Matemáticas

Cálculo. Geometría Analítica. Funciones. Derivadas. Matrices

  • Enviado por: Chiche
  • Idioma: castellano
  • País: Venezuela Venezuela
  • 18 páginas
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EJERCICIOS DE CÁLCULO Y GEOMETRIA ANALITICA

  • FUNCIONES

  • Dada F(wt)= 2 sen (wt)

  • Hallar:

  • Tabla de datos

  • Gráfica

  • Nombre de la gráfica

  • Dominio

  • Rango

  • Punto de corte con el eje X

  • Punto de corte con el eje Y

  • F(p)= 4p + 5

  • Hallar:

  • Tabla de datos

  • Gráfica

  • Nombre de la gráfica

  • Pendiente

  • Dominio

  • Rango

  • Punto de corte con el eje X

  • Punto de corte con el eje y

  • F(t)= 8t2 - 4t

  • Hallar:

  • Tabla de datos

  • Gráfica

  • Nombre de la gráfica

  • Dominio

  • Rango

  • Punto de corte con el eje X

  • Punto de corte con el eje y

  • LIMITE

  • 1. Lim X3 + 5X2 - 4X - 20

    X -5 X2 - 25

    2. Lim X2 + 2X - 8

    X - -4 X3 + 5X2 - 2X - 24

    3. Lim X3 - 2X2 - 3

    X ∞ X2 - 7X

  • DERIVADA

  • Y = sen4 (X2 - 4X)

  • Y = (3X4 - 4X)5

  • Y = (X3 - 2X) (X2 + 7X)2

  • MATRICES

  • Dadas las matrices:

    3 - 4 6 4 7 8

    A= -2 -7 5 B = 2 0 -1

    0 -2 3 4 -2 4

    Hallar:

  • 4A + 2B

  • A * B

  • 3B - 8A

  • RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

  • FUNCIONES

  • Dada F(wt)= 2 sen (wt)

  • Hallar:

  • Nombre de la función: Función seno

  • Tabla de datos

  • F(wt)= 2 sen(wt)

    wt

    Y= F(wt)

    -180

    0

    -150

    -1

    -120

    -1,73

    -90

    -2

    -60

    -1,73

    -30

    -1

    0

    0

    30

    1

    60

    1,73

    90

    2

    120

    1,73

    150

    1

    180

    0

    210

    -1

    240

    -1,73

    270

    -2

    300

    -1,73

    330

    -1

    360

    0

    390

    1

  • Gráfica

  • Nombre de la gráfica: Sinusoide

  • Dominio: (-∞, +∞) = R

  • Rango: [-2, +2]

  • Punto de corte con el eje X = {… -360°, -180°, 0°, 180°, 360°, ….}

  • Es una progresión aritmética de razón 180°, no es un intervalo.

    Por lo tanto, los puntos de corte con X van de 180 en 180 en el sub-eje

    X y de -180 en -180 en el sub-eje -X

  • Punto de corte con el eje Y= 0

  • F(p)= 4p + 5

  • Hallar:

  • Nombre de la función: Función lineal

  • Tabla de datos

  • CÁLCULO DE F(p)= 4p +5

    p

    F(p)

    F(-3)= 4(-3)+5= -12 + 5= -7

    -3

    -7

    F(-2)= 4(-2)+5= -8 + 5 = -3

    -2

    -3

    F(-1)= 4(-1)+5= -4 + 5= 1

    -1

    1

    F(0) = 4 * 0 + 5 = 0 + 5 = 5

    0

    5

    F(1) = 4 * 1 + 5 = 4 + 5 = 9

    1

    9

    F(2) = 4 * 2 + 5 = 8 + 5 = 13

    2

    13

    F(3) = 4 * 3 +5 = 12 + 5 = 17

    3

    17

  • Nombre de la gráfica: Una línea recta

  • Pendiente

  • m = Y2 - Y1/ X2 - X1

    m = 9 - 5 / 1 - 0 = 4 / 1 = 4

  • Dominio: (-∞, +∞) = R

  • Rango: [-∞, +∞] = R

  • Punto de corte con el eje X:

  • Y = mx + b. En esta fórmula m=4 es el valor de la pendiente

    En el punto de corte con el eje X, Y vale 0,

    Luego, 0 = mx+b

    X = -b/m, cuando Y=0

    X = -5/4 = -1,25

    Luego el punto de corte con el eje X es -1,25

  • Punto de corte con el eje Y

  • En el punto de corte con el eje Y, X=0

    Luego, sustituimos en Y = mx+b = Y = m*0+b

    Y = 4*0 +5 = 5, además, en la grafica se aprecia claramente este

    punto de corte

  • F(t)= 8t2 - 4t

  • Hallar:

  • Tabla de datos

  • Y = F(t) = 8t2 - 4t

    t

    F(t)

    F(-2) = 8 (-2)2 - 4 (-2) = 32 + 8 = 40

    -2

    40

    F(-1,5) = 8 *(-1,5)2 - 4 (-1,5) = 8*2,25 + 4*1,5 =18+6 =24

    -1,5

    24

    F(-1) = 8 (-1)2 - 4 (-1) = 8 + 4 = 12

    -1

    12

    F(-0,5)= 8(-0,5) 2 -4 (-0,5) = 8*0,25+ 4*0,5=2+2=4

    -0,5

    4

    F(0) = 8 (0)2 - 4 (0) = 8 * 0 - 4 * 0 = 0 - 0 = 0

    0

    0

    F(0,25) = 8 (0,25)2 - 4 (0,25) = 8*0,0625-4*0,25=0,5-1=-0,5

    0,25

    -0,5

    F(0,5) = 8(0,5)2 - 4(0,5) = 8*0,25)-4*0,5= 2-2=0

    0,5

    0

    F(1) = 8(1)2 - 4(1) = 8*1-4*1= 8-4 =4

    1

    4

    F(1,5) = 8(1,5)2 - 4(1,5) = 8*2,25 -4*1,5=18-6=12

    1,5

    12

    F(2) = 8 (2)2 - 4 (2) = 32 - 8 = 24

    2

    24

    F(2,5) = 8 (2,5)2 - 4 (2,5) = 50-10 = 40

    2,5

    40

  • Puntos de corte con los ejes

  • Punto de corte con el eje X = (0,0); (0,5;0)

    Punto de corte con el eje Y = (0,0)

    a= 8

    b = -4

    c= 0

  • Nombre de la gráfica: Parábola

  • Dominio: (∞, +∞) = R

  • Rango: [-1/2, +∞]

  • LIMITE

  • 1. Lim X3 + 5X2 - 4X - 20

    X -5 X2 - 25

    Sustituimos X por el valor al que tiende:

    Lim X3 + 5X2 - 4X - 20 = Lim (-5)3 + 5(-5)2 - 4(-5) -20

    X -5 X2 - 25 X -5 (-5)2 - 25

    Lim -125 -125 + 20 - 20 = 0/0

    X -5 25 - 25

    Como se presenta la indeterminación 0/0, factorizamos el numerador por Ruffini y factorizamos el denominador por diferencia de cuadrados, ya que

    X2 - 25 = X2 - 52 = (X+5) (X-5), por diferencia de cuadrados

    Aplicación de Ruffini:

    1 5 -4 -20

    2 2 14 20

    1 7 10 0

    -2 -2 -10

    1 5 0

    -5 -5

    1 0

    Luego,

    Lim X3 + 5X2 - 4X - 20 = Lim (X-2) (X+2) (X+5) =

    X -5 X2 - 25 X -5 (X+5) (X-5)

    Lim (X-2) (X+2) = (-5 -2) (-5+2) = (-7) (-3) = - 21

    X -5 (X-5) (-5-5) -10 10

    2. Lim X2 + 2X - 8

    X - -4 X3 + 5X2 - 2X - 24

    Como se presenta una indeterminación del tipo 0/0, factorizamos en ambos miembros de la fracción.

    X2 + 2X - 8. Dos números que sumados den 2 y que multiplicados resulten -8, esos números son: 4 y -2.

    Luego, el polinomio queda así:

    X2 + 2X - 8 = (X+4) (X-2)

    En el denominador aplicamos Ruffini debido a que el polinomio es de grado 3:

    1 5 -2 -24

    2 2 14 24

    1 7 12 0

    -3 -3 -12

    1 4 0

    -4 -4

    1 0

    Luego, el Limite queda de la siguiente manera:

    Lim X2 + 2X - 8 = Lim (X+4)(X-2)

    X - -4 X3 + 5X2 - 2X - 24 X -4 (X-2) (X+3) (X+4)

    Lim 1 = 1 = 1 = -1

    X -4 (X+3) - 4 + 3 -1

    3. Lim X3 - 2X2 - 3

    X ∞ X2 - 7X

    Al sustituir X por ∞, resulta la indeterminación ∞/∞. Para eliminar la indeterminación, dividimos la expresión por la variable con su mayor exponente.

    Luego, tenemos:

    X3 - 2X2 - 3

    Lim X3 - 2X2 - 3 = Lim X3 =

    X ∞ X2 - 7X X ∞ X2 - 7X

    X3

    Lim X3 - 2X2 - 3

    X ∞ X3 X3 X3 = Lim 1 - 2 -3

    X2 - 7X X ∞ X X3 =

    X3 X3 1 - 7

    X3 - X2

    = 1-0-0 = 1/0 = ∞

    • - 0

    Por lo tanto,

    Lim X3 - 2X2 - 3 = ∞

    X ∞ X2 - 7X

  • DERIVADA

  • Y = sen4 (X2 - 4X)

  • Para resolver esta derivada aplicamos la fórmula:

    Y = un Y' = n *un-1 * u'

    U = sen (X2 - 4X)

    n = 4

    Y' = 4 sen3 (X2 - 4X) * [sen (X2 - 4X)]'

    Y' = 4 sen3 (X2 - 4X) * cos (X2 - 4X) * (X2 - 4X)'

    Y' = 4 sen3 (X2 - 4X) * cos (X2 - 4X) * (2X -4)

  • Y = (3X4 - 4X)5

  • Aplicamos la formula:

    La función es de la forma Y = Un Y' = n *un-1 * u'

    En este caso, u = (3X4 - 4X) y n = 5; luego,

    Y' = 5 (3X4 - 4X)4 * (3X4 - 4X)'

    (3X4 - 4X)' = (3X4)' - (4X)'

    (3X4)' = 4*3X4-1 = 12X3

    (4X)' = 4, por aquello de que Y = kx Y' = k

    Y' = 5 (3X4 - 4X)4 * (12X3 - 4)

  • Y = (X3 - 2X) (X2 + 7X)2

  • Esta función es de la forma

    Y = u * v Y' = u * v' + v * u'

    Y' = (X3 - 2X) * (X2 + 7X)' + (X2 + 7X) * (X3 - 2X)'

    Y' = (X3 - 2X) * (2X + 7) + (X2 + 7X) * (3X2 - 2)

  • MATRICES

  • Dadas las matrices:

    3 - 4 6 4 7 8

    A= -2 -7 5 B = 2 0 -1

    0 -2 3 4 -2 4

    Hallar:

  • 4A + 2B

  • (4) (3) (4) (-4) (4) (6) 12 -16 24

    4A= (4) (-2) (4) (-7) (4) (5) = -8 -28 20

    (4) (0) (4) (-2) (4) (3) 0 -8 12

    (2) (4) (2) (7) (2) (8) 8 14 16

    2B = (2) (2) (2) (0) (2) (-1) = 4 0 -2

    (2) (4) (2) (-2) (2) (4) 8 -4 8

    (12+8) (-16+14) (24+16)

    4A + 2B = (-8+4) (-28+0) (20-2)

    (0+8) (-8-4) (12+8)

    20 -2 40

    4A + 2B = -4 -28 18

    8 -12 20

  • A * B

  • Aquí se procede a realizar una nueva matriz que tendrá por filas, el resultado de la multiplicación de cada fila de A con cada columna de B.

    Primera fila de A con primera columna de B

    Primera fila de A con segunda columna de B

    Primer fila de A con segunda columna de B

    Segunda fila de A con primera columna de B

    Segunda fila de A con segunda columna de B

    Segunda fila de A con tercera columna de B

    Tercera fila de A con primera columna de B

    Tercera fila de A con segunda columna de B

    Tercera fila de A con tercera columna de B

    (3*4) + (-4*2) + (6*4) (3*7) + (-4*0) + (6*-2) (3*8)+ (-4*-1) + (6*4)

    (-2*4)+ (-7*2) + (5*4) (-2*7)+ (-7*0) + (5*-2) (-2*8)+ (-7*-1) + (5*4) =

    A*B =

    (0*4)+ (-2*2) + (3*4) (0*7)+ (-2*0)+ (3*-2) (0*8)+ (-2*-1)+ (3*4)

    12-8+24 21+0-12 24+4+ +24

    -8-14+20 -14+0-10 -16+7+20

    =

    0-4+12 0+0-6 0 +2+12

    28 9 52

    = -2 -24 11

    8 -6 14

  • 3B - 8A

  • (8*3) (8* - 4) (8*6)

    24 -32 48

    8A= (8* -2) (8* -7) (8*5) = -16 -56 40

    (8*0) (8* -2) (8*3) 0 -16 24

    (3*4) (3*7) 3* 8)

    12 21 24

    3B = (3*2) (3*0) (3* -1) =

    6 0 -3

    (3*4) (3* -2) (3* 4) 12 -6 12

    (12-24) (21-32) (24-48)

    -12 53 -24

    3B - 8A = [6-(-16)] [0-(-56)] (-3-40) =

    22 56 -43

    12 10 -12

    (12-0) [-6-(-16)] (12-24)

    4

    seno 30° = 0.5, luego F(30°)= 2 sen -30° = 2 * (-0,5) = 1

    seno 0° = 0, luego F(0°)= 2 sen 0° = 2 * 0 = 0

    seno -30° = -0.5, luego F(-30°)= 2 sen -30° = 2 * (-0,5) = -1

    seno -60° = -0.866, luego F(-60°)= 2 sen -60° = 2 * (-0,866) = -1,73

    seno -90° = -1, luego F(-90°)= 2 sen -90° = 2 * (-1) = -2

    seno -120° = - 0.866, luego F(-120°)= 2 sen -120° = 2 * (-0,866) = -1,73

    seno -150° = -0.5, luego F(-150°)= 2 sen -150° = 2 * (-0,5) = -1

    seno -180° =0, luego F(-180°)= 2 sen -180° = 2 * 0 = 0

    seno 60° = 0.866, luego F(60°)= 2 sen 60° = 2 * (0,866) = 1,73

    seno 90° = 1, luego F(90°)= 2 sen 90° = 2 * 1 = 2

    seno 120° = 0.866, luego F(120°)= 2 sen 120° = 2 * 0,866 = 1,73

    seno 150° = 0.5, luego F(150°)= 2 sen 150° = 2 * 0,5 = 1

    seno 180° =0, luego F(180°)= 2 sen 180° = 2 * 0 = 0

    seno 210° = -0.5, luego F(180°)= 2 sen 180° = 2 * (-0.5) = -1

    seno 240° = -0.866, luego F(240°)= 2 sen 240° = 2 * (-0,866) = -1,73

    seno 270° = -1, luego F(270°)= 2 sen 270° = 2 * (-1) = -2

    seno 300° = -0.866, luego F(300°)= 2 sen 300° = 2 * (-0,866) = -1,73

    seno 330° = -0.5, luego F(330°)= 2 sen 330° = 2 * (-0.5) = -1

    seno 360° = 0, luego F(360°)= 2 sen 360° = 2 * 0 = 0

    seno 390° = 0.5, luego F(390°)= 2 sen 360° = 2 * 0.5 = 1

    -F(wt)

    F(wt)

    60

    150

    240

    210

    330

    300

    -150

    -120

    120

    .

    .

    30

    360 ó 0

    90

    270

    180

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    - 1,73

    1,73

    2

    .

    -2

    -1

    1

    .

    240

    360

    330

    300

    270

    210

    -180

    -t

    -90

    -0,5

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    -1

    3

    2

    1

    17

    13

    9

    5

    1,5

    1

    -3

    -3

    -2

    -1

    0

    F(p)

    -1,5

    .

    .

    2,5

    4

    .

    0,5

    .

    .

    1

    2

    -0,5

    F (t)

    -F (t)

    - t

    t

    (X-2) porque cambia de signo

    (X+2) porque cambia de signo

    (X+5) porque cambia de signo

    (X+4) porque cambia de signo

    (X+3) porque cambia de signo

    (X-2) porque cambia de signo

    1

    1

    2

    0

    0

    0

    0

    0

  • Gráfica

  • -60

    -30

    -210

    180

    150

    120

    90

    60

    30

    0

    t

    .

    -7

    +

    -

    - b

    b2 - 4ac

    2*8

    F(t) = Y =

    t =

    16

    (-4)2 - 4*8*0

    4

    +

    -

    42

    +

    -

    16

    t =

    t1 =

    (4 + 4)/16 = 1/2

    t2 =

    (4 - 4)/16 = 0/16 = 0

    -F(p)

    -p

    p

    .

    .

    .

    .

    .

    0,25

    24

    Tiene dos raíces reales y diferentes, por lo tanto los puntos de corte con el eje X son ½ y 0

    40

    12

    -2

    -1

    1

    Hallar el vértice de la parábola:

    Y = 8t2 - 4t + 0

    Donde: a= 8; b= -4 y c= 0.

    El vértice se calcula con la fórmula: (-4/2a, 4ac-b2/4a)

    Sustituimos: { [-(-4)/2*8] , [4*8*0-(-42)]/4*8}

    (4/16, -16/32) = (1/4, -1/2).

    Luego, el vértice de la parábola se halla en el punto cuyas

    Coordinadas son (1/4, -1/2)