Método Newton-Raphson
Proceso iterativos. Polinomios. Raíces del polinomio. Tiempo. Intervalo de interés. Función seno y exponencial
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Problema resuelto
Problema 2.5
En la función
t es el tiempo, y el intervalo de interés es t > 0.
La función seno es oscilatoria, afectada de la función exponencial. Tiende a cero cuando t tiene valores superiores a 1; se lleva tanto sus factores como la función F(t) a dicho valor, con lo cual la gráfica de F(t) se confunde con el eje t para .
Estas funciones son conocidas como oscilatorias amortiguadas.
Si el exponente de e es positivo, al tender t a infinito, la función es creciente y tiende rápidamente a infinito; esta función de conoce como función oscilatoria no amortiguada.
Ahora se dan algunos valores a t en la función:
| t | f(t) |
| 0 | -1,00106744 |
| 0,2 | 0,1048814 |
| 0,4 | 0,04373517 |
| 0,6 | -0,0227016 |
| 0,8 | 0,00477763 |
| 1 | -4,2281E-05 |
Así con estos valores graficamos para observar:
Estos valores señalan la presencia de raíces reales en los intervalos (0,0.2), (0.4,0.6), (0.6,0.8) y (0.8,1.0).
Luego pues, aplicamos el método de Newton-Raphson para encontrar las raíces en cada uno de los intervalos.
Utilizando la primera derivada de la función que es:
Utilizando la fórmula:
| Intervalo (0,0.2) | |||||
| t | F(t) | F'(t) | ea | er | ep |
| 0,1 | -0,45195045 | 7,84918551 | |||
| 0,15757928 | -0,06523934 | 5,2485353 | 0,05757928 | 0,3653988 | 36,5398801 |
| 0,17000929 | -0,00450956 | 4,52093195 | 0,01243001 | 0,0731137 | 7,31137024 |
| 0,17100677 | -2,9291E-05 | 4,46220075 | 0,00099749 | 0,00583302 | 0,58330153 |
| 0,17101334 | -1,2686E-09 | 4,46181423 | 6,5643E-06 | 3,8385E-05 | 0,0038385 |
| 0,17101334 | 1,2584E-16 | 4,46181422 | 2,8432E-10 | 1,6626E-09 | 1,6626E-07 |
| 0,17101334 | -4,7963E-17 | 4,46181422 | 2,7756E-17 | 1,623E-16 | 1,623E-14 |
| 0,17101334 | -4,7963E-17 | 4,46181422 | 0 | 0 | 0 |
| Intervalo (0.4,0.6) | |||||
| t | F(t) | F'(t) | ea | er | ep |
| 0,5 | -0,02552511 | -0,24887142 | |||
| 0,39743657 | 0,04667494 | -1,15610121 | 0,10256343 | 0,2580624 | 25,8062397 |
| 0,43780928 | 0,00672327 | -0,80750436 | 0,04037271 | 0,09221529 | 9,2215292 |
| 0,44613527 | 0,00033008 | -0,72812975 | 0,00832599 | 0,01866248 | 1,86624756 |
| 0,44658859 | 9,8171E-07 | -0,72379864 | 0,00045333 | 0,00101509 | 0,10150903 |
| 0,44658995 | 8,7878E-12 | -0,72378568 | 1,3563E-06 | 3,0371E-06 | 0,00030371 |
| 0,44658995 | -3,1234E-17 | -0,72378568 | 1,2141E-11 | 2,7187E-11 | 2,7187E-09 |
| 0,44658995 | 2,5156E-17 | -0,72378568 | 5,5511E-17 | 1,243E-16 | 1,243E-14 |
| 0,44658995 | -3,1234E-17 | -0,72378568 | 5,5511E-17 | 1,243E-16 | 1,243E-14 |
| 0,44658995 | 2,5156E-17 | -0,72378568 | 5,5511E-17 | 1,243E-16 | 1,243E-14 |
| Intervalo (0.6,0.8) | |||||
| t | F(t) | F'(t) | ea | er | ep |
| 0,7 | -0,00298091 | 0,15126648 | |||
| 0,71970633 | -0,00029375 | 0,12122588 | 0,01970633 | 0,02738107 | 2,73810731 |
| 0,72212952 | -4,5493E-06 | 0,11747079 | 0,00242318 | 0,00335561 | 0,33556084 |
| 0,72216824 | -1,1622E-09 | 0,11741077 | 3,8727E-05 | 5,3627E-05 | 0,00536265 |
| 0,72216825 | -6,5918E-17 | 0,11741076 | 9,8987E-09 | 1,3707E-08 | 1,3707E-06 |
| 0,72216825 | -1,1033E-17 | 0,11741076 | 5,5511E-16 | 7,6867E-16 | 7,6867E-14 |
| 0,72216825 | 7,262E-18 | 0,11741076 | 1,1102E-16 | 1,5373E-16 | 1,5373E-14 |
| 0,72216825 | -1,1033E-17 | 0,11741076 | 1,1102E-16 | 1,5373E-16 | 1,5373E-14 |
| Intervalo (0.8,1.0) | |||||
| t | F(t) | F'(t) | ea | er | ep |
| 0,9 | 0,00285866 | -0,0348708 | |||
| 0,98197861 | 0,00033146 | -0,02298212 | 0,08197861 | 0,08348309 | 8,34830928 |
| 0,99640129 | 2,585E-05 | -0,01938429 | 0,01442268 | 0,01447477 | 1,44747656 |
| 0,99773482 | 2,2353E-07 | -0,01904904 | 0,00133353 | 0,00133656 | 0,13365611 |
| 0,99774655 | 1,731E-11 | -0,01904609 | 1,1735E-05 | 1,1761E-05 | 0,00117612 |
| 0,99774656 | 6,1406E-19 | -0,01904609 | 9,0884E-10 | 9,1089E-10 | 9,1089E-08 |
| 0,99774656 | 6,1406E-19 | -0,01904609 | 0 | 0 | 0 |
Entonces encontramos que las raíces son
Que es el tiempo donde la función se vuelve cero.
