Matrices y resolución de sistemas

Álgebra. Sistema de ecuaciones. Matriz diagonal, simétrica, regular, ortogonal, traspuesta. Inversa. Rango. Gauss. Jordan. Cramer. Rouché. Frobenius

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CONCEPTOS

  • BASIC: en informática, acrónimo de Beginners All-purpose Symbolic Instruction Code (Código de Instrucciones Simbólicas de Uso General para Principiantes). Se trata de un lenguaje de programación de alto nivel desarrollado por los estadounidenses John Kemeny y Thomas Kurtz en el Dartmouth College a mediados de la década de 1960. BASIC se ganó su enorme popularidad gracias sobre todo a dos implementaciones, Tiny BASIC y Microsoft BASIC, que convirtieron a este lenguaje en la primera lengua franca de los microordenadores o microcomputadoras. Otras importantes implementaciones han sido CBASIC (BASIC Compilado), Integer y Applesoft BASIC (para el Apple II), GW-BASIC (para computadoras personales), Turbo BASIC (de Borland) y Microsoft QuickBASIC. El lenguaje ha cambiado en el transcurso de los años. Las primeras versiones eran interpretadas y no estructuradas. Las más recientes son estructuradas y, a menudo, compiladas. BASIC suele enseñarse a los programadores principiantes porque es fácil de utilizar y de comprender, y además porque contiene los mismos conceptos fundamentales que muchos otros lenguajes considerados más difíciles, como Pascal y C.

  • Lenguaje de programación: en informática, cualquier lenguaje artificial que puede utilizarse para definir una secuencia de instrucciones para su procesamiento por un ordenador o computadora. Es complicado definir qué es y qué no es un lenguaje de programación. Se asume generalmente que la traducción de las instrucciones a un código que comprende la computadora debe ser completamente sistemática. Normalmente es la computadora la que realiza la traducción.

  • Pascal (informática), lenguaje de programación imperativo, diseñado entre 1967 y 1971 por Niklaus Wirth. Se trata de un lenguaje compilado y estructurado, basado en el lenguaje ALGOL, que simplifica su sintaxis a la vez que incluye nuevos tipos de datos y estructuras, como subrangos, tipos de datos enumerados, archivos, registros y conjuntos. La aceptación y el uso de Pascal se incrementó considerablemente en 1984 cuando Borland International introdujo Turbo Pascal. Se trataba de un compilador de Pascal de alta velocidad y bajo coste para sistemas MS-DOS del que se vendieron más de un millón de copias en sus diferentes versiones.

  • C (Informática), lenguaje de programación desarrollado en 1972 por el estadounidense Dennis Ritchie en los Laboratorios Bell. Debe su nombre a que su predecesor inmediato había sido llamado lenguaje de programación B. Aunque muchos consideran que C es un lenguaje ensamblador más independiente de la máquina que un lenguaje de alto nivel, su estrecha asociación con el sistema operativo UNIX, su enorme popularidad y su homologación por el American National Standards Institute (ANSI) lo han convertido quizá en lo más cercano a un lenguaje de programación estandarizado en el sector de microordenadores o microcomputadoras y estaciones de trabajo. C es un lenguaje compilado que contiene un pequeño conjunto de funciones incorporadas dependientes de la máquina. El resto de las funciones de C son independientes de la máquina y están contenidas en bibliotecas a las que se puede acceder desde programas escritos en C. Estos programas están compuestos por una o más funciones definidas por el programador, por lo que C es un lenguaje de programación estructurada.

  • Programación lineal, técnica matemática y de investigación de operaciones que se utiliza en la planificación administrativa y económica para maximizar las funciones lineales de un gran número de variables sujetas a determinadas restricciones. El desarrollo de computadoras electrónicas y de técnicas de procesamiento de alta velocidad ha aportado recientemente muchos avances a la programación lineal, de forma que ahora esta técnica se utiliza extensamente en operaciones industriales y militares.

La programación lineal se utiliza básicamente para hallar un conjunto de valores, elegidos a partir de un conjunto de números dado, que maximizarán o minimizarán una forma polinómica dada. En el siguiente ejemplo se muestra un tipo particular de problema y un método para solucionarlo. Un fabricante produce dos variantes, V1 y V2, de un artículo que contiene piezas que se deben cortar, ensamblar y acabar. El fabricante sabe que puede vender tantos artículos como produzca. La variante V1 requiere 25 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje y 68 minutos de acabado, generando un beneficio de 30 dólares. La variante V2 requiere 75 minutos de corte, 60 minutos de ensamblaje y 34 minutos de acabado, generando 40 dólares de beneficio. Cada día se dispone de un máximo de 450 minutos de corte, 480 minutos de ensamblaje y 476 minutos de acabado. ¿Cuántos artículos de cada variante deben fabricarse diariamente para maximizar los beneficios?

Sean x e y los números de artículos de las variedades V1 y V2, respectivamente, que deben ser fabricados diariamente para maximizar los beneficios. Dado que x e y no pueden ser números negativos,

Matrices y resolución de sistemas

Los datos de corte, ensamblaje y acabado, determinan las siguientes igualdades y desigualdades:

Matrices y resolución de sistemas

En un gráfico, estas desigualdades representan áreas bajo líneas dadas.

El problema radica en hallar los valores de x e y que maximizarán el beneficio, si existen, siempre que cumplan las restricciones (1) a (5).

Para satisfacer las cinco condiciones, el punto que representa x e y debe hallarse en el límite o en el interior de la región convexa poligónica OABCD de la figura 1.

Matrices y resolución de sistemas

El beneficio será máximo eligiendo la línea definida por p =30 x + 40 y, donde p se encuentra en el máximo y sólo roza la región OABCD superior, es decir, la línea que atraviesa el vértice B (3,5). El fabricante ingresará los máximos beneficios (290 dólares) produciendo 3 artículos de la variedad V1 y 5 artículos de la variedad V2 al día. Cualquier otra cantidad de ambas variantes, dadas las restricciones en cuanto al tiempo, reducirá el beneficio.

  • Función (matemáticas), en matemáticas, término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.

  • Matriz: Una matriz es una tabla rectangular de números o elementos de un anillo. Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.

  • Igualdad de matrices: Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

  • Ecuación lineal: ecuación polinómica de primer grado, es decir, ecuación en la cual las incógnitas aparecen con grado 1: ax + by + cz +…= k, en donde a, b, c,…, k son números reales y x, y, z,… son las incógnitas.

Las ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma

ax + by = c

con a o b no nulos. Se representan mediante rectas cuyos puntos son las soluciones de la ecuación.

Las ecuaciones lineales con tres incógnitas son de la forma

ax + by + cz = d

con a o b o c no nulos. Se representan mediante planos cuyos puntos son las soluciones de la ecuación.

Un sistema de ecuaciones es lineal si todas las ecuaciones que lo forman son lineales.

  • Sistema de ecuaciones: conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.
    Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes.

Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución, compatibles.

Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones 2x - 5y = 16 y 4x + y = 10 se expresa así

Matrices y resolución de sistemas

APLICACIÓN DE LOS CONCEPTOS

  • CONCEPTO DE MATRIZ.

  • Se llama matriz de orden mxn, sobre el cuerpo de los numeros reales a una "caja", "cuadro", etc. que contiene mxn números reales dispuestos en m filas y n columnas.


    Matrices y resolución de sistemas

    * A los números reales aij se les llama elemen­tos de la matriz.

    * El primer subíndice (i) indica la fila, el segundo (j) la columna. Así, el elemento a32 es el que está en la tercera fila y la segunda columna.

    * Las dimensiones de la matriz son m y n.


    Formalmente podemos definir una matriz de la siguiente manera:

    Sean I={1,2,...,m}, J={1,2,...,n} dos conjuntos finitos de índices.

    Se llama matriz de orden mxn, sobre el cuerpo de los numeros reales a toda aplicación:

    a: IxJ %%%%> R

    (i,j) %%%> a(i,j)=aij

    que asocia a cada par (i,j) el número real a(i,j) que representamos por aij.

    Denotaremos por Mmxn al conjunto de las matrices de orden mxn.

    ð Matrices y resolución de sistemas
    Es una matriz de orden 3x4 (3 filas, 4 columnas), a23=-1, a32=8, a34=0. etc.

  • IGUALDAD DE MATRICES.

  • Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar. Es decir, siendo:

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    A=B si para todo ið{1,2,...,m} y para todo jð{1,2,...,n} se cumple que aij=bij.

  • TIPOS DE MATRICES.

  • Matriz fila. Es toda matriz de orden 1xn.

  • Matrices y resolución de sistemas
    . A es de orden 1x5.

    b. Matriz columna. Es toda matriz de orden mx1.

    Matrices y resolución de sistemas
    . A es de orden 3x1.

    c. Matriz nula. Es la que tiene todos sus elementos nulos. La denotaremos por (0).

    Son matrices nulas: Matrices y resolución de sistemas
    , Matrices y resolución de sistemas
    , ...

    d. Matriz rectangular. Es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas.

    Matrices y resolución de sistemas
    .

    e. Matriz triangular superior. Es aquella matriz cuadrada en la que los términos situados debajo de la diagonal principal son ceros.

    f. Matriz triangular inferior. Es aquella matriz cuadrada en la que los términos situados por encima de la diagonal principal son ceros.


    g. Matriz diagonal. Es aquella en la que todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros.

    h. Matriz cuadrada. Es toda matriz que tiene el mismo número de filas que columnas. Es decir m=n. En ellas podemos distinguir:

    La diagonal principal. Son los elementos a11, a22, ..., ann.

    La diagonal secundaria. Son los elementos a1n, a2(n-1), ..., an1.

    Matrices y resolución de sistemas
    . Diagonal principal: 1,5,9. Diagonal secundaria: 3,5,7.

    i. Matriz escalar. Es toda matriz en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales.

    Matrices y resolución de sistemas

    j. Matriz unidad (identidad). Es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son unos. Se designa como I.

    Matrices y resolución de sistemas

  • SUMA DE MATRICES.


  • Consideremos dos matrices A, BMmxn, es decir, con las mismas dimensiones.

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    Definimos: Matrices y resolución de sistemas

    En forma abreviada: si A=(aij), B=(bij) entonces A+B=(aij+bij).

    Es decir: suma de matrices de las mismas dimensiones, es la aplicación que asocia a cada par de matrices otra matriz de las mismas dimensiones cuyos elementos se obtienen sumando término a término los elementos correspondientes en dichas matrices:

    +: MmxnxMmxn > Mmxn

    (A,B)> A+B

    Siendo Matrices y resolución de sistemas
    y Matrices y resolución de sistemas
    entonces Matrices y resolución de sistemas
    .

    A. PROPIEDADES.

    1. Asociativa: (A+B)+C = A+(B+C). Es evidente, pues los elementos de A, B y C son de R que es un cuerpo conmutativo.

    2. Existe elemento neutro: A+Neutro=A Neutro=(0)=La matriz nula.

    3. Existe elemento opuesto: A+(Opuesto de A)=(0) Opuesto de A=-A

    4. Conmutativa: A+B = B+A. Es evidente, pues los elementos de A y B son de R que es un cuerpo conmutativo.

    Por tanto (Mmxn, +) es un Grupo Conmutativo.

    6. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ.


    Consideremos la matriz AMmxn y R.

    Matrices y resolución de sistemas
    Definimos: Matrices y resolución de sistemas

    En forma abreviada: si A=(aij), A = (aij).

    Es decir: producto de un número real por una matriz, es la aplicación que asocia a cada par formado por un número real y una matriz, otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando el número real por todos los elementos de la matriz:

    : RxMmxn > Mmxn

    (,A) > A

    Siendo Matrices y resolución de sistemas
    entonces Matrices y resolución de sistemas
    .

    A. PROPIEDADES.

    5. (A+B) = A+B

    6. (+)A = A+A

    7. ()A = (A)

    8. 1A = A

    Son evidentes, pues tanto los elementos de las matrices A y B como los números  y  pertenecen a R que es un cuerpo conmutativo.

    7. PRODUCTO DE MATRICES.

    A. PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA.

    Sean A una matriz con una fila y n columnas y B una matriz con n filas y una columna.

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    El producto de las matrices A y B (AB) es otra matriz con una fila y una columna cuyo único elemento es: c = a1b1 + a2b2 + ... + anbn. Es decir: AB=(c)

    Hay que hacer notar que para poder multiplicar A y B debe suceder que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B.

    AB = [26 + (-3)7 + 4(-8) + 59] = (4) que es una matriz de orden 1x1 con un único elemento, el 4.

    B. PRODUCTO DE DOS MATRICES CUALESQUIERA.


    Sean A una matriz de orden mxn, formada por m matrices fila [A1, A2, ..., Am] de n elementos cada una y B una matriz de orden nxp, formada por p matrices columna [B1, B2, ..., Bp] de n elementos cada una.

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    El producto de las matrices A y B (AB) es otra matriz C de orden mxp con m filas y p columnas, cuyo elemento cij es el producto de la matriz fila Ai por la matriz columna Bj.

    Es decir: cij = AiBj = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj Matrices y resolución de sistemas

    Así pues, el producto de matrices, es la aplicación que asocia a cada par de matrices, una de dimensión mxn y otra de dimensión nxp, una tercera matriz de dimensión mxp:

    : MmxnxMnxp> Mmxp

    (A , B) > C

    tal que el elemento que ocupa el lugar q,r de la matriz producto se obtiene sumando los productos que resultan de multiplicar los elementos de la fila q-ésima de la matriz A por los respectivos elementos de la columna r-ésima de la matriz B.

    Simbólicamente: si A=(aij), B=(bij) y C=(cij) entonces: Matrices y resolución de sistemas
    .

    Obsérvese que para poder efectuar el producto AB es necesario que el número de columnas de la matriz A coincida con el número de filas de la matriz B. Esto implica que, en general, si existe el producto AB no tiene por qué existir BA. Sin embargo, si las matrices son cuadradas y del mismo orden, siempre existen AB y BA.


    C. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES.

    1. No es una operación interna en el conjunto Mmxn. Si mn ni siquiera se puede efectuar el producto de dos matrices A,BMmxn.


    En el conjunto Mnxn, sí que sería una operación interna.

    2. No es conmutativo.

    a) Hay casos en los cuales es posible efectuar AB, y no BA.

    Si Matrices y resolución de sistemas
    y Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    . No es posible efectuar BA.

    b) En los casos en que es posible efectuar AB y BA, no siempre da el mismo resultado. A veces ni siquiera son del mismo orden.

    Si Matrices y resolución de sistemas
    yMatrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    , Matrices y resolución de sistemas

    c) En el caso de las matrices cuadradas, tampoco se verifica la propiedad conmutativa.

    Si Matrices y resolución de sistemas
    y Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    , Matrices y resolución de sistemas
    .

    3. Dota al conjunto Mmxn de divisores de cero. Es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es la matriz nula.

    Si Matrices y resolución de sistemas
    y Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    . A(0) y B(0); sin embargo AB=(0).

    4. Verifica la propiedad asociativa en los casos que se puedan multiplicar tres matrices. Es decir, si A es de orden mxn, B de orden nxp y C de orden pxq, entonces:

    (AB)C=A(BC).

    5. No existe elemento neutro. Si A es de orden mxn, entonces Im es el elemento neutro por la izquierda de A, e In el elemento neutro por la derecha de A. Es decir: ImA=A, AIn=A.

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    = Matrices y resolución de sistemas
    . Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    = Matrices y resolución de sistemas

    Si A es una matriz cuadrada de orden n, In es el elemento neutro por la izquierda y por la derecha de A. Es decir, el único elemento neutro de Mnxn. O sea: InA=AIn=A.

    6. No existe elemento simétrico para ninguna matriz de Mmxn siendo mðn. Hay matrices cuadradas que sí tienen elemento simétrico (inversa) las cuales se llaman regulares, en cambio las que no tienen inversa se llaman singulares. La matriz inversa de A la denotamos por A-1. Ya veremos cómo se calcula. Si A es de orden n, A-1 también, y se verifica que: A-1ðA = AðA-1 = In.


    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    = Matrices y resolución de sistemas
    . Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    = Matrices y resolución de sistemas
    .

    Veamos que Matrices y resolución de sistemas
    no tiene inversa. Si Matrices y resolución de sistemas
    fuera su inversa:

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    = Matrices y resolución de sistemas
    a+c=1, b+d=0, a+c=0, b+d=1. Sistema de ecuaciones que no tiene solución y por tanto no existe B.

    7. A(B+C) = AB+AC. Es evidente, con AMmxn y B,CMnxp.

    8. (A+B)C = AC+BC. Es evidente, con A,BMmxn y CMnxp.

    9. (A)B = (AB). Es evidente, con AMmxn y BMnxp.

    8. TIPOS DE MATRICES CUADRADAS.

    1. Diagonales. Son aquellas que tienen todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal, los cuales pueden ser nulos o no.


    Matrices y resolución de sistemas
    , Matrices y resolución de sistemas
    , Matrices y resolución de sistemas
    .

    a. Escalares. Son las diagonales con todos los elementos de la diagonal principal iguales.

    Matrices y resolución de sistemas
    , Matrices y resolución de sistemas
    .

    b. Unidad o identidad. Es una diagonal escalar con el número 1 en todos los lugares de la diagonal principal. Se denota por In.

    Matrices y resolución de sistemas
    , Matrices y resolución de sistemas
    .

    2. Triangulares. Son aquellas en las que son nulos todos los elementos que están por encima o por debajo de la diagonal principal.

    a. Triangular superior. Si son nulos los elementos por debajo de la diagonal principal. Es decir: aij=0 para i>j.

    Matrices y resolución de sistemas
    , Matrices y resolución de sistemas
    .

    b. Triangular inferior. Si son nulos los elementos por encima de la diagonal principal. Es decir: aij=0 para i<j.

    Matrices y resolución de sistemas
    , Matrices y resolución de sistemas
    .

    3. Simétricas. Son las matrices A tales que At=A. Es decir: aij=aji para todos i, j.

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    .

    4. Antisimétricas. Son las matrices A tales que At=-A. O sea: aij=-aji para todos i,j.

    Matrices y resolución de sistemas
    es antisimétrica, pues Matrices y resolución de sistemas
    .

    Observación. En las matrices antisimétricas los elementos de la diagonal principal son nulos.

    5. Regulares o invertibles. Son las que tienen inversa respecto al producto de matrices. Es decir: A es regular si existe su inversa A-1 y por tanto: AA-1 = A-1A = I.

    Matrices y resolución de sistemas
    su inversa es Matrices y resolución de sistemas
    .

    Matrices y resolución de sistemas
    su inversa es Matrices y resolución de sistemas
    .

    6. Singulares. Son las que no tienen inversa respecto al producto de matrices.

    Matrices y resolución de sistemas
    y Matrices y resolución de sistemas
    no tienen inversa.

    7. Ortogonales. Son las matrices A tales que AAt=I, es decir, A-1=At.


    Matrices y resolución de sistemas
    y Matrices y resolución de sistemas
    son ortogonales. Compruébese.

    8. Idempotentes. Son las matrices A tales que A2=A.

    Matrices y resolución de sistemas
    y Matrices y resolución de sistemas
    son idempotentes. Compruébese.

    9. Involutivas. Son las matrices A tales que A2=I.

    Matrices y resolución de sistemas
    y Matrices y resolución de sistemas
    son involutivas. Compruébese.

    9. MATRIZ TRASPUESTA. PROPIEDADES.

    Matriz traspuesta de A. Es la que se obtiene a partir de A cambiando filas por columnas sin alterar su orden de colocación. La denotaremos por At.

    Si A=(aij), At=(aji). Si A es de orden mxn, At será de orden nxm.

    Propiedades


    Consideremos las matrices A, B, At y Bt de órdenes adecuados a las propiedades que veamos.

    1. (At)t = A. Dem. Evidente.

    2. (A)t = At. Dem. Evidente.

    3. (A+B)t = At + Bt.

    Dem: Como A=(aij) y B=(bij) entonces A+B=(aij+bij). (A+B)t=(aji+bji)=(aji)+(bji)=At+Bt.

    4. (AB)t = BtAt.

    Dem: Sean A=(aij) de orden mxn y B=(bij) de orden nxp. C=AB=(cij) será de orden mxp.

    El elemento cij de C=AB es como sabemos: cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj.

    Este elemento es también el elemento que está en la fila j y la columna i de la matriz (AB)t, es decir, es el cji de (AB)t.

    Los elementos de la fila j de la matriz Bt son b1j, b2j, ..., bnj.

    Los elementos de la columna i de la matriz At son ai1, ai2, ..., ain.

    Por tanto, el elemento de la fila j y la columna i de BtAt es: b1jai1+b2jai2+...+bnjain=cji.

    Luego (AB)t=BtAt.

    9. MATRICES INVERTIBLES. PROPIEDADES.

    Una matriz A es invertible o regular, si tiene inversa respecto al producto de matrices. Es decir: A es invertible si existe su inversa A-1 y por tanto: AðA-1 = A-1ðA = I.

    Propiedades

    1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n tales que: AB=In, entonces B=A-1 y A=B-1.

    Dem. Multiplicando en AB=In por A-1 y aplicando la propiedad asociativa se tiene que: A-1(AB)=A-1 (A-1A)B=A-1 B=A-1.

    Análogamente: (AB)B-1=B-1 Að(BB-1)=B-1 A=B-1.

    2. (A-1)-1 = A. Dem. Evidente.

    3. (AB)-1 = B-1A-1.

    Dem. Hay que ver que: (AB)(B-1A-1)=In.

    Por la propiedad asociativa: (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AA-1=In.

    4. (At)-1 = (A-1)t.

    Dem. Como AA-1=In, tomando traspuestas resulta que: (A-1)tAt=In, luego, por la primera propiedad (A-1)t=(At)-1.

    10. RANGO DE UNA MATRIZ.

    El concepto de rango es uno de los conceptos más importantes del Algebra Lineal.

    Rango por filas de una matriz es el mayor número de filas que sean linealmente independientes. (*)


    Rango por columnas de una matriz es el mayor número de columnas que son linealmente independientes. (*)

    Sea Matrices y resolución de sistemas
    . El rango por filas de A es 2 ya que las filas (1,0,3) y (2,1,-1) son linealmente independientes y (3,1,2)=(1,0,3)+(2,1,-1).

    El rango por columnas es también 2 ya que las columnas (1,2,3) y (0,1,1) son linealmente independientes y (3,-1,2)=3(1,2,3)-7(0,1,1).

    El hecho de que coincidan el rango por filas y el rango por columnas en el ejemplo anterior, no es por casualidad; veremos más adelante que esta propiedad se verifica siempre, por lo cual podemos hablar simplemente de rango (o característica) de una matriz.

    Se enuncia a continuación un teorema que permite conocer un método para calcular el rango de una matriz.

    Teorema. El rango por filas (o por columnas) de una matriz A no varía si se sustituye una de ellas por una combinación lineal de todas, en la cual el coeficiente de la sustituida es distinto de cero.

    Así, un método para calcular el rango de una matriz consiste en transformarla, mediante las operaciones indicadas en el teorema anterior, en una matriz "escalonada".

    Teorema. El rango por filas y el rango por columnas de una matriz A son iguales.

  • CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

  • Sistema de m ecuaciones con n incógnitas. Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    xj son las incógnitas, (j=1,2,...,n).

    aij son los coeficientes, (i=1,2,...,m) (j=1,2,...,n).

    ci son los términos independientes, (i=1,2,...,m).

    Los números m y n pueden ser cualesquiera: m>n, m=n ó m<n.

    Los escalares aij y ci son números reales.

    El escalar aij es el coeficiente de xj en la i-ésima ecuación.

    Cuando n es pequeño, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...

    Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.

    Cuando ci=0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

    n Matrices y resolución de sistemas

    Es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 4 incógnitas.

    Los coeficientes de la primera ecuación del sistema son los números 3, -2, 1, -1.

    El término independiente de la misma es el 2.

    3. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA.

    Solución de un sistema. Es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

    Resolver un sistema. Es calcular su solución (o soluciones).

    n Dado el sistema: Matrices y resolución de sistemas

    Una solución suya es x=Matrices y resolución de sistemas
    ; y=Matrices y resolución de sistemas
    ; z=0; t=Matrices y resolución de sistemas
    . Compruébese.

    4. TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS.

    Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus soluciones:

    1. Incompatible. No tiene solución.

    2. Compatible. Tiene solución.

    a. Compatible determinado. Única solución.

    b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones.

    n Matrices y resolución de sistemas
    incompatible. No tiene solución.

    n Matrices y resolución de sistemas
    compatible determinado. Única solución.

    n Matrices y resolución de sistemas
    compatible indeterminado. Infinitas soluciones.

    Discutir un sistema. Es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

    5. NOTACIONES MATRICIAL Y VECTORIAL.

    Los conocimientos adquiridos sobre matrices facilitan la escritura de un sistema de ecuaciones lineales de manera más reducida.

    Consideremos un sistema como el [1], escrito en forma clásica.

    En él se pueden considerar las siguientes matrices:

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    A es la matriz de los coeficientes de orden mxn. B es la matriz ampliada de orden mx(n+1).

    El sistema [1] se puede escribir en forma matricial así: Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    Si en el sistema [1] consideramos las siguientes matrices:

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    . . . Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    El sistema se escribirá en forma vectorial de la siguiente forma:

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    En esta notación, las soluciones de un sistema son los elementos de la forma:

    S=(s1, s2, ..., sn)ÎRn

    y se verifica la siguiente relación: A1×s1 + A2×s2 + ... + An×sn = C

    n Consideremos el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    A es la matriz de los coeficientes de orden 3x3. B es la matriz ampliada de orden 3x4.

    El sistema se puede escribir de las siguientes formas:

    Forma matricial: Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    = Matrices y resolución de sistemas
    Forma vectorial: Matrices y resolución de sistemas
    x + Matrices y resolución de sistemas
    y + Matrices y resolución de sistemas
    z = Matrices y resolución de sistemas

    n En el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    el elemento s=(-1,1,3,2) es solución, ya que se verifica:

    Matrices y resolución de sistemas
    (-1) + Matrices y resolución de sistemas
    (1) + Matrices y resolución de sistemas
    (3) + Matrices y resolución de sistemas
    (2) = Matrices y resolución de sistemas
    . Compruébese.

    6. SISTEMAS EQUIVALENTES.

    Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si toda solución del primero es solución del segundo y viceversa. (No es necesario que tengan el mismo número de ecuaciones)

    n Los sistemas: Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    son equivalentes.

    Ambos son compatibles deter­minados y su solución es: x=3, y=1.

    Definición. En un sistema de ecuaciones lineales, una ecuación es combinación lineal de las ecuaciones del sistema, si se obtiene como resultado de sumar las ecuaciones del mismo previamente multiplicadas por un número real.

    n Consideremos el sistema: Matrices y resolución de sistemas

    Multiplicando la 1ª ecuación por 2, la 2ª por -1, la 3ª por 3 y sumándolas:

    2(3x+2y) + (-1)(2x-2y+z) + 3(x-2y-2z) = 2×4 + (-1)×3 + 3×(-1).

    Obtenemos: 7x - 7z = 2, que es combinación lineal de las del sistema dado.

    Los resultados que veremos a continuación, permiten ir transformando un sistema en otros equivalentes cuyas soluciones puedan obtenerse con mayor facilidad.

    A. TEOREMA FUNDAMENTAL DE EQUIVALENCIA. CONSECUENCIAS.

    Teorema fundamental de equivalencia. Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye la ecuación i-ésima por una combinación lineal de dicha ecuación y las demás ecuaciones del sistema (siempre que el coeficiente que multiplique a la ecuación i-ésima sea distinto de cero), el sistema resultante es equivalente al primero.

    Demostración

    n Sea el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    Multiplicando la primera ecuación por (-2) y sumándola a la segunda, se obtiene: Matrices y resolución de sistemas
    Multiplicando la tercera ecuación por (-3) y sumándola a la segunda:

    Matrices y resolución de sistemas
    y, de aquí, se obtiene rápidamente como solución: z=-1, y=2, x=1.

    De este teorema se siguen las siguientes consecuencias:

    1. Si en un sistema de ecuaciones lineales se suprime una ecuación que es combinación lineal de las restantes, el sistema obtenido es equivalente al dado.

    Demostración

    Es evidente a partir del teorema fundamental.

    2. Si en un sistema de ecuaciones lineales multiplicamos la ecuación i por ¹0, se obtiene otro sistema equivalente.

    Demostración

    Es un caso particular del teorema fundamental.

    B. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN.

    Las operaciones efectuadas en el ejemplo anterior con las ecuaciones del sistema, podríamos realizarlas en la matriz ampliada del sistema, así surge el:

    MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Es el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transfor­mando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas.

    Los siguientes ejemplos explican detalladamente el proceso a seguir.

    n Resolvamos el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    Consideramos la matriz ampliada asociada al sistema, separando un poco la columna de los términos independientes:

    Matrices y resolución de sistemas
    (a) Þ Matrices y resolución de sistemas
    (b) Þ Matrices y resolución de sistemas

    (a) [0 1 3 1] = (-2)×[1 1 -1 1] + [2 3 1 3], [0 -6 7 -3] = (-5)×[1 1 -1 1] + [5 -1 2 2]

    (b) [0 0 25 3] = 6×[0 1 3 1] + [0 -6 7 -3]

    Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma: Matrices y resolución de sistemas

    Resolviendo las ecuaciones, comenzando por la última queda: z=Matrices y resolución de sistemas
    , y=Matrices y resolución de sistemas
    , x=Matrices y resolución de sistemas
    .

    Se trata de un sistema compatible determinado.

    n Resolvamos el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    La matriz ampliada es: Matrices y resolución de sistemas

    Intercambiando la primera fila con la tercera queda:

    Matrices y resolución de sistemas
    (a) Þ Matrices y resolución de sistemas
    (b) Þ Matrices y resolución de sistemas

    (a) [0 2 1 -1 0] = (-2)×[1 -1 2 2 2] + [2 0 5 3 4] [0 6 5 -7 2] = (-3)×[1 -1 2 2 2] + [3 3 11 -1 8]

    (b) [0 0 2 -4 2] = (-3)×[0 2 1 -1 0] + [0 6 5 -7 2]

    Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma: Matrices y resolución de sistemas

    Resolvemos la última ecuación, z=1+2t; si hacemos t=, queda: z=1+2; y=Matrices y resolución de sistemas
    -Matrices y resolución de sistemas
    ; x=Matrices y resolución de sistemas
    -Matrices y resolución de sistemas
    ; t=.

    Las soluciones del sistema se hallan dando valores arbitrarios al parámetro .

    Es un sistema compatible indeterminado.

    n Resolvamos el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    La matriz ampliada es: Matrices y resolución de sistemas

    Intercambiamos las dos primeras filas queda:

    Matrices y resolución de sistemas
    (a) Þ Matrices y resolución de sistemas

    (a) [0 0 0 -5] = (-2)×[1 2 4 3] + [2 4 8 1]

    Luego el sistema nos ha quedado de la siguiente forma: Matrices y resolución de sistemas

    Se observa que el sistema es incompatible.

    7. SISTEMAS DE CRAMER. REGLA DE CRAMER.

    El método de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de 300 incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habríamos de seguir el proceso de triangulación como si nos interesaran todas ellas.

    La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, separadamente, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales.

    Sistema de Cramer. Es un sistema en el que: m=n y %A%¹0. Es decir: La matriz A es cuadrada y regular.

    En tal caso, A tiene inversa A-1, por lo que multiplicando [2] por la izquierda por A-1:

    A-1×A×X = A-1×C Þ X=A-1×C Þ Matrices y resolución de sistemas
    Þ Matrices y resolución de sistemas

    O sea: Matrices y resolución de sistemas

    que son las fórmulas de Cramer, las cuales se recogen en la siguiente regla:

    Regla de Cramer. El valor de la incógnita xj en un sistema de Cramer es una fracción, cuyo numerador es un determinante que se obtiene al reemplazar la columna j por la columna que forman los términos independientes, y cuyo denominador es %A%.

    n Resolvamos el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    m=n=3 y %A%=7¹0. Luego, es un sistema de Cramer.

    Matrices y resolución de sistemas
    ; Matrices y resolución de sistemas
    ; Matrices y resolución de sistemas
    .

    Por tanto, la solución del sistema es: x=Matrices y resolución de sistemas
    , y=Matrices y resolución de sistemas
    , z=Matrices y resolución de sistemas
    .

    n Resolvamos el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    m=n=3 y %A%=-33¹0. Luego, es un sistema de Cramer.

    Matrices y resolución de sistemas
    ; Matrices y resolución de sistemas
    ; Matrices y resolución de sistemas
    .

    Por tanto, la solución del sistema es: x=-1, y=2, z=Matrices y resolución de sistemas
    .

    8. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. DISCUSIÓN Y RESO­LUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

    Vamos a ver ahora el caso más general de sistemas de ecuaciones lineales. Obtendremos una condición necesaria y suficiente de compatibilidad, un criterio de clasificación y un método de resolución. Todo ello se basa en el teorema de Rouché-Fröbenius.

    Consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones con n incógnitas:

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    Escrito en forma vectorial: Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    siendo A1, A2, ..., An las columnas de la matriz de los coeficientes.

    Sean: A la matriz de coeficientes, B la matriz ampliada y r(A)=h.

    Teorema de Rouché-Fröbenius. a) El sistema [1] tiene solución Û rango (B) = h. b) Si h=n, el sistema tiene solución única. c) Si h<n, el sistema tiene infinitas soluciones.

    Demostración

    a) Si existe solución (s1,s2,...,sn), la ecuación vectorial [2] indica que C puede ponerse como combinación lineal de A1, A2, ..., An, y, por tanto, r(B)=h. Recíprocamente, si r(B)=h, C podrá expresarse como combinación lineal de las h columnas Ai linealmente independientes.

    Supongamos que sean A1, A2, ..., Ah. Existen (s1,s2,...,sn, 0, ..., 0) tales que: A1×s1 + A2×s2 + ... + Ah×sh + Ah+1×0 + ... + An×0 = C, y, por tanto, existe solución.

    b) Si r(B)=h, supongamos que son linealmente independientes A1, A2, ..., Ah. Entonces, la ecuación vectorial [2] puede escribirse de la siguiente forma:

    A1×x1 + A2×x2 + ... + Ah×xh = C - Ah+1×xh+1 - ... - An×xn [3]

    Esto indica que, cualesquiera que sean xh+1, ..., xn, el segundo miembro de la expresión [3] es combinación lineal de A1, A2, ..., Ah.

    Si h=n, el segundo miembro de [3] queda reducido a C, y el sistema admitiría solución única.

    c) Si h<n, dando valores arbitrarios a xh+1, ..., xn en la expresión [3], se obtienen infinitas soluciones.

    El teorema puede resumirse de la forma siguiente:

    Rango (A) ¹ Rango (B) Û Incompatible.

    Rango (A) = Rango (B) Û Compatible. Si h=n. Determinado. Solución única.

    Rango (A) = Rango (B) Û Compatible. Si h<n. Indeterminado. Infinitas solucio­nes que dependen de n-h parámetros.

    n Discute y resuelve el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    %A%=1. r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. El sistema es compatible determinado. Aplicando el método de Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: z=-1, y=-3, x=2.

    n Discute y resuelve el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. El sistema es compatible determinado. Aplicando el método de Gauss, o la regla de Cramer, se obtiene: x=3, y=6, z=11.

    n Discute y resuelve el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    r(A)=3; r(B)=4. El sistema es incompatible.

    n Discute y resuelve el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    r(A)=r(B)=2 < nº incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.

    Tomamos como incógnitas principales x, y. Obtenemos infinitas soluciones dependientes de dos parámetros: Matrices y resolución de sistemas
    Aplicando la regla de Cramer y haciendo z= y t=ß, queda como solución:

    x=Matrices y resolución de sistemas
    , y=Matrices y resolución de sistemas
    , z=, t=ß.

    Veamos algunas de las infinitas soluciones:

    Si hacemos =1 y ß=1, obtenemos: x=Matrices y resolución de sistemas
    , y=Matrices y resolución de sistemas
    , z=1, t=1.

    Si hacemos =-1 y ß=0, obtenemos: x=1, y=-2, z=-1, t=0.

    n Discute y resuelve, según los valores de a, el sistema: Matrices y resolución de sistemas

    Consideremos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    A=-a(a-1)(a-2).

    Pueden considerarse los siguientes casos.

    1º) Si a¹0, a¹1, a¹2: A¹0; por tanto r(A)=r(B)=3=nº incógnitas. S.C.D. Solución única.

    Resolviéndolo por la regla de Cramer, se obtiene:

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    Por ejemplo, si a=-1, obtendríamos como solución: x=Matrices y resolución de sistemas
    , y=Matrices y resolución de sistemas
    , z=Matrices y resolución de sistemas
    .

    2º) Si a=0: Queda el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    Como r(A)=2 y r(B)=3, el sistema es incom­patible, lo cual en este caso es evidente observando la segunda ecuación.

    3º) Si a=1: Queda el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    r(A)=r(B)=2 < nº incógnitas. S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

    Aplicando Gauss, o Cramer, se obtiene: x=4-, y=, z=Matrices y resolución de sistemas
    .

    4º) Si a=2: Queda el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    Como r(A)=2 y r(B)=3, el sistema es incom­patible.

    RESUMEN: Para a¹0, a¹1, a¹2: S.C.D. Solución única.

    Para a=0: S.I. Ninguna solución.

    Para a=1: S.C.I. Infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

    Para a=2: S.I. Ninguna solución.

    9. SISTEMAS HOMOGÉNEOS. DISCUSIÓN Y RESO­LUCIÓN.

    Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, si todos los términos independientes son nulos.

    Consideremos el siguiente sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas:

    Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas

    Aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius a este sistema, resulta que siempre tendrá solución, ya que siempre se cumple que r(A)=r(B).

    Si r(A)=número de incógnitas, existirá una única solución que será la solución trivial:

    x1 = x2 = ... = xn = 0

    Si r(A)<número de incógnitas, existirán infinitas soluciones.

    Podemos enunciar, pues, el siguiente teorema:

    Teorema. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene solución distinta de la trivial Û el rango de la matriz de los coeficientes es menor que el número de incógnitas.

    Corolario. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene solución distinta de la trivial Û el determinante de la matriz de coeficientes es nulo.

    Demostración

    Es evidente a partir del teorema anterior.

    n Dado el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    Matrices y resolución de sistemas
    Calculemos el rango de la matriz A.

    Matrices y resolución de sistemas
    Þ Matrices y resolución de sistemas
    Þ Matrices y resolución de sistemas

    r(A)=2 < número de incógnitas=3. Luego habrá infinitas soluciones, que serán las del sistema equivalente: Matrices y resolución de sistemas
    y=Matrices y resolución de sistemas
    , x=Matrices y resolución de sistemas
    .

    n Dado el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    r(A)=2 < nº incógnitas=3. Por tanto habrá infinitas soluciones que dependen de un parámetro: x=, y=-, z=.

    n Dado el sistema: Matrices y resolución de sistemas
    %A%¹0. r(A)=3=nº incógnitas, el sistema es compatible determinado. La única solución posible es la trivial: x=0, y=0, z=0.


    APLICACIÓN ESPECIFICA DE LOS CONCEPTOS

    DERIVE

    MATRICES APLICADOS A LA INFORMÁTICA: DERIVE permite, respecto a matrices, definir y operar con matrices .

    Una matriz puede considerarse como una colección de números ordenados en filas o columnas; a la hora de definir una matriz hay que indicar su dimensión e introducir todos sus elementos. Los pasos para escribir una matriz son:

  • Seleccionar la opción Matrix del menú Author.

  • Indicar el numero de filas y columnas de la matriz, y hacer clic sobre la opción OK.

  • Escribir los elementos de la matriz y hacer clic sobre el botón OK

  • Existen algunas matrices que tienen nombre propio como por ejemplo la matriz identidad, que puede generarse a partir de una expresión especifica que se introduce mediante la opción Expresión del menú Author.

    OPERACIONES CON MATRICES: Las operaciones más frecuentes con matrices se pueden realizar de forma natural, es decir, escribiendo su expresión y simplificándola.

    Es muy útil, cuando se escriben expresiones con matrices, utilizar la posibilidad de hacer alusión a una expresión de la ventana de álgebra mediante su ventana numérica.

    BASIC

    INSTRUCCIONES DE DEFINICIÓN DE MATRICES: El BASIC permite trabajar con matrices.

    Antes de asignar valores a los elementos de una matriz estos se deben definir mediante unas instrucciones.

    LA INSTRUCCIÓN DIM: Mediante esta instrucción se define el nombre de una matriz, el numero de dimensiones de que constara y el valor máximo del índice del que constara. Además con una misma instrucción Dim, podemos definir mas de una matriz, las matrices pueden ser numéricas o alfanuméricas

    INSTRUCCIÓN ERASE: Así como una matriz tiene que definirse para que ocupe espacio en memoria, también, cuando ya no se utiliza para nada puede anularse.

    Longitud, extensión o volumen, de una línea, una superficie o un cuerpo respectivamente.

    Compuesto o ejecutado con números.

    Compuesto o ejecutado con letras y/o números

    Trabajo de matemáticas

    Matrices y Resolución de sistemas.

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