Medición de ángulos

Ahora continuaremos el estudio de la trigonometría con el concepto de ángulos y sus medidas. Un ángulo  es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dos rayos que se extienden desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son los lados del ángulo. El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo, rayo s, se llama rayo terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del lado inicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza su posición terminal.

lado s

terminal

P 

lado

inicial r

Una rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no está limitada. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales (Figura 3), estos ángulos se llaman ángulos coterminales.

lado lado inicial

terminal



 lado

terminal 

lado inicial 

lado inicial

 ángulo positivo  ángulo negativo  y  ángulos coterminales

Nota:  ángulo positivo

 ángulo negativo

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Si el lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración a continuación.

lado terminal

Vértice

lado inicial

Angulo en posición normal Angulo cuadrantal

Así como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se miden comúnmente en grados o radianes.

Definición: Medición en grados

Un ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Un ángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (10). El símbolo “0” denota grados.

Definiciones:

Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide 900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es un ángulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.

Ángulo llano ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso

Ángulo central

Dos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900. Dos ángulos son suplementarios si su suma es 1800.

Nota: Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales (ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).

Definición: Medición en radianes

Si el vértice de un ángulo  está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud del arco opuesto a  en la circunferencia es s, entonces  medido en radianes está dado por:

s

r 

Un radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de la misma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en las mismas unidades. Además,  se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y como medida del ángulo.

Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que se miden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un número sin unidades.

Ejemplos para discusión: Halla en radianes la medida de un ángulo central  opuesto a la longitud de un arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados a continuación:

1) s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas

2) s = 24 centímetros; r = 8 centímetros

Ejercicio de práctica: ¿Cuál es la medida de un ángulo central  opuesto a un arco de 60 pies en un círculo de radio de 12 pies?

Conversión entre grados y radianes:

La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basado en que:

Para cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientes fórmulas:

Ejemplos para discusión:

1) Cambia de radianes a grado:

2) Cambia de grados a radianes:

a) 750

b) 1500

c) -150

Usando la calculadora

También podemos hacer la conversión de grados a radianes y de radianes a grados con la calculadora. Veamos los pasos a seguir dependiendo del tipo de calculadora.

Para cambiar radianes a grados:

Ejemplo: 5 radianes a grados

Para cambiar grados a radianes:

Ejemplo: 750 a radianes

Ejercicio de práctica:

1) Cambia de radianes a grado:

2) Cambia de grados a radianes:

a) 2400

b) 2700

3) Completa la tabla a continuación: