Método de mínimos cuadrados ordinarios

Estadística. Econometría. Modelos de Regresión lineal. Ecuación de dos variables. Parámetros. Homoscedasticidad. Multicolinealidad perfecta. Covarianza. Correlaciones

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Modelo de minimos cuadrados ordinarios

El análisis de regresión trata de la dependencia de las variables explicativas, con el objeto de estimar y/o predecir la media o valor promedio poblacional de la variable dependiente en términos de los valores conocidos o fijos de las variables explicativas.

Se trata de encontrar una método para hallar una recta que se ajuste de una manera adecuada a la nube de puntos definida por todos los pares de valores muestrales (Xi,Yi).

Este método de estimación se fundamenta en una serie de supuestos, los que hacen posible que los estimadores poblacionales que se obtienen a partir de una muestra, adquieran propiedades que permitan señalar que los estimadores obtenidos sean los mejores.

Pues bien, el método de los mínimos cuadrados ordinarios consiste en hacer mínima la suma de los cuadrados residuales, es decir lo que tenemos que hacer es hallar los estimadores que hagan que esta suma sea lo más pequeña posible.

Los supuestos del método MCO son los que se presentan a continuación:

Supuesto 1

El modelo de regresión es lineal en los parámetros:

Yi = 1 + 2*Xi +i

La linealidad de los parámetros se refiere a que los ´s son elevados solamente a la primera potencia.

Supuesto 2

Los valores que toma el regresor X son considerados fijos en muestreo repetido. Esto quiere decir que la variable X se considera no estocástica. Este supuesto implica que el análisis de regresión es un análisis condicionado a los valores dados del (los) regresores.

Supuesto 3

Dado el valor de X, el valor esperado del término aleatorio de perturbación i es cero.

E ( i/Xi ) = 0

Cada población de Y corresponde a un X dado, está distribuida alrededor de los valores de su media con algunos valores de Y por encima y otros por debajo de ésta. Las distancias por encima y por debajo de los valores medios son los errores, y la ecuación antes señalada requiere que en promedio estos valores sean cero.

Supuesto 4

Homoscedasticidad. Dado el valor de X, la varianza de i es la misma para todas las observaciones.

Var (i/Xi ) = E (i - E(i)/ Xi)2

= E (i2/Xi )

= 2

Esta ecuación señala que la varianza de las perturbaciones para cada Xi es algún número positivo igual a 2.

Homoscedastidad significa igual dispersión, en otras palabras significa que las poblaciones Y correspondientes a diversos valores de X tienen la misma varianza. Por el contrario, se dice que existe heteroscedasticidad cuando la varianza poblacional, ya no es la misma en cada muestra. El supuesto de homoscedasticidad está indicando que todos los valores de Y correspondientes a diversos valores de X son igualmente importantes.

Supuesto 5

Dados dos valores cualquiera de X, Xi y Xj ( i " j ), la correlación entre i y j cualquiera ( i " j ) es cero.

Cov ( i, j / Xi, Xj ) = E (i - E(i)/ Xi) (j - E (j/Xj ))

= E (i/Xi ) (j/Xj )

= 0

Este supuesto indica que las perturbaciones no están correlacionadas. Esto significa que los errores no siguen patrones sistemáticos. La implicancia del no cumplimiento de este supuesto (existencia de autocorrelación) implicaría que Yt no depende tan sólo de Xt sino también de t-1, puesto que t-1 determina en cierta forma a t.

Supuesto 6

La covarianza entre i y Xi es cero, formalmente:

Cov (i/Xi ) = E (i - E(i)) (Xi - E(Xi))

= E (i (Xi - E(Xi)))

= E (i Xi - E(Xi) E(i))

= E (i Xi)

= 0

Este supuesto indica que la variable X y las perturbaciones no están correlacionadas. Si X y  estuvieran relacionadas, no podrían realizarse inferencias sobre el comportamiento de la variable endógena ante cambios en las variables explicativas.

Supuesto 7

El número de observaciones debe ser mayor que el número de parámetros a estimar.

Supuesto 8

Debe existir variabilidad en los valores de X. No todos los valores de una muestra dada deben ser iguales.Técnicamente la varianza de X debe ser un número finito positivo. Si todos los valores de X son idénticos entonces se hace imposible la estimación de los parámetros.

Supuesto 9

El modelo de regresión debe ser correctamente especificado, esto indica que no existe ningún en el modelo a estimar. La especificación incorrecta o la omisión de variables importantes, harán muy cuestionable la validez de la interpretación de la regresión estimada.

Supuesto 10

No hay relaciones perfectamente lineales entre las variables explicativas. No existe multicolinealidad perfecta. Aunque todas las variables económicas muestran algún grado de relación entre sí, ello no produce excesivas dificultades, excepto cuando se llega a una situación de dependencia total, que es lo que se excluyó al afirmar que las variables explicativas son linealmente dependientes.

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS

SUPUESTOS

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS DE AQUINO

FACULTAD DE COMERCIO EXTERIOR

ECONOMETRÍA

BUCARAMANGA

2004

INTRODUCCION

El Método de Mínimos Cuadrados Ordinarios es un modelo estadístico que hace parte de un grupo denominado Modelos de Regresión, estos explican la dependencia de una variable "Y" respecto de una o varias variables cuantitativas "X":

En el Método de Mínimos Cuadrados Ordinarios se estudia una única ecuación con solo dos variables y con una regresión lineal; se trata de estudiar una ecuación o un modelo del siguiente tipo:

BIBLIOGRAFÍA

  • Econometría

Damodar Gujarati

Editorial Mac Graw Hill

  • Estadística

Berenson

  • Estadística

Montgomery