Mecánica y dinámica de fluidos

Fluido ideal. Hidrostática. Presión. Torricelli. Pascal. Barómetro, manómetro. Líneas de corriente. Teorema de Bernoulli. Ecuación de continuidad

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Introducción

Se entiende por fluido un estado de la materia en el que la forma de los cuerpos no es constante, sino que se adapta a la del recipiente que los contiene. La materia fluida puede ser trasvasada de un recipiente a otro, es decir, tiene la capacidad de fluir. Los líquidos y los gases corresponden a dos tipos diferentes de fluidos. Los primeros tienen un volumen constante que no puede mortificarse apreciablemente por compresión. Se dice por ello que son fluidos incompresibles. Los segundos no tienen un volumen propio, sino que ocupan el del recipiente que los contiene; son fluidos compresibles porque, a diferencia de los líquidos, sí pueden ser comprimidos.

Propiedades de los fluidos. Fluidos ideales.

Cuando los líquidos están en reposo presentan una superficie libre, siempre horizontal, excepto en su contorno. Los líquidos presentan elasticidad de volumen, pero no de longitud ni de forma; además, adaptan su forma a la del recipiente que los contiene.

Un líquido ideal es, por definición, aquél en que sería completamente imposible ejercer una cizalladura. Esto es decir, un líquido sobre el que se le podría dejar flotar sobre él un cuerpo cualquiera y no ejercería éste rozamiento alguno sobre una corriente del líquido. Los líquidos reales se apartan un poco de esta definición, pudiendo ser objeto de pequeñas cizalladuras.

Presión de un fluido estático.

Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable, los efectos que provoca dependen no sólo de su intensidad, sino también de cómo esté repartida sobre la superficie del cuerpo. Así, un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado hace que penetre más en la pared de lo que lo haría otro clavo sin punta que recibiera el mismo impacto. Un individuo situado de puntillas sobre una capa de nieve blanda se hunde, en tanto que otro de igual peso que calce raquetas, al repartir la fuerza sobre una mayor superficie, puede caminar sin dificultad.

El cociente entre la intensidad F de la fuerza aplicada perpendicularmente sobre una superficie dada y el área S de dicha superficie se denomina presión:

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La presión representa la intensidad de la fuerza que se ejerce sobre cada unidad de área de la superficie considerada. Cuanto mayor sea la fuerza que actúa sobre una superficie dada, mayor será la presión, y cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada, mayor será entonces la presión resultante.

La presión en los fluidos

El concepto de presión es muy general y por ello puede emplearse siempre que exista una fuerza actuando sobre una superficie. Sin embargo, su empleo resulta especialmente útil cuando el cuerpo o sistema sobre el que se ejercen las fuerzas es deformable. Los fluidos no tienen forma propia y constituyen el principal ejemplo de aquellos casos en los que es más adecuado utilizar el concepto de presión que el de fuerza.

Cuando un fluido está contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus paredes y, por tanto, puede hablarse también de presión. Si el fluido está en equilibrio las fuerzas sobre las paredes son perpendiculares a cada porción de superficie del recipiente, ya que de no serlo existirían componentes paralelas que provocarían el desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipótesis de equilibrio. La orientación de la superficie determina la dirección de la fuerza de presión, por lo que el cociente de ambas, que es precisamente la presión, resulta independiente de la dirección; se trata entonces de una magnitud escalar.

Unidades de presión: En el SI la unidad de presión es el pascal, se representa por Pa y se define como la presión correspondiente a una fuerza de un newton de intensidad actuando perpendicularmente sobre una superficie plana de un metro cuadrado. 1 Pa equivale, por tanto, a 1 N/m2.

Existen, no obstante, otras unidades de presión que sin corresponder a ningún sistema de unidades en particular han sido consagradas por el uso y se siguen usando en la actualidad junto con el pascal. Entre ellas se encuentran la atmósfera y el bar.

La atmósfera (atm) se define como la presión que a 0 ºC ejercería el peso de una columna de mercurio de 76 cm de altura y 1 cm2 de sección sobre su base.

Es posible calcular su equivalencia en N/m2 sabiendo que la densidad del mercurio es igual a 13,6 · 103 kg/m3 y recurriendo a las siguientes relaciones entre magnitudes:

Peso (N) = masa (kg) · 9,8 m/s2

Masa = volumen · densidad

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Como el volumen del cilindro que forma la columna es igual a la superficie de la base por la altura, se tendrá:

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es decir: 1 atm = 1,013 · 105 Pa.

El bar es realmente un múltiple del pascal y equivale a 105 N/m2. En meteorología se emplea con frecuencia el milibar (mb) o milésima parte del bar · 1 mb = 102 Pa.

1 atm = 1 013 mb

Teorema de hidrostática.

El estudio de los fluidos en equilibrio constituye el objeto de la estática de fluidos, una parte de la física que comprende la hidrostática o estudio de los líquidos en equilibrio, y la aerostática o estudio de los gases en equilibrio y en particular del aire.

Todos los líquidos pesan, por ello cuando están contenidos en un recipiente las capas superiores oprimen a las inferiores, generándose una presión debida al peso. La presión en un punto determinado del líquido deberá depender entonces de la altura de la columna de líquido que tenga por encima suyo.

Considérese un punto cualquiera del líquido que diste una altura h de la superficie libre de dicho líquido. La fuerza del peso debido a una columna cilíndrica de líquido de base S situada sobre él puede expresarse en la forma:

Fpeso = mg = · V · g = · g · h · S

siendo V el volumen de la columna y S la densidad del líquido. Luego la presión debida al peso vendrá dada por:

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Prensa Hidráulica.

La prensa hidráulica ilustra el principio de Pascal. Con una fuerza pequeña puede inducirse en r una gran presión, debido a que el área en r es pequeña. La misma presión se aplica a cada superficie del fluido, incluyendo el pistón P, y como el área de P es grande, la fuerza total sobre el pistón también es grande. La relación entre la fuerza aplicada en r y la fuerza sobre la paca de algodón en P es igual al cociente entre las áreas de los pistones en r y en P. (Ver principio de Pascal)

Manómetro

Un manómetro es un aparato que sirve para medir la presión de los gases contenidos en recipientes cerrados. Existen, básicamente, dos tipos de manómetros: los de líquidos y los metálicos.

Los manómetros de líquidos emplean, por lo general, mercurio que llena un tubo en forma de J. El tubo puede estar o abierto por ambas ramas o abierto por una sola. En ambos casos la presión se mide conectando al recipiente que contiene el gas el tubo por su rama inferior y abierta y determinando el desnivel h de la columna de mercurio entre ambas ramas. Si el manómetro es de tubo abierto entonces es necesario tomar en cuenta la presión atmosférica po en la ecuación p = po ± gh. Si es de tubo cerrado, la presión vendrá dada directamente por p = gh. Los manómetros de este segundo tipo permiten, por sus características, la medida de presiones elevadas.

En los manómetros metálicos la presión del gas da lugar a deformaciones en una cavidad o tubo metálico. Estas deformaciones se transmiten a través de un sistema mecánico a una aguja que marca directamente la presión del gas sobre una escala graduada.

Teorema de Torricelli.

La figura que se encuentra debajo representa un líquido que sale por un orificio practicado en un depósito, a una profundidad h por debajo de la superficie del líquido en el depósito.

Tómese un punto 1 en el orificio y un punto 2 en la superficie. La presión en ambos puntos es la presión atmosférica pa, ya que los dos están en comunicación con la atmósfera. Tomemos como plano de referencia el fondo del depósito. Si el orificio es pequeño, en nivel del líquido en el depósito descenderá lentamente. Por consiguiente, v2 es pequeña y la supondremos nula. Entonces:

Pa + V1 + y1 = pa + 0 + y2

 g 2 g  g

o sea,

v12 = 2g(y2 - y1) = 2 g h

Este es el teorema de Torricelli. Obsérvese que la velocidad de salida es la misma que la que adquiriría un cuerpo que cayese libremente, partiendo del reposo, desde una altura h.

Si A es el área de la abertura, el volumen de fluido que sale por unidad de tiempo:

Av = A Mecánica y dinámica de fluidos

A causa de la convergencia de las líneas de corriente cuando se aproximan al orificio, la sección transversal de la corriente continúa disminuyendo durante un pequeño recorrido fuera del depósito, y, por tanto debe utilizarse el área de sección mínima, llamada sección contraída. Para una abertura circular de bordes finos, el área de la sección contraída es el 65% aproximadamente del área del orificio.

Barómetro.

Un barómetro es un dispositivo para medir la presión atmosférica. Un tipo de barómetro puede construirse usando un tubo de al menos 800 mm de largo, con un extreme cerrado, y llenarlo con mercurio. A continuación el extremo abierto se tapa con el pulgar y se invierte el tubo, el extremo abierto se coloca en un recipiente de mercurio, y se quita el pulgar. Cuando se quita el pulgar, la altura de la columna de mercurio desciende hasta una altura h, medida respecto al recipiente. Al nivel del mar la altura de la columna de mercurio es en promedio de 760 mm, dependiendo del estado del tiempo.

Hay otros tipos de dispositivos utilizados para la misma finalidad. El llamado barómetro de fortín es, de hecho, una reproducción mejorada del aparato de Torricelli. Su cubeta posee un fondo compuesto de un material flexible, por lo que puede ser alterado mediante un tornillo auxiliar con el fin de conseguir ajustar el nivel del mercurio de la cubeta al cero de la escala graduada cada vez que se efectúa una medida. Los barómetros de sifón son simples manómetros de tubo cerrado en los cuales la rama corta del tubo en J hace las veces de cubeta y la rama larga de tubo de Torricelli.

Los barómetros metálicos o aneroides constan de una caja metálica de paredes relativamente elásticas, en cuyo interior se ha efectuado el vacío. Un resorte metálico hace que las paredes de la caja estén separadas. En su ausencia dichas paredes tenderían a aproximarse por efecto de la presión exterior. Por igual procedimiento variaciones en la presión atmosférica producen cambios en la forma de la caja que se transmiten al resorte y éste los indica, a través de un mecanismo de amplificación, sobre una escala graduada en unidades de presión. Los barómetros metálicos pueden mortificarse de forma que sus resultados queden registrados en un papel. De este modo se puede disponer de información sobre cómo varía la presión atmosférica con el tiempo.

Principio de Arquímedes

Según un relato histórico, Hiero, rey de Siracusa, encargó una corona nueva. Al recibirla no quedó satisfecho pues sospechaba que el orfebre había adulterado el oro con plata. El rey preguntó a su amigo y matemático Arquímedes, si era posible determinar si la corona era pura sin cortarla, Arquímedes estaba pensando sobre el problema cuando fue a tomar un baño, al introducirse poco a poco en la bañera llena de agua se dio cuenta que el agua que desalojaba era igual al volumen de su cuerpo bajo el agua, según el relato, Arquímedes exclamó, «Eureka» («lo encontré»), saltó del baño y corrió hacia la calle. Lo que había descubierto es que el volumen de la corona, que era de forma irregular, podía hallarse sumergiéndola en agua. Comparando el peso de la corona con el peso de un volumen igual de oro puro, podía determinar si la corona era de oro puro. Según la leyenda, el orfebre había estafado al rey y fue ejecutado! Arquímedes continuó trabajando y escribió el “Sobre los cuerpos flotantes” que estableció los principios generales de la hidrostática.

El principio cuyo nombre se debe a Arquímedes es este:

Un cuerpo que está parcial o totalmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza de módulo igual al peso del fluido desalojado y dirigida verticalmente según una línea que pasa a través del centro de gravedad del fluido desalojado.

Para comprobar este principio a partir de las leyes de Newton, consideremos un objeto en equilibrio mientras está inmerso en el fluido. Si reemplazamos el objeto por un volumen igual de fluido (el fluido desalojado), el fluido desalojado también está en equilibro rotacional y traslacional. La fuerza que el fluido ejerce sobre el objeto y las fuerzas que ejercía sobre el líquido desalojado son las mismas, así pues, la fuerza aplicada por el fluido que limita al objeto debe ser igual al peso de fluido desalojado y debe estar dirigida hacia arriba pasando a través del centro de gravedad del fluido desalojado. Ya que el peso del fluido desalojado es igual a la masa de éste pV por la aceleración de la gravedad, el módulo de la fuerza de empuje F, es:

FE = pgV

Notar que p es la densidad del fluido desalojado y V el volumen de éste.

Este es el principio utilizado en el control de los submarinos. El submarino se sumerge al dejar que se llenen de agua sus tanques de control, pues aumenta el peso del submarino. Para hacerlo subir se desaloja el agua de los tanques con aire comprimido o con bombas.

Principio de Pascal.

Hay varios principios de hidromecánica debidos al filósofo francés BLAS PASCAL (1623-1662). Uno de éstos dice que cualquier aumento de presión ejercido sobre cualquier punto del líquido, transmite este aumento de presión a todos los otros puntos del líquido.

Este principio se aplica en las prensas hidráulicas, como las que se usan para embalar materiales, para formar la cubierta de plomo en cables eléctricos y otras aplicaciones semejantes. En el tema anterior “Prensa hidráulica”, he incluido un gráfico esquemático de la misma. Consiste en una masa líquida confinada dentro de dos cilindros metálicos comunicados de secciones a y A, respectivamente, y provistos de sendos émbolos. Al aplicar una fuerza f al émbolo más pequeño, la presión producida debajo de él, aumenta f/a. El mismo aumento de presión se transmitirá al émbolo mayor, de modo que la fuerza ejercida ahora por éste será F = (f/a)A. Luego, F/A = f/a. En las aplicaciones usuales de esta máquina, una gran fuerza ejercida sobre una pequeña distancia se obtiene ejerciendo una fuerza pequeña a lo largo de una distancia grande.

Se puede calcular el desarrollo mecánico de la prensa hidráulica, el desarrollo ideal es A/n, pero el desarrollo real es menor debido al rozamiento entre los émbolos y los cilindros.

Los frenos hidráulicos de los automóviles, funcionan con la presión de un líquido. Un cilindro maestro se halla bajo el pedal del freno y está conectado por tubos metálicos con los cilindros que se encuentran en cada uno de los frenos de las ruedas, y todo el sistema está lleno de un líquido que no se solidifica. Al aplicar la presión del pie, el pistón del cilindro maestro se desplaza hacia dentro comprimiendo el líquido allí; este aumento de la presión se transmite a los cilindros de las ruedas que desplazan sus pistones hacia afuera, ciñendo los tambores con las ruedas con las cintas de los frenos.

Dinámica de los fluidos.

Los fluidos en movimiento son mucho más complejos que los fluidos en repose. Es difícil aplicar las leyes de Newton a una Unica «partícula» de fluido, siguiendo el movimiento de la partícula de uno a otro lado en un sistema complicado. En su lugar haremos uso de la segunda ley de Newton para encontrar las propiedades del fluido en cada punto del sistema, mientras las partículas del sistema fluyen de uno a otro lado. Así pues, la descripción del movimiento de fluido consiste en hallar su densidad, su presión y su velocidad en todos los puntos.

Las magnitudes apropiadas para la descripción de la dinámica de los fluidos son:

  • La densidad del fluido. Mecánica y dinámica de fluidos
    En general puede variar con la posición y el tiempo como se indica. Esta magnitud es en los fluidos análoga a la masa de una partícula, siendo la masa por unidad de volumen.

  • La velocidad del fluido. V(r, t) Es la velocidad de un elemento pequeño del fluido en la posición r y en el tiempo t.

  • La presión p(r, t)

  • La densidad de cantidad de movimiento. J(r, t) Esta magnitud es análoga en los fluidos a la cantidad de movimiento y se relaciona con la densidad y la velocidad por

  • J(r, t) = Mecánica y dinámica de fluidos
    v(r, t).

    En algunas ocasiones también se le llama densidad de flujo de masa porque se tiene que j . dA nos da la masa del fluido transportado que pasa por el elemento de área dA infinitesimal, en una unidad de tiempo. El vector dA tiene dirección normal al elemento de superficie y tamaño igual al área de la superficie infinitesimal

  • La densidad de energía cinética. ½  v2 Es la energía cinética por unidad de volumen; puede variar con la posición y el tiempo.

  • La densidad de energía potencial. Esta es la energía potencial de un elemento infinitesimal de volumen del fluido debida a una fuerza conservativa. Por ejemplo, cerca de la superficie de la Tierra, si y es la altura de un elemento de volumen del fluido sobre un punto de referencia en el que la energía potencial gravitacional se toma como cero, la densidad de energía potencial es gy. El flujo de los fluidos puede clasificarse de varias maneras; éstas pueden ser:

  • Estable o inestable. Si v (r, t) es independiente del tiempo, el flujo del fluido es estable. En otras palabras, todos los elementos del fluido que pasan por un punto r tendrán la misma velocidad que los que pasaron antes que ellos y la misma que tendrán los que pasen después. En el caso del flujo estable, si un elemento del fluido llega a r en cierto tiempo t, conocemos dónde estará en cualquier tiempo posterior a t y que sabemos dónde se encontraba.

  • Compresible e incompresible. Si la densidad es constante (independiente de la posición y el tiempo) el fluido es incompresible. Generalmente a los líquidos se les considera como los incompresibles y para muchas aplicaciones los cambios de densidad de un gas pueden carecer de importancia; en dicho caso, el gas fluye incompresiblemente.

  • Viscoso y no viscoso, La viscosidad es lo análogo en los fluidos a la fricción; introduce fuerzas tangenciales entre las capas de los fluidos que se encuentran en movimiento relativo y disipan energía mecánica.

  • Rotacional o irrotacional. Si un elemento pequeño de un fluido, en cierto punto, no tiene movimiento rotacional alrededor de su centro de masa, el fluido fluye en dicho punto con flujo localmente irrotacional. Si esto es verdad para todos los elementos del fluido, su flujo es irrotacional. Conceptualmente podemos imaginar esto, colocando pequeñas ruedas con paletas en el fluido y en varios puntos. Si se trasladan sin girar, el flujo es irrotacional.

  • Líneas de corriente. Ecuación de continuidad. Teorema de Bernoulli.

    Si observamos el aspecto del humo ascendente de un cigarrillo, el humo sale adoptando una forma que es constante en el tiempo y luego, más arriba, cambia adoptando un aspecto más complicado que vana con el tiempo. Este régimen variable en el tiempo se denomina turbulencia. Aún no se entiende completamente el movimiento de turbulencia, por lo que comenzamos suponiendo un flujo sin turbulencia, y además nos restringiremos a las condiciones de estado estacionario, de modo que la densidad p, presión p, y velocidad v del fluido en un punto dado son constantes en el tiempo. En este caso, las líneas de flujo para las partículas del fluido son suaves, como en la parte de abajo del aspecto del humo de un cigarrillo, y pueden dibujarse, u observarse experimentalmente. Estas líneas se denominan líneas de corriente, y se dibujan en cada lugar paralelas a la velocidad del fluido. Ya que las partículas se mueven a lo largo de las líneas de corriente, el fluido no cruza una superficie compuesta de estas líneas.

    Las líneas de flujo pueden dibujarse de tal manera que formen un tubo de flujo, que es un manojo de líneas de corriente colindantes. Aunque visualizamos al manojo como fijo en el espacio y en el tiempo, la pared de confinamiento no es un tubo sólido, sino más bien una superficie constituida también por líneas de corriente. Consideremos que la región en el tubo es lo bastante delgada como para que la presi8n p, la densidad p, y el módulo de la velocidad v sean uniformes a lo largo de cualquier sección transversal de área A.

    La masa del fluido en un pequeño volumen Mecánica y dinámica de fluidos
    V que pasa por cualquier sección transversal de área A en un tiempo Mecánica y dinámica de fluidos
    t es Mecánica y dinámica de fluidos
    m = pMecánica y dinámica de fluidos
    V = p AvMecánica y dinámica de fluidos
    t .Así pues la rapidez del flujo de masa es Mecánica y dinámica de fluidos
    m/Mecánica y dinámica de fluidos
    t= p Av. Si tenemos un flujo estacionario, éste debe ser igual en cualquier memento en todas las zonas a lo largo del tubo, ya que cualquier flujo que atraviese una sección transversal debe atravesar las otras secciones transversales, puesto que nada se acumula en el tubo ni nada atraviesa sus paredes. Así pues tenemos

    P1V1A1 = P2V2A2 (Ecuación de continuidad)

    Esta ecuación se denomina ecuación de continuidad, y expresa la conservación de la masa en el estado estacionario.

    Además, si suponemos que el fluido es incompresible, o equivalentemente, que la densidad es constante, o sea p1 = p2, tenemos que

    V1A1 = V2A2 (Ecuación de continuidad para un fluido incompresible)

    Esta hipótesis es buena para el agua, e incluso funciona bastante bien para el flujo de aire alrededor de las alas o en el calentamiento y enfriamiento en conductos donde los cambios de presión son pequeños. El producto vA indica la rapidez del flujo de volumen, que viene dada por el símbolo Q.

    Hemos sido capaces de obtener la ecuación de continuidad bajo la hipótesis de que el flujo es estacionario y hemos demostrado que vA es una constante en el flujo de un fluido incompresible. Si además, el trabajo que realizan las fuerzas no conservativas es despreciable, la energía mecánica se conserva. A continuación vamos a considerar este caso.

    El módulo de la velocidad de flujo, la altura del fluido y la presión pueden variar a lo largo de una línea de flujo, tal como ocurre en los puntos 1 y 2 de la figura. Ahora demostraremos que el teorema de la energía cinética relaciona estas cantidades para los puntos a lo largo de las líneas de flujo.

    Hallamos primero el trabajo realizado en un intervalo de tiempo corto t, sobre el fluido que inicialmente está en la región limitada por A1, A2 y el tubo de flujo. La fuerza ejercida sobre la superficie A1 por el fluido que está tras ella es p1 A1. El trabajo realizado por esta fuerza en el tiempo t es el producto de la fuerza por la distancia que se desplaza, v1 t. Así pues W1 = ­ p1 A1 t. de igual manera, en A2 la presión realiza un trabajo W2 = - p2 v2 t. La diferencia de signo se debe a que un trabajo es realizado sobre el fluido, y el otro es realizado por el fluido. El trabajo total es la suma de estos los dos:

    W = p1 A1 t - p2 v2 t

    Según la ecuación de continuidad para un fluido incompresible, V1A1 = V2A2. Así pues, v = V1A1 t = V2A2 t, es el volumen de fluido que entra por un extremo del tubo y sale por el otro en el intervalo t. Ahora el trabajo total realizado sobre el fluido puede expresarse como W = (p1-p2) v.

    El teorema de la energía cinética muestra que este trabajo es igual al cambio en la energía mecánica del fluido limitado inicialmente por A1 y A2. Ya que el flujo es estacionario, las propiedades del fluido en la región entre A'1 y A2 son constantes. Hay un cambio en la energía mecánica en la región recientemente ocupada entre A2 y A'2 y en la región entre A'1 y A1, que se ha abandonado. Ya que el volumen de cada una de estas regiones es v y la densidad es constante, la masa contenida en cada región es m = v. La energía potencial viene dada por (m)gy y la energía cinética por ½ (m)v2. El cambio en la energía mecánica queda como:

    E = [(m)gy2 + ½ (m)v22] - [(m)gy1 + ½ (m)v12]

    Y el teorema de la energía cinética se escribe como:

    (p­1 - p2) v = [(m)gy2 + ½ (m)v22] - [(m)gy1 + ½ (m)v12]

    Dividiendo por v con  = m/v y reordenando los sumandos, obtenemos:

    P1 + P g y1 + ½  V12 = P2 + P g y2 + ½  V22

    Esta ecuación se conoce como ecuación de Bernoulli, pues fue él quien la estableció originalmente en 1738 en su obra Hidrodinámica. Notar que en la deducción de la ecuación de Bernoulli hemos supuesto un flujo que conserva la energía, estacionario y no turbulento en un líquido incompresible.

    A pesar de que en esta ecuación sólo se relacionan la presión, el módulo de la velocidad y la altura a lo largo de una línea de flujo, textos más avanzados demuestran que si el flujo es no rotacional, la ecuación es válida para cualquier parte del fluido.

    Bibliografía consultada

    • Física clásica y moderna -Gettis - Keller - Skove

    • Física para estudiantes de Ingeniería - Resnick - Halliday -

    • Principios de Física - Ballard - Slack - Hausmann -

    • Física general - Sears - Zemansky -

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