Método de diferencias finitas

Tecnología. Expansión de Taylor. Derivadas parciales. Dimensión. Aproximación y convergencia

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METODO DE DIFERENCIAS FINITAS

INTRODUCCION

El método de diferencias finitas es un clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Es valioso familiarizarse con ésta aproximación porque tal conocimiento reforzará la comprensión de los procedimientos de elementos finitos.

Básicamente, en una solución por diferencias finitas, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas, convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales).

METODO DE EXPANSION DE TAYLOR

El método de expansión de Taylor es una forma alternativa de obtener aproximaciones de diferencia. Este método no solo deduce las fórmulas de diferencia sistemáticamente, sino que también deduce los términos de error.

Para una derivada de p-ésimo orden, el número mínimo de puntos de datos requeridos para deducir una aproximación de diferencia es Método de diferencias finitas
, así por ejemplo una aproximación de diferencia para la primera derivada de una función necesita por lo menos de dos puntos de datos. Consideremos la deducción de la aproximación de diferencia para Método de diferencias finitas
en términos de Método de diferencias finitas
. La expansión de Taylor de Método de diferencias finitas
alrededor de Método de diferencias finitas
es Método de diferencias finitas
(1). Resolviendo la ecuación anterior para la primera derivada, tenemos Método de diferencias finitas
(2). Si ignoramos todos los términos con excepción del primero del miembro derecho de la ecuación (2), obtendremos la aproximación por diferencia hacia adelante. Los términos que se ignoran constituyen el error de truncado, representado por el término inicial, Método de diferencias finitas
. Los demás términos desaparecen más rápidamente que el inicial cuando Método de diferencias finitas
disminuye. La aproximación de diferencia hacia adelante, con el error de truncado incluido, se expresa como Método de diferencias finitas
(3), dónde Método de diferencias finitas
. El término Método de diferencias finitas
indica que el error es aproximadamente proporcional al intervalo de la retícula Método de diferencias finitas
. El error también es proporcional a la segunda derivada Método de diferencias finitas
.

De la misma manera podemos expandir Método de diferencias finitas
alrededor de Método de diferencias finitas
en la forma Método de diferencias finitas
(4), y resolviendo nuevamente para la primera derivada, tenemos Método de diferencias finitas
y aquí de la misma manera Método de diferencias finitas
(5), dónde Método de diferencias finitas
. Esta aproximación se denomina de diferencia hacia atrás.

Tomemos ahora ambas aproximaciones y restemos (4) de (1):

Método de diferencias finitas
(6), expresión de la cual se ha eliminado el término Método de diferencias finitas
. Resolviendo para Método de diferencias finitas
, obtenemos Método de diferencias finitas
(7).

Con el término de error incluido, la aproximación de diferencia central se expresa como Método de diferencias finitas
(8), dónde Método de diferencias finitas
.

Resulta interesante observar que gracias a la cancelación del término Método de diferencias finitas
, el error de la aproximación es proporcional al cuadrado de Método de diferencias finitas
y no a Método de diferencias finitas
. Entonces, reduciendo Método de diferencias finitas
reducimos el error con mayor rapidez que con las otras aproximaciones.

Como ya se expuso, una aproximación de diferencia de Método de diferencias finitas
requiere al menos Método de diferencias finitas
puntos de datos. Aumentando el número de puntos de datos puede obtenerse una aproximación de diferencia mas exacta.

Como ilustración de lo anterior, deduciremos una aproximación de diferencia para la primera derivada Método de diferencias finitas
utilizando tres puntos de datos Método de diferencias finitas
, de modo que tenemos un punto mas del mínimo requerido. Las expansiones para Método de diferencias finitas
se escriben:

Método de diferencias finitas
(9).

Método de diferencias finitas
(10).

Con éstas dos ecuaciones es posible cancelar los términos de la segunda derivada, de modo que el término inicial de los errores de truncado es el término de la derivada de tercer orden. Por otro lado, si se eliminaran los términos de la tercera derivada de las ecuaciones (9) y (10) en lugar de los de la segunda derivada, la aproximación de diferencia obtenida sería menos exacta porque el término del error inicial sería de segundo orden en lugar de ser de tercer orden.

Multiplicado la (9) por 4 y restándole la (10), obtenemos

Método de diferencias finitas
(11). Resolviendo para Método de diferencias finitas
:

Método de diferencias finitas
(12), dónde el término de error está dado por Método de diferencias finitas
. La (12) es la aproximación de diferencia hacia adelante de tres puntos. Su error es del mismo orden que el de la aproximación por diferencia central de dos puntos.

Análogamente, la aproximación de diferencia hacia atrás de tres puntos puede deducirse utilizando Método de diferencias finitas
Método de diferencias finitas
(13), dónde Método de diferencias finitas
.

Las aproximaciones de diferencia para la segunda derivada se deducen aplicando el mismo principio, el cual consiste en eliminar la primera derivada y el mayor número posible de derivadas de orden dos ó superior.

Como ilustración deduciremos la aproximación de diferencia para Método de diferencias finitas
en términos de Método de diferencias finitas
. Las expansiones de Taylor de Método de diferencias finitas
y Método de diferencias finitas
están dadas por las ecuaciones (4) y (1) respectivamente. Sumando ambas obtenemos:

Método de diferencias finitas
ó de forma equivalente Método de diferencias finitas
. Entonces si truncamos después del término Método de diferencias finitas
y reacomodamos los términos tendremos Método de diferencias finitas
(14). La ecuación anterior es la aproximación de diferencia central para Método de diferencias finitas
, dónde el error está representado por Método de diferencias finitas
.

Podemos deducir otra aproximación de diferencia para Método de diferencias finitas
en términos de Método de diferencias finitas
(el número mínimo de puntos de datos para Método de diferencias finitas
es 3). Si multiplicamos por 2 la expansión de Taylor de Método de diferencias finitas
y la restamos de Método de diferencias finitas
, el resultado será:

Método de diferencias finitas
.

Resolviendo la anterior para la segunda derivada:

Método de diferencias finitas
(15), en la cual el error está dado por Método de diferencias finitas
.

La ecuación (15) es la aproximación de diferencia hacia atrás para Método de diferencias finitas
. El orden de su error de truncado es menor que el de la aproximación de diferencia central, dada por (14). De éste modo la mayor exactitud pertenece a la aproximación de diferencia central.

De forma similar podemos obtener aproximaciones de diferencia para derivadas superiores, pero la deducción se hace cada vez mas laboriosa al aumentar tanto el número de términos como el orden de la derivada.

Sería útil por lo tanto el desarrollo de algoritmos computacionales que permitan hallar automáticamente la aproximación de diferencia para un conjunto dado de datos.

No obstante, seguidamente damos las expresiones de diferencias, cuyo uso es frecuente.

Primera derivada

Aproximaciones de diferencia hacia adelante

Método de diferencias finitas

Aproximaciones de diferencia hacia atrás

Método de diferencias finitas

Aproximaciones de diferencia centrales

Método de diferencias finitas

Segunda derivada

Aproximaciones de diferencias hacia adelante

Método de diferencias finitas

Aproximaciones de diferencia hacia atrás

Método de diferencias finitas

Aproximaciones de diferencia centrales

Método de diferencias finitas

Tercera derivada

Aproximaciones de diferencia hacia adelante

Método de diferencias finitas

Aproximaciones de diferencia hacia atrás

Método de diferencias finitas

Aproximaciones de diferencia centrales

Método de diferencias finitas

APROXIMACION DE DIFERENCIA PARA DERIVADAS PARCIALES

Las fórmulas de aproximación de diferencia para derivadas parciales de funciones multidimensionales son esencialmente iguales a las de diferenciación de funciones unidimensionales.

Consideremos una función bidimensional Método de diferencias finitas
. La aproximación de diferencia para la derivada parcial con respecto a Método de diferencias finitas
, por ejemplo, puede deducirse fijando Método de diferencias finitas
en un valor constante Método de diferencias finitas
y considerando Método de diferencias finitas
como una función unidimensional. Por tanto, las aproximaciones de diferencia hacia adelante, central y hacia atrás para éstas derivadas parciales se pueden escribir, respectivamente:

Método de diferencias finitas
(16).

Las aproximaciones de diferencia central para las segundas derivadas de Método de diferencias finitas
en Método de diferencias finitas
están dadas por:

Método de diferencias finitas
(17).

DIFERENCIAS FINITAS EN UNA DIMENSION

Supongamos estar frente a un simple problema unidimensional de contorno, esto es, queremos determinar una función Método de diferencias finitas
, la cual satisfaga una ecuación diferencial dada en una región Método de diferencias finitas
, junto con condiciones de contorno apropiadas es Método de diferencias finitas
y Método de diferencias finitas
.

Método de diferencias finitas
Como ejemplo, consideremos el análisis de una barra uniforme (módulo elástico longitudinal Método de diferencias finitas
y área de sección transversal Método de diferencias finitas
) como la mostrada en la figura.

La ecuación diferencial que corresponde a la formulación de éste problema es Método de diferencias finitas
(18), con las siguientes condiciones de contorno: Método de diferencias finitas

Tomamos por simplicidad la función de carga longitudinal Método de diferencias finitas
(variación lineal).

Método de diferencias finitas
Para resolver el problema vía diferencias finitas, comenzamos por diferenciar la variable independiente Método de diferencias finitas
, esto es, construimos un conjunto (ó grilla ó malla) de Método de diferencias finitas
puntos de grilla discretos, igualmente espaciados Método de diferencias finitas
sobre el rango (ó dominio) Método de diferencias finitas
, dónde Método de diferencias finitas
.

El siguiente paso es reemplazar los términos de la ecuación diferencial que involucran diferenciación por términos que involucren solo operaciones algebraicas. Este proceso, necesariamente, involucra una aproximación y puede lograrse haciendo uso de aproximaciones de diferencias finitas (deducidas anteriormente por medio de las expansiones de Taylor).

Sustituyendo la aproximación de diferencia central de la segunda derivada en un punto Método de diferencias finitas
en (18), obtenemos:

Método de diferencias finitas
(19), dónde Método de diferencias finitas
es la carga Método de diferencias finitas
en el punto de grilla Método de diferencias finitas
y Método de diferencias finitas
puede pensarse como la carga total aplicada sobre la estación de diferencia finita.

Tomando ahora las condiciones de contorno:

Método de diferencias finitas
(20)

Método de diferencias finitas
(21), en la cual hemos tomado las estaciones extremas y la aproximación de diferencia central para la primera derivada. El punto de grilla en Método de diferencias finitas
sólo se coloca con el fin de imponer la condición de contorno.

Para la solución por diferencias finitas aplicamos (19) a todas las estaciones Método de diferencias finitas
y utilizando las condiciones de contorno anteriores, obtenemos:

Método de diferencias finitas
(22) (los elementos no mostrados de la matriz son nulos). Aquí Método de diferencias finitas
y Método de diferencias finitas
.

De modo matricial podemos escribir (22) de la forma Método de diferencias finitas
(23), dónde evidentemente:

Método de diferencias finitas
.

La ecuación (22) es idéntica a la que se hubiera derivado utilizando una serie de n elementos de resorte, cada uno de rigidez Método de diferencias finitas
. Las cargas en los puntos de grilla correspondientes a Método de diferencias finitas
se obtendrían usando el valor de carga distribuida en el punto de grilla l y multiplicando ese valor por la longitud de contribución (h para los puntos de grilla internos y Método de diferencias finitas
para el punto de grilla final).

Tal vez con éste ejemplo no se aprecie la utilidad de las diferencias finitas, pues la naturaleza de la formulación diferencial hace que su resolución analítica sea viable por métodos de uso común. No obstante, lo importante de recalcar y que es conclusión general es que hemos reemplazado un problema de determinación de una función continua desconocida Método de diferencias finitas
por un problema de resolución de una ecuación matricial para un conjunto de valores discretos Método de diferencias finitas
. Esta es la esencia del método.

Debe recordarse que la solución Método de diferencias finitas
sólo aproxima a la solución exacta del problema Método de diferencias finitas
porque hemos reemplazado derivadas por diferencias.

La solución exacta corresponde a: Método de diferencias finitas
.

Se deja como ejercicio plantear el problema con números crecientes de puntos de grilla y ver como evoluciona el error comparando los resultados obtenidos con los que se obtienen a partir de la solución exacta.

Es evidente que el error decrece a medida que se aumenta el número de puntos de grilla. Esto es conclusión inmediata de la formulación de las aproximaciones de diferencia por medio de las expansiones de Taylor.

DIFERENCIAS FINITAS EN MAS DE UNA DIMENSION

El problema de aproximación de ecuaciones diferenciales en dos ó más variables independientes es obviamente un poco más comprometido, aunque los principios utilizados son idénticos a los de una dimensión.

Consideremos un problema de torsión elástica de una barra prismática (región Método de diferencias finitas
rectangular) , regido por la ecuación diferencial siguiente:

Método de diferencias finitas
(24). Aquí Método de diferencias finitas
es el módulo elástico transversal Método de diferencias finitas
, dónde Método de diferencias finitas
es el módulo elástico longitudinal y Método de diferencias finitas
es la relación de Poisson; Método de diferencias finitas
es el ángulo de torsión de cada sección y Método de diferencias finitas
es la función de tensión que satisface la condición Método de diferencias finitas
en los contornos.

El momento torsor Método de diferencias finitas
está dado por Método de diferencias finitas
y la tensión tangencial en una dirección cualquiera Método de diferencias finitas
en la sección se obtiene a partir de Método de diferencias finitas
.

Para aplicar el método de diferencias finitas en ésta situación, procedemos exactamente de la misma manera que en el caso unidimensional. A tal fin, construimos un conjunto de puntos de grilla Método de diferencias finitas
, igualmente espaciados en el rango Método de diferencias finitas
con Método de diferencias finitas
, y también un conjunto de puntos de grilla igualmente espaciados Método de diferencias finitas
sobre el rango Método de diferencias finitas
, con Método de diferencias finitas
.

La región en la cual se requiere la solución está entonces cubierta por una grilla rectangular de diferencias finitas, a través del trazado de líneas paralelas al eje Método de diferencias finitas
a través de cada punto Método de diferencias finitas
; y de la misma forma, trazando paralelas al eje Método de diferencias finitas
a través de cada punto Método de diferencias finitas
.

Un punto típico de grilla está dado entonces por las coordenadas Método de diferencias finitas
. El método de diferencias finitas es ahora aplicable a la ecuación (24), lo que significa que nuevamente reemplazaremos los términos que involucran ahora derivadas parciales por sus correspondientes aproximaciones de diferencias finitas.

Método de diferencias finitas

Método de diferencias finitas
Aplicaremos a la resolución de la siguiente barra prismática, utilizando la grilla que vemos a continuación:

Por condiciones de simetría, la solución necesita ser obtenida sólo para una cuarta parte de la sección, como se muestra en la figura anterior. Utilizaremos una malla de tamaño Método de diferencias finitas
. Notamos que el valor de la función de tensión Método de diferencias finitas
debe ser proporcional a la constante Método de diferencias finitas
, y por simplicidad tomamos Método de diferencias finitas
.

Utilizando las aproximaciones por diferencia (17), tenemos que, para un punto como el Método de diferencias finitas
:

Método de diferencias finitas
(25).

El uso de las condiciones de simetría requiere que Método de diferencias finitas
a lo largo del eje Método de diferencias finitas
y que similarmente Método de diferencias finitas
a lo largo del eje Método de diferencias finitas
.

Aplicando ésta condición por ejemplo en el punto como el Método de diferencias finitas
, tenemos que la aproximación de diferencia central de la primera derivada era Método de diferencias finitas
(despreciando el término de error). Entonces las condiciones son:

Método de diferencias finitas

De igual manera se aplican en todos los puntos situados en el contorno de la región Método de diferencias finitas
, llegándose a condiciones similares en todos los casos.

Planteando ecuaciones de tipo (25) para todos los puntos interiores de la región, tenemos:

Método de diferencias finitas

Las anteriores, han sido planteadas sistemáticamente, siguiendo solamente la regla de la aproximación de diferencia de la segunda derivada. Aplicando los criterios de simetría, y las condiciones de contorno sobre los límites Método de diferencias finitas
, las anteriores se reducen al siguiente conjunto:

Método de diferencias finitas

Disponiendo las anteriores de forma matricial, con Método de diferencias finitas
, tenemos:

Método de diferencias finitas
(26).

Nuevamente tenemos un sistema del tipo Método de diferencias finitas
, el que puede resolverse para el vector incógnita por cualquier método adecuado. Resolviendo, entonces se tiene que Método de diferencias finitas
como solución del sistema de ecuaciones (26).

Para evaluar el momento torsor, se utiliza la regla trapezoidal en un dominio bidimensional, obteniéndose Método de diferencias finitas
, valor que puede compararse con la solución exacta Método de diferencias finitas
. Similarmente, la máxima pendiente está en el punto Método de diferencias finitas
y una posible aproximación al valor absoluto de la máxima tensión de corte es Método de diferencias finitas
, utilizando la aproximación de diferencia hacia atrás para la derivada Método de diferencias finitas
. Nuevamente podemos comparar con el valor exacto dado por Método de diferencias finitas
(error:Método de diferencias finitas
). La aproximación obtenida por el uso de la fórmula de diferencia hacia atrás es de menor orden de exactitud que la aproximación utilizada para la formulación principal del problema. Podemos mejorar nuestra aproximación de Método de diferencias finitas
utilizando tres valores de la función de tensión sobre la sección central como sigue. Denotando el punto Método de diferencias finitas
, Método de diferencias finitas
y Método de diferencias finitas
, podemos escribir, según la expansión de Taylor:

Método de diferencias finitas
, dónde D está en la línea AB.

Método de diferencias finitas
, dónde E está en AC.

De ambas es posible eliminar el término de Método de diferencias finitas
, obteniendo entonces:

Método de diferencias finitas
. Utilizando el primer término del lado derecho como aproximación, el error cometido es entonces del mismo orden que el cometido en la aproximación de la ecuación que gobierna el problema.

Insertando adecuadamente los valores, tenemos Método de diferencias finitas
(error: Método de diferencias finitas
). Obviamente este resultado presenta mayor exactitud que el obtenido con la aproximación de diferencia hacia atrás.

APROXIMACION Y CONVERGENCIA

Las soluciones uni y bidimensionales para ecuaciones diferenciales parciales ordinarias derivadas anteriormente por procedimientos numéricos de diferencias finitas, ilustran las posibilidades de la discretización. El aparentemente inabordable (ó a lo sumo matemáticamente dificultoso) problema de resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales ha sido reemplazado por un problema puramente algebraico en el cual debe resolverse un cierto número de ecuaciones simultáneas. Para problemas pequeños es viable una resolución manual, pero es conveniente desarrollar algoritmos computacionales para automatizar las operaciones de cálculo. Lo importante es comprender que existe una posibilidad de solución, aunque ésta involucre una aproximación.

Hemos mostrado ya que el error en las aproximaciones de diferencias finitas decrece incrementando la densidad del mallado. Para aplicar el proceso a una situación en la cual no disponemos de la solución exacta, es necesario estudiar la convergencia del método de acuerdo al refinamiento de la malla, en un intento por estimar la magnitud de los errores ocurridos al producirse una aproximación.

Si, por ejemplo, el error de una aproximación es del orden de Método de diferencias finitas
, entonces los resultados de dos soluciones sobre grillas de espaciado Método de diferencias finitas
pueden extrapolarse como se detalla a continuación. Digamos que Método de diferencias finitas
y Método de diferencias finitas
corresponden a las soluciones para las grillas anteriores 1 y 2 respectivamente y que Método de diferencias finitas
corresponde a la solución exacta en el punto que estamos considerando. De ésta forma, aún cuando no conocemos la magnitud del error, podemos escribir:

Método de diferencias finitas
, de la cual podemos extraer la solución exacta.

Esta relación se conoce como extrapolación de Richardson, y proporciona un método para mejorar la solución a partir de los resultados obtenidos para dos grillas de distinto tamaño de espaciado. Es aplicable también a casos bidimensionales y tridimensionales.

Bibliografía

O.C. Zienkiewicz; El Método de Elementos Finitos; Reverté; 1982.

O.C. Zienkiewicz & K. Morgan; Finite Elements and Approximation; John Wiley & Sons; 1983.

K-J. Bathe; Finite Element Procedures; Prentice Hall; 1996.

J.N. Reddy & M.L. Rasmussen; Análisis Matemático Avanzado; Limusa; 1992.

S. Nakamura; Análisis Numérico y Visualización Gráfica con MatLab; Prentice Hall; 1997.

Método de diferencias finitas

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