Ingeniero Industrial

Modelo de progamación lineal

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COMO GRAFICAR UN MODELO LINEAÑ

1.Resumen del Texto

Algunas veces, en las primeras clases del curso de Investigación de Operaciones nos llevamos solo por el deseo de realizar un modelo matemático que trate de reflejar la realidad a través de una Función Objetivo y algunas restricciones, pero como las ganas de seguir aprendiendo hace que surjan nuevas preguntas . Un buen día interrogamos a nuestro profesor acerca de la solución que debe tener todo modelo, él como siempre sonriente y con una expresión de misterio nos dijo:” Creo que ya es el momento de que tengan algunas respuestas a algunos modelos que han podido resolver en sus primeras clases”, felices por este anuncio es que nos propusimos a poner atención a sus palabras y sacar el mejor provecho a los conocimientos de nuestro profesor, que sin saberlo se volvía cada vez mas respetado por nosotros.

Claro que yo no me perdí ninguna clase acerca de gráficas, pero como siempre llegó el día del examen, llegue temprano ,confiado me senté adelante y cuando el profesor empezó a dictar las preguntas acerca de gráficas yo con voz baja decía: esta vez me lo hago todo el examen, !pero que sorpresas tiene la vida! ninguna de las gráficas dictadas se parecían a las que resolvimos en clase , que se va hacer ,otra vez aquel personaje noble, sereno y casi enigmático volvía a ganar.

Entendí el mensaje, se tiene que investigar y como te lo dije en el primer libro , aún sigo investigando y todavía me encuentro con algunas cosas que parecieran fáciles a primera vista pero que necesitan algún desarrollo especial.

Es por eso que ahora, en este segundo libro quiero darte a conocer como solucionar gráficamente los modelos matemáticos que se elaboran en un modelo de programación lineal, será necesario primero hacer una introducción de como realizar las gráficas, dar a conocer los diferentes tipos de gráficos, los casos especiales que podemos encontrar y además ingresar a explicar los resultados a los modelos graficados.

Como vez, tenemos una gran aventura que realizar , espero que me acompañes y que este libro te sea de mucha utilidad para que afiances mas tus conocimientos en cuanto a la Investigación de Operaciones.

No quisiera dejar de aprovechar la oportunidad para rendir el merecido reconocimiento y agradecimiento a mis amigas y amigos de las diferentes universidades de la ciudad de Trujillo que a través de todos estos años me han dado la oportunidad de ser participe de sus esperanzas y sueños en su camino a ser profesional y poder estar juntos en nuestras charlas de estudio, Gracias por su confianza

Atentamente,

CAPITULO I

COMO GRAFICAR

1.- METODO GRAFICO

Indudablemente plasmar un modelo y tratar de resolverlo gráficamente tiene una limitación muy grande, sólo se pueden resolver modelos que tengan sólo dos variables( bidimensional ) ya que contamos con un plano formado por X1 y X2 que es la región en la cuál vamos a trabajar, se podría tener la posibilidad de trabajar con modelos que tienen tres dimensiones pero sera muy tedioso ( sin embargo en la parte final de

este libro realizaremos algunos ejemplos para resolver estos tipos de modelos).

Vamos entonces a desarrollar modelos relativamente pequeños pero que sean provechosos para cumplir con los objetivos que deseamos alcanzar , los cuales son familiarizarnos con una representación geométrica de un modelo lineal y llegar a tener algunas respuestas importantes a algunas interrogantes que nos vamos a plantear a través del desarrollo del tema.

2.- PASOS PARA RESOLVER MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL MEDIANTE GRAFICAS

Se va a tener que llevar un orden para poder resolver un modelo, supongamos que tenemos el siguiente problema planteado:

Ejemplo 1.-

Maximizar = 4 x1 + 9 x2

sujeto a:

5x1 + 8x2 <= 50

6x1 + 5x2 <= 60

8x1 - 5x2 <= 40

x1>=0, X2>=0

Los pasos que tenemos que seguir son los siguientes:

1.- TODA RESTRICCIÓN DEBE CONVERTIRSE A IGUALDAD,SEA CUAL SEA SU ORIENTACIÓN

Aplicando este primer paso a nuestro ejemplo:

5x1 + 8x2= 50

6x1 + 5x2 = 60

8x1 + 5x2 = 90

2.- SE DEBE DESPEJAR LAS VARIABLES EN CADA UNA DE LAS RESTRICCIONES, COLOCANDO A UNA DE LAS VARIABLES EL VALOR DE CERO Y DESPEJANDO LA OTRA.

En nuestro ejemplo:

Para la primera restricción:

5x1 + 8x2 = 50

Si x1= 0 , la restricción queda:

5(0) + 8x2 = 50

despejando x2= 50/8

Entonces agrupando en par ordenado: (x1,x2) = ( 0,50/8) ,

Luego si x2=0, la restricción queda:

5x1 + 8(0) = 50

despejando x1 = 50/5Entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) = ( 50/5,0)

Para la segunda restricción:

6x1 + 5x2 = 60

si X1=0. La restricción queda:

6(0) + 5x2 = 60

despejando x2= 60/5

entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) = (0,60/5)

Luego ,si x2=0, la restricción queda

6x1 + 5(0) = 60

despejando : x1= 60/6

entonces agrupando en pares ordenados: ( x1,x2)=(60/6,0)

Para la tercera restricción:

8x1 +5x2 = 40

si x1=0 , la restricción queda:

8(0) + 5x2 = 40

despejando:

x2 = 40/5

entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) =(0, 40/5)

Luego, si x2=0, la restricción queda:

8x1+5(0)=40

despejando: x1= 40/8

entonces agrupando en pares ordenados: (x1,x2) =(40/8,0)

3.- REALIZAR LA GRÁFICA .

Teniendo los pares ordenados podemos realizar la gráfica ya que por cada restricción tenemos dos puntos, los cuales al unirse nos darán las líneas rectas que son las representaciones geométricas de las restricciones.

(x1,x2) = ( 0,50/8=6.23) , (x1,x2) =(50/5=10,0)

(x1,x2) = (0,60/5=12) , (x1,x2) =(60/6=10,0)

(x1,x2) =(0, 40/5=8) , (x1,x2) =(40/8= 5,0)

x2 12

( I I )

8 ( III )

( I )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4.- ORIENTACIÓN

La parte mas importante en la gráfica es la orientación, para este caso vamos a tomar en cuenta las siguientes condiciones generales de acuerdo a los tipos de restricciones que se tiene:

Restricción Orientación

<= Se acerca al origen

= Se conserva la restricción como una línea

>= Se aleja del origen

Debemos aclarar que estas orientaciones sirven para restricciones que contengan las dos variables, lado derecho positivo y con valores numéricos diferentes de cero( casos diferentes lo trataremos posteriormente) .

Entonces nuestra gráfica queda:

x2 12

( I I )

8 ( III )

( I )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5.- UBICACIÓN DE LA REGIÓN FACTIBLE

Una vez dada la orientación a cada restricción es importante hallar una región donde todas las restricciones se cumplan, esta región se llama REGION FACTIBLE que no viene a ser sino el lugar donde se va a encontrar la solución a nuestro problema lineal planteado, es por eso que debemos tener mucha visión para ubicar esta región , es necesario aclarar que hay veces en que no se puede hallar una región factible .

Para nuestro ejemplo , la región factible esta dada por la región con bordes mas oscuros y limitado con las letras A, B , C y D.

Entonces nuestra gráfica queda:

( I I )

8 ( III )

( I )

2 REGION

1 FACTIBLE

A D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Como vez, la región factible es aquella que en sus esquinas A,B,C,D tienen las posibilidades de ser el punto que solucione el modelo, a ese punto le llamaremos PUNTO OPTIMO.

6.- HALLAR EL PUNTO OPTIMO

Una vez que se han identificado los puntos extremos, vamos a reemplazar las coordenadas de los puntos extremos en la Función Objetivo:

Puntos Coordenadas MAX. F.O. 4x1 + 9x2

A ( 0 , 0 ) 4(0) + 9(0) = 0

B ( 0, 6) 4(0) + 9(6) = 54

*C (1.79488 , 5.1282) 4(1.79488 ) + 9( 5.1282) =53.33332

D ( 5 , 0) 4(5) + 9(0) = 20

*El punto C se halla por ecuaciones simultaneas de las rectas que dan origen a este punto, es decir las rectas I y II, calculando:

( I ) 5x1 + 8x2 = 50 (-8 )

(II ) 8x1 - 5x2 = 40 (5 )

-64x2+25x2= -400+200

-39x2 = -200

x2 = 5.1282

Reemplazando en ( I ) :

5x1 + 8(5.1282)=50

Como la Función Objetivo es de maximización , entonces se comparan los resultados de reemplazar las coordenadas de los puntos extremos en la función objetivo y se elige el mayor, para este ejemplo:

54 es el mayor valor y entonces el punto B es el punto optimo.

7.- GRAFICA DE LA FUNCION OBJETIVO

Bueno pero ahora falta graficar la Función objetivo, procederemos de la siguiente manera:

Maximizar = 4 x1 + 9 x2

Como podemos ver la función objetivo no tiene lado derecho, entonces nosotros lo vamos a crear multiplicando sus coeficientes, entonces queda así:

4x1 + 9x2 = (4)(9)

Ahora podemos tratar a la función Objetivo como lo hicimos con las restricciones:

4x1 + 9x2= (4)(9)

Sí x1=0 entonces:

4(0) + 9x2= (4)(9)

despejando:

x2= 4(9)/9 entonces queda : x2=4 el par ordenado es: (x1,x2) = (0,4)

Luego :

4x1 + 9x2= (4)(9)

si x2=0 entonces: 4x1 + 9(0)= (4)(9)

x1 = (4)(9)/4

queda: x1= 9 el par ordenado es: (x1,x2)= (9,0)

La gráfica es:

( I I )

8 ( III )

( I )

FUNCION 4

OBJETIVO

2 REGION

1 FACTIBLE

A D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

8.- GRAFICAR LA FUNCION OBJETIVO EN EL PUNTO OPTIMO

Ahora, lo único que nos falta es trasladar la Función Objetivo(F.O.) al punto óptimo, entonces la F.O. se iguala al valor máximo, es decir 54:

4x1 + 9x2 = 54

despejando X1:

4x1 + 9(0) = 54

x1 = 13.5 , las coordenadas queda : ( 13.5 , 0 )

despejando X2:

4(0) + 9x2 = 54

x2 = 6 , las coordenadas queda: ( 0 , 6 )

Teniendo estos dos puntos, la gráfica final queda:

( I I )

8 ( III )

( I )

F.O Ubicación Final

2 REGION

1 FACTIBLE

A D

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

F.O. Ubicación Inicial

Como se puede apreciar la F.O. se ha trasladado hacia el punto optimo.

Entonces la respuesta es:

Rpta.

x1= 0 , x2 = 6 . el valor de la F.O. es: 54

Como las variables son >= que cero , entonces la gráfica queda en el primer cuadrante, pero nada impide que en algún momento se tenga regiones factibles en otros cuadrantes cuando se tengan variables irrestrictas( son aquellas que pueden tener valores positivos o negativos) eso va a suceder cuando experimentemos con otros ejemplos por el momento nos limitaremos al primer cuadrante.

Ahora vamos a graficar otro modelo:

EJEMPLO 2:

Minimizar 8X1 + 5X2

SUJETO A:

5X1 + 6X2 >= 30

3X1 + 6X2 >= 18

2X1 + 4X2 >= 8

X1>=0, X2>=0

SOLUCION:

( I ) 5x1 + 6x2 = 30

Si: X1 = 0 entonces X2 = 5, la coordenada es : ( 0,5)

Si : X2=0 entonces X1 = 6 , la coordenada es : ( 6,0)

( II ) 3x1 + 6x2 = 18

Si : X1=0 entonces X2- 3 , la coordenada es : ( 0,3)

Si: X2=0 entoncesX1=6, la coordenada es: ( 6,0)

( III ) 2x1 + 4x2 = 8

Si X1=0 entonces: X2=2, la coordenada es: ( 0,2)

Si X2= 0 entonces: X1=4, la coordenada es: (4,0)

Como todas las restricciones son >= ,entonces todas se alejan del origen,

Graficando:

5 A =(0,5)

3 ( I )

( II )

( III )

B=(6,0)

0 1 2 3 4 5 6 7 X1

Buscando punto Optimo:

PUNTOS COORDENADAS MIN. 8X1 + 5X2

A ( 0, 5) 8(0) + 5(5) = 25

B ( 6,0 ) 8(6) + 5(0) =48

Al comparar los puntos ,el punto mínimo es A con valor de 25.

Para culminar la gráfica, vamos a dibujar la F.O. en su ubicación inicial:

8x1 + 5x2 = (8)(5)

Si : X1= 0 entonces X2=8, la coordenada es: ( 0,8)

Si X2=0 entonces X1= 5 , entonces la coordenada es: ( 5,0)

Ahora la F.O. se traslada al punto optimo:

8x1 + 5x2 = 25

Si X1=0 entonces: x2=5, la coordenada es: (0,5)

Si x2=0 entonces: x1= 3.125, la coordenada es: ( 3.125 , 0)

La gráfica final queda:

Graficando:

5 A =(0,5)

4 REGION FACTIBLE

3 ( I )

( II )

( III )

B=(6,0)

0 1 2 3 4 5 6 7 X1

F.O. Ubicación Inicial

F.O. Ubicación Final

Como se puede observar la F.O. ha tenido que bajar en busca del punto óptimo.

Rpta.

X1= 0 , X2= 5 , el valor de la F.O. es 25

Ejemplo 3:

Maximizar: 3x1 + 2x2

sujeto a:

2x1 + 4x2 <= 16

4x1 - 5x2 <= 20

6x1 - 3x1 <= 18

X1>=0, X2 >=0

Solución:

( I ) 2x1 + 4x2 = 16

Si: x1=0 entonces: x2= 4 , la coordenada es: ( 0 ,4 )

Si: x2=0 entonces: x1= 8 , la coordenada es: ( 8 , 0)

( II) 4x1 - 5x2 = 20

Si: x1=0 entonces: X2= -4 , la coordenada es: ( 0, -4)

Si: x2=0 entonces: X1= 5 , la coordenada es: ( 5, 0)

( III ) 6x1 - 3x2 = 18

Si: x1=0 entonces x2= -6 , la coordenada es: ( 0, -6)

Si: X2=0 entonces X1= 3 , la coordenada es: ( 3, 0 )

Como todas las restricciones son <= , entonces todas se acercan al origen.

Graficando:

X2 ( III )

4 A ( I )

( II )

2 REGION

1 FACTIBLE

0 1 2 3 4 5 6 7 8 X1

D C

-1

-2

-3

-4

-5

-6

Ahora vamos a hallar los puntos óptimos,

PUNTOS OPTIMOS COORDENADAS F.O. MAX. 3X1 + 2X2

A ( 0, 4 ) 3(0) + 2(4) = 8

B *( 4, 2 ) 3(4) + 2(2) = 16

C ( 3, 0 ) 3(3) + 2(0) = 9

D ( 0, 0 ) 3(0) + 2(0) = 0

* Hallando las coordenadas para B:

(I) 2x1 + 4x2 = 16 (-3)

6x1 - 3x2 = 18

-15x2= - 30

x2= 2

Reemplazando en (I): 2x1 + 4(2) = 16

2x1=8

x1=4

la coordenada es: ( 4 , 2 )

Al comparar los resultados de los puntos en la F.O. el mayor valor: 16 , por lo tanto el punto óptimo es B.

Para culminar la gráfica, falta la F.O. entonces:

Posición Inicial:

3x1+ 2x2= (3)(2)

Si x1=0 , entonces x2=3 , por lo tanto la coordenada es: ( 0,3)

Si x2=0, entonces x1=2 , por lo tanto la coordenada es: ( 2,0)

Posición Final:

3x1+2x2= 16

Si x1=0, entonces x2=8, por lo tanto la coordenada es: ( 0,8)

Si x2=0, entonces x1=16/3=5.333 , por lo tanto la coordenada es: (5.333,0)

La gráfica final queda:

X2 ( III )

4 A ( I )

( II )

2 REGION

1 FACTIBLE

0 1 2 3 4 5 6 7 8 X1

D C

-1 POSICION

FINAL

-2 POSICION

INICIAL

-3

-4

-5

-6 Rpta. X1= 4 , X2=2 . F.O. = 16

Como te has dado cuenta ya hemos usado otro cuadrante para la gráfica, esto sucede por que tenemos coeficientes negativos en las variables de las restricciones pero a pesar de eso la región factible se encuentra en el primer cuadrante por que las variables son mayores que cero:

( x1>=0, x2>=0).

EJEMPLO 4:

MINIMIZAR 5X1 - 6X2

SUJETO A:

3X1 - 5X2 <= 15

4X1 + 3X2 = 12

2X1 + 6X2>= 12

x1>=0, x2>=0

Solución:

3x1 - 5x2= 15

Si x1=0, entonces x2=-3, las coordenadas son: ( 0,-3)

Si x2=0, entonces x1= 5, las coordenadas son: ( 5,0)

4x1 + 3x2 = 12

Si x1=0, entonces X2= 4 , las coordenadas son: ( 0,4)

Si x2=0 , entonces x1=3 , las coordenadas son: ( 3,0)

2x1 + 6x2= 12

Si x1=0, entonces x2=2, las coordenadas son: (0,2)

si x2=0 , entonces x1=6, las coordenadas son: ( 6,0)

Orientación:

(I): se acerca al origen

(II): se queda solo la línea graficada.

(III): se aleja del origen

Graficando:

REGION

4 FACTIBLE

3 (I)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1

-1

-2 (III)

-3 (II)

-4

Ahora te das cuenta que la Región Factible es un segmento que va desde el punto A hacia el punto B, esto sucede por que se tiene una restricción con orientación de igualdad (=), entonces recuerda:

Una restricción con orientación =, da una región factible que es un segmento o en extremo un punto.

PUNTOS COORDENADAS MNIMIZAR 5X1-6X2

A ( 0 , 4 ) 5(0) - 6(4) = -24

B *( 2, 1.333) 5(2) - 6(1.333) = 2

* Punto B:

Como es la intersección de II y III:

Las coordenadas se hallan por ecuaciones simultaneas:

(II) 4X1 + 3X2 = 12

(III) 2X1 + 6X2 = 12 (-2)

-9x2=-12

x2= 1.333

Reemplazando en (II) :

4x1 + 3(1.333) = 12

x1 = 2

Al comparar los resultados de las coordenadas remplazadas en la F.O. se tiene que en punto mínimo es A con valor -24.

Ahora falta graficar las F.O.

Posición Inicial:

5x1 - 6x2 = (5)(-6)

Si x1=0 entonces x2=5, las coordenadas son: ( 0, 5 )

Si x2=0 entonces x1= -6, las coordenadas son: (-6,0)

Posición Final:

5x1-6x2= -24

Si x1=0 entonces x2=4, las coordenadas son: (0,4)

Si x2=0 entonces x1=-24/5=-4.8 , las coordenadas son: ( -4.8,0)

La gráfica queda: Ahora la F.O. se encuentra en el segundo cuadrante por que uno de sus coeficientes es negativo , pero eso no afecta en nada el procedimiento.

POSICION INICIAL

X2 POSICION FINAL

REGION

4 FACTIBLE

3 (I)

F.O. 2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1

-1

-2 (III)

-3 (II)

-4

EJEMPLO 5:

MINIMIZAR 6X1 - 5X2

SUJETO A:

3x1 + 4x2 <= 15

-2x1 - 3x2 <= 6

x1 >=2

x1>=0, x2>=0

Solución:

3x1 + 4x2 = 15

Si x1=0 entonces x2=15/4=3.75 , las coordenadas son: (0,3.75)

Si x2=0 entonces x1=5, las coordenadas son: (5,0)

-2x1-3x2=6

Si x1=0 entonces x2= -2, las coordenadas son: (0,-2)

Si x2=0 entonces x1=-3, las coordenadas son: (-3,0)

x1=2

la tercera restricción solo se convierte en una línea.

Orientación:

se acerca al origen

se aleja del origen

Graficando:

(III)

1 REGION

FACTIBLE

0 C B

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 X1

-1 (I)

-2

(II)

PUNTOS COORDENADAS MIN. 6X1-5X2

A * ( 2 , 2.25 ) 6(2) - 5(2.25) =0.75

B ( 5 , 0 ) 6(5) - 5(0) = 30

C ( 2 , 0 ) 6(2) - 5(0) = 12

* Hallando las coordenadas para B mediante ecuaciones simultáneas:

El punto B es la intersección de I y III:

(I) 3x1 + 4x2 = 15

(III) x1 = 2

Reemplazando en I: 3(2) + 4x2 = 15

x2= 2.25

Las coordenadas de B son: ( 2, 2.25)

Al comparar los resultados de reemplazar las coordenadas en la F.O. se ve que el menor valor es

que corresponde al punto A.

Ahora graficando la F.O.

Posición inicial:

6x1 - 5x2 = (6)(-5)

Si x1=0 despejando: x2=6 entonces las coordenadas son: (0,6)

si x2=0 despejando: x1= -5 entonces las coordenadas son: (-5,0)

Posición final:

6x1 - 5x2 = 0.75

Si x1=0 despejando: x2= -0.15 entonces las coordenadas son: (0,-0.15)

Si x2=0 despejando: x1=0.125 entonces las coordenadas son: (0.125,0)

La gráfica final queda: POSICION INICIAL

X2 6

(III)

3 POSICION FINAL

1 REGION

FACTIBLE

0 C

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 X1

-1 (I)

-2

(II)

Rpta . X1=2 , X2= 2.25 , El valor de la F.O. es 0.75

EJERCICIOS:

GRAFICAR :

1.- MAX IMIZAR : 3X1 + 4X2 2.- MAXIMIZAR : 4X1 - 5X2

SUJETO A: SUJETO A:

3X1 + 4X2 <=20 2X1 - 5X2 >= 30

4X1 - 6X2>=10 2X1 + 4X2 <= 40

X1 + X2>=4 X1 - X2 >=20

X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0

Rpta: x1=6.66 , x2= 0 , F.0. : Z = 20 Rpta. X1=20 , x2=0 , F.O. Z=80

3.-MINIMIZAR : 6X1 + 7X2 4. - MINIMIZAR : 5X1 + 3X2

SUJETO A: SUJETO A:

X1 + 5X2 >= 12 3X1 + 5X2 >= 4

2X1 + 6X2 <=24 4X1 - 4X2 <= 12

X1 + X2 >= 3 X1 >= 3

3X1 - 4X2 <=10 X2 <= 5

X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0

Rpta. X1= 0.75 , x2=2.25 . F.O. Z=20.25 Rpta. X1=3 , X2=0, F.O. Z=15

5.- MAXIMIZAR 8X1 + 9X2 6.- MAXIMIZAR 5X1 + 8X2

SUJETO A: SUJETO A:

2X1 + 6X2 >=12 -3X1 + 4X2 <= 12

X1 + 6X2 >= 20 2X1 - 6X2 <= 20

X1 + X2 <= 60 X1>=10

X1 >= 10 X2>= 3

X2 <= 5 2X1 + 5X2 <= 40

X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0

Rpta. X1=55, X2=5 , F.O. Z=485 Rpta. X1= 12.5 , X2=3 , F.O. Z=86.5

7.- MAXIMIZAR 10X1 - 6X2 8.- MINIMIZAR 4X1 - 3X2

SUJETO A: SUJETO A:

-3X1 +6X2 <= 40 -3X1 - 2X2<=12

4X2>=12 -5X1 - 6X2<=15

3X2 <=15 7X1 + 10X2 <=15

X1-X2<=30 X1>=2

-X1- X2<=40 X2<=5

X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0

Rpta. X1=35, X2=5 , F.O. Z=320 Rpta. X1=2 , X2=0.10 , F.O. Z=7.70

9.- MINIMIZAR -5X1 - 6X2 10.- MINIMIZAR -10X1 - X2

SUJETO A: SUJETO A:

X1 >=4 X1 - X2 >= 3

X2<=10 X1 + X2 <= 10

X1 - X2 >=5 X1>=2

2X1 - 5X2 <=10 X2<=5

X1 + X2 <=15 X1 + 3X2 <=12

X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0

Rpta. X1=10 , X2=5, F.O. Z= -80 Rpta. X1=10 , X2=0 , F.O. Z=-100

3.- GRAFICAS DE MODELOS CON LADOS DERECHOS NEGATIVOS:

CAPITULO II

GRAFICAS CON LADOS DERECHOS NEGATIVOS

Hasta ahora solo hemos resueltos problemas con lados derechos positivos, pero que hacemos si nos dan para graficar con lados derechos negativos, bueno para esto tenemos que tomar en cuenta lo siguiente:

a)Para restricciones que contienen dos variables:

por ejemplo: 4x1- 5x2<=-3 vamos a multiplicar por -1 la restricción quedando -4x1+5x2>=3 y aplicaremos la regla de los lados derechos (cuadro ) que en este caso como la restricción se ha pasado a >= la orientación sería alejarse del origen.

Lo mismo para 5x1+5x2>=-4 , multiplicando por -1 se tiene: -5x1-5x2<=4 en este caso la gráfica se acercaría al origen.

Para restricciones que tienen una sola variable:

Para restricciones de la forma: xi >= -b

Se lleva solo la lógica para su orientación, por ejemplo si se tuviera:

X2>=-6, se tiene que graficar a partir de x2=-6 y como la orientación es >= es lógico que tiene que abarcar a valores como -5,-4,-3,-2,-1,0,1….etc, es decir se dirige al origen.

Otro ejemplo : x1 >=-3 , se tiene que graficar a partir de x1=-3 y como la orientación es >= es lógico que tiene que abarcar a valores como -2,-1,0,1,2 etc.

Para restricciones de la forma -Xi >= - b y -Xi <= -b

Se multiplica por -1 y a partir de ello se gráfica, ejemplo: -x1>= -8 multiplicando por -1 se tiene

x1 <= 8 se gráfica acercándose al origen.

Otro ejemplo: -x1 <= -10 multiplicando por -1 se tiene x1>= 10 se gráfica alejándose del origen.

EJEMPLO 6

MAXIMIZAR 9X1 + 8X2

SUJETO A:

X1<= 5

X2>=-2

X1-X2 >= -3

X1>=0,X2>=0

Solución:

( I) x1= 5

X2=-2

x1-x2>=-3,multiplicando por -1:

-x1+x2<=3* , entonces la restricción queda así -x1+x2=3 , lista para despejar variables

Si x1=0 se tiene que x2=3, teniendo las siguientes coordenadas: ( 0,3)

Si x2=0 se tiene que x1=-3, teniendo las siguientes coordenadas: (-3,0 )

Orientación:

(I) : se acerca al origen

(II) : se acerca del origen C GRAFICA DE LA FUNCION OBJETIVO:

: *Como la restricción queda >= 9X1 +8X2 =(9)(8)

se aleja del origen. Si x1=0 entonces x2= 9, las coordenadas son (0,9)

Si x2=0 entonces x1=8 , las coordenadas son: (8,0)

Graficando: Posición inicial: (0,9) , (8,0)

4 F.O.

3 REGION (I)

2 FACTIBLE

(III)

1 D

-3 -2 -1 A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1

-1

(II)

-2

Punto C: Intersección de I y III, utilizando ecuaciones simultaneas

x1=5

-x1+x2=3

x2=8

Entonces el punto C es: (5,8)

PUNTOS COORDENADAS MAX . 9X1+ 8X2

A ( 0,0) 9(0) + 8(0)=0

B ( 0, 3 ) 9(0) +8(3)=24

C ( 5,8 ) 9(5) + 8(8)=109

D (5, 0) 9(5) + 8(0) =45

El punto óptimo es el punto C con valor de 109:

graficando la función Objetivo para que pase por el punto óptimo se tiene:

9x1 + 8x2 = 109

Si x1=0 x2=13.625, las coordenadas son: (0,13.625)

Si x2=0 x1=12.11 , las coordenadas son: (12.11 , 0)

Posición Inicial: (8,0) , (0,9)

12 Posición Final: (0,13.625),(12.11,0)

11 Respuesta: x1=5, x2=8 ,El valor de la F.O. es 109

4 F.O. POSICION FINAL

3 REGION

FACTIBLE

2 (I) POSICION INICIAL

(III)

1 D

-3 -2 -1 A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X1

-1

(II)

-2

Ejemplo 7.

Maximizar 8x1 + 6x2

sujeto a:

x1 - x2 <= - 9

x1+3x2>=-10

-x1<=3

x2<=10

x1>=0,x2>=0

Solución:

x1-x2<=-9,multiplicando por -1 queda: -x1+x2>=9,esta restricción vamos a graficar,

-x1 + x2 = 9

Si x1=0 x2= 9

Si x2=0 x1= -9

x1+3x2>=-10, multiplicando por -1 queda: -x1-3x2<=10, esta restricción vamos a graficar,

-x1 - 3x2 = 10 X2

Si x1=0 x2= -10/3

Si: x2=0 x1= -10 (I)

10 A B

-x1= 3 (IV)

entonces: x1= -3 9 C

(IV) x2 = 10

(III) 8

Gráfica de la Función Objetivo:

Graficando: 7 8x1 + 6x2 =( 8)(6)

Si x1=0 entonces x2=8,entonces

6 las coordenadas son: (0,8)

Si x2=0 entonces x1=6,entonces

5 las coordenadas son : (6,0)

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X1

-1

-2

-3

-4 (II)

Hallando punto B:

(I) -x1 + x2 = 9

(IV) x2=10 ( -1)

-x1=-1, entonces: x1=1

PUNTOS COORDENADAS MAX. 8X1+6X2

A ( 0 , 10 ) 8(0) + 6(10) = 60

B ( 1 , 10 ) 8(1) + 6(10) = 68

C ( 0, 9 ) 8(0) + 6( 9) = 54

Respuesta: El punto óptimo es B , con coordenadas: x1=1 , x2=10

Trasladando la función Objetivo:

8x1 + 6x2 = 68

Si x1=0 entonces x2=11.333, entonces las coordenadas son: (0,11.333)

Si x2=0 entonces x1=8.5, entonces las coordenadas son: (8.5,0)

X2 11.333

(I)

10 A B

(IV)

9 C

(III) 8

POSICION POSICION

2 INICIAL FINAL

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X1

-1

-2

-3

-4 (II)

EJEMPLO 8:

MINIMIZAR 5X1-3X2

SUJETO A:

X1>=-3 X2 POSICION INICIAL

X2>=-4 (III) POSICION INICIAL

-X1>=-6

-X1-X2 <=-4

X1-X2 >=-6 D

X1>=0,X2>=0

Solucíón: (V)

x1=-3

x2=-4

-x1>=-6, multiplicando por -1, se tiene: C x1<=6., entonces x1=6.

-x1-x2<=-4, multiplicando por -1, 6

Se tiene x1+x2>=4,entonces:

Si x1=0 x2=4 5

Si x2=0 x1=4 (I)

Multiplicando por -1 4

-x1+x2<=6,entonces: B

-x1+x2=6 3

Si x1=0 x2=6

Si x2=0 x1=-6 2 (IV)

F.O 1

A E

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x1

-1

Gráfica de la función Objetivo -2

5X1-3X2= (5)(-3) - 3

Sí x1=0 entonces x2=5 ,

las coordenadas son : (0,5) -4

Si x2=0 entonces x1=-3 (II)

las coordenadas son : (-3,0)

Coordenadas del punto D: Ecuaciones simultaneas entre (III) y (V)

x1-x2=-6

x1=6

entonces x2=12

PUNTOS COORDENADAS MIN 5X1- 3X2

A ( 4,0) 5(4) - 3(0) =20

B ( 0, 3 ) 5(0) -3(3) = -9

C ( 0,6 ) 5(0) -3(6) =-18

D (6,12) 5(6) -3(12)=-6

E ( 6, 0) 5(6) - 3(0) = 30

El punto C es el punto óptimo por tener el valor mas pequeño.

Entonces trasladando la función Objetivo al punto optimo se tiene:

5x1 - 3x2 = -18

Si x1=0 entonces x2=6, la coordenada es: (0,6)

Si x2=0 entonces x1=-3.6, la coordenada es: (-3.6,0)

Rpta. X1=0, x2=6 el valor de la función Objetivo es -18.

EJEMPLO 9:

MINIMIZAR - 3X1 - 6X2

SUJETO A:

X1>=-4

-X2 <= -3

-X1-X2 <=-4

X1>=3

X1>=0, X2>=0,

Solución:

x1 = -4 ,

-x2<=-3, multiplicando por -1 se tiene x2>= 3 entonces x2=3

(III) -x1-x2<=-4, multiplicando por -1 se tiene x1+x2 >= 4 entonces x1+x2=4:

si x1=0 entonces x2=4, la coordenada es (0,4)

si x2=0 entonces x1=4, la coordenada es (4,0)

(IV) x1=3

Orientación:

Se acerca al origen.

Se aleja del origen.

Gráfica de la posición inicial de la F.O. -3x1-6x2= (-3)(-6)

Sí x1=0 entonces x2=-3, la coordenada es (0,-3)

Sí x2=0 entonces x1=-6, la coordenada es (-6,0)

Graficando se tiene:

4 (IV) REGION FACTIBLE

A (II)

2 POSICION

(I) FINAL

1 (III)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1

-1

-2

POSICION

INICIAL -3 F.O.

-4

El único punto es el punto A, por lo tanto las coordenadas del punto óptimo es:

x1=3 , x2=3 y el valor de la Función Objetivo es: -3(3) - 6(3)= -27

La posición final de la Función Objetivo es:

-3x1-6x2= - 27

si x1=0 entonces x2=4.5

si x2=0 entonces x1= 9

EJEMPLO 10:

MAXIMIZAR -4X1 + 7X2

SUJETO A:

6X1 + 7X2 <= 10

X1>=-3

- X2 <= -0.5

5X1 - 7X2 >=18

X1>=0, X2>=0,

Solución:

6x1 + 7x2 = 10

Si x1=0 entonces x2 = 1.428 , la coordenada es (0, 1.428)

Si x2=0 entonces x1= 1.667 , la coordenada es ( 1.667 , 0)

x1= -3

-x2 <= -0.5 multiplicando por -1 se tiene x2 >= 0.5 entonces x2=0.5

5x1 - 7x2 = 18

Si x1=0 entonces x2=2.5714, la coordenada es ( 0, 2.5714)

Si x2=0 entonces x1=3.6 , la coordenada es (3.6 , 0 )

Gráfica de la Función Objetivo

Posición Inicial:

-4x1 + 7x2 = (-4)(7)

Si x1=0 entonces x2= -4, la coordenada es (0,-4)

Si x2=0 entonces x1= 7 , la coordenada es (7,0)

Orientación:

Se acerca al origen.

Se acerca al origen. X2 (II)

Se aleja del origen.

Se aleja del origen. (IV)

(I)

1 B (III)

0.5 C

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x1

-1

Punto C: Intersección de I y III:

6X1 +7X2 =10 -2

X2=0.5

-3

X1= 1.08333

Entonces la coordenada es: -4 POSICION INICIAL DE LA F.O.

(1.08333,0.5)

PUNTOS COORDENADAS MAX. -4X1+7X2

A ( 0 , 0.5 ) -4(0) + 7(0.5)=3.5

B ( 0 , 1 ) -4(0) + 7(1) = 7

C (1.08333, 0.5 ) -4(1.08333)+7(0.5)=-0.833

El punto optimo es el punto B entonces el valor de la F.O. es 7

Ubicación final de la Función Objetivo:

-4x1 + 7x2 = 7

Si x1=0 despejando x2= 1 , entonces las coordenadas son ( 0, 1 )

Si x2=0 despejando x1= -1.75, entonces las coordenadas son ( -1.75,0)

La gráfica final queda:

X2 (II) POSICION FINAL DE LA F.O.

. (IV)

(I)

1 B (III)

0.5 C

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x1

-1

-2

-3

-4 POSICION INICIAL DE LA F.O.

-5

Respuesta: x1=0, x2=1 el valor de la función objetivos es 7.

Grafique los siguientes ejemplos:

1.- MAXIMIZAR : 9X1 - 10X2 2.- MINIMIZAR 4X1 + 12X2

SUJETO A: SUJETO A:

-3X1 + 6X2 <=-10 - 4X1 -7X2 <= -40

-3X1 - 7X2 >= -12 X1<=3

X2 <=13 X2<=5

X1 >= 2 -X1 - X2 >= -20

X1>=0 , X2>=0 X1>=1

Rpta. X1=4 , X2=0 , Z=36 x1>=0 , x2>=0

Rpta. X1=3 , X2=4 , Z=60

3.- MAXIMIZAR 7X1 + 6X2 4.- MINIMIZAR 5X1 + 9X2

SUJETO A: SUJETO A:

-6X1 - 6X2 >= -45 - 9X1 - 6X2 <= -12

-4X1 - 6X2 <= - 3 5X1 - 4X2 <= 3

-X1 + X2 <= - 5 -X1 <= - 4

X2 <= 3 -X2 >= -10

X1>=0, X2>=0 X1 - X2 <= 12

Rpta. X1=7.5 , X2=0 , Z= 52.5 X1 >=0, X2>=0

Rpta. X1=4 , X2=4.25 , Z=58.25

5.- MAXIMIZAR 6X1 + 8X2 6.- MINIMIZAR X1 + X2

SUJETO A: SUJETO A:

-5X1 -7X2 <= -35 X1 + X2 >= 1

4X1 - 6X2 <= 45 - X1 + X2 >= -12

X1 + 5X2 <= 23 -2X1 + 3X2 >=-15

X1 - X2 >= 3 3X1 + 5X2 >=12

X1>=0, X2>=0 X1>=0, X2>=0

Rpta. X1=13.961538 , X2=1.807692 Rpta. X1=0 , X2=2.4 , Z=2.4

Z=98.23077

7.- MAXIMIZAR 60X1 + 70X2 8.- MINIMIZAR 6X1 - 8X2

SUJETO A: SUJETO A:

5X1 + 7X2 <= 300 4X1 - 8X2 <= 34

3X1 - 6X2 >= 2 -2X1 + 5X2 <= - 4

X1 <= 50 -2X1 - 5X2 >=- 46

3X1 - 5X2 >=15 X1 >= 2

X2>=15 X2 <=10

X1>=0 , X2>=0 X1>=0 , X2>=0

Rpta. X!=39 , X2=15 , Z=3390 Rpta. X1=2 , X2=0 , Z=12

9.- MAXIMIZAR X1 + X2 10.- MINIMIZAR X1-X2

SUJETO A: SUJETO A:

3X1 + 7X2 >= 3 - 4X1 + 5X2 <= -2

-4X1 -7X2 >= -15 - 4X1 - 7X2 >= -19

-3X1 - 7X2<= -2 X1>=3

4X1 + 6X2 <= 15 2X1 + 5X2 <= 20

-3X1 + 6X2 >= -12 X2 <= 3

X2>=2 - X1 - 5X2 >= -20

X1>=0 , X2>=0 X1>=0 , X2>=0

Rpta. X1=0.25 ,X2=2, Z=2.25 Rpta. X1=3 , X2=1, Z=2

CAPITULO III

GRAFICAS CON LADOS DERECHOS CON VALOR DE CERO

.- GRAFICAS CON LADOS DERECHOS CON VALOR DE CERO

La variedad de gráficas muchas veces nos lleva a toparnos con restricciones que después de realizar el modelo de programación lineal donde los lados derechos deben considerarse como valores numéricos nos enfrentamos a modelos como por ejemplo:

x1- x2 <=0, x1 +x2 >=0 , x1 + 3x2 = 0

Estas restricciones aparecen en la mayoría de los casos cuando se tienen problemas de mezcla, por ejemplo

si deseamos como mínimo que x1 sea el 60% de la mezcla total la restricción quedaría:

>= 0.60

x1 +x2

Realizando las operaciones: x1 >= 0.60(x1 + x2)

entonces: x1 -0.60x1-0.60x2>=0

la restricción queda: 0.40x1 - 0.60x2 >=0

Este tipo de restricciones tiene otra manera de graficar y por lo tanto de orientación.

Para restricciones de la forma : ax1 + bx2 >=0

Ejemplo:

4x1 + 8x2 >=0

Igualando:

4x1+ 8x2=0

4x1= -8x2

despejando:

x1= -2x2

Tabulando:

-2 x2 x1 Coordenadas

(x1,x2)

Si -2(0) 0 ( 0, 0)

Si -2(1) -2 (-2,1)

Si -2(2) -4 (-4,2)

La gráfica queda: 2

-4 -3 -2 -1 0 x1

Orientación:

4x1 + 8x2 >=0

Se toma un punto exterior a la línea trazada ( es decir que no pertenece a ella) por ejemplo: (0,2) , reemplazando en la restricción: 4(0) + 8(2)>=0

entonces: 16 >=0 si, la recta es orientada al punto (0,2)

La gráfica final queda:

REGION

FACTIBLE x2

: 2

-4 -3 -2 -1 0 x1

Para restricciones de la forma -3x1 + 9x2>=0

Igualando: -3x1 + 9x2=0

-3x1= -9x2

despejando: x1= 3x2

Tabulando:

3x2 x1 Coordenadas

(x1,x2)

Si 3(0) 0 (0,0)

Si 3(1) 3 (3,1)

Si 3(2) 6 (6,2)

La gráfica queda:

0 1 2 3 4 5 6 7 x1

Orientación: Tomando el punto (1,0) como punto de orientación:

- 3x1 + 9x2 >=0

Reemplazando: -3(1) + 9(0) >=0

-3 >=0 ,no entonces la recta se orienta hacia el lado opuesto de este punto.

Gráfica final:

REGION FACTIBLE

0 1 2 3 4 5 6 7 x1

Para restricciones de la forma 6x1 - 4x2 <= 0

Igualando: 6x1 - 4x2 = 0

despejando: x2

6x1 =4x2 Gráfica Inicial:

x1= (4/6)x2 12

Tabulando: 10

(4/6) x2 x1 Coordenadas 8

(x1,x2) 7

Si (4/6)0 0 ( 0, 0) 5

Si (4/6)6 4 (4, 6) 4

Si (4/6)12 8 (8,12) 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1

Utilizando un punto de orientación por ejemplo (0,5), reemplazando este punto en la restricción

6x1 - 4x2 <= 0

6(0) - 4 (5) <= 0

-20 <=0 si , como cumple la restricción se orienta hacia este punto.

Gráfica Final:

: 10 REGION

9 FACTIBLE

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1

Entonces ahora que ya tenemos la noción de como graficar las restricciones cuyos lados derechos tienen valor de cero, vamos a resolver los siguientes ejemplos:

Ejemplo 11

Max 8x1 + 4x2

sujeto a:

x1 <= 4

-x1 + x2 >=0

2x1 + 5x2 <= 10

x1 >=0 , x2>=0

Solución:

(I) x1= 4

-x1 + x2 =0

Despejando: x2=x1

Tabulando:

x1 x2 Coordenadas

(x1,x2)

0 0 ( 0,0)

1 1 (1,1)

2 2 (2,2)

Utilizando al punto (0,2) como punto de orientación se reemplaza en la restricción:

-1(0) + 1(2) >=0

entonces 2 >=0 si cumple, entonces la restricción debe orientarse a este punto.

2x1 + 5x2 = 10

Si x1=0 despejando x2= 2, entonces las coordenadas son (0,2)

Si x2=0 despejando x1=5 , entonces las coordenadas son (5,0)

Orientación:

Se acerca al origen.

Se acerca al punto (0,2).

Se acerca al origen.

Ubicación Inicial de la F.O.

8x1 + 4x2 = (8)(4)

Si x1=0 entonces x2=8, las coordenadas son (0,8)

Si x2=0 entonces x1= 4, las coordenadas son (4,0)

Gráfica Inicial:

3 (II) (I)

1 C

0 1 2 3 4 5 x1

(III)

POSICION

INICIAL DE LA F.O

Hallando el punto C que es la intersección de II y III:

-x1+x2=0 (2)

2x1+5x2=10

7x2= 10

despejando: x2= 10/7 , reemplazando este valor en (II)

-x1+ 10/7 =0

despejando: x1=10/7

Entonces:

PUNTOS COORDENADAS MAX. 8X1+ 4X2

A ( 0 , 0 ) 8(0) + 4(0) = 0

B ( 0 , 2 ) 8(0) + 4(2) =8

C (10/7 ,10/7 ) 8(10/7)+4(10/7)=17.1428

Punto óptimo: es el punto C , trasladando la función objetivo para que pase por ese punto:

8x1 + 4x2 = 17.1428

Si x1=0 despejando x2=4.2857, entonces la coordenada es (0,4.2857)

Si x2=0 despejando x1= 2.14285, entonces la coordenada es ( 2.14285 , 0)

La Gráfica final queda:

Gráfica Final:

3 (II) (I)

1 C

0 1 2 3 4 5 x1

(III)

POSICION

INICIAL DE LA F.O

POSICION

FINAL DE LA F.O.

Respuesta: x1= 10/7 , x2= 10/7 , el valor de la F.O. es : 17.1428

EJEMPLO 12:

Minimizar 6x1 - 5x2

sujeto a:

- 4x1 - 5x2 <= - 20

2x1 -3 x2 >=0

x1 <= 6

x1>=0 , x2>=0

Solución:

-4x1 - 5x2 <= -20 , multiplicando por -1 se tiene 4x1+5x2>=20, entonces:

4x1 + 5x2 = 20

Si x1=0 despejando x2=4 , entonces la coordenada es: (0,4)

Si x2=0 despejando x1=5, entonces la coordenada es: (5,0)

2x1 - 3x2 =0

despejando : 2x1=3x2

entonces: x1= 1.5x2

Tabulando:

1.5 x2 x1 Coordenada

Si 1.5( 0) 0 (0,0)

Si 1.5( 1) 1.5 (1.5,1)

Si 1.5(2) 3 (3,2)

(III) x1= 6

Orientación:

Utilizando el punto (0,5) como punto de orientación se tiene:

2x1 - 3x2 >=0

2(0) - 3(5) >=0

-15 >=0 no , entonces la restricción de orientarse al lado opuesto de (0,5)

Orientación:

se aleja del origen.

Se aleja del punto (0,5)

Se acerca al origen.

Ubicación inicial de la F.O:

6x1 - 5x2 = ( 6)(-5)

Si x1=0 despejando x2= 6, entonces la coordenada es: (0,6)

Si x2=0 despejando x1= -5, entonces la coordenada es: (-5,0)

Gráfica Inicial: x2

(I) (III)

POSICION INICIAL 3 (II)

DE LA F.O.

2 REGION

A FACTIBLE

D C

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x1

Hallando punto A:

Intersección de I y II: 4x1 + 5x2=20

2x1 - 3x2=0 (-2)

11x2= 20

x2= 1.8181, reemplazando en (I) 4x1 + 5(1.8181)=20

se tiene x1=2.7272 , entonces la coordenada es: (2.7272 , 1.8181)

Hallando punto B:

Intersección de II y III: 2x1 - 3x2=0

x1=6

2(6) - 3x2 =0

despejando: x2=4 , entonces la coordenada es: (6, 4)

Punto C: (6,0)

Punto D: (5,0)

PUNTOS COORDENADAS MIN 6X1 - 5X2

A (1.8181 , 2.7272) 6(2.7272) - 5(1.8181)= 7.2727

B ( 6, 4 ) 6(6) - 5(4) = 16

C (6.0) 6(6) - 5(0) = 36

D (5,0) 6(5) - 5(0) = 30

Punto optimo: A

Posición Final de la F.O.

6x1 - 5x2 = 7.2727

Si x1=0 despejando x2= -1.45454 , entonces la coordenada es: (0, -1.45454)

Si x2=0 despejando x1=1.2121 , entonces ;a coordenada es: ( 1.2121, 0)

Gráfica Final:

5 POSICION FINAL

(I) (III) DE LA F.O.

POSICION INICIAL 3 (II)

DE LA F.O.

2 REGION

A FACTIBLE

D C

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x1

-1

Respuesta: X1= 1.8181 , x2= 2.7272 el valor de la F.O. es: 7.2727

Ejemplo 13:

Maximizar 7x1 - 8x2

sujeto a:

x1 - 2x2 >=0

x1 - 3x2 <=0

2x1 + 4x2 <= 10

X1>=0 , X2>=0

Solución:

x1 - 2x2=0

despejando: x1= 2x2

Tabulando:

2 x2 x1 Coordenadas

Si 2(0) 0 (0,0)

Si 2(1) 2 (2,1)

Si 2(2) 4 (4,2)

Si tomamos a (0,5) como punto de referencia se tiene:

1(0) - 2(5) >=0

entonces: -10 >=0 , no cumple , entonces la restricción no se orienta hacia el punto (0,5).

(II) x1 - 3x2 =0

despejando: x1= 3x2

Tabulando:

3x2 x1 Coordenadas

Si 3(0) 0 (0,0)

Si 3(1) 3 (3,1)

Si 3(2) 6 (6,2)

Tomando el punto (0,2) como punto de referencia se tiene:

- 3(2) <=0

entonces: -6 <=0, si cumple , entonces la restricción se acerca del punto (0,2).

(III)

2x1 + 4x2 = 10

Si x1=0 despejando x2=2.5 ,entonces la coordenada es: (0,2.5)

Si x2=0 despejando x1=5 ,entonces la coordenada es: (5,0)

Orientación:

Se aleja del punto (0,5)

Se acerca al punto ( 0,2)

(III) Se acerca al origen.

Ubicación Inicial de la Función Objetivo:

7x1 - 8x2 =(7)(-8)

Si x1=0 despejando x2=7 , entonces la coordenada es: (0,7)

Si x2=0 despejando x1=-8, entonces la coordenada es: (-8,0)

Gráfica Inicial:

POSICION 6

INICIAL DE LA

F.O. 5

4 (I)

(III)

2 (II)

1 C

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X1

Puntos Extremos:

A: (0,0)

B: Intersección de I y III hallando las coordenadas de este punto por ecuaciones simultaneas:

x1 - 2x2=0 (-2)

2x1 +4x2=10

8x2=10

despejando: x2=1.25

Reemplazando en (I): x1 - 2(1.25)=0

x1=2.50, entonces la coordenada es (2.50 ,1.25)

C: Intersección de II y III, hallando las coordenadas de este punto por ecuaciones simultaneas:

x1 - 3x2=0 (-2)

2x1 + 4x2=10

10x2= 10

entonces: x2=1, reemplazando en II :

x1 - 3(1)=0

entonces: x1=3, por lo tanto la coordenada es (3,1)

PUNTOS COORDENADAS MAXIMIZAR 7X1 - 8X2

A (0,0) 7(0) - 8(0) =0

B (2.50 , 1.25) 7(2.50) - 8(1.25)= 7.5

C (3,1) 7(3) - 8(1) =13

El punto óptimo es C, por lo que trasladando la F.O. hacia ese punto se tiene:

7x1 - 8x2=13

Si x1=0 , despejando: x2=-1.625 , entonces la coordenada es : (0, -1.625)

Si x2=0 , despejando : x1=1.857 , entonces la coordenada es: (1.857 , 0)

La gráfica Final es:

POSICION 6

INICIAL DE LA

F.O. 5 POSICION FINAL DE LA F.O.

4 (I)

(III)

2 (II)

1 C

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 X1

-1

Rpta. X1=3 , X2=1, Valor de F.O. Z=13

Ejemplo 14:

Maximizar 3x1 + 2x2

sujeto a:

-2x1 + x2>=0

-3x1 + 6x2 >=-10

x1 >=-5

-4x1+7x2<=28

x1>=0 , X2>=0

Solución:

-2x1 + x2 = 0

Despejando: x2=2x1

Tabulando:

2x1 x2 Coordenadas

Si 2(0) 0 (0,0)

Si 2(1) 2 (1,2)

Si 2(2) 4 (2,4)

Utilizando el punto (0,5) como punto de referencia y reemplazando en la restricción:

-2(0) + 5 >=0

entonces: 5>=0 si cumple, por lo tanto la restricción se orienta hacia el punto (0,5)

-3x1 + 6x2 >=-10 , multiplicando por -1 se tiene: 3x1 - 6x2<= 10 , entonces:

3x1 - 6x2=10

Si x1=0 despejando x2= -1.667 , entonces las coordenadas son: (0, -1.667)

Si x2=0 despejando x1= 3.333 , entonces las coordenadas son: ( 3.333 , 0)

x1 >=-5 , multiplicando por -1 se tiene -x1 <= 5, entonces:

5,4,3,2,1,0….están comprendidos en esta restricción.

-4x1+7x2=28 ,

Si x1=0 despejando x2=4, entonces las coordenadas son: (0,4)

Si x2=0 despejando x1= -7 , entonces las coordenadas son: ( -7,0)

Orientación:

se orienta hacia (0,5)

Se acerca al origen.

Se acerca a los puntos 5,4,3,2,1,0…

Se acerca al origen.

Posición Inicial de la Función Objetivo:

3x1 + 2x2= (3)(2)

Si x1=0 despejando x2=3 , las coordenadas son: (0,3)

Si x2=0 despejando x1= 2 , las coordenadas son: (2,0)

Gráfica Inicial: (III)

POSICION INICIAL

DE LA F.O. 5

(IV)

4 ( I )

B REGION

3 FACTIBLE

1 (II)

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X1

-1

-2

Puntos Extremos:

A es la intersección de (I ) y ( IV), despejando por ecuaciones simultaneas:

-2X1 + X2=0 (-7)

(IV) -4X1 + 7X2 =28

10x1 = 28

despejando: x1=2.8, reemplazando en (I):

-2(2.8) + x2=0

entonces: x2= 5.6 , la coordenada es: ( 2.8 , 5.6)

B : (0,4)

C : (0,0)

PUNTOS COORDENADAS MAXIMIZAR 3X1 + 2X2

A (2.8,5.6) 3(2.8) + 2(5.6) =19.6

B (0 , 4) 3(0) +2(4)= 8

C (0,0) 3(0) + 2(0) =0

El punto óptimo es A , entonces trasladando la Función Objetivo a este punto se tiene:

3x1 + 2x2 = 19.6

Si x1=0 despejando x2=9.8 , entonces las coordenadas son: ( 0, 9.8)

Si x2=0 despejando x1=6.533 , entonces las coordenadas son: (6.5333, 0)

La gráfica final es: 9

7 (III)

6 A

POSICION INICIAL

DE LA F.O. 5

(IV)

4 ( I )

B REGION

3 FACTIBLE

POSICION FINAL

DE LA F.O.

1 (II)

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 X1

-1

-2

Rpta. X1=2.8 , X2=5.6 , el valor de la F.O. es Z=19.6

Ejemplo 15.-

Minimizar 6x1 - 5x2

sujeto a:

x1 <= 4

5x1 - 4x2=0

x2<=5

2x1 + 3x2 >=6

x1>=0 , x2>=0

Solución:

x1=4 , valores como 4,3,2,1,0 cumplen la restricción.

5x1 - 4x2 = 0

despejando: 5x1=4x2

entonces: x1= 4x2/5 , luego : x1= 0.8x2

0.8x2 x1 Coordenadas

Si 0.8(0) 0 (0,0)

Si 0.8(1) 0.8 (0.8,1)

Si 0.8(5) 4 (4,5)

Como la restricción tiene orientación de igualdad entonces en la gráfica solo se considera la línea trazada.

x2=5 , valores como 5,4,3,2,1,0 cumplen la restricción.

2x1 + 3x2=6

Si x1=0 despejando x2= 2 , entonces las coordenadas son: (0,2)

Si x2=0 despejando x1=3, entonces las coordenadas son: (3,0)

Orientación:

Valores como 4,3,2,1,0 cumplen la restricción.

La línea trazada.

Valores como 5,4,3,2,1,0 cumplen la restricción.

Se aleja del origen.

Posición Inicial de la Función Objetivo:

6x1 - 5x2 = (6)(-5)

Si x1=0 despejando x2=6, entonces las coordenadas son: (0,6)

Si x2=0 despejando x1= -5, entonces las coordenadas son: (-5,0)

Gráfica Inicial:

POSICION INICIAL DE LA B

F.O. 5

(III)

(II)

(IV) (I)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Por tener la (II) como dirección una igualdad (=) , entonces la región factible es un segmento.

Punto A : Intersección de (II) y (IV)

Hallando las coordenadas por ecuaciones simultaneas:

5x1 - 4x2=0 (3)

2x1 + 3x2=6 (4)

23 x1 = 24

x1 =1.043

Reemplazando en (II):

5(1.043) - 4x2=0

- 4x2=0

5.215= 4x2

entonces: x2=1.30375

las coordenadas son: (1.043 , 1.30375)

Punto B: (4,5)

PUNTOS CORDENADAS MINIMIZAR0 6X1 - 5X2

A (1.043 , 1.30375) 6(1.043) - 5(1.30375) = -0.26075

B (4,5) 6(4) - 5(5) = -1

Entonces el punto optimo es: B con valor -1, trasladando la función Objetivo para que pase por el punto optimo se tiene:

6x1 - 5x2 = -1

si x1=0 despejando x2=-0.20 , entonces las coordenadas son: ( 0,-0.20)

Si x2=0 despejando x1=-0.1666 , entonces las coordenadas son : (-0.1666,0)

Gráfica Final:

POSICION FINAL

6 DE LA F.O.

POSICION INICIAL DE LA B

F.O. 5

(III)

(II)

(IV) (I)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Rpta. X1=4 , X2=5 , el valor de la F.O. es Z= -1

EJERCICIOS:

1.- MAXIMIZAR X1 + 6X2 2.- MINIMIZAR 4X1 + 5X2

SUJETO A: SUJETO A:

3X1 - 4X2<=0 2X1 + 6X2 >=3

3X1 + X2 >=1 3X1 - 4X2<=0

-X2 >= -12 4X1 + 6X2 >=0

X1>=1 X2<=15

X1<=20

X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0

Rpta. X1=16 , X2=12 , F.O. Z=88 Rpta. X1=0 , X2=0.50 , F.O. Z=2.50

3.- MAXIMIZAR 3X1 + 6X2 4.- MAXIMIZAR 6X1 + 8X2

SUJETO A: SUJETO A:

X2 <= 12 5X1 - 6X2 <=0

X1<=5 -X1 - 6X2 <= -2

X1 - 4X2 =0 X2 <= 15

X1 <= 20

X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0

Rpta. X1=5 , X2=1.25 , F.O. Z=22.5 Rpta. X1=18 , X2=15 , F.O. Z=228

5.- MINIMIZAR 6X1 + 9X2 6.- MINIMIZAR 5X1 + 6X2

SUJETO A: SUJETO A:

5X1 + 6X2 <= 120 3X1 + 6X2 >= 12

4X1 - 6X2 >=0 4X1 - 6X2 <=0

-X1 >= -10 X2>= 12

X2 >= 1 X1 + 4X2 >= 1

X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0

Rpta. X1=1.50 , X2=1 . F.O. Z=18 Rpta. X1=0 , X2=12, F.O. Z=72

7.- MAXIMIZAR 10X1 + 12X2 8.- MINIMIZAR 7X1 - 7X2

SUJETO A: SUJETO A:

6X1 + 7X2 >= 10 4X1 - 5X2 >=0

5X1 - 5X2 <=0 X1 -3X2 <=0

X1>=1 X1>=2

X2 <= 12 X2 <=10

2X1 + 4X2 >=0

X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0

Rpta. X1=12 ,X2=12 ,F.O. Z=264 Rpta. X1=2, X2=1.6 . F.O. Z=2.8

9.- MAXIMIZAR 5X1 + 6X2 10.- MINIMIZAR X1 - X2

SUJETO A: SUJETO A:

5X1 - 6X2 >=0 -2X1 - 5X2 <= -2

-X1 >= -19 3X1 - 4X2 >= -12

-2X1-7X2 >= -10 3X1 - 4X2 <=0

X2 >= 1 X2 <= 10

X1>=0 ,X2>=0 X1>=0 , X2>=0

Rpta. X1=5.5. , X2=1 , F.O. Z=33.5 Rpta. X1=0 , X2=10 , F.O. Z= -10

3. Bibliografía

1. BASICA:

HILLIER, Frederick & LIEBERMAN, Gerarld J. Introducción a la Investigación de Operaciones. 6ª ed. México: McGraw-Hill Interamericana Editores, 1996. 830 p. ISBN: 9701010221

(DIS/003/H54A)

TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones. 6ª ed. México: Prentice-Hall Iberia, S. R. L., 1998. 916 p. ISBN: 9701701666

(DIS/003/T13N)

MATHUR, Kamlesh & SOLOW, D. Investigación de Operaciones. El Arte de la Toma de Decisiones. 1ª ed. España: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. ISBN: 9688806986

(003/M28/E1)

WINSTON , Wayne L. Investigación de Operaciones Aplicaciones y Algoritmos. 1ª ed. México: Grupo Editorial Iberoamericana, S. A. de C. V., 1998. 1417 p. ISBN: 9706250298

(003/W71)

4. Acerca del Autor

Ing. Santiago Javez Valladares, es ingeniero Industrial ,nacido en Cartavio-Peru, dedicado a la Investigación de Operaciones desde 1994 , ha tenido la oportunidad de brindar asesoria a alumnos de diferentes universidades a nivel pre y post grado ,difundiendo la Investigación de Operaciones.

Es asesor de tesis referente al tema e investigador inagotable acerca de cómo hacer mas facil la difusión de esta disciplina.

Actualmente esta trabajando en fusionar los temas estocasticos con los deterministicos para hacer mas viable los modelos lineales.

5. Pais : PERU

Ciudad: Cartavio

Fecha: 18 abril 2006

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Enviado por:	Santiago Javez Valladares
Idioma:	castellano
País:	Perú

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Ingeniero industrial Fundamentos matemáticos Modelos matemáticos Modelo de programación lineal Soluciones gráficas Gráficos Variables Región factible Coordenadas Tipos de gráficas

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