Matemáticas

Cálculo. Potenciación. Radicación. Raíces. Potencias. Números decimales. Números racionales. Unidades de medida. Magnitudes y proporciones. Geometría del plano

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Matemáticas

[1º ciclo ESO]

'Matemáticas'

Índice

Números enteros 3

Divisibilidad 5

Potenciación y radicación 7

Números decimales 10

Números racionales 11

Unidades de medida 13

Magnitudes y proporciones 15

Álgebra 18

Geometría del plano 21

Ejercicios complementarios 31Números enteros

Nº enteros= nº positivos, nº negativos y 0.

1. Operaciones y sus propiedades

Operación

Realización

Propiedades

Suma

-Si tienen el mismo signo se suman.

-Si tienen distinto signo se deja el signo con mayor valor y se le reta el de menor

-Conmutativa (cambiar el orden de sumandos)

-Asociativa (sumar varios sumandos)

-Elemento neutro (sumar el 0)

-Elemento opuesto (2 números sumados dan 0)

Resta

Se deja el signo del número con mayor valor, y se restan.

Esta operación forma parte de la suma

-Asociativa (restar varios sumandos)

-Asociativa (restar varios sumandos)

-Elemento neutro (restar el 0)

-Elemento opuesto (2 números restados dan 0)

Multiplicación

-Número de signos negativos impar=resultado negativo

-Número de signos negativos par=resultado positivo

*Después se realiza la multiplicación

-Conmutativa (cambiar orden de factores)

-Asociativa (sustituir 2 factores por su producto)

-Elemento neutro (multiplicar por 1)

-Elemento absorbente (multiplicar por 0)

División

-Número de signos negativos impar=resultado negativo

-Número de signos negativos par=resultado positivo

*Después se realiza la división

2. Propiedades que necesitan a la vez el producto y la suma

Distributiva

Pasamos de un producto a una suma.

Hay que multiplicar el número exterior al paréntesis por cada uno de los de dentro

Sacar factor común

Pasamos de una suma a un producto.

En cada sumando hay un producto de 2 factores, de los cuales uno de ellos se repite en todos los sumandos. Hay que meter todos los números dentro de un paréntesis excepto uno (el factor que se repite) que lo dejaremos fuera multiplicando al paréntesis.

3. Valor absoluto

Resultado de quitarle el signo al nº que me den

-2 -> 2 +3 -> 3

4. Nº opuestos

Los que tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo

Op. +8= -8 Op. -3= +3

5. Comparación y orden

Nº positivos> 0> nº negativos

…4>3>2>1>0>-1>-2>-3…

6. Jerarquía en las operaciones

1º Paréntesis

2º Potencias y raíces

3º Productos y divisiones

4º Sumas y restas

Divisibilidad

Múltiplo: Número que se obtiene multiplicando un número por otro

Divisor: Son los números entre los que podemos dividir un número siendo la división exacta

Un número A es divisible por otro B cuando la división de A para B da exacto.

Si A es divisible por B entonces; A es múltiplo de B y B es divisor de A.

1. Reglas de divisibilidad

Regla

Consiste en…

Del 2

Si la cifra acaba en 0 ó cifra par

Del 3

Si la suma de su valor absoluto da 3 ó múltiplo de 3

Del 5

Si la cifra acaba en 0 ó 5

Del 7

Realizar la división

Del 11

Sumamos las cifras de lugares pares; sumamos las cifras de lugares impares; las restamos y tiene que dar 11 ó un número múltiplo de este.

2. Números primos

Son aquellos que sólo son divisibles por si mismo, su opuesto, 1 y -1.

2.1 Números primos hasta el 100

1-2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-89-97

2.2 Clasificar en primo o compuesto

1º No interviene el signo en su clasificación

2º Comprobamos si es divisible por los números primos

3º Si no es divisible y el cociente de la última división sea igual o menor al divisor será primo, si lo es será compuesto.

3. Descomposición en factores primos

Es hallar todos los números primos cuyo producto es dicho número.

1º A la izquierda se escribe el número, a la derecha el primer número primo por el que es divisible. A la izquierda y debajo el cociente obtenido.

2º No se pasa a dividir por otro número primo hasta que no se pueda seguir dividiendo por el anterior.

3º Continuar las divisiones hasta que el cociente sea 1

4. Máximo común divisor (m.c.d.)

Es el mayor de los divisores comunes de dos o más números

1º No interviene el signo

2º Descomponer en factores primos los números

3º Multiplicamos los factores comunes en su menor exponente

5. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

Es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números

1º No intervienen los signos

2º Descomponer en factores primos los números

3º Multiplicamos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente

Potenciación y radicación

Potenciación

Potencia: Producto de factores iguales

1. Partes

Base: Número a multiplicar

Exponente: Indica el número de veces que se multiplica la base por si misma

Exponente

Base

2. Resultado según su base o exponente.

2.1. Según el signo de la base

Si la base es positiva, dará positivo. Si la base es negativa, miramos el exponente, si es par dará positivo, si es impar dará negativo.

Si el exponente "n" es par

Si el exponente "n" es impar

2.2. Según el signo del exponente

Si el exponente es positivo, no hay que hacer nada. Pero si el exponente es negativo hay que invertir la base

3. Potencias especiales

3.1 Potencia de base 0

Todas estas dan como resultado 0

3.2 Potencia de exponente 0

Todas estas dan como resultado 1; excepto cero elevado a cero, que da cero

3.3 Potencia de base 1

Dan siempre 1

3.4. Potencias con la unidad seguida de ceros

Da la unidad seguida de tantos ceros como el número que resulte de multiplicar el exponente por el número de ceros.

4. Operaciones con potencias

4.1. Potencias de la misma base

Producto de potencias con la misma base

División de potencias con la misma base

Potencia de otra potencia

Raíz de una potencia

4.2. Potencias de igual exponente

Producto de potencias con igual exponente

División de potencias con igual exponente

Radicación

Operación contraria a la potenciación

1. Partes

Radical

v 25 = 5 Raíz

Exponente Radicando

2. Raíz cuadrada

2.1. Tipos de raíces cuadradas

Exacta: la raíz al cuadrado da justo el radicando

Entera: la raíz al cuadrado no da justo el radicando

Raíz por defecto: Se busca el número más cercano sin que su cuadrado sea mayor al radicando. El resto por defecto es la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz.

Raíz por exceso: Es la raíz por defecto a la que le sumamos la unidad. El resto por exceso es la diferencia entre el cuadrado de la raíz y el radicando

2.2 Realización de una raíz cuadrada

1º Dividimos los números del radicando en 2 cifras de derecha a izquierda

v2,38,57

2º Buscamos un número cuyo cuadrado se acerque o sea igual al de la primera pareja. Le restamos el cuadrado a esta

v2,38,57 1

-1

1

3º Bajamos la siguiente cifra. En la raíz hay que poner el doble

v2,38,57 1

-1 2

138

4º Buscamos un número para hacer pareja con el 2. Este nuevo número será multiplicado por el nuevo número (5). Se añadirá a la raíz de arriba. Este tiene que dar menos o lo mismo que 138. Los restamos, bajamos la siguiente pareja y repetimos el proceso.

v2,38,57 154

-1 25 x 5= 125

138 304 x 4=1216

-125

01357 Raíz= 154

-1216 Resto= 141

0141

2.3. Prueba de la raíz cuadrada

Raíz al cuadrado + resto =radicando

3. Sacar factor

1º Descompongo el radicando en factores primos

V

2º Para poder sacar los factores tienen que ser mayor que le de la raíz. Los factores mayores se sacan; para eso se divide su exponente para el de la raíz. Se saca la potencia con la misma base y el nuevo exponente.

V 784 =

Números decimales

Tienen una parte entera y una decimal. 8,5 7,829

1. Operaciones

Operación

Realización

Suma

Se colocan ambos números alineados por las unidades y se suman

Resta

Se colocan ambos números alineados por las unidades y se restan

Multiplicación

Se realiza la multiplicación, se le añaden al resultado tantas cifras decimales como tienen los 2 factores juntos

División

Se multiplica el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como tenga el divisor. Después se realiza la división. Al llegar a la cifra que esta después de la coma se añade esta al cociente

2. El redondeo

-Si lo que has redondeado es ahora un número menor del que era, será aproximación por defecto.

- Si lo que has redondeado es ahora mayor que el número inicial será aproximación por exceso.

Para redondear un número hacemos lo siguiente:

-Si el decimal a redondear es 5, 6, 7, 8, 9, entonces se redondeará por exceso

-Si el decimal a redondear es 1, 2, 3, 4, entonces redondearé por defecto

Números racionales

Una fracción es le cociente de 2 números naturales o enteros.

Fracción de 2 y -5:

1. Partes Numerador

Denominador

2. Fracciones equivalentes

2 fracciones son equivalentes cuando al multiplicar sus términos en X, nos da el mismo resultado

7 x (-12)=4 x (-21)

-84 = -84

Obtención de fracciones equivalentes

  • Multiplicar los 2 términos por el mismo número

  • Dividir los 2 términos para un número por el que sean divisibles los 2 términos.

3. Simplificación de fracciones

Hay que convertir la fracción original en una irreducible.

1º Descomponer cada uno de los términos en factores primos

2º Quitamos los comunes en numerador y denominador, o restamos exponentes

3º Operamos

4. Clasificación de fracciones

Fracciones propias

Numerador < Denominador Menores que la unidad

Fracciones impropias

Numerador >= Denominador Mayores o iguales que la unidad

Fracciones decimales

El denominador es la unidad seguida de ceros

5. Común denominador

A fracciones con denominador distinto, les buscamos uno común.

1º Simplifico las fracciones reducibles

2º Buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. El m.c.m. será los nuevos denominadores.

3º El numerador hay que multiplicarlo por el mismo nº que hemos multiplicado el denominador.

m.c.m =36

6. Operaciones con fracciones

Operación

Realización

Suma

Sacar común denominador. Se deja el mismo denominador y se suman los numeradores

Resta

Sacar común denominador. Se deja el mismo denominador y se restan los numeradores

Multiplicación

Se multiplican los numeradores y los denominadores respectivamente

División

Se multiplica siguiendo el siguiente esquema:

a b c d e x f x g x h

-- x --- x---x --- =

e f g h a x b x c x d

Potenciación

Se elevan el numerador y el denominador al exponente indicado

7. Ordenación y comparación de fracciones

Se saca común denominador. La que mayor numerador tenga es la mayor. La que menor denominador tenga es la menor.

8. La fracción como operador

8.1. Operador directo

La unión entre la fracción y el número es la preposición de. En este caso multiplicamos el numerador por el número.

3

de 180 3 x 180= 108

5

8.2. Operador inverso

La unión entre la fracción y el número son las palabras es o son. En este caso multiplicaremos el denominador por el número y lo que de lo dividiremos para el numerador.

2

son 8 7 x 8= 56 56:2= 20

7

Unidades de medida

Magnitud: Propiedad de un objeto que se puede medir asignándole un número y una unidad de medida

1. El euro 'Matemáticas'

Moneda común de casi todos los países de la Unión Europea.

: 100 x100

Céntimos de euro Euros

2. El sistema métrico decimal

Está basado en las potencias de exponente 10.

2.1. Prefijos que preceden a la unidad

Submúltiplos Mili (m), centi (c), deci (d)

Múltiplos Deca (d), hecto (h), kilo (k)

2.2. Unidades principales

Magnitud

Unidad principal

Símbolo

Longitud

Metro

m

Masa

Kilogramo

Kg.

Tiempo

Segundo

S ó ´´

Intensidad eléctrica

Ampere

A

Temperatura

Kelvin

K

Cantidad de sustancia

Mol

mol

Intensidad luminosa

Candela

cd

2.3. Producto y cociente por potencias de 10

Producto Se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

14,5 x 1000= 14500

División Se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

83,2 : 1000= 0,0832

2.4. Longitud

X 10 : 10

U.A Km hm dam m dm cm mm

2.5. Capacidad

X 10 : 10

Kl hl dal l dl cl ml

2.6. Masa

x 10 : 10

t q mag kg hg dag g dg cg mg

2.7. Superficie 1 m

x 100 : 100

Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1m

Ha a ca

2.8 .Volumen

x 1000 : 1000 1 cm

Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1 cm

1 cm

2.9. Relación entre volumen, capacidad y masa

Masa t q mag kg hg dag g

Capacidad kl hl dal l dl cl ml

Volumen m3 dm3 cm3

2.10. Tiempo

x 360 x 24 x 60 x 60

Año(a) día(d) hora(h) minuto(´) segundo(´´)

Para ir de segundo a minuto, de minuto a hora… en vez de multiplicar, se divide

Magnitudes y proporciones

1. Razón

Es un cociente indicado o efectuado entre dos números cualquiera. La diferencia entre una razón y una fracción es que en la razón puede haber números decimales y el cero como denominador. Además se lee distinto

La lectura de esta razón sería: dos enteros cinco décimas es a cero

Sus partes son:

Antecedente

Consecuente

Una serie de razones iguales es un conjunto de más de 2 razones iguales

2. Proporción

Es la igualdad de dos razones. Para comprobar si dos razones forman una proporción se multiplica el antecedente de la primera por el consecuente de la segunda y viceversa.

7x15=21x5=105

La lectura de esta proporción sería siete es a cinco como veintiuno es a quince. Sus partes son:

Antecedentes: 7, 21 Consecuentes: 5, 15 Extremos: 7, 15 Medios: 5, 21

2.1. Propiedades

Fundamental Producto de extremos y producto de medios

Intercambios Extremos entre sí

Medios entre sí

Extremos y medios a la vez

Antecedentes y consecuentes (los antecedentes a consecuentes y viceversa)

Suma de antecedentes partido suma de consecuentes Hará proporción con una de las originales

Antecedente más el consecuente partido el consecuente El mismo proceso en las dos razones

2.2. Proporciones continuas

Son en las que se repiten los extremos o los medios

2.3. Proporciones incompletas

Son en las que falta alguno de sus términos

Cuarta proporcional

En una proporción discontinua desconocemos uno de sus términos

Tercera proporcional

En una proporción continua desconocemos uno de los términos que no se repiten.

Media proporcional

En una proporción continua desconocemos los términos que se repiten

3. Magnitud

Es toda propiedad de cualquier objeto que se pueda medir asignándole un número y una unidad de medida

Magnitud

U. medida

Longitud

6

m

Temperatura

28

ºC

Intensidad eléctrica

20

Amp.

3.1. Magnitudes directamente proporcionales

Al comparar dos magnitudes estas pueden ser directamente proporcionales cuando al aumentar la primera, la segunda lo hace por el mismo número o viceversa.

Nº corbatas

Precio en €

1

54

2

108

3

122

4

216

Las magnitudes quedan aumentadas o disminuidas a la vez por el mismo número. Estas magnitudes tienen la constante de proporcionalidad (K). Esta es el número que se nos repite al dividir cada imagen para su origen respectivo

54 es la constante de proporcionalidad (K)

3.2. Magnitudes inversamente proporcionales

Son las magnitudes que cuando la 1ª queda multiplicada por un número, la 2ª queda dividida por este mismo

Nº obreros

Tiempo de la obra: días

2

240

3

166

4

120

6

80

Cuando la 1ª magnitud queda multiplicada por un número, su respectiva queda dividida por el mismo número. El producto de imagen por origen tiene que dar lo mismo en todas las magnitudes.

3.3. Problemas con magnitudes

Regla de tres simple: problemas de tipo directo

1. Durante 18 días los habitantes de una barriada gastan 360.000 l de agua. Con el mismo gasto ¿Cuánto gastan en tres meses?

Tiempo: días

Capacidad de gasto: l

18

360.000

90(3 meses)

X

X= 1.800.000 l gastan en 3 meses

2. De los 25 alumnos de una clase han aprobado el 60%. ¿Cuántos han aprobado?

Nº de alumnos totales

Nº de alumnos han aprobado

25

X

100

60

X= 15 alumnos han aprobado

3. Un gramófono antiguo cuesta 60 euros, pero a esto hay que añadirle el 18% de IVA. ¿Cuál es el precio real del gramófono?

Precio en € sin IVA

Precio en € con IVA.

680

X

100

118

X= 802,4 euros cuesta con IVA.

Regla de tres simple: problemas de tipo inverso

4. Un coche con una velocidad de 120 Km./h tarda 6 horas en llegar a Barcelona. ¿Cuánto le habría costado a 90 Km./h?

Velocidad: Km./h

Tiempo: h

120

6

90

X

X= 8 horas tarda

Álgebra

Se usan números y letras ligados con operaciones matemáticas.

1. Expresión algebraica

Expresión matemática que intenta describir una situación de manera abreviada.

1.1. Partes de una expresión algebraica

Incógnitas: x, y

Coeficientes: 2, 4,-1, 1, 5, 1

Términos semejantes: -x, x

Grados: 3, 2, 1, 1, 0, 1

Forma reducida:

2. Ecuaciones

2.1. Resolución de ecuaciones de una incógnita de grado 1

1º Quitar los paréntesis

2º Sacar común denominador

3º Ordenar

Se pasan las incógnitas a un lado y los términos independientes a otro. Pasan de un término a otro con el signo contrario

4º Operar

Si la incógnita queda con signo negativo se le cambia el signo a esta y al otro miembro

5º Despejar la incógnita

Pasar el coeficiente de la incógnita al otro miembro realizando la operación contraria

6º Solucionarla

Se realiza la operación. Si la división da un número decimal se deja en forma de fracción.

2.2. Problemas con ecuaciones

Problemas de móviles

1. Dos helicópteros distantes entre sí1260 km, van al encuentro el uno del otro. Si el primero sale a las 9 de la mañana y el segundo 4 horas después y sus velocidades son respectivamente 120 km/h y 140 km/h ¿Dónde y cuando se encuentran?

Esp. A+ esp. B =1260

7 horas después de salir el 1º, 3 horas después de salir el 2º

840 km recorre el 1º, 420 km recorre el 2º

2. En un rally dos coches distantes entre sí 100km salen a la vez y en el mismo sentido. Si el que está delante lleva una velocidad de 110 km/h y el 2º va a 130 km/h; ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarlo?

550 Km recorre el 1º

5 horas tardan en encontrarse

Problemas de edades

3. Javier tiene 6 años más que su hermana y hace 12 años tenía el doble que ella entonces. ¿Qué edad tiene cada uno?

Edad ahora

Edad hace 12 años

Javier

X+6

2(X-12)

Hermana

X

X-12

18 años tiene la hermana

24 años tiene Javier

Otros problemas.

4. Se quieren repartir 99 plátanos entre 3 monos de modo que el primero reciba 14 plátanos más que el segundo, y el tercero, 16 menos que el primero. ¿Cuántos recibirá cada uno?

Plátanos recibe el 1º: x+14 43

Plátanos recibe el 2º: x 29

Plátanos recibe el 3º: x-2 27

Geometría del plano

El plano es indefinido.

Posición de 2 planos en el espacio

Paralelos: Ningún punto en común

Secantes: Algún punto en común

Perpendiculares: Al cortarse forman 4 regiones iguales

'Matemáticas'

Sus elementos son:

1. Punto: Intersección de 2 rectas. Parte más pequeña del plano (. ó x)

2. Línea: Conjunto sucesivo e ilimitado de puntos (recta, ondulada, curva (abierta o cerrada), quebrada, mixta y espiral)

2.1. Recta: Conjunto de puntos alineados, sucesivos e ilimitados.

…_____________....

2.2. Semirrecta: Cada una de las 2 partes en que queda dividida una recta al colocarle un punto

____________....

2.3. Segmento: Porción de recta limitada por 2 puntos

___________

Concatenados: el final del 1º coincide con el principio del 2º

_______ _________

Consecutivos: los concatenados en la misma recta)

____________________

2.4. Posición de 2 rectas en el plano:

Secantes: Se cortan en algún punto

Perpendiculares: Al cortarse, los ángulos formados tienen 90º

Paralelas: Al prolongarse nunca se cortan

______________

______________

2.5. Posición de 2 rectas en el espacio

Secantes: Se cortan en un punto

Perpendiculares: Se cortan formando regiones iguales

Paralelas: Están en un mismo plano y no se cortan

Se cruzan: No son paralelas y están en distinto plano

'Matemáticas'

3. Ángulo: Parte del plano limitada por 2 semirrectas del mismo origen

Lado

Vértice

3.1. Región angular: Cada una de las partes en las que queda dividido el plano en el que se trazan 2 rectas secantes

3.2. Clasificación

3.2.1. Según las regiones angulares que ocupen

Convexo: Ocupa 1 región angular

Llano: Ocupa 2 regiones angulares

Cóncavo: Ocupa 3 regiones angulares

Completo: Ocupa 4 regiones angulares

3.2.2. Según los grados que miden

Recto: 90º

Agudo: Mide menos que un recto

Obtuso: Mide más que un recto y menos que un llano

Llano: Mide 180º

Completo: Mide 360º

3.2.3. Cuando hay 2 ángulos

Consecutivos: Un lado y un vértice en común

Adyacentes: Ángulos consecutivos que tienen el lado no común en la misma recta

Complementarios: Su suma es igual a 90º

Suplementarios: Su suma es igual a 180º

4. Polígono: Es una línea poligonal cerrada y su interior

4.1. Línea poligonal: Conjunto de segmentos concatenados, abierta (el final no coincide con el principio) o cerrada (el final coincide con el principio)

4.2. Elementos del polígono

Contorno: Línea poligonal cerrada que lo limita

Lado: Cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal

Vértice: Punto en donde se unen 2 lados

Diagonal: Segmento que une 2 vértices no consecutivos

Altura: Segmento que une perpendicularmente con el lado opuesto o su prolongación

Perímetro: Medida del borde o contorno

Radio: Segmento que une el centro de un polígono regular con cualquiera de sus vértices

Apotema: Segmento que une perpendicularmente el centro con la mitad de un lado en un polígono regular

4.3. Clasificación según sus lados y ángulos

Regulares: Todos sus lados y ángulos iguales. El área de los polígonos regulares es la siguiente: A= (P x ap):2

Irregulares: Algún lado o ángulo desigual a los demás

4.4. Clasificación según sus ángulos

Cóncavo: Todos los ángulos menores de 180º

Convexo: Algún ángulo interior mayor que 180º

'Matemáticas'

Convexo Cóncavo

4.5. Clasificación según su número de lados

'Matemáticas'

4.6. El triángulo

Polígono de de 3 lados y 3 vértices

4.6.1. Propiedades del triángulo

-Sus ángulos suman 180º

-Un lado es menor que la suma de los otros dos y menor que su diferencia

-En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos

-Área: (b x h) :2

-Perímetro: lado1+lado2+lado3

4.6.2. Clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos

Equilátero: 3 lados y ángulos iguales

Isósceles: 2 lados y ángulos iguales y uno desigual

Escaleno: Ningún lado ni ángulo igual

'Matemáticas'

Clasificación según sus ángulos

Acutángulo: 3 ángulos agudos

Rectángulo: 1 ángulo recto y 2 agudos

Obtusángulo: 1 ángulo obtuso y 2 agudos

'Matemáticas'

4.6.3. Puntos y rectas notables del triángulo

'Matemáticas'

'Matemáticas'
'Matemáticas'

'Matemáticas'

4.6.4Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado

4.7. Cuadriláteros

4.7.1. Propiedades:

La suma de sus ángulos es igual a 360º, las diagonales de un paralelogramo se cortan en el centro y cada una de estas divide al cuadrilátero en 2 triángulos iguales. El perímetro es igual a la suma de sus lados

4.7.2. Clasificación:

Trapecios: 2 lados paralelos. Los hay rectángulos (los lados son distintos y uno de ellos es perpendicular a la base), isósceles (lados no paralelos desiguales y ángulos apoyados sobre la base iguales) y escaleno (lados y ángulos desiguales). El área es igual a: ((B + b)x h): 2

'Matemáticas'

Trapezoides: Lados opuestos desiguales, no paralelos. Ángulos desiguales. Pueden ser biisósceles (lados contiguos iguales dos a dos, ángulos opuestos iguales) o escalenos (ninguna condición). Para averiguar el área hay que descomponer el trapezoide en triángulos

'Matemáticas'

Paralelogramos: Lados iguales y paralelos dos a dos, ángulos opuestos iguales. Pueden ser cuadrados (todos los lados y ángulos iguales, sus ángulos son rectos), rectángulos (lados paralelos e iguales dos a dos, cada ángulo mide 90º), rombo (todos los lados iguales y paralelos dos a dos, 2 ángulos agudos y 2 obtusos) y romboide (lados paralelos e iguales dos a dos, ángulos opuestos iguales). El área es igual a base multiplicado por altura (A= B x h)

'Matemáticas'

5. Circunferencia y círculo

5.1. Circunferencia: Línea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan del centro. La longitud de la circunferencia se averigua con la siguiente fórmula: L=  d= 2  r

5.1.1. Elementos de la circunferencia

Centro: Punto que está a la misma distancia de los otros puntos de la circunferencia

Radio: Segmento que une el centro y un punto cualquiera

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia

Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro

'Matemáticas'

5.1.2. Posiciones de rectas y circunferencias entre ellas

Exteriores: Ningún punto en común

Tangentes: Un punto en común

Secantes: Dos puntos en común

'Matemáticas'

5.1.3. Posiciones de dos circunferencias entre ellas

Secantes: Dos puntos en común

Tangentes exteriores: Un punto en común y una está fuera de la otra

Tangentes interiores: Un punto en común y una está dentro de la otra

Exteriores: Ningún punto en común y una está fuera de la otra

Interiores: Ningún punto en común y una está dentro de la otra

Concéntricas: Tienen el mismo centro

'Matemáticas'

5.1.4. Ángulos en la circunferencia

Central: Su vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios

Inscrito: Tiene su vértice en un punto cualquiera de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas

'Matemáticas'

5.1.5. Circunferencia y polígonos

-Un polígono está inscrito en una circunferencia cuando los vértices del polígono son puntos de la circunferencia.

-Un polígono está circunscrito en una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes con la circunferencia.

'Matemáticas'

Inscrito Circunscrito

5.2. Círculo: Es una circunferencia y su interior. Para averiguar el perímetro usamos la fórmula de la circunferencia. Para averiguar el área usamos la siguiente fórmula: A= 

5.2.1. Figuras circulares

Sector circular: Parte del círculo comprendida entre dos radios. El perímetro es la suma de la longitud del arco más los dos radios. L del arco=. A= .

Corona circular: Porción de círculo comprendida entre dos circunferencias que tienen el mismo centro. A= A círculo exterior - A círculo interior

Segmento circular: Porción de círculo comprendida entre una cuerda y su arco. A= A sector circular - A triángulo sobrante del sector circular.

'Matemáticas'

Ejercicios complementarios

1. Números enteros

1.1Efectúa las operaciones combinadas

A) [-6-8 x (12+5 x (-9)-2)+4] x [12-(7-(-3)) x4]

B) (-24): [-2 x (-5)+3 x (-2)]-7+5 x (-3)

C) 5-6 x (-4-3 x 7+12) - (-8)

Soluciones: a) 174, b) -28, c) 91.

2. Divisibilidad

1. Escribir todos los divisores de los siguientes números

A) 20

B) 36

C) 48

Soluciones: a) 1, 2, 4, 5, 10, 20. b) 1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36. c) 1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48.

2. Di si son divisibles por los siguientes números

Divisible por/Nº

56

141

405

2

3

5

Soluciones: 56) 2, 141) 3, 405) 3, 5.

3. Simplifica

A)

B)

Soluciones: a) b)

4. Calcula el M.C.M y M.C.D. de los siguientes números

A) 54 y 92

B) 46 y 38

C) 240 y -90

Soluciones: A) M.C.M.= 2484 M.C.D.= 2. B) M.C.M.= 874 M.C.D.= 2

C) M.C.M.= 720 M.C.D.= 30.

3. Potencias

1. Haz las siguientes operaciones combinadas

A)

B)

Soluciones: a) 8, b) 100.

2. Escribe como única potencia

A)

B)

Soluciones: a) , b)

5. Números racionales

'Matemáticas'
Matemáticas 1º ciclo ESO.

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