicha función de transferencia.

Este tipo de relación entre el movimiento circular uniforme y un movimiento armónico simple es de gran utilidad, sobre todoen el campo de la mecánica y en especial en el de los motores.

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