Matrices

Álgebra. Clases. Operaciones: suma, resta, producto escalar. Inversión, matriz inversa. Gauss. Sistemas ecuaciones. Orden determinante. Adjunto. Rango

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1 Dadas las matrices , calcula X para que se verifique:

A + X - B = I.

Solución:

X = I + B - A =

2 Dadas las matrices , determina la dimensión de las siguientes matrices producto:

  • C·A

  • B·A

  • D·B

  • C·B

  • Solución:

  • (C·A)3x4

  • (B·A)7x4

  • (D·B)1x3

  • No existe el producto C·B puesto que el número de columnas de C no coincide con el número de filas de B.

  • 3 Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1, 1,5, 2 y 2,5 centímetros con los precios respectivos siguientes:

    Clavos A 0,02 0,03 0,04 0,05 €

    Clavos B 0,03 0,04 0,06 0,07 €

    Clavos C 0,04 0,06 0,08 0,10 €

    Sabiendo que en un minuto se producen:

    De 1 cm de longitud 100A 50Q 700H

    De 1,5 cm de longitud 200A 20Q 600H

    De 2 cm de longitud 500A 30Q 400H

    De 2,5 cm de longitud 300A 10Q 800H

    Se pide:

  • Resumir la información anterior en dos matrices M y N. M será una matriz 3 x 4 que recoja la producción por minuto y N una matriz 4 x 3 que recoja los precios.

  • Calcular los elementos de la diagonal principal de la matriz M · N y dar su significado.

  • Hacer lo mismo con la matriz N · M.

  • Solución:

    a)

    b) M · N es una matriz de 3 x 3.

    Su elemento a11 = 100 · 0,02 + 200 · 0,03 + 500 · 0,04 + 300 · 0,05 = 43 €, representa que se producen 43 € de clavos de aluminio por minuto.

    Su elemento a22 = 50 · 0,03 + 20 · 0,04 + 30 · 0,06 + 10 · 0,07 = 4,8 €, representa que se producen 4,8 € de clavos de cobre por minuto.

    Su elemento a33 = 700 · 0,04 + 600 · 0,06 + 400 · 0,08 + 800 · 0,10 = 17,60 €, representa que se producen 17,60 € de clavos de acero por minuto.

    c) N · M es una matriz de 4 x 4

    Su elemento a11 = 0,02 · 100 + 0,03 · 200 + 0,04 · 700 = 31,5 €, representa que se producen 31,5 € de clavos de 1 cm por minuto.

    Su elemento a22 = 0,03 · 200 + 0,04 · 20 + 0,06 · 600 = 42,8 €, representa que se producen 42.8 € de clavos de 1,5 cm por minuto.

    Su elemento a33 = 0,04 · 500 + 0,06 · 30 + 0,08 · 400 = 53,8 €, representa que se producen 53,8 € de clavos de 2 cm por minuto.

    Su elemento a44 = 0,05 · 300 + 0,07 · 10 + 0,10 · 800 = 95,7 €, representa que se producen 95,7 € de clavos de 2,5 cm por minuto.

    4 Dada la matriz , se pide:

  • Calcular (A - I)2 · (A - 5I) siendo I =

  • Obtener At y razonar si existe la inversa de A.

  • Solución:

    a)

    (A - I)2 · (A - 5I) =

    b) At = luego la matriz A tiene inversa

    5 Calcular una matriz X que verifique la igualdad:

    A · X = B, siendo A

    ¿Verifica también la matriz X la igualdad X · A = B?

    Solución:

    A-1 =

    El producto de matrices no es, en general conmutativo, i por tanto A · XX · A:

    6 Dada la matriz A = comprobar que A2 = 2A - I. Siendo I la matriz identidad. Utilizando la fórmula anterior calcular A4.

    Solución:

    A2 =

    2A - I =

    Luego son iguales.

    A4 = A2 · A2 =

    7 Obtener los valores de x, y y z, que verifiquen la siguiente ecuación matricial.

    Solución:

    Operando se obtiene:

    8 Sean las matrices A =

  • Determinar la matriz cuadrada M, tal que M · A = B

  • Comprobar que M2 = I, deducir la expresión de Mn

  • Solución:

    Planteando un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:

    b) se comprueba M2 = M · M = , por tanto

    9 Se considera la matriz , donde a y b son números reales.

    a) Calcular el valor de a y b para que A2 =

    b) Para los valores obtenidos en el apartado anterior, calcular A3 y A4.

    c) Sea n un número natural cualquiera. Dar la expresión de An en función de n.

    Solución:

    a) A2 = A · A =

    De (a + b)2 = 1, (a - b)2 = 1 y 2a = 2, se obtiene a = 1 y b = 0.

    b) La matriz obtenida en el apartado anterior es A =

    A3 = A · A2 =

    A4 = A · A3 =

    c) Observando los resultados obtenidos se puede afirmar que An =

    10 Dadas las matrices

    a) calcular A · B y B · A

    b) Comprobar que (A + B)2 = A2 + B2

    Solución:

    a)

    b)(A + B)2 = A2 + AB + BA + B2 = A2 + B2, dado que AB = - BA

    También puede comprobarse efectuando las operaciones matriciales.

    11 Se considera la matriz Hallar los valores de p y q que hacen que A2 = A. En este caso razonar, sin calcular, el valor de A10

    Solución:

    La igualdad se cumple cuando p = 0 y q = 1.

    Si la matriz verifica A2 = A, entonces A10 = A.

    12 Dadas las matrices siguientes:

    y B =

  • Calcular A2 + 2 AB + B2

  • Calcular (A + B)2

  • Solución:

    a)

    A2 + 2 AB + B2 =

    b) (A + B)2 =

    13 Dadas las matrices determinar si existe una matriz C que cumpla B·C = A.

    Solución:

    El sistema es incompatible, por tanto no existe la matriz C.

    14 Indicar todos los productos de dos matrices diferentes que se pueden hacer con las matrices siguientes:

    Solución:

    A · C; A · D

    B · A; B · C; B · D

    C · B

    D · E

    E · A; E · C; E · D

    15 Sean las matrices

    a) Calcular la matriz P que verifique B·P - A = Ct.

    b) determinar la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A·M·C

    c) Determinar la dimensión de la matriz N para que Ct · N sea una matriz cuadrada.

    Solución:

    a) B·P - A = Ct. B-1 ·B·P = B-1 ·(Ct + A) ⇒ P = B-1 ·(Ct + A)

    b) A es de dimensión 2x3 y C es de dimensión 3x2. Para poder realizar el producto A·M, M de be tener tres filas. Para poder realizar el producto M·C, M debe tener tres columnas. Luego M debe ser de dimensión 3x3.

    c) La matriz C tiene dimensión 3 x 2 luego su transpuesta tendrá dimensión 2 x 3, y para que sea posible el producto Ct · N, N debe tener tres filas. Si además queremos que la matriz producto sea cuadrada N ha de tener dos columnas y así la matriz será de dimensión 2x2.

    16 a) Determina la matriz X para que tenga solución la ecuación C(A + X)B = I, donde A, B y C son matrices con inversa de orden n e I es la matriz identidad de orden n.

    b) Aplica el resultado anterior para

    Solución:

    17 Sea A =

    a) Calcula A2

    b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica que

    Solución:

    a)

    b)

    18 Determinar La matriz X que verifica la ecuación: BX - A = 2X, siendo:

    Solución:

    BX - 2X = A (B - 2I)X = A X = (B - 2I)-1­ A

    19 Hallar todas las matrices a, b, c ∈ ℜ que satisfacen la ecuación matricial X2 = 2X.

    Solución:

    Se obtienen los siguientes resultados:

    Si a = 0, b ∈ ℜ, c = 2

    Si a = 2, b ∈ ℜ, c = 0

    20 Sabiendo y que

    a) ¿Cuáles son las dimensiones de A y B?

    b) Calcular las matrices A y B.

    Solución:

  • La dimensión de las matrices A y B es 2 x 3.

  • 21 Dadas las matrices

    Calcular la matriz X que verifica: AXB= 2C

    Solución:

    X =

    22 Determinar todas las matrices A tales que .

    Solución:

    .