Medidas para Física

Péndulo ideal. Gravedad. Ley de Newton. Medición del Tiempo. Deformación. Esfuerzo. Aceleración gravitatoria

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Parte A

  • Introducción Teórica:

Péndulo Ideal

Un péndulo ideal consiste en una masa puntual suspendida de un hilo inextensible y sin peso en un campo gravitacional uniforme. Cuando se le desvía hacia un lado de su posición de equilibro y se abandona a sí mismo, la masa del péndulo oscila alrededor de esta posición. El movimiento del péndulo es periódico y oscilatorio.

'Medidas para la física'
La figura muestra un péndulo de longitud “L”, del cual se suspende una partícula de masa “m”, que forma un ángulo “” con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la masa “m” son el peso de dicha masa y la fuerza “T” correspondiente a la tensión de la cuerda.

Para mayor facilidad en la aplicación y posterior cálculos de la segunda Ley de Newton, se escoge un par de ejes intrínsecos, es decir un eje tangente a la trayectoria circular descripta por el péndulo y un eje normal, colineal a la dirección del radio.

Realizando el diagrama de cuerpo libre y planteando la segunda Ley de Newton para la masa puntual “m” en ese instante representado, en donde el ángulo “” es máximo.

'Medidas para la física'

F = m . a

t : -m . g . sen  = m . at

n : T - m . g . cos  = m . an

En este instante, el ángulo  es máximo, es decir, en ese instante la velocidad esta cambiando de dirección, por tanto es nula, si la velocidad es nula, la aceleración normal también lo será, ya que an = v2/L

desarrollando la ecuación en el versor tangencial:

-m . g . sen  = m . at at = dv/dt

reemplazando y cancelando las masas

- g . sen  = dv/dt

como el movimiento descrito por el péndulo es circular, la velocidad en este tipo de movimientos es igual la derivada del arco recorrido con respecto al tiempo, si llamamos “x” al arco recorrido y “x= . L”

dx/dt = d ( . L)/dt = L . d/dt (ya que L se mantiene constante)

para calcular la aceleración tangencial solo hace falta derivar lo anterior una vez mas

at = d2/dt2 . L

entonces ---------> - g . sen  = d2/dt2 . L

si el ángulo  es pequeño, el seno de este ángulo es casi igual al mismo (expresado en radianes), como se lo ejemplifica la siguiente tabla



sen 

0º = 0.0000 rad

0.0000

2º = 0.0349 rad

0.0349

5º = 0.0873 rad

0.0872

10º = 0.1745 rad

0.1736

Con esta aproximación, la ecuación anterior se convierte en

- g .  = d2/dt2 . L

-  . g / L = d2/dt2

Queda planteada una ecuación diferencial de 2º orden homogénea. Esta ecuación requiere una función ( en este caso (t) ) cuya segunda derivada sea el valor negativo de la función misma. Por tanto propongo:

(t) = A . sen (t + )

d/dt = A  cos (t + )

d2/dt2 = - A 2 sen (t + ) = -2 (t)

reemplazando (t) en la ecuación diferencial:

- A 2 sen (t + ) + A . sen (t + ) g / L = 0

A . sen (t + ) ( g / L - 2) = 0

Si ( g / L - 2) = 0

2 = g / L --------->  = (g / L) ½

Si  = 2 / T

T = 2 (L / g) ½

Siendo T el tiempo en que el péndulo describe un período. A partir de esto se obtiene:

g = 42L / T2

de esta forma uno puede determinar la aceleración gravitatoria, pero como toda medición, tendrá una incerteza, la cual se puede calcular a partir de la propagación de errores correspondiente.

g = 2 + 4 + L + 2T

Si la cantidad de cifras significativas tomadas para la constante  cumple que 10 < 2 d + h , se puede despreciar su error.

g = L + 2T

"g/<g> = "L/<L> + 2"T/<T>

En el caso que la medición del tiempo en que el péndulo tarda en describir un período, sea tomada por un cronometro accionado manualmente, se determino que el error absoluto cometido es de 0.2 segundos. Lo que provoca que el error relativo de la gravedad calculada sea muy grande. Y como se exige que el error relativo sea menor a 0.02 se plantea lo siguiente.

t = n . T ---------> T = t / n

t = tiempo total de todos los periodos

n = numero de períodos

T = tiempo de un periodo

T = t + n ---------> "T/<T> = "t/<t> ---------> Si "t = 0.2 segundos

"T/<T> = "t/ n<T> ---------> "T/<T> = "t .<T> / n <T> ---------> "T = "t / n

Finalmente:

"g/<g> = "L/<L> + 2("t/ n) / <T> " 0.02

como se exige que el error relativo de la aceleración de la gravedad calculada sea menor a 0.02, se debe preparar un péndulo ideal con un hilo de longitud “L” (con su respectiva incerteza) y se mide el tiempo de un solo período. De esta manera se despeja “n” de esa inecuación.

  • Materiales

Cronometro Digital :

Apreciación: 0.01 seg

Regla

Largo : 1 m

Apreciación: 1mm

Transportador :

Apreciación: 1º

Esfera de metal y cuerda.

  • Desarrollo y Resultados

Para determinar la aceleración gravitatoria con un error relativo menor al 2%, se preparo un péndulo ideal de longitud (86.0±0.5) cm. La incerteza de esta medición se debe a que la longitud del péndulo debe ser tomada desde un extremo de la cuerda al centro de la esfera, además del error humano al realizar la medición. Se desvía al péndulo de la posición de equilibrio con un ángulo de 5º, y se registra el tiempo de un período, siendo éste T= 2s

Se calculo el número de oscilaciones para disminuir el error relativo hasta el valor exigido, arrojando como resultado que la cantidad de oscilaciones debe ser mayor a 15.

Se registraron los siguientes valores.

t = 28 seg ---------> T= 28 seg / 15 oscilaciones = 1.867 segundos

Se calcula la aceleración gravitatoria y su incerteza con su respectiva ecuación arrojando el siguiente resultado, g = (9.8±0.2) m/s2

Ahora se estudia como se modifica el periodo del péndulo al variar su longitud, para ello, se midieron los distintos períodos para sus longitudes obteniendo los siguientes valores.

L [m]

L [m]

t[s]

t[s]

n

T[s]

T[s]

1.00

0.05

20.06

0.2

10

2.00

0.02

0.95

0.05

19.09

0.2

10

1.90

0.02

0.90

0.05

18.82

0.2

10

1.88

0.02

0.85

0.05

17.99

0.2

10

1.79

0.02

0.80

0.05

17.89

0.2

10

1.79

0.02

0.75

0.05

16.90

0.2

10

1.69

0.02

0.70

0.05

16.82

0.2

10

1.68

0.02

0.65

0.05

16.21

0.2

10

1.62

0.02

0.60

0.05

15.42

0.2

10

1.54

0.02

0.55

0.05

14.13

0.2

10

1.41

0.02

Para obtener mediante el método grafico la aceleración de la gravedad, se deben que graficar T en función de L y T2 en función de L. Para ello se utilizan las siguientes tablas

T[s]

T[s]

L [m]

L [m]

2.00

0.02

1.00

0.05

1.90

0.02

0.95

0.05

1.88

0.02

0.90

0.05

1.79

0.02

0.85

0.05

1.79

0.02

0.80

0.05

1.69

0.02

0.75

0.05

1.68

0.02

0.70

0.05

1.62

0.02

0.65

0.05

1.54

0.02

0.60

0.05

1.41

0.02

0.55

0.05

T2

T2

L [m]

L [m]

4.00

0.04

1.00

0.05

3.61

0.04

0.95

0.05

3.55

0.04

0.90

0.05

3.20

0.04

0.85

0.05

3.20

0.04

0.80

0.05

2.85

0.04

0.75

0.05

2.82

0.04

0.70

0.05

2.62

0.04

0.65

0.05

2.37

0.04

0.60

0.05

1.98

0.04

0.55

0.05

Se obtienen los siguientes gráficos, mientras que en el grafico de T2(L) se utiliza el método de rectas de pendiente máxima y mínima para obtener en ese gráfico el valor de la aceleración gravitatoria.

'Medidas para la física'
Una vez graficado T2(L) es fácil identificar el valor representativo para el cual se traza la recta de pendiente máxima, y el valor representativo para el cual la pendiente de la recta será mínima. Ambas rectas deben comprender a todos los valores representativos y a sus bandas de incertezas. Con ayuda de un programa de gráficos, se determinaron los puntos por donde pasaran ambas rectas. En el caso de la recta máxima, dicho punto es el (0,60 m ; 2,68 s2). En el caso de la pendiente mínima, dicho punto es (0,60m ; 2,02 s2).

Sabiendo que la tangente del ángulo que separa una recta del eje de las abcisas se puede calcular mediante el cociente entre las ordenadas y las abcisas.

Pendiente máxima = 2.68 s2 / 0.60 m = 4.47 s2/m

Pendiente mínima = 2.02 s2 / 0.60 m = 3.37 s2/m

La pendiente media y su incerteza puede calcularse mediante:

Pmed = (Pmax + Pmin) / 2 = 3.92 s2/m

Pmed = I Pmax - Pmin I / 2 = 0.55 s2/m

Pmed = (3.92±0.55) s2/m

Si T2 (L) se entiende como

T2 (L) = 42L / g

T2 (L) = (42 / g) L

En este caso (42 / g) cumple la función de la pendiente de la recta del grafico, si igualamos dicho valor al obtenido en la pendiente media se puede despejar el valor representativo de g.

g = 42 / Pmed = 10.0 m/s2

Y a partir del cálculo de propagación de errores, se dice que g es:

g = ( Pmed / Pmed) . g

g = 1.4 m/s2

La aceleración obtenida con el método grafico es

g = (10.0±1.4) m/s2

  • Conclusiones

Valores obtenidos por el primer método

g = (9.8±0.2) m/s2

Valores obtenidos por el método grafico

g = (10.0±1.4) m/s2

Realizado esta parte del trabajo práctico, con los cálculos y gráficos realizados, llegamos a la conclusión de que, fácilmente a la vista, el método que resulto mas preciso para medir la aceleración de la gravedad fue el primero. Por lo tanto, tomamos la decisión que nuestro valor representativo obtenido para la g es (9.8±0.2) m/s2 . Sin embargo, también es fácil de identificar que ambos resultados son comparables, es decir, tienen valores en común dentro de sus rangos de incertezas.

Verificando lo exigido, es decir, que el error relativo en la obtención de la aceleración de la gravedad sea menor al 2%, lo calculamos:

r % = ( 0.2 / 9.8 ) . 100 = 2%

Como se puede ver, el error relativo porcentual que obtuvimos responde a lo pedido en el inicio de esta parte del trabajo práctico.

Por último, concluimos que el péndulo usado SI cumple, dentro de su error de medición, con las ecuaciones obtenidas en la introducción teórica.Parte B

Introducción Teórica:

DEFORMACION:

El termino deformación se refiere al cambio relativo en dimensiones o forma de un cuerpo sometido a una fuerza.

ESFUERZO:

El cambio de forma o volumen de un cuerpo cuando sobre el actúan fuerzas externas esta determinado por las fuerzas que se originan en sus moléculas.

Llamamos esfuerzo S en una determinada sección a la razón de una fuerza F aplicada al área A

S= F/A

El esfuerzo no es una cantidad vectorial, pues, a diferencia de una fuerza, no puede asignársele una dirección específica. La fuerza que actúa sobre la parte del cuerpo situada a un lado determinado de la sección, tiene una dirección definida, pero esta depende de la orientación de la sección, el esfuerzo es una de las cantidades físicas denominadas tensoras.

Si se grafica el esfuerzo en función de la correspondiente deformación, se encuentra que el diagrama resultante Esfuerzo-Deformación, presenta formas diferentes dependiendo del tipo de material. A continuación se representara un diagrama Esfuerzo-Deformación de un metal dúctil, es decir con la propiedad de poder ser transformado en hilos.

'Medidas para la física'

El esfuerzo es un esfuerzo tensor simple y la deformación es el porcentaje de elongación. En la primera parte de la curva (hasta una deformación menor al 1%), el esfuerzo y la deformación son proporcionales hasta alcanzar el punto A, que es el límite de proporcionalidad. El hecho de que haya una región en la que el esfuerzo y la deformación son proporcionales, se denomina Ley de Hooke.

Esta de deformación puede consistir en un aumento o disminución de longitud, como el caso de un resorte helicoidal. Esta deformación es realizada por una fuerza y en este caso, la fuerza provoca un estiramiento del resorte helicoidal dentro del periodo de proporcionalidad, la fuerza y el desplazamiento estarán relacionados por la Ley de Hooke.

F = -kx

Donde F es la fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo, k es una constante de proporcionalidad denominada constante de recuperación y x es el desplazamiento del cuerpo desde la posición de equilibrio.

La figura muestra un resorte helicoidal con una constante de recuperación K y longitud sin carga Lo. Cuando se suspende del resorte un cuerpo de peso P1, este cuelga en equilibro (ya que el método estático implica que no haya aceleración del sistema) y el resorte se estira una cantidad L1-Lo de forma que la fuerza elástica hacia arriba ejercida por el resorte es igual al peso de ese cuerpo. Lo mismo sucede si se coloca un cuerpo 2 con peso P2.

'Medidas para la física'
'Medidas para la física'
Con P1 ---------> k . (L1 - Lo) = P1 Con P2 ---------> k . (L2 - Lo) = P2

Restando ambas ecuaciones

k . ( L1 - L2 ) = P1 - P2 --------> k = ( P1 - P2 ) / ( L1 - L2 )

Materiales empleados:

  • Regla

Largo : 1 m

Apreciación: 1mm

  • Resorte de acero
    Constante del resorte: a averiguar mediante este práctico

  • Juego de pesas:
    Nº de pesas: 6
    Masas nominales: 20g, 50g, 100g, 2 de 200g, 500g
    Incerteza absoluta en cada masa: ±2g

Desarrollo y resultados:

Al inicio de esta parte del práctico, colocamos la regla y el resorte sujetados desde un punto en el cual ambos podían pivotear. Como no es conveniente tomar una longitud inicial de estiramiento del resorte sin peso, se agrego el mínimo de los pesos y se anotó los correspondientes valores.

A continuación, se fue agregando mas peso, obteniendo así los distintos valores de estiramiento del resorte. Cabe destacar que a medida que más pesas se iban vinculando para obtener mayores valores de peso, también iban incrementando los errores absolutos totales en los valores representativos de peso que posteriormente se utilizaron para hacer los cálculos.

A continuación se muestran los valores de peso, estiramiento, y errores de las mediciones tomadas.

P[g]

P[g]

L[cm]

L[cm]

20

2

29.5

0.3

70

4

31.7

0.3

120

4

33.7

0.3

220

4

37.7

0.3

520

4

50.7

0.3

570

6

52.7

0.3

620

6

54.7

0.3

720

6

59.3

0.3

770

8

61.3

0.3

820

8

63.5

0.3

920

8

67.7

0.3


En base a estos valores obtenidos, procedemos a graficarlos, tomando en cuenta tanto los valores representativos como sus incertezas:


  • Apéndice

Parte A

Cálculo del numero de oscilaciones para determinar el valor representativo y la incerteza de la aceleración gravitatoria

"g/<g> = "L/<L> + 2("t/ n) / <T> " 0.02

Datos:

<L> = 86.0 cm "L = 0.5 cm "t = 0.2 seg T = 2 seg

despejando n --------> n " 0.2 / (0.02 - (0.5cm / 86.0 cm) --------> n " 14.09

por lo tanto, n " 15 oscilaciones

Cálculo de la cantidad de cifras significativas para la constante , para ser utilizada en el calculo de g y "g.

Por lo explicado en la introducción teórica, g = 42L / T2

Haciendo el calculo correspondiente de propagación de errores:

g = 2 + 4 + L + 2T

Como en la formula para calcular la aceleración gravitatoria se encuentra la constante irracional (), debo plantear primero la cantidad de cifras significativas a utilizar, con el fin de poder despreciar su incerteza en el calculo de propagación de errores, aplicando el siguiente criterio. (10 < 2T + L )

Utilizo la siguiente tabla



"



3

1

0.3

3.1

0.1

0.03

3.14

0.01

0.003

3.141

0.001

0.0003

Cuando  = (3.141 ± 0.001), se verifica el criterio anterior. De esta manera se puede descartar a la constante del cálculo de propagación de errores.

Cálculo de la aceleración gravitacional

g = 42L / T2

Reemplazando por los valores obtenidos

g = 4 . (3.141)2 . 0.86 m / (1.867 seg)2 = 9.74 m/s2

Nota: se tomaron 3 cifras significativas para el valor de T, con el fin de evitar una mayor propagación de errores.

Calculando el error cometido en el cálculo de la aceleración gravitatoria:

"g = ["L/<L> + 2("t/ n) / <T>] . <g>

"g = [ 0.5 cm / 86.0 cm + 2 (0.2 seg / 15 ) / 1.867 seg ] . 9.74 m/s2

"g = 0.2 m/s2

Mayorando el valor representativo de g, así tener el mismo numero de cifras significativas que la incerteza, se obtiene:

g = (9.8±0.2) m/s2

13

9

9.2

10

9.4

9.6

9.8

10.2

8.8

m/s2

9

9.2

10

9.4

9.6

9.8

10.2

10.6

10.4

8.6

8.8

11

10.8

11.2

11.4

m/s2

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