Método de Simpson

Matemáticas. Funciones. Gráfico de una función. Solución numérica

  • Enviado por: Jose Arturo Hernández Cruz
  • Idioma: castellano
  • País: México México
  • 4 páginas
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MÉTODO DE SIMPSON.

Cálculo de áreas:

Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma al graficar una función. Por ejemplo, se necesita calcular el área A que aparece en la siguiente figura:

'Método de Simpson'

en donde la función f(x) y los valores a y b son conocidos.

En este tipo de problemas se pueden obtener dos tipos de soluciones:

  • Soluciones algebraicas: se obtiene una fórmula precisa y exacta para el área solicitada.

  • Soluciones numéricas: se calcula numéricamente una estimación del área.

Desde luego, la soluciones algebraicas son mejores que las numéricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o difícil) obtener la solución algebraica, por lo que una solución numérica permite ahorrar tiempo.

El método de Simpson.

En este procedimiento, se toma el intervalo de anchura 2h, comprendido entre xi y xi+2, y se sustituye la función f(x) por la parábola que pasa por tres puntos (xi, yi), (xi+1, yi+1), y (xi+2, yi+2). El valor del área aproximada, sombreada en la figura, se calcula con un poco más de trabajo y el resultado es

'Método de Simpson'

'Método de Simpson'

La simple inspección visual de esta figura y la que describe el procedimiento de los trapecios nos confirma que el método de Simpson deberá ser mucho más exacto que el procedimiento del trapecio. El área aproximada en el intervalo [a, b] es

'Método de Simpson'

bien, agrupando términos

'Método de Simpson'

El primer paréntesis, contiene la suma de los extremos, el segundo, la suma de los términos de índice impar, y el tercero la suma de los términos de índice par. En el método de Simpson, el número de divisiones n debe de ser par. En el caso de que el usuario introduzca un número impar el programa lo convierte en el número par siguiente.

Ejemplo: Usando la regla de Simpson con n=2 y n=4 aproximamos:

'Método de Simpson'

cuyo valor exacto es 'Método de Simpson'
correcto al número de cifras mostradas. Para n=2 tenemos que h=(2-1)/2=0.5, x0=1, x1=1.5, x2=2. Ahora

'Método de Simpson'

Con n=4 tenemos h=(2-1)/4=0.25, x0=1, x1=1.25, x2=1.5, x3=1.75, x2=2, de modo que

'Método de Simpson'

Obtuvimos los siguientes resultados:

n

Sn(f)

en=I(f)- Sn(f)

en/ e2n

2

0.694444

-0.00129726

-----

4

0.693254

-0.000106788

12.1481

8

0.693155

-7.35009e-006

14.5288

16

0.693148

-7.35009e-006

14.5288

32

0.693147

-2.97299e-008

15.885

64

0.693147

-1.86151e-009

15.9708

128

0.693147

-1.16398e-010

15.9927

256

0.693147

-7.27562e-012

15.9983

512

0.693147

-4.54747e-013

15.9993

1024

0.693147

-2.84217e-014

16.0000

Estos resultados confirman claramente la convergencia de la regla de Simpson en este ejemplo particular. Podemos ver que cada ves que se duplica la n, lo cual equivale a dividir la h entre dos, el error disminuye por un factor de 16 aproximadamente (última columna de la tabla) esto es característico de convergencia O(h4) lo cual confirmaremos teóricamente más adelante.

INICIO

Dame el limite inferior, superior, y la

precisión n par

a, b, n

i=1; i<=2*n-1; i=i+2

i=2; i<=2*n-2; i=i+2

RESULTADO

at

FIN

Flotantes: at, si, sp, a, b, h, x, ya, yb, s, y, f();

Enteras: i, n;

h=(b-a)/(2*n);

ya = f(a);

yb = f(b);

si=0;

x=a+i*h;

y=f (x);

si=si+y

sp=0

x=a+i*h;

y=f(x);

sp=sp+y;

at=h/3*(ya+yb+4*si+2*sp);

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