Matrices

Matemáticas. Álgebra lineal numérica. Tipos. Diagonal de una matriz. Condiciones para sumar

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MATRICES

Matrices origen y usos

la teoría de matrices, introducida en 1858, tiene hoy aplicaciones en campos diversos como el control de inventarios en las fabricas; teoría cuántica, en física; análisis de costos en transportes y de otras industrias; problemas de estrategias en las operaciones militares y análisis de datos, en sicología y sociología.

Matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre paréntesis, cuadrados o líneas dobles.

0 1 2 , 1 0 4 , [1 , 2]

-1 4 3 0 3

Una matriz se representa mayormente por paréntesis o corchetes.

En matemáticas, una matriz es una ordenación rectangular de números, o más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

TIPOS DE MATRICES

Tipo de matriz

Definición

Ejemplo

   FILA

Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden  1×n

'Matrices'

   COLUMNA

Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden  m×1

'Matrices'

   RECTANGULAR

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden  m×n ,'Matrices'

'Matrices'

   TRASPUESTA

Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Se representa por  At  ó  AT

'Matrices'

   OPUESTA

La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de  A  es   -A.

'Matrices'

   NULA

Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

'Matrices'

   CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es de orden n.
Diagonal principal : son los elementos  a11 , a22 , ..., ann 
Diagonal secundaria : son los elementos  aij con   i+j = n+1
Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.

'Matrices'

Diagonal principal : 'Matrices'

Diagonal secundaria : 'Matrices'

SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
A = At  , aij = aji  

'Matrices'

ANTISIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.
A = -At  , aij = -aji  
Necesariamente  aii = 0  

'Matrices'

DIAGONAL

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

'Matrices'

ESCALAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

'Matrices'

IDENTIDAD

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Tambien se denomina matriz unidad.

'Matrices'

TRIANGULAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

'Matrices'

ORTOGONAL

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible :  A-1 = AT
La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.
El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.
El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

'Matrices'

NORMAL

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.

'Matrices'

INVERSA

Decimos que una matriz cuadrada  A   tiene inversa, A-1, si se verifica que :
A·A-1 = A-1·A = I

'Matrices'

Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices.

ORDEN DE UNA MATRIZ

Es el número que designa, en una matriz cuadrada, el número de filas o columnas.

Matriz numérica: Conjunto de números colocados en filas y en columnas.


'Matrices'
mxn


Matriz de orden (m,n): Conjunto de números reales, dispuestos en filas m, i en columnas n. Cada uno de los números que consta la matriz es un elemento, que se distingue entre los otros, por su posición.


Subíndices: Cada elemento tiene unos subíndices que sirven para indicar su posición dentro de la matriz. El primer indica la fila, y el segunda indica la columna.

• Orden de la matriz: El número de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz. El orden de la matriz está determinado por un par de números naturales; m y n.


'Matrices'
figura 1.1

Las filas son los números dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la primera fila estaría formada por los números [ 1 2 3 ].
Las columnas son los números dispuestos en n verticales. En el ejemplo, la primera columna estaría formada por los números [ 1 1 4 6 ].

Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de números dispuestos en m filas y n columnas.
Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica así porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas.


Si queremos señalar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su posición, la cual queda definida por su fila y su columna.
Por ejemplo, si queremos dar la posición del número 7 (figura 1.1), sería de la siguiente forma:

am,n es a2,3

m indica la fila en la cual se encuentra el número. Pasa exactamente lo mismo n, que indica la columna en la que se encuentra.

DIAGONAL DE UNA MATRIZ

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:

'Matrices'
Ejemplo:

'Matrices'

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.

CONDICION PARA SUMAR MATRICES

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Ejemplo

Propiedades de la suma de matrices

A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

A + B = B + A (propiedad conmutativa)

A + 0 = A (0 es la matriz nula)

La matriz -A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (-A) = 0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A-B, y se define como: A-B = A + (-B)

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