Modulación LRC

Modulación en fase y cuadratura. CPM. Interferencia entre simbolos. Señal PAM, ruidosa. Filtros de transmisión y recepción. Función sinc. Factor de roll-off

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Telecomunicaciones I

Viernes 22 de abril de 2005

Trabajo Segundo Corte. Modulación LRC

Introducción.

La modulación nace de la necesidad de transportar una información a través de un canal de comunicación a la mayor distancia y menor costo posible. Este es un proceso mediante el cual dicha información (onda moduladora) se inserta a un soporte de transmisión.

En telecomunicaciones el término modulación engloba el conjunto de técnicas para transportar información sobre una onda portadora, típicamente una onda senoidal.

Básicamente, la modulación consiste en hacer que un parámetro de la onda portadora cambie de valor de acuerdo con las variaciones de la señal moduladora, que es la información que queremos transmitir.

Desarrollo.

Es importante tener claro antes un concepto de CPM. Modulación de fase continúa.

“La modulación continua de la fase (CPM) es una técnica digital de la modulación de la fase que obliga a la fase del portador que sea intervalos que señalan del excedente continuo. El pulso de la fase (el CPM del p(t)) se describe cómo la transición que ocurre entre los intervalos que señalan. Este constreñimiento en la fase implica que el CPM es una modulación con memoria.”

Debido al CPM liso de M-ary de las transiciones de la fase, tiene eficacia espectral mejor que otros esquemas de la modulación de la fase como M-PSK. También puesto que el cociente medio de la energía del pico del CPM es el mejor valor posible (0dB) es popular en los usos que tienen picos a medios rigurosos del cociente de la energía.

“La modulación continua de la fase (CPM) es una técnica digital que obliga a la fase del portador que esté aparte de estas ventajas, el modulador de la modulación de la fase del CPM se puede descomponer en un codificador externo (codificador continuo de la fase - CPE) y una memoria menos el modulador, este hecho se puede utilizar para mejorar el funcionamiento del sistema realizando la desmodulación iterativa. La descomposición del CPM también permite que exploremos diversas realizaciones del CPM fácilmente. “

En la representación equivalente del CPM, la corriente de la información de la entrada se pasa al CPE, la salida entonces tras la señal transmitida por un modulador sin memoria. El número de las señales únicas que se pueden transmitir durante cualquier intervalo que señala es determinado por las características del p(t) del pulso de la fase y es independiente de la naturaleza de CPE.

La modulación LRC( Coseno levantado) puede considerarse como característica en frecuencia que consiste en una parte plana a baja frecuencia y otra parte decreciente hasta cero o roll-off siguiendo una función coseno.

En nuestro concepto de investigación se utiliza esta modulación para evitar la ISI (Interferencia entre símbolos) ya vista en clase y otro tipo de ruido comúnmente blanco y aditivo. Pues en este sentido vemos que es una herramienta bastante potente y eficaz para nuestro estudio en transmisión de datos binarios.

He aquí la transmisión de símbolos posibles (Son algunas).

Transmisión de símbolos.

Modulación en fase y en cuadratura.

  • Podemos modular una secuencia de bits con un seno: en Fase I.

'Modulación LRC'

  • Y otra con un coseno: en cuadratura.

'Modulación LRC'

Vamos a tratar la modulación de coseno alzado explicándola de la siguiente forma: partiendo de un simple diagrama de bloques y explicando este.

'Modulación LRC'

Figura No. 1.

Podemos ver el diagrama de bloques del transmisor digital banda base basada en PAM. La señal aplicada a la entrada del sistema consiste en una secuencia binaria {bk} con una duración de bit de Tb segundos. {bk} en el caso binario es de la forma 0 ó 1. Gracias al bloque generador de pulsos, cada smbolo bk se representa con un pulso g(t) con diferente amplitud ak dependiendo del smbolo transmitido, obteniéndose la señal x(t).

La señal PAM (Señal de banda lateral doble) x(t) pasa a través de un filtro de transmisión de función de transferencia ajustable HT(f). La salida de este filtro es la señal que se transmite a través del canal de comunicaciones. Esta señal transmitida se ve modificada de forma deterministica según la función de transferencia del canal HC(f) que se supone conocida. Además el canal introduce ruido aleatorio w(t) blanco y aditivo.

La señal ruidosa pasa a través de un filtro de recepción de función de transferencia ajustable HR(f) obteniéndose la señal y(t). Esta senal se muestrea manteniendo el sincronismo con el transmisor a una tasa de una muestra por bit. Los instantes de muestreo ti = iTb vienen determinados por un reloj o señal de temporización que normalmente se extrae de la propia señal recibida y(t).

Finalmente, la secuencia de muestras y(ti) obtenida se utiliza para reconstruir la señal original utilizando un dispositivo decisor. La amplitud de cada muestra se compara con un umbral. Si la muestra es mayor que el umbral se decide que se transmitió un 1, en caso contrario se decide en favor de 0, obteniéndose la secuencia {^bk}. El objetivo es que esta secuencia sea exactamente igual a la original {bk}.

La señal recibida y(t) se muestrea en los instantes ti = iTb, con i entero, obteniéndose la ecuación:

'Modulación LRC'

donde Ai es la amplitud del bit i transmitido. El segundo término de esta ecuación representa el efecto residual del resto de bits transmitidos en la detección del bit i. Este efecto se denomina interferencia entre símbolos o ISI (Inter-Symbol Interference). El último término representa el ruido muestreado en el instante ti.

En ausencia de ISI y ruido la ecuación anterior quedara y(ti) = Ai, por lo que el bit i se decodificara de forma correcta siempre. La inevitable presencia de ISI y ruido en el sistema va a dar lugar a bits erróneos en la etapa de decisión.

A la hora de diseñar los filtros de transmisión HT(f) y recepción HR(f) habrá que minimizar el efecto de la ISI y del ruido para que el decisor cometa el menor numero de errores posible, lo que en definitiva aumentara la calidad del sistema.

Debemos evitar la ISI debido al solapamiento de los extremos de los otros pulsos que se suman al pulso de interés Ai(t"iTb) que se observa en el instante Tb. Si esta forma de interferencia es muy fuerte, el decisor puede cometer errores. El control de la ISI en el sistema se logra controlando en el dominio del tiempo la forma de los pulsos recibidos p(t) o en el dominio de la frecuencia su transformada de Fourier P(f). Una forma de señal que no produce ISI esta definida temporalmente por la función sinc dada por la ecuación:

'Modulación LRC'

donde sinc cumple que en el instante de muestreo del bit de interés esta normalizada valiendo p(0) = 1 y en los instantes de muestreo del resto de bits se anula, es decir, p(iTb) = 0 para i " 0.

En la ecuación anterior BT es el ancho de banda de este pulso p(t) que viene relacionado con la duración del bit Tb a través de:

'Modulación LRC'

En el dominio de la frecuencia P(f) corresponde a una señal paso bajo ideal de ancho de banda BT dada por la ecuación:

'Modulación LRC'

Esto significa que no hace falta ninguna componente frecuencial que exceda la mitad de la tasa binaria.

Como ya se ha dicho el pulso p(t) tiene su valor de pico en el origen igual a la unidad y se anula para múltiplos enteros de Tb. Si la señal recibida se muestrea en t = 0, ±Tb, ±2Tb, . . . los pulsos definidos por Aip(t " iTb) con amplitud Ai para i = 0,±1,±2, . . . no interferirán entre s.

Usando el ancho de banda menor posible existen otras soluciones para la forma de p(t) que evitan la ISI y permiten salvar los dos inconvenientes anteriores. Una de las soluciones más interesantes fue descrita por primera vez por Nyquist: la forma de P(f) que posee muchas de las propiedades deseables es el coseno alzado. Esta característica en frecuencia consiste en una parte plana a baja frecuencia y otra parte decreciente hasta cero o roll-off siguiendo una función coseno. En la ecuación:

'Modulación LRC'

Ahora se tiene la expresión analtica para P(f). El ancho de banda de este pulso es 2BT "f1 siendo f1 un parámetro frecuencial dado por la ecuación:

'Modulación LRC'

 se denomina factor de roll-off y cumple que 0 "" 1. El factor de roll-off es un parámetro de diseño del pulso. Usando dicho factor, el ancho de banda Bw del pulso viene dado por la ecuación:

'Modulación LRC'

Figura 2.

'Modulación LRC'

podemos ver el espectro P(f) para factor de roll-off  = 0,  = 0,5 y  = 1. El eje de frecuencias esta normalizado con respecto a BT y las amplitudes con especto al valor en el origen de P(f). Para  = 0, se tiene que Bw = BT y f1 = BT En este caso la ecuación de P(f) coincide con:

'Modulación LRC'

ya mencionada anteriormente por lo que P(f) es un pulso baso bajo ideal con mnimo ancho de banda de forma que la parte con caída sinusoidal desaparece, es decir, tenemos el pulso en el dominio del tiempo p(t) con forma de sinc. Si ahora  = 1, se tiene que Bw = 2BT y f1 = 0. En este caso el ancho de banda es el doble que el pulso en el dominio del tiempo p(t) con forma de sinc.

Además la parte plana desaparece puesto que f1 = 0 y el espectro tiene una caída suave sinusoidal desde el origen hasta 2BT . Para  = 0,5 el ancho de banda Bw = 1,5BT y f1 = 0,5BT . En este caso para bajas frecuencias hasta 0,5BT hay una zona plana y de 0,5BT hasta 1,5BT tenemos la zona de caída sinusoidal. P(f) presenta simetría impar en la frecuencia BT en torno al valor 0,5 de amplitud normalizada como se puede apreciar en la figura anterior.

Tomando transformada inversa de Fourier en la expresión para P(f) se puede obtener la expresión en el dominio del tiempo para p(t) llegando a la ecuación:

'Modulación LRC'

La expresión para p(t) dada consiste en el producto de dos factores. Un primer factor sinc(2BTt) asociado con el pulso con forma de sinc con espectro rectangular y un segundo factor que decrece como 1/|t|2 para |t| grande.

El primer factor asegura que p(t) pase por cero en los instantes de muestreo del resto de smbolos para t = iTb con i un entero distinto de cero. El segundo factor reduce el tamaño de las colas del pulso considerablemente por debajo del pulso con forma de sinc, as la transmisión de la señal binaria usando estos pulsos va a ser relativamente insensible a los errores de temporización.

De hecho la cantidad de ISI debido a un error de temporización decrece según  crece desde 0 hasta 1.Para el caso especial de  = 1, la expresión para p(t) de la ecuación inmediatamente anterior se puede simplificar obteniéndose la ecuación:

'Modulación LRC'

'Modulación LRC'

Figura No. 3.

El pulso dado por esta ecuación para  = 1 tiene las siguientes propiedades en el dominio del tiempo:

  • En t = ±Tb /2 = ± 1/4BT

Se cumple que p(t) = 1/2, es decir, el ancho del pulso medido a mitad de amplitud es exactamente Tb.

  • Hay cruces en t = ±3Tb/2, ±5Tb/2, . . ., además de los cruces normales en t =±Tb, ±2Tb, . . .

Estas dos propiedades son particularmente útiles a la hora de regenerar la señal de reloj en el receptor para sincronización. Sin embargo, el precio a pagar para el caso  = 1 es la necesidad del doble ancho de banda que para el caso  = 0 como se puede ver en la figura No. 3

Conclusiones.

  • En el caso de modulaciones lineales y bajo algunas hipótesis de fácil cumplimiento, la densidad espectral de potencia de la señal transmitida no es más que la representación en frecuencia del pulso utilizado.

Si mandamos un pulso cuadrado:

'Modulación LRC'

  • Usando el ancho de banda menor posible existen otras soluciones para la forma de p(t) que evitan la ISI, una de las soluciones la forma de P(f) que posee muchas de las propiedades deseables es el coseno alzado. Esta característica en frecuencia consiste en una parte plana a baja frecuencia y otra parte decreciente hasta cero o roll-off siguiendo una función coseno

Bibliografía.

  • http://www.comsoc.org/livepubs/50_journals/pdf/RightsManagement_eid=131096.pdf.

  • http://viento.us.es/~murillo/docente/ radio/documentos/tema6v2.pdf

  • 138.4.43.1/LSim/teoria_2.pdf

  • www.diac.upm.es/.../plan2000/Curso_04-05/Sistemas_Teleco/ Segundo/Teoria_Comunicacion/Teoria_Comunicacion.htm

  • www.diac.upm.es/.../Troncales_Obligatorias/ Sistemas_Telecomunicacion/Sistemas_Telecomunicacion.htm

CAPACITY ESTIMATION AND CODE DESIGN PRINCIPLES

FOR CONTINUOUS PHASE MODULATION (CPM).

CAPACITY ESTIMATION AND CODE DESIGN PRINCIPLES

FOR CONTINUOUS PHASE MODULATION (CPM)

Esquema de un sistema de banda base para explicar coseno alzado.

Espectro del pulso P(f) con forma de coseno alzado para tres valores del factor de roll-off _.

Forma de p(t) en el dominio del tiempo para el pulso con espectro con forma de coseno alzado

para tres valores del factor de roll-off _.