TRABAJO PRÁCTICO Nº 1

Medición y propagación de errores

Resumen

El propósito de este trabajo poner en evidencia los errores inherentes a toda medición realizada. La práctica consistirá en determinar de que material está compuesto un cilindro, para lo cual se obtendrá su altura, diámetro y peso mediante mediciones directas utilizando diferentes instrumentos, luego, se calculará su densidad y se la comparará en una tabla de densidades, concluyendo ser una aleación de base cobre. También se discutirán los errores cometidos al utilizar instrumentos con distinto nivel de precisión.

Objetivos

Se pretende que el alumno se familiarice con los elementos del laboratorio y pueda realizar prácticamente distintas mediciones, tanto directas como indirectas, llegando a resultados coherentes. Del mismo modo se intenta poder calcular los errores de medición cometidos para conocer la precisión de dichas mediciones.

También se pretende introducir una filosofía del error. Se verá en las siguientes páginas que no solo hay errores de construcción, tanto del objeto a medir como de los instrumentos utilizados para dicho propósito, sino que la medición de una misma pieza con un mismo instrumento realizada por diferentes personas puede tomar distintos valores.

Además se desea demostrar como estos errores de clase y de lectura toman cada vez mayor importancia a medida que los cálculos realizados para llegar a un fin (determinar la densidad) se tornan más complejos. Así, se ve que tener en cuenta los errores resulta vital a la hora de precisar cualquier medición realizada en la vida profesional.

Descripción de los elementos utilizados

• Regla milimetrada: Se utilizó una regla plástica con divisiones por cada milímetro. Este dispositivo tiene una incerteza relativa de lectura e instrumental de 1mm.

• Calibre: Este instrumento utiliza el método ideado por Vernier y Nonius, el cual consiste en utilizar una regla fija, graduada por ejemplo en centímetros y en milímetros, y una regla móvil que puede deslizarse sobre la fija y que está dividida en un número de divisiones, por ejemplo diez (10), iguales, correspondiendo a estas 10 divisiones nueve (9) divisiones de la fija; por lo tanto, la apreciación del instrumento estará dada por la relación entre la menor división de la regla fija y la cantidad de divisiones de la regla móvil. En nuestro caso particular la precisión del instrumento era de 0.05mm ya que la menor división de la regla fija es de 1mm y la móvil tiene 20 divisiones.
   

• Micrómetro: Es un instrumento que consta, según se muestra en la figura de un montante o cuerpo en forma de U o herradura, presentando en uno de sus extremos una pieza cilíndrica roscada interiormente, siendo el paso de esta rosca de ½ mm o de 1mm. Esta pieza presenta además en su superficie externa una graduación longitudinal sobre una de sus generatrices de ½ en ½ milímetro. Dentro de esta pieza enrosca un tornillo, que al girar una vuelta completa, introduce uno de sus extremos dentro del espacio vacío de la herradura, avanzando por vuelta ½ mm o 1mm de acuerdo al paso que posee. Solidario al tornillo por el otro extremo se encuentra un tambor que por cada giro cubre a la pieza cilíndrica graduada una longitud igual al paso. El extremo del tambor indica en su avance la longitud que se introduce el tornillo dentro de la herradura. Esta última tiene en su extremo opuesto un tope fijo, regulable, que cuando hace contacto con la punta del tornillo indica longitud cero. El tambor tiene 50 o 100 divisiones según su paso sea de ½ mm o de 1 mm respectivamente sobre su perímetro circunferencial en el extremo que avanza sobre el cilindro graduado. Particularmente nuestro micrómetro poseía una precisión de 0.01 mm con un tambor de 50 divisiones y paso de ½ mm.

• Balanza electrónica: Este dispositivo consiste básicamente en una galga extensométrica donde un extremo se encuentra solidificado a un plato y el otro fijo a la carcasa. De esta manera al situar un objeto con una determinada masa sobre el plato ejerce una fuerza igual al peso de dicho objeto. Esto produce una deformación en la galga que es detectada y, mediante circuitos electrónicos, es traducido en un display a una medida de masa. Se debe tener en cuenta la balanza electrónica mide fuerza, pero debido a una igualdad matemática puede ser considerada como masa. La precisión de este dispositivo es de 0,1g y está dado directamente por el fabricante ya que posee un display que indica décimas de gramo.

• Cilindro macizo: Esté es el elemento al cual se pretende dimensionar, determinar su masa y densidad, luego con dichos datos determinar aproximadamente su composición química. Su forma es aproximadamente la de un cilindro, pero tiene importantes imperfecciones mecánicas, lo cual llevará a errores en las mediciones y en los cálculos que por cuestiones prácticas no son dimensionados ni tenidos en cuenta.

Introducción teórica

A diferencia de lo que ocurre en matemática, las cantidades que se emplean para describir fenómenos naturales no son exactas.

Estas cantidades son obtenidas por procesos de interacción entre un observador, sus elementos de precisión, los elementos del fenómeno observado y las condiciones del laboratorio. El esquema de una medición directa está dado en la figura 5.

Cada interacción, cuando está clara y precisamente protocolizada, define un tipo de magnitud. Así, por ejemplo, la longitud de un cuerpo está definida por una serie bien determinada de pasos que hay que seguir mediante el uso de una regla graduada, calibre u otro instrumento, para generar los números que indican la longitud de ese cuerpo. Estos números surgen de la comparación, que mediante el instrumento, se hace con un patrón adoptado por convención y que tiene las mismas características de la magnitud física que se desea medir. El conjunto de pasos es el protocolo que define a la longitud.

Así la medida obtenida debe constar de elementos que:

• Cuantifiquen la magnitud.

• Informen de la indeterminación con que midió.

• Indiquen la unidad utilizada o patrón con que se calibró el instrumento.

Una medición no puede conducir a un número exactamente, consecuencia de la discontinuidad de la materia, puesto que:

• La magnitud a medir no está nítidamente definida.

• El protocolo que define la magnitud trae aparejadas indeterminaciones intrínsecas

• El instrumento no está libre de incertezas.

• El instrumento influye sobre el objeto de estudio.

En el caso más general se obtiene como resultado dos números, la cota máxima y mínima de un intervalo que llamamos incerteza.

La incerteza absoluta se calcula:
(Fórmula 1.2)

El valor representativo se obtiene con la siguiente fórmula
(Fórmula 1.1)

La medición se expresa entonces como un valor representativo más una incerteza absoluta.

Para comparar y determinar la validez de la incerteza, se obtiene la siguiente relación, que recibe el nombre de error relativo:
(Fórmula 1.3)

Y también
(Fórmula 1.4) que es el error relativo porcentual.

Para el cálculo del error se utilizó el Método de Derivadas Parciales, cuya fórmula se detalla:

Un desarrollo completo de cálculos de incertezas en fórmulas con una o más variables se adjunta en el Apéndice 3.

Desarrollo

El trabajo consistió en determinar el material de una pieza cilíndrica. Para esto se midió repetidas veces y con tres instrumentos diferentes (con el fin de diferenciar los errores de cada instrumento) tanto la altura como el diámetro de la pieza.

Seguidamente se procedió a tomar el peso de la misma mediante la utilización de una balanza electrónica.

Con dichos datos se obtuvo el volumen (fórmula 2.2) para luego poder calcular la densidad (fórmula 2.1).

Finalmente se procedió a la determinación del material del cilindro, mediante la comparación del valor experimental de densidad, con los valores de tabla de diferentes elementos. Pero debido a la gran existencia de aleaciones no se logro determinar inequívocamente la composición del cilindro, aunque si se logro reducir el espectro de posibilidades a latón o bronce de cañones.

Resultados y discusión

La balanza determinó una masa de 44,5g y presenta un error de medición de 0,1g.

Con respecto a las mediciones tanto de altura como de diámetro se confeccionaron tres tablas (una para cada instrumento de medición) donde se detallan cinco mediciones realizadas por distintos observadores para las dos dimensiones.

Tabla 1.1

Tabla 1.2

Tabla 1.3

* Notas:

• Los valores mostrados están expresados en milímetros.

• D = Diámetro; D = Error de clase del instrumento para el diámetro.

• H = Altura; h = Error de clase del instrumento para la altura.

Una vez conocidos los valores de las mediciones se completó la tabla 2.1 con las dimensiones representativas son sus respectivos errores relativos

Tabla 2.1

**Nota: Valores expresados en mm

Estos valores fueron calculados de la siguiente manera:

Medición con regla: Se eligió el valor de 1,9cm para el diámetro pues se produjeron tres mediciones con dicho valor y solo dos con un valor de 2cm. En caso de realizar un promedio daría un valor muy similar a 1,9cm y al utilizar el recurso de redondeo el valor final sería el mismo del seleccionado. Análogamente se procedió para el valor representativo de la altura.

Medición con calibre: Para la elección un valor representativo de la altura se calculó mediante la fórmula 1.1 y su respectivo error relativo con la fórmula 1.2. Sin embargo, para el valor del diámetro se optó por el método de repetición por los motivos mencionados para el procedimiento con la regla y el error relativo de la medición es igual al de clase del instrumento.

Medición con micrómetro: En este caso el valor representativo del diámetro fue calculado por promedio ya que se obtuvieron valores muy similares pero distintos. Con respecto al cálculo del valor representativo de la altura se procedió análogamente que para la medición con calibre.

Seguidamente se calcularon los volúmenes correspondientes a las tres mediciones realizadas utilizando la fórmula usual del cilindro (fórmula 2.2)

Con este valor y el peso se calculó la densidad mediante la fórmula 2.1, que se comparó con la tabla de densidades 3.3.

Finalmente, recurriendo a la formula antes mostrada se obtuvieron los siguientes valores de densidad y sus errores para cada instrumento utilizado.

Tabla 2.3

Dichos valores fueron calculados mediante la ecuación (2.1) de densidad

Para valores expresados en la tabla 2.3 se tuvo en cuenta el error relativo con 1 cifra significativa y el valor representativo se redondeó en la misma cifra del error.

Luego para el cálculo del error relativo de cada una de las mediciones se procedió utilizando el método de derivadas parciales (fórmula 2.4 - Ver apéndice 1) obteniendo los siguientes resultados:

(para la regla)

(para el calibre)

(para el micrómetro)

Con estos datos obtenidos y mediante la tabla 3.3 (Ver apéndice 2) se determinó que el material del cual estaba compuesto el cilindro era de latón o bronce de cañones, pues, a pesar que no posee una densidad demasiada cercana a la obtenida experimentalmente, cumple con propiedades físicas mientras que los elementos que podrían ser debido a su densidad no cumplen con dichas especificaciones. Se debe considerar que el valor obtenido de la densidad no es exactamente igual al de la tabla ya que las deformaciones mecánicas distorsionan dicho valor medido y, además, al ser una aleación puede tener distintos porcentajes de cada metal, con lo cual la densidad es relativamente variable.

Consideraciones:

Se debe tener en cuenta que en el cilindro utilizado se pudieron observar importantes irregularidades en cuanto a la forma constructiva. Este tenía severas deformaciones mecánicas además de una pequeña perforación en el centro. Estas cuestiones generan que, a pesar de la “exactitud” de las mediciones exista un error inevitable.

Debido a los mencionados motivos hay que considerar, por un lado, que no tiene sentido utilizar métodos muy eficientes para la medición debido a que las irregularidades mecánicas que presenta el objeto introducen un error suficientemente grande para que el error producido por la medida resulte despreciable.

Sin embargo, si se realizan las mediciones con exactitudes pobres, se introduce un error importante. En conclusión, el mejor valor se halla con el calibre ya que la incertidumbre de la regla no permite determinar el material y la exactitud del micrómetro es innecesaria.

Conclusiones

Con estos datos obtenidos y mediante la tabla 3.3 (Ver apéndice 2) se determinó que el material del cual estaba compuesto el cilindro era de latón o bronce de cañones, pues, a pesar que no posee una densidad demasiada cercana a la obtenida experimentalmente, cumple con propiedades físicas mientras que los elementos que podrían ser debido a su densidad no cumplen con dichas especificaciones. Se debe considerar que el valor obtenido de la densidad no es exactamente igual al de la tabla ya que las deformaciones mecánicas distorsionan dicho valor medido y, además, al ser una aleación puede tener distintos porcentajes de cada metal, con lo cual la densidad es relativamente variable.

Por otro lado la perforación que presentaba el cilindro provoca que se mida una menor masa, o en su defecto, un mayor volumen, con lo cual provoca que el valor hallado sea menor al real. Esto justifica parcialmente el por qué de la diferencia entre el valor hallado experimentalmente con el que indica la tabla.

Finalmente, podemos enunciar un concepto desprendido de la experiencia:

Al realizar mediciones, debemos utilizar el criterio Técnico - Comercial: ¿Es necesario gastar en un aparato preciso, complicado y consecuentemente más caro cuando la tolerancia del resultado no lo precisa? ¿O hay que usar instrumentos más sencillos y baratos pero con alto error? Ninguna es correcta. Un ingeniero debe saber medir con el sistema adecuado según las necesidades de precisión. En nuestro caso, el calibre resultó ser la mejor opción: mucho más preciso que la regla y casi tanto como el micrómetro, más costoso y complicado. Si tuviésemos la posibilidad de medir con mejores instrumentos, llegaríamos a un momento en que las diferencias entre mediciones serían casi nulas.

Apéndice 1 - Fórmulas utilizadas

Fórmulas utilizadas para distintos cálculos

• Densidad de los objetos
  (Fórmula 2.1)

• Volumen del cilindro
  (Fórmula 2.2)

• Valor representativo de la densidad
  (Fórmula 2.3)

• Error absoluto de la densidad
  
  
  
  (Fórmula 2.4)
  

• Regla

• Calibre

• Micrómetro

• Error relativo de una altura (Fórmula 1.2)

• Valor representativo de una altura (Fórmula 1.1)

Notas: Estas últimas dos fórmulas fueron utilizadas para calcular el error relativo de las alturas medidas con el calibre y micrómetro. Esto se debe a que las deformaciones mecánicas que presenta el cilindro introduce un error de medición que es mayor a la precisión del instrumento. Motivo por el cual es incorrecto tomar la precisión del instrumento como el error relativo de la medición.

• Error relativo de la altura medida con el micrómetro

• Valor representativo de la altura medida con el micrómetro
  

• Error relativo de la altura medida con el calibre

• Valor representativo de la altura medida con el calibre

Apéndice 2 - Tabla de densidades de metales

Tabla 3.3

En el siguiente gráfico se puede apreciar que el valor “verdadero” del la densidad tiene que ser encontrado dentro del rango determinado por el error relativo de la medición con micrómetro. Otro dato importante es que el resto de los instrumentos de medición comprenden a dichos valores, con lo cual todo parece indicar que las mediciones fueron bien realizadas.

Apéndice 3 - Propiedades de metales y aleaciones

Algunas propiedades del latón

Latón: Aleación de cobre y zinc de color amarillo pálido que se le puede dar gran lustre y pulimiento, la aleación puede ser muy variable, pero únicamente tiene la verdadera importancia industrial el latón en que figure el cobre con 66 hasta 73 % con relación al zinc. […]

Existen latones especiales obtenidos mediante la mezcla de metales como el hierro, aluminio, plomo, estaño y manganeso.

Latón Fundido - Latones Puros (latón amarillo)

Como latón amarillo se emplean aleaciones de zinc y cobre con 62 a 68% de este último. […]

Algunas propiedades del cobalto

Cobalto: El cobalto se encuentra en casi todos los minerales de níquel. Es un metal análogo al hierro, de color gris de acero.

Algunas propiedades del Niquel

Niquel: Metal de color y brillo parecidos a los de la plata, muy duro, magnético, un poco más pesado que el hierro, difícil de fundir y oxidar. […]

Hütte - Manual del ingeniero - Tomo I - Segunda edición - Editorial Gustavo GILI

Diccionario SAPIENS Enciclopedia Ilustrada de la Lengua Castellana - Decimocuarta edición

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Diccionario SAPIENS Enciclopedia Ilustrada de la Lengua Castellana - Decimocuarta edición

• Apunes de la cátedra

Figura 1

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Instrumento y método de medición

Observador

Interacción entre observador e instrumento de medición, aplicación del método de medición

Interacción entre instrumento y el objeto a medir

Sistema en estudio, cuyas propiedades se desea medir

Medio ambiente o laboratorio; conjunto de elementos que no pertenece al sistema en estudio pero que pueden interactuar con él

H

D