Método simplex

Investigación de operaciones. Ecuaciones. Gráficas

  • Enviado por: Jeremy
  • Idioma: castellano
  • País: México México
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EL METODO SIMPLEX

Hasta ahora se han resuelto problemas de programación lineal a través de un método geométrico. Este método no resulta práctico cuando el número de variables se aumenta a tres, y con más variables resulta imposible de utilizar. Ahora se examinará una técnica diferente, el método simplex, cuyo nombre está asociado en análisis más avanzados a un objeto geométrico al que se denomina simplex.

El método simplex comienza con una solución factible y prueba si es o no óptima. Si no lo es, el método sigue a una mejor solución. Se dice mejor en el sentido de nueva solución no es óptima, entonces se repite el procedimiento. En algún momento el método simplex conduce a una solución óptima, si es que existe.

Además de ser eficiente, dicho método tiene otras ventajas. Es completamente mecánico (se utilizan matrices, operaciones elementales sobre renglones y aritmética básica). Asimismo, no implica el uso de geometría. Esto permite resolver problemas de programación lineal que tiene cualquier número de restricciones y variables.

El problema normal de programación lineal es de la forma.

Maximizar Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + ...................+ C n X n

Sujeto a: a 11x 1 + a 12 x 2 + ............................ a 1 n x n Método simplex
b 1

a 12x 1 + a 22 x 2 + ............................ a 2 n x n Método simplex
b 2

a m1x 1 + a m2 x 2 + ............................ a m n x n Método simplex
b m

En donde x1 , x 2,..........x n y b 1 , b 2 , ................b m son no negativas.

Para aplicar el método simplex tenemos un ejemplo.

Maximizar Z = 3 x 1 + x 2

s.a. 2 x 1 + x 2 Método simplex
8

2 x 1 + 3x 2 Método simplex
12

x 1 , x 2 Método simplex
0

Se comienza expresar las restricciones en forma de ecuaciones. En la restricción 1 tenemos

2 x 1 + x 2 Método simplex
8 será igualdad si se añade algún número no negativo s 1 quedando.

2 x 1 + x 2 + s 1 = 8

a s 1 se le denomina variable de holgura puesto que absorbe la holgura o falta de consistencia que existe en el lado izquierdo de modo similar, la otra restricción puede escribirse:

2 x 1 + 3x 2 + s 2 = 12 a las variables x 1 , x 2 se les denomina variables estructurales. Ahora puede replantearse el problema en términos de ecuaciones:

maximizar Z = 3 x 1 + x 2

s.a. 2 x 1 + x 2 + s 1 = 8

2 x 1 + 3x 2 + s 2 = 12

La solución gráfica para este problema es:

(0,4)

(3,2)

(0,0) (4,0)

En el vértice (0,0) las dos variables valen cero. Por lo tanto, Z = 0

En cualquier vértice hay una solución factible. Básica (S.F.B.) de las cuatro variables al menos dos de ellas serán cero. Este 2 resulta de hacer una resta de m - n donde m es el número de restricciones y n él numero de variables del problema. m = 2 y n = 4 ; 4 - 2 = 2 . Para cualquier S:F.B. las dos variables que son iguales a cero sé denominar variables no básicas, en tanto que a las otras variables se denominan variables básicas para SFG.

La mejor forma de hacer este proceso es a través de técnicas matriciales que se basan en los métodos desarrollados en él capitulo inicial.

La ecuación o función objetivo se iguala a cero quedando:

Z - 3 x 1 - x 2 = 0

Resumiendo el problema queda:

Z - 3 x 1 - x 2 = 0

2 x 1 + x 2 + s 1 = 8

2 x 1 + 3 x 2 + s 2 = 12

estos datos se incorporan a una tabla que tendrá las siguientes columnas:

variable número coeficientes lado

básica de ecuación Z X 1 X 2 S 1 S 2 D