Matemáticas

Cálculo. Sucesiones numéricas. Razón aurea. Sucesión de Fibonacci. Series de números. Equilibrio de Nash. Teorema de los grafos. Circuitos de Euler. Circuitos Hamiltonianos

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Índice

Tema Páginas

Parte I: Los números en nuestro entorno

Introducción 3

Historia 4

Sucesiones numéricas 5

Características de la serie 7

Razón Aurea 8

Aplicaciones de la serie y el número de oro. 10

Conclusiones 14

Parte II: Equilibrio de Nash

Introducción y objetivos 15

Equilibrio de Nash 16

Modelos Generales 18

Aplicaciones deductivas 24

Conclusiones 34

Parte III. Teorema de los grafos.

Introducción 35

El Problema y los grafos 36

Circuito de Euler 37

Circuito Hamiltoniano 39

Problema del viajante 39

Árboles generadores de coste mínimo 41

Programación de Tareas 42

Conclusiones 44

Bibliografía 45

Los números en nuestro entorno.

El estresado ritmo de vida actual nos lleva a usar la tecnología, y a gran velocidad, parecería extraño parar y contemplar las grandes pequeñeces que nos rodean y descubrir que existe un origen matemático que las ordena y describe.


En los pétalos de una flor

En las construcciones

En las alas de la mariposa

En las obras de arte

En nuestro cuerpo

En la música

Objetivos

Dar a conocer que los números no sólo se encuentran en una ecuación matemática, sino que están presente en nuestro entorno, tanto en la naturaleza como producto de la mano del hombre.

Historia

La necesidad de contar existe desde la prehistoria, cuando se usaban marcas para registrar cada unidad.

Luego estas marcas se fueron agrupando; aparecieron los números romanos, el Número 0, los números negativos.

Este desarrollo comenzó en India y Arabia y sólo en el siglo XII llegó a Occidente.

Fue el italiano conocido como Fibonacci (Leonardo de Pisa 1170-1250) quien viajaba con su padre, que era comerciante, por el norte de África, el que introdujo los números arábigos en Occidente.

Este apodo viene de Filius Bonacci y significa: hijo de Bonacci)

Su principal obra es el "Liber Abaci", un tratado muy completo sobre métodos y problemas algebraicos donde explica

  • procesos aritméticos desde los usuales hasta la extracción de raíces

  • los números negativos para las deudas

  • soluciones a problemas de transacciones comerciales utilizando un complicado sistema fraccionario.

En el libro aparecen gran cantidad de problemas, entre ellos uno que ha pasado a la historia: el de las parejas de conejos, cuya resolución da lugar a la conocida sucesión de Fibonacci.

Sucesiones Numéricas

En general se llama serie numérica a una secuencia de números enteros de la que nos dan los primeros términos.

  • El objetivo es encontrar los términos faltantes de la secuencia.

  • La más simple es la de los números enteros 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...

  • Que nos dice que a partir del Número 1, hay que sumar 1

Observando esta secuencia de números

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21

Vemos que cada uno es igual a la suma de los dos anteriores

Por ejemplo 8 + 13 = 21

Se trata de la Serie de Fibonacci conocida por su presencia en muchos ámbitos observables de la naturaleza.

Origen

El siguiente problema es el inicio del estudio de esta serie numérica

"En un patio cerrado, se coloca una pareja de conejos para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, y se supone que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. Calcular la cantidad de parejas de conejos al cabo de un año"

Suponiendo que :

  • Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes.

  • Los conejos se aparean y siempre resulta preñada la hembra.

  • El periodo de gestación de los conejos es de un mes.

  • Los conejos no mueren.

  • La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos.

  • Los conejos tienen una moral y un instinto de variedad genética muy relajados y se aparean entre parientes.

    • Empezando con 1 pareja, el primer mes no pasa nada

    • Al igual que en el segundo, tampoco pasa nada pues no han alcanzado la madurez

    • El tercer mes tienen crías, en total hay 2 parejas.

    • Los padres vuelven a criar el siguiente mes, los hijos, no pues todavía no pueden. En total 3 parejas.

    • Ahora al quinto mes, tanto los padres como los hijos pueden criar y hay 5 parejas

    • Al quinto mes habrá 8, al sexto habrá 13 y asi hasta….

    • Que al año habrá 144 parejas

CARACTERISTICAS DE LA SERIE

Si cada término se define como a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, … an

con sus respectivos valores 1 1 2 3 5 8 13….

La serie tiene estas propiedades

  • Cada término se obtiene sumando los 2 anteriores an = an-2 + an-1

a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5

  • La suma de los n primeros términos es an+2 - 1

Para n=4; a1 + a2 + a3 + a4 = 1 + 1 + 2 + 3 = 7= a6 - 1

  • La suma de los n primeros términos impares es a2n

Para n=3; a1 + a3 + a5 = 1 + 3 + 5 = 8 = a6

  • La suma de los n primeros términos pares es a2n+1 -1

Para n=2; a2 + a4 = 1 + 3 = 4 = a5 - 1

Y la más importante

  • El cuociente entre dos términos consecutivos an+1 / an tiende a 1,618

O sea:

Si cada término de la serie se divide por el término anterior, se obtiene un valor cercano a 1,61803, una de las características muy importantes de esta serie y conocido como el número Phi, número áureo ó el símbolo  [Author ID1: at Sat Nov 19 02:37:00 2005]

1 : 1   =  1   
   2  : 1   =  2
   3  : 2   =  1,5
   5 : 3   =  1,66666666
   8  : 5   =  1,6
  13 : 8   =  1,625
  21 : 13  =  1,6153846....
 34 : 21  =  1,6190476....
 55 : 34  =  1,6176471....
 89 : 55  =  1,6181818....

Hay varias caracteristicas del número Phi, que se combinan para definir otras relaciones.

Decimos que dos números se encuentran en proporción áurea cuando al dividirlos obtenemos el número Phi, que es la inicial del nombre del escultor griego Phidias que lo tuvo presente en sus obras.

Este número da origen a la proporción áurea que está presente:

  • En ciertas formas de la naturaleza

  • En el arte y en el diseño

  • En las espirales de los caracoles y en las nervaduras de las hojas

  • En las medidas del frente del Partenón de Atenas

  • En la Música, por ejemplo en las sonatas de Mozart y en la Quinta Sinfonía de Beethoven

  • En tarjetas de crédito, cajetillas de cigarrillosPhi

El número de oro, para numerosos artistas representa

  • la máxima expresión de la belleza

  • la proporción perfecta

  • un diseño armonioso

Razón Aurea

PROPORCIÓN AUREA

La forma de dividir armoniosamente una línea se llama proporción áurea. Está dividida en dos partes tales que uno de ellas es media proporcional geométrica entre la otra parte y el segmento entero.

“El lado mayor es al menor como la suma de ambos es al mayor".

RECTANGULO AUREO

Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones.

Si se le pide elegir un rectángulo de entre varios, la mayoría de las personas elige uno con proporción aurea.

'Forum Vitae Matemáticas'
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Aplicaciones de la serie y el número de oro.

PHI en las los pétalos de las flores

Al observar y contar los pétalos de las flores se llega a que las conocidas margaritas tienen 8, 13, 21, 34 pétalos; y éstos son Números consecutivos de la Serie de Fibonacci

Fibonacci en ¿espiral?

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas, gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos) y también en los cuernos de los mamíferos.

Al parecer la sabia naturaleza hace uso de un patrón especial que permite que las nuevas partes como hojas, semillas, pétalos se distribuyan de manera óptima a medida que crecen.

Por ejemplo las hojas de un tallo lo hacen de una manera tal, que la primera reciba una cantidad óptima de luz al crecer las siguientes, este ángulo de rotación tiene relación con el número áureo.

PHI en la Arquitectura

  • En la Venus de Boticelli

  • En e Partenón de Atenas, Grecia

  • En la Catedral de Notre Dame en Francia

  • En las pirámides de Egipto

  • En el edificio de las Naciones Unidas

PHI en el cuerpo humano

Griegos y romanos estudiaron las proporciones del cuerpo y las grabó en este dibujo Leonardo da Vinci que sirvió para ilustrar el libro “La Divina Proporción”  de Luca Pacioli editado en 1509.

Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas.

  • Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia.

  • El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo y el ancho lo forman los brazos extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco

  • Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

Fibonacci en nuestra mano y brazo

Hay varias mediciones que se pueden hacer en el cuerpo humano donde aparecen el úmero PHI o la sucesión de Fibonacci.

Por ejemplo, la suma del largo de las dos falanges más pequeñas es igual al largo de la siguiente

Lo mismo para entre la distancia del codo a la mano y de la muñeca a la mano.

Fibonacci en las Piñas

Las escamas de una piña aparecen en espiral alrededor del vértice. Si contamos el número de espirales de una piña, encontraremos que siempre es igual a uno de los números de la sucesión de Fibonacci.

Fibonacci en las margaritas

Al observar las margaritas vemos que están presentes los números tanto en las semillas del centro como en los pétalos.

Se puede ver que las semillas están ordenadas en forma de espiral hacia la derecha y hacia la izquierda y la cantidad de espirales hacia un lado y hacia el otro son números correlativos de Fibonacci.

PHI en las semillas

Al observar estos girasoles vemos como están presentes los números de Fibonacci en las semillas del centro.

Se puede ver que están ordenadas en forma de espiral hacia la derecha y hacia la izquierda y la cantidad de espirales hacia un lado y hacia el otro son 2 números de Fibonacci y además consecutivos

PHI en la música

En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea.

Caracteristicas de la Sonata Nº1 para piano de Mozart

El segundo tema armónico de la obra siempre es más extenso que el primero

Primer movimiento subdividido en 38 y 62 compases y 63 / 38 = 1.6315

Segundo movimiento subdividido en 28 y 46 compases y 46 / 28 = 1.6428

Tampoco se sabe si fue consciente de ello, pero en su Quinta Sinfonía  Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la sección áurea. El clímax de la obra se encuentra al 61,8 % de ella

Los músicos de jazz autodidactas pueden no ser conscientes de la teoría de escalas, armonía y formas que usan habitualmente, pero igual producen obras armoniosas

El Piano

El piano está constituido por siete octavas ordenadas de forma creciente de graves a agudas.

Así, los primeros seis números de la Sucesión de Fibonacci figuran en una octava de piano, la cual consiste en 13 teclas, 8 teclas blancas y 5 teclas negras ( en grupos de 2 y 3)

CONCLUSIONES

En este trabajo se demostró como los números estan presente en la naturaleza y en lo creado por el hombre. En la musica, el arte, la arquitectura, etc.

Las formas naturales no son caprichosas, sino que buscan también la eficiencia.

Las estrategias evolutivas favorecidas por las especies, se han basado en la adopción o preferencia de algunas formas funcionales.

Ciertas formas son más eficaces que otras para algunas funciones.

El espiral que se repite en moluscos, cuernos de mamíferos y semillas de flores, es la manera más eficaz de agrupar, manteniendo la misma forma a medida que el tamaño aumenta.

Al advertir mi asombro ante tanta belleza encontrada con este trabajo espero estar más consciente para descubrir nuevas relaciones en los objetos matemáticos que están a nuestro alcance

Parte II: El Equilibrio de Nash.

Introducción:

La teoría de juegos se encarga de establecer las formas en que se entretejen las relaciones entre las personas bajo distintas circunstancias, ya sea entre dos o más individuos, con conocimiento o desconocimiento de los deseos del otro, con simultaneidad o diferentes tiempos de decisión, con simetría o asimetría en los deseos de los participantes, con cooperación entre los individuos o sin ella, con confianza o mentira, y en fin, con todas las variables que pueden alterar el acontecimiento; estudiando el comportamiento estratégico que los jugadores adoptarían bajo cada uno de los posibles escenarios. Siendo base de esta teoría la aceptación del supuesto de que las personas actúan con racionalidad, ya que al ser esta determinada por cuestiones lógicas, puede ser predecible.

La teoría de juegos aplica matemática pura y psicología, ambas ciencias conjugadas, interactuando, resolviendo la primera a la segunda.

La Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern en su libro clásico “The Theory of Games Behavior”, ellos investigaron entre otras cosas el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, para que luego cada jugador busque una estrategia óptima. Lo que es mejor para un jugador depende de lo que los otros jugadores piensan hacer, y esto a su vez depende de lo que ellos piensan que el primer jugador hará. Von Neumann y Morgenstern resolvieron este problema en el caso particular de juegos con dos jugadores cuyos intereses son diametralmente opuestos. A estos juegos se les llama estrictamente competitivos, o de suma cero, porque cualquier ganancia para un jugador siempre se equilibra exactamente por una pérdida correspondiente para el otro jugador. El Ajedrez, el Backgamón y el Póquer son juegos tratados habitualmente como juegos de suma cero.

Pero después que Von Neuman y Morgenstern hallan desarrollado sus modelos de planteamientos no cooperativos de este estilo, aparece un hombre llamado John Forbes Nash, que se concentró en darles otro enfoque, por que existen muchas situaciones en que los beneficios de uno no representan el desmedro del otro, o por lo menos no en forma tan definitiva.

Objetivos:

- Entender hasta que punto una solución de un juego puede ser entendida como un equilibrio de Nash.

- Visualizar que es lo que determina que una solución pueda ser entendida como un equilibrio de Nash.

- Establecer una clasificación elemental, con modelos simples y generales.

- Mostrar aplicaciones reales, que permitan ampliar el concepto de equilibro de Nash, dadas situaciones específicas.

EQUILIBRIO DE NASH:

En teoría de juegos, se define el equilibrio de Nash (formulado por John Forbes Nash) como un modo de obtener una estrategia óptima para juegos que involucren a dos o más jugadores. Si hay un conjunto de estrategias tal que ningún jugador se beneficia cambiando su estrategia, entonces ese conjunto de estrategias y las ganancias correspondientes constituyen un equilibrio de Nash. En un equilibrio de Nash todos los jugadores conocen las distintas motivaciones de los otros, de ahí que puedan hacer un juicio que les permita conformarse con una determinada opción. Si no, actuaría cada jugador en función de sus deseos y objetivos óptimos o en base a supuestos equivocados que no permitirían alcanzar un equilibrio.

Nash concentró su análisis en juegos que se jugaban una sola vez o en los cuales los jugadores se movían simultáneamente. A cada conjunto de estrategias denominado con frecuencia combinación de estrategias, que es una por jugador, se le asocia una salida del juego (solución), caracterizada por las ganancias expresadas en forma de números que le toca a cada uno, o por el lugar en orden de preferencia que ocupa la solución en el contexto de cada jugador. Entre estas salidas pueden haber unas más “interesantes” que otras, por ejemplo las que “reportan más”. Sin embargo, como regla general, la mayoría de las salidas, si no la totalidad, no son comparables entre ellas en el sentido de que el paso de una a otra se traduce en un aumento de ganancias para unos y una baja para otros. Entonces no se puede decir que estas salidas son colectivamente exitosas, y, con mayor razón, no se puede decir que una de ellas es “superior” a todas las otras. En cambio, en un equilibrio de Nash, dado que ninguno de los jugadores siente, después de un análisis racional, deseos de cambiar su estrategia, sí encontramos una solución, colectivamente exitosa, ya que aunque algunos se sientan disconformes, dado que la solución de equilibrio, es lo mejor que dentro del contexto podían asegurar, tampoco habrán fracasado. Si los teóricos de juegos estudian separadamente cada una de las salidas y las combinaciones de estrategias de las cuales ellas son el resultado; las de de estatuto privilegiado, son las salidas de equilibrio de Nash.

En la definición del equilibrio de Nash el adjetivo “unilateral” ocupa un lugar esencial, por que refleja el carácter no cooperativo de las elecciones individuales (“cada cual para sí mismo”). Nash plantea un modelo en el cual todos resultan medianamente beneficiados pese a actuar de manera totalmente egoísta.

Límites:

El equilibrio de Nash es importante por que nos permite encontrar soluciones definitivas y terminantes; incluso en casos de suma cero, como se puede observar más adelante, sin embargo es importante destacar que no siempre el equilibrio de Nash representa la mejor salida, y que además a veces dado el carácter no cooperativo de las situaciones es difícil determinar hasta que punto son capaces de ponerse de acuerdo los jugadores en pos del propio beneficio, o hasta que punto son capaces de actuar racionalmente.

Si una combinación de estrategias no es un equilibrio de Nash, existe al menos un jugador que puede aumentar sus ganancias cambiando de estrategia, y en consecuencia, ésta no se puede considerar como una “solución” del modelo.

Ahora, el planteamiento recíproco de esta proposición no es generalmente verdad: si un juego admite un equilibrio de Nash no existe una razón a priori para que éste aparezca como la “solución” evidente, que se impone a los ojos de todos los jugadores. Ello al menos por una razón: con frecuencia los juegos admiten varios equilibrios de Nash. Por ejemplo en la pareja de estrategias:

1: A adopta la norma A / 2: B adopta la norma A

es un equilibrio de Nash del modelo en tanto A evidentemente no tiene interés de cambiar de estrategia habida cuenta la elección de B; este tampoco ya que la coexistencia de dos normas diferentes es el caso más desfavorable para las dos empresas.

Ahora, la pareja de estrategias:

1: A adopta la norma B / 2: B adopta la norma B

es de igual manera un equilibrio de Nash, como se puede verificar de manera inmediata.

Ninguno de estos dos equilibrios aparece como una solución evidente porque A prefiere la primera ya que impone su norma y B la segunda, por el mismo motivo. También se deduce la posibilidad de que cada uno escoja producir según su propia norma, pensando que el otro lo seguirá, con el resultado de una salida que no es de equilibrio, pues es mala para todos. Aquí se encuentra la cuestión central para el microeconomista, "la coordinación", propuesta en el marco de juegos, pero no resuelta.

El problema de la multiplicidad de equilibrios de Nash, en un juego dado, es indudablemente la principal fuente de preocupación para los estudiosos de los juegos, que han buscado su solución considerando, por ejemplo, que ciertas elecciones no son completamente “razonables” o “creíbles”. De tal manera, si retomamos nuestro ejemplo, pero con un orden preestablecido en los golpes (digamos, A juega primero y B después), entonces nos encontramos en presencia de los dos mismos equilibrios, pero ahora uno de ellos es poco “creíble”, el que A y B adopten la norma de B. Ósea, no hay razón para que A tome tal decisión ya que tiene la delantera; es cierto que B puede lanzar una amenaza: “pase lo que pase, produciré con mi propia norma” y que, si ese es el caso, y A tuviese interés en actuar según la norma B, de igual forma se conservaría un equilibrio. ¿Pero tomará A en serio la amenaza de B?

Se puede dudar, porque si A decide producir según su propia norma sería suicida por parte de B poner en ejecución su amenaza, lo que provocaría la ruina de A, pero también la suya. Sabiendo eso, A actuará de distinta manera. En consecuencia, existe uno de los equilibrios de Nash que se impone como solución:

A produce según la norma A / B según la norma A.

Aquí el orden de los golpes estipulado con antelación juega un papel importante, esto es un equilibrio perfecto; esta solución responde a elementos de los equilibrios de Nash, haciendo intervenir elementos suplementarios.

Se puede observar, que el supuesto de información completa juega un papel esencial; A debe estar “seguro” que B actuará como se previó ya que, si existe incluso el más mínimo riesgo de que no fuera así y que B cumpla con su amenaza, entonces la decisión no es tan evidente. Por ello el interés de B de forjarse una reputación del tipo que “no cede jamás”. Sin embargo aunque B sea un tipo que no cede jamás, el que aplique la norma B sabiendo que A aplicó su norma, sería un acto irracional, un suicidio inefable, y eso no está contemplado dentro de la teoría de juegos, de ahí que el problema de la racionalidad no sea un tema fácil.

Para solucionar el problema de la racionalidad, debemos llevarla a esta a un margen más simple, mas empresarial, a un punto en que bajo ninguna perspectiva B aplicaría su norma si eso representa la ruina propia también, sino es imposible establecer modelos eficaces. Incluso sería factible que en un juego de decisiones simultáneas los participantes tiraran un dado para ver quien será el más beneficiado, sabiendo que sin importar cual sea el resultado, será mejor que el que habría si ambos tomarán la decisión por separado.

Otro de los límites esenciales del equilibrio de Nash como “solución” de un juego, reside en el hecho de que tal equilibrio es con frecuencia subóptimo.

Es evidente que siempre las mejores soluciones de los conflictos humanos están dadas por la colaboración, pero la gente no siempre responde de la forma más coherente, hay otras fuerzas en el hombre que lo llevan a actuar de formas que no apuntan a un bien supremo, aunque se conozca. Lo que hace Nash es buscar un punto de equilibrio, algo que ofrezca la mejor opción para todos cuando todos son rivales, en determinados contextos un equilibrio de Nash puede ser considerado como una solución óptima.

Para buscar mayor entendimiento, me pasearé entre algunos modelos simples y algunas aplicaciones interesantes.

Modelos generales del equilibrio de Nash

Modelos con decisiones simultaneas:

Dilema de los prisioneros, equilibrio de Nash único:

Para encontrar un equilibrio de Nash se pueden ordenar las distintas posibilidades en función del valor que tienen. Pudiendo hacerlo en función de lo positivas que son para cada sujeto:

Imaginemos una situación bastante utilizada:

Dos hombres, uno llamado Carlo y otro llamado Pato deciden asaltar un banco. Cometen el delito e inmediatamente corren a sus casas para esconder el dinero, luego deciden ir a la plaza a comer un helado. En el camino son detenidos por un policía, que nota cierto nerviosismo en los sujetos, como sabe que recientemente hubo un robo en el banco decide revisar el auto, en la maletera encuentra dos ametralladoras, una granada, y tres pistolas.

Detiene a los sujetos y los encierra en habitaciones separadas. El policía no tiene pruebas para relacionarlos con el robo, sin embargo su instinto policial lo lleva a creer firmemente en la culpabilidad de Carlo y Pato.

El policía que es muy inteligente, teniendo a los delincuentes incomunicados, le plantea a cada uno lo siguiente: Si confiesas el robo te meteré un año preso, si tú amigo confiesa y tú no, te irás diez años preso, y si ambos confiesan Irán 5 años presos. Pato y Carlo deducen que si ninguno confiesa, solamente podrán encerrarlos por porte ilegal de armas, pena que no los mantendrá en la cárcel por más de 2 años. Sin embargo: ¿Son tan amigos estos delincuentes?

Las posibilidades que cada uno visualiza, expuestas en orden de preferencia son:

·1: Confesar e ir 1 año preso, si el otro se calla.

·2: Callar e ir 2 años preso si el otro hace lo mismo.

·3: Confesar y quedarse en prisión 5 años si el otro decide de la misma manera confesar.

4: Callar y ser condenado a 10 años si el otro escoge confesar.

Considerando las posibilidades, y las preferencias de los presos, que son individuos ególatras, podemos construir la siguiente tabla que muestra las distintas soluciones:

CARLO

Callar Confesar

PATO Callar 2 / 2 4 / 1

Confesar 1 / 4 (3 / 3)

En esta situación la única solución que representa un equilibrio de Nash es la que está entre paréntesis; una denuncia mutua, lo que evidentemente es subóptimo ya que los dos sufren una condena, en tanto que si se hubieran callado habrían sido liberados. No obstante este equilibrio es “robusto” en el sentido de que la estrategia de acusar al otro es dominante cualquiera que sea la elección del otro, confesar le procura una ganancia superior, puede ir uno o 5 años preso, en tanto que si calla puede ir dos o 10, y además se cumple que si un sujeto cambia de opción no recibirá ninguna ganancia, al contrario, aumentará su castigo. Y además otra cuestión importante es que incluso si existiese comunicación entre los sujetos, la única opción que es un equilibrio de Nash seguiría siendo la que está entre paréntesis, por que cualquiera de las otras da pie a la posibilidad de resultar algo no previsto, aquí estamos dando por sentado que no hay cooperación entre los individuos, y en consecuencia no tienen por que cumplir sus promesas (un previo acuerdo de silencio) si incumplirlas puede darles mayores beneficios. Este es un juego simultáneo que se juega una sola vez.

Este modelo es clásico, y se usa mucho para ejemplificar el equilibrio de Nash.

Modelo de equilibrio correlacionado:

En el caso donde se presenten varios equilibrios con decisiones simultáneas, donde ninguna de ellas sea superior a la otra, o sea que todas sean equilibrios de Nash, ciertos teóricos de los juegos han propuesto la siguiente solución: los participantes se ponen de acuerdo para la selección a la suerte de uno de los equilibrios, lo cual evita la indeterminación y la realización de salidas “peores”, como aquella en la que cada uno produce según su propia norma y ambas empresas fracasan.

Esta solución, que es todavía un equilibrio de Nash, se denomina un equilibrio correlacionado. Notemos que esta solución supone una cierta forma de colaboración, que es el acuerdo previo sobre el principio de tirar a la suerte los equilibrios, y sobre el procedimiento de azar empleado: ¿hay que darle la misma probabilidad a todos los equilibrios o hay que atribuirles probabilidades diferentes?

Supongamos ahora que hay dos empresas, Cereales Homero y Cereales Colombo que quieren entrar en un mismo mercado, cada una tiene el potencial para producir una de dos variedades: Cereal Crujiente o Dulce. Sus ganancias quedan determinadas de esta forma.

Cereal Colombo

Crujiente Dulce

Cereal Homero Crujiente -5 / -5 (10 / 10)

Dulce (10 / 10) -5 / -5

Si bien estas empresas son competencia, y por lo tanto este es un sistema no cooperativo, tras hacer un análisis de la situación se darán cuenta de que la única forma de lograr éxito es poniéndose de acuerdo. Dada la situación de competitividad es razonable que tiren un dado para determinar quien produce cereal crujiente y quien produce cereal dulce.

Estamos aquí ante un equilibrio correlacionado, en el que son factible dos salidas que son equilibrios de Nash. Pero supongamos que la situación fuese así:

Cereal Colombo

Crujiente Dulce

Cereal Homero Crujiente -5 / -10 (20 / 10)

Dulce (10 / 10) -5 / -5

Aquí sucede algo similar, sin embargo Cereal Homero es más poderosa en el caso de producir cereal crujiente, pero de todas formas necesita llegar a un acuerdo con Cereal colombo, ya que si esta también produjera la variedad crujiente, de todas maneras tendría pérdidas. El dueño de Cereal Homero, plantea a Cereal Colombo que no le afecta en nada dejarlo producir a él cereal crujiente, y producir ellos cereal dulce, sin embargo, los ejecutivos de de Colombo piensan que de esa forma la marca Homero tomaría fuerza y podría convencer a más gente de comer la variedad crujiente.

Después de debatir, ambos se dan cuenta de que no están en condiciones de entrar en una competencia bestial y llegan al siguiente acuerdo: Usarán un sistema de azar que contemple dos tercios de probabilidad de dejar a Cereal Homero como productor de Cereal crujiente y un tercio de probabilidad de dejar a Cereal Colombo como productor del susodicho. De todas formas obtienen un equilibrio de Nash, ya que en ambas soluciones ninguna empresa se sentiría tentada a cambiar de opción. Probablemente Homero está en una mejor posición que colombo, pero de todas formas necesita una acuerdo para entrar en el mercado.

A pesar de existir un cuerdo acerca del procedimiento a emplear, de todas maneras se está en presencia de una solución no cooperativa, en el sentido de que nadie tiene interés en apartarse unilateralmente; o sea existe una mediación de intereses en base al egoísmo de cada uno, y no a la intención de cooperación; el que se usen medios azarosos habla de la rivalidad entre los participantes, están obligados a tomar una opción que sea un equilibrio de Nash para subsistir, sin embargo como son rivales van a buscar racionalmente sacar el mayor provecho de la situación, y en los ámbitos donde no haya concordancia utilizarán el azar, si no el fin de la empresa

Maximin (el máximo de los mínimos) cruzados, modelo de suma cero:

Incluso en los juegos de suma cero, en los que las ganancias de uno son las pérdidas del otro, puede existir un equilibrio de Nash:

El concepto de Maximin: Observen las tablas:

(Empresa 1: verticales a las tarjetas los valores)

(Empresa 2: horizontales los valores a las tarjetas)

Empresa 1: A 1 B2 C3 Empresa 2: A B C

A 2 5 1 A1 8 5 9

B 6 4 9 B2 4 6 1

C 8 6 7 C3 2 4 3

Supongamos que este es un juego en el que dos empresas pueden optar por tres estrategias distintas, denominadas: A, B, C. Los jugadores escogen simultáneamente una tarjeta cada uno, luego observan las tabla para ver cuanto ganaron, supongamos que la Empresa 1 elige la estrategia C y la empresa dos elige la estrategia B, de esta forma la primera ganaría: 9 ganancias, y la empresa dos solo 1 ganancia. Sin embargo cada empresa puede asegurar cierta ganancia utilizando el principio del Maximin, que consiste en observar las tarjetas y determinar con cual obtienen la mínima ganancia más alta

Empresa 1 A B C Empresa 2

2 5 1 A 8 5 9

6 4 9 B 4 6 1

8 6 7 C 2 4 3

En el caso de la empresa uno el máximo de los mínimos está en la tarjeta B, y es 4.

El máximo de los mínimos de la empresa 2 está en A y es 5.

Cada empresa usará la estrategia que más ganancias mínimas le asegura, así la empresa 1 usará la tarjeta B, y la empresa 2 la A.

Veamos que sucede, dado: 1:B / 2:A. La empresa 1 gana 5 unidades, y la empresa dos gana también cinco unidades. Si se fijan, la empresa 2 ganó el maximin, ya que esto se daba cuando la otra empresa elegía la tarjeta B. Sin embargo en el caso de la empresa 1, el maximin se daba cuando el adversario elegía B. Los valores maximin no eran parte de la misma combinación de tarjetas.

En este caso no hay un equilibrio de Nash, por que si en el primer juego cada uno elige la tarjeta en la que se cumple el principio maximin, entonces la empresa 2 se dará cuenta de que si la empresa uno sigue eligiendo su tarjeta con el maximin, a ella (empresa 2) ya no le convendrá usar la propia. Quizás espere para ver si la empresa 1 sigue usando la misma estrategia, y dado que le conviene, así será. Después de 2 o 3 turnos, la empresa 2 cambiará de estrategia y usará la tarjeta B, y luego la empresa 1 responderá, y así se configurarán distintas combinaciones de estrategias que no son equilibrios de Nash.

En el caso anterior no es factible un equilibrio de Nash, pero sucede algo distinto cuando los valores maximin están ligados. O sea cuando los valores obtenidos usando las tarjetas con el Maximin son justamente el valor más elevado de las respectivas tarjetas. Supongamos entonces que la situación es la siguiente:

Empresa 1 A1 B2 C3 Empresa 2 A B C

A 2 4 1 A1 8 6 9

B 6 5 9 B2 4 5 1

C 8 6 7 C3 2 4 3

La empresa 1 elegirá la tarjeta con el maximin, o sea B, y la tarjeta 2 elegirá, bajo el mismo criterio, la tarjeta A. La empresa 1 ganará 4, el valor mínimo de su tarjeta, y la empresa 2 ganará 6, también el valor mínimo de su tarjeta. Si se fijan bien ambos valores ocupan la misma posición en la tabla, por que son parte de la misma combinación de tarjetas. Siempre que los dos valores mínimos, de las tarjetas con el mínimo más alto, sean resultado de la combinación de ellas, estaremos frente a un equilibrio de Nash.

Y digo que es un equilibrio, por que ninguna de las empresas se sentirá tentada a cambiar de estrategia, dado que la empresa opuesta está ganando lo mínimo que puede ganar en el contexto estratégico, por lo tanto si cualquiera cambia de estrategia, perderá ganancias.

Modelo con decisión no simultánea:

Modelo Halcón / Paloma, equilibrio perfecto:

Supongamos que hay un conflicto entre Perú y Chile en el año 2030 por unas tierras sin gran importancia. Los países pueden Armarse o desarmarse.

Perú puede (en orden de preferencia):

1 Armarse y esperar que Chile ceda las Tierras

2 Desarmarse y esperar que chile haga lo mismo para lograr un acuerdo.

3 Desarmarse y ceder las tierras ante un Chile armado

4 Armarse y luchar contra un Chile Armado, y dada la calidad de las armas, terminar, al igual que Chile, totalmente destruido.(las opciones de chile son las mismas)

Chile

Armarse Desarmarse

Perú Armarse 4 / 4 (1 / 3)

Desarmarse (3 / 1) 2 / 2

En este caso el equilibrio de Nash no se da en el extremo inferior derecho de la tabla, por que dada esa situación cualquiera de los países puede armarse a escondidas y dominar al otro. Tampoco se da en el extremo superior izquierdo, por que en aquel caso ambos países terminarían destruidos, y es lógico que eviten esa opción, ejemplo de esto es la guerra fría, Estados unidos y Rusia eran estados terriblemente conflictivos, sin embargo el saber que una guerra llevaría al mundo a la destrucción, y el saber que ellos eran parte del mundo, fue el imperativo más categórico. El equilibrio de Nash se da en las soluciones entre paréntesis, ambos países logran lo mejor que pueden lograr dadas las circunstancias, y cambiando de estrategia lograrían peores resultados. La cuestión definitiva está entonces en quién se arma primero, de ahí que aquí se hable de un equilibrio perfecto, si Perú se arma, a chile no le queda más opción que ceder y viceversa. Es factible que uno de los países decida armarse aunque el otro lo haga primero, pero aquello no sería racional, así que estaría fuera del dominio matemático, o por lo menos del dominio que hasta ahora tienen las matemáticas.

Se llama modelo Halcón/paloma, por que inevitablemente uno de los participantes asumirá el rol del Halcón y el otro el rol de la paloma. Aquí para poder lograr un equilibrio perfecto, suponemos que uno de los estados empieza a armarse primero. Siendo este juego uno de tipo no simultáneo pero que sin embargo se juega una sola vez. Ambos jugadores dado el contexto particular, o sea, siendo el primero o el último en actuar, toman la mejor decisión, que siempre está enmarcada dentro de un equilibrio de Nash.

La guerra de los sexos, ejemplo más cotidiano del modelo halcón/ paloma.

El modelo de "La guerra de los sexos" es un ejemplo muy sencillo de utilización de la teoría de juegos para analizar un problema frecuente en la vida cotidiana.

Hay dos jugadores: "ÉL" y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir entre dos posibles estrategias a las que llamaremos "Fútbol" y "Discoteca".

Supongamos que el orden de preferencias de ÉL es el siguiente:

(lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Fútbol.

ÉL y ELLA eligen Discoteca.

ÉL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.

(lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.

Supongamos que el orden de preferencias de ELLA es el siguiente:

(lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Discoteca.

ÉL y ELLA eligen Fútbol.

ÉL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.

(lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.

La situación es así:

Ella

Fútbol

Discoteca

ÉL

Fútbol

(1 \ 2)

3 \ 3

Discoteca

4 \ 4

(2 \ 1)

Si ambos eligen espontáneamente, Él optaría por el fútbol y Ella por la Discoteca, llegando a una situación de conflicto, que sin duda no es un equilibrio de Nash, para que exista, es necesario que uno de los jugadores tome la primera decisión. Así llegamos a una de las dos situaciones enmarcadas arriba.

Aplicaciones interesantes del equilibrio de Nash en distintas áreas, y conjeturas que a partir de ellas se pueden sacar.

Economía:

El equilibrio de Nash tiene sus principales aplicaciones en economía, y el análisis de distintas situaciones nos permite incluso ampliar el concepto de equilibrio de Nash más allá de los resultados expresados en la matriz, como veremos en la segunda situación:

El duopolio Comercial:

Dos empresas, Hipermercados Rafael y Almacenes Yuste, constituyen un duopolio local en el sector de los grandes almacenes. Cuando llega la época de las tradicionales rebajas de enero, ambas empresas acostumbran a realizar inversiones en publicidad tan altas que suelen implicar la pérdida de todo el beneficio. Este año se han puesto de acuerdo y han decidido no hacer publicidad por lo que cada una, si cumple el acuerdo, puede obtener unos beneficios en la temporada de 50 millones. Sin embargo una de ellas puede preparar en secreto su campaña publicitaria y lanzarla en el último momento con lo que conseguiría atraer a todos los consumidores. Sus beneficios en ese caso serían de 75 millones mientras que la empresa competidora perdería 25 millones.

Cada almacén tiene que elegir entre dos estrategias: respetar el acuerdo —Cooperar— o hacer publicidad —Traicionar—. Los beneficios o pérdidas consecuencias del conjunto de estrategias son las siguientes:

Yuste

Cooperar Traicionar

Rafael Cooperar 50,50 -25,75

Traicionar 75, -25 0,0

El que lo máximo que se puede obtener sea 75 M. o 85 M. no tiene mucha influencia sobre la decisión a adoptar, lo único que importa en realidad es la forma en que están ordenados los resultados. Si substituimos el valor concreto de los beneficios por el orden que ocupan en las preferencias de los jugadores, la matriz queda como la mostrada en el cuadro. Las situación descrita aquí es la del dilema de los prisioneros:

Yuste

Cooperar traicionar

Rafael Cooperar 2 / 2 4 / 1

Traicionar 1 / 4 (3 / 3)

Veamos cuál debe ser la decisión a adoptar por esos almacenes. El director de la división de estrategia de Rafael pensará: "Si Yuste no hace publicidad, a nosotros lo que más nos conviene es traicionar el acuerdo, pero si ellos son los primeros en traicionar, a nosotros también nos convendrá hacerlo. Sea cual sea la estrategia adoptada por nuestros competidores, lo que más nos conviene es traicionarlos".

El director de la división de estrategia de Yuste hará un razonamiento similar. Como consecuencia de ello ambos se traicionarán entre sí y obtendrán resultados peores que si hubieran mantenido el acuerdo. Entonces la solución quedará en un equilibrio de Nash.

Supongamos ahora otra situación ligeramente diferente. Si ambas empresas se enredan en una guerra de precios, haciendo cada vez mayores rebajas, ambas sufrirán importantes pérdidas, 25 millones cada una. Han llegado al acuerdo de no hacer rebajas con lo que cada una podrá ganar 50 millones. Si una de ellas, incumpliendo el acuerdo, hace en solitario una pequeña rebaja, podrá obtener un beneficio de 75 millones mientras que la otra perdería muchos clientes quedándose sin beneficios ni pérdidas.

Yuste

Cooperar Traicionar

Rafael Cooperar 50,50 0,75

Traicionar 75, 0 -25,-25

Si, como en el caso anterior, substituimos los valores concretos por su orden en la escala de preferencias obtenemos el modelo de "Halcón/paloma"

Yuste

Traicionar Cooperar

Rafael Traicionar 4 / 4 (1 / 3)

Cooperar (3 / 1) 2 / 2

El razonamiento de los estrategas será ahora diferente: "Si nuestros competidores cooperan, lo que más nos interesa es traicionarles, pero si ellos nos traicionan será preferible que nos mostremos cooperativos en vez de enredarnos en una guerra de precios. Hagan lo que hagan ellos, nos interesará hacer lo contrario".

En este juego el orden en que actúen los jugadores es muy importante. El primero en intervenir decidirá Traicionar, forzando al otro a Cooperar y obteniendo así el mejor resultado. La solución de equilibrio puede ser cualquiera de las dos entre paréntesis.

Este ejemplo nos permite concluir que los duopolios tienden a fracasar y que los precios fijados por las empresas no solamente tienen que ver con la demanda si no que además con la mutua observación que hay entre ellas, de ahí la inestabilidad en distintas épocas que no va aparejada exclusivamente a la situación de demanda.

Relación de la autoridad fiscal y el banco central:

. A modo de ilustración se presenta este modelo de juegos simple para la relación entre las autoridades monetarias y fiscales

Banco Central

Contractiva

Expansiva

Autoridad
Fiscal

Contractiva

(7) Inflación baja
(4) Empleo bajo

(6) Empleo medio
(6) Inflación media

Expansiva

(6) Empleo medio
(6) Inflación media

(4) Inflación alta
(7) Empleo alto

Estructura de preferencias

Inflación

Baja

Media

Alta

Banco Central

6

4

1

Autoridad Fiscal

3

2

1

Empleo

Bajo

Medio

Alto

Banco Central

1

2

3

Autoridad Fiscal

1

4

6

Las autoridades monetarias y fiscales tienen dos opciones cada una: pueden elegir tanto una política contractiva como expansiva. Cuando ambos juegan de manera contractiva, la inflación y el empleo es bajo. Cuando ambos eligen expansiva, la inflación y el empleo son altos y; cuando sólo uno de ellos juega de forma contractiva, el resultado es inflación y empleo medios.

Se puede observar que ambos jugadores tienen preferencias diferentes sobre los niveles de empleo e inflación, como muestran las estructuras de preferencias. Mientras el BC considera importante disminuir la inflación, el Gobierno tiene como prioridad aumentar el empleo. Aparentemente el equilibrio de Nash que se puede conseguir es una política monetaria contractiva y una política fiscal expansiva, las otras alternativas presentan beneficios particulares para las autoridades. Por ejemplo, si el BC accede optar por una política monetaria expansiva, aceptando una promesa del Gobierno de ser estrictamente restrictiva, a este le resultaría óptimo romper su promesa y llevar a cabo una política fiscal expansiva. De igual forma sucede con las demás opciones no óptimas. Sin embargo, a largo plazo en términos de resultados una política monetaria expansiva y una fiscal restrictiva son más saludables que el equilibrio de Nash, porque no compromete la sustentabilidad fiscal y no debilita la capacidad de inversión del sector privado.

El razonamiento expuesto en el párrafo anterior resulta lógico, sin embargo no contempla toda el contexto como veremos más adelante.

Si ordenáramos las variables en función de los intereses, de más conveniente a menos conveniente:

Autoridad financiera: Banco central:

1: empleo alto/inflación baja : 1

2: empleo alto/inflación media : 3

3: empleo alto/inflación alta : 6

3: empleo medio/inflación baja : 2

4: empleo medio/inflación media: 4

5: empleo medio/inflación alta : 7

6: empleo bajo/inflación baja : 3

7: empleo bajo/inflación media : 5

8: empleo bajo/ inflación alta : 8

Una tabla construida en base a estos datos queda así:

BANCO CENTRAL

Contractiva

Expansiva

Autoridad Fiscal

Contractiva

6/3

4/4

Expansiva

(4/4)

3/6

Aquí resulta una matriz con dos soluciones iguales en cuanto a ganancias inmediatas, sin embargo las estrategias usadas para obtener cada una de las soluciones son distintas, de ahí que dado un juego simultaneo solo una de ellas sea un equilibrio de Nash. Pero este juego no es simultáneamente definitivo, es constante, un proceso mantenido en el tiempo, y considerando esto...

La lectura es otra:

Si la autoridad fiscal aplica una política contractiva y el B.C. una Expansiva, sí existe un equilibrio de Nash, aunque la matriz no lo demuestre. Si ambas entidades tienen conciencia de que en beneficios inmediatos las dos soluciones son iguales y que sin embargo la que supuestamente no representa un equilibrio Nash, es mejor, pensarán en optar por un acuerdo; el B.C. será Expansivo y la Autoridad fiscal Restrictiva. Algunos dicen que esto no representa un equilibrio de Nash, por que ambas entidades se sentirán tentadas a cambiar de política, ya que haciéndolo obtienen algo aún mejor; pero debemos considerar que estas políticas pueden cambiarse en cualquier momento, y dado esto, si el B.C, luego del acuerdo, traiciona y cambia a una política contractiva, entonces la Autoridad fiscal también cambiará de política, y viceversa; y si ambas instituciones luego del acuerdo visualizan la situación., y consideran que la consecuencia de traicionar sería llegar a otra solución igual, que sin embargo reporta a largo plazo pérdidas para el estado, del que ambas son parte, no se sentirán tentadas a hacerlo. Y entonces aquella solución si reuniría las condiciones para ser considerada una salida del modelo equilibrada a lo Nash. Distinto sería si las políticas fuesen cuestiones que se fijan una vez y no se pueden cambiar.

En las ciencias Políticas:

Imaginemos que el gobierno actual de un país (GA), en una época próxima a las elecciones quiere hacer unas licitaciones importantes, quizás para asegurar la estabilidad del país, quizás para ampliar un poco más la línea de corrupción, quien sabe.

Hay una empresa (Alfa) poderosa y estable, frente a la cual el gobierno tiene cierta preferencia, ya que le da legitimidad al proceso, esta empresa quiere esas licitaciones a cualquier costo y después de meditar las cosas se da cuenta de que las posibilidades de obtener la licitación con el gobierno actual son mucho más elevadas que las que hay con el próximo gobierno (a esta última probabilidad la llamaremos g). Además hay un tercer actor, denominado: Gobierno del futuro (GF), un candidato de un sector cercano al actual gobierno, que en su campaña defiende la seguridad en la transparencia del gobierno, y plantea líneas similares, para así ganar adherentes del sector, el cual tiene prácticamente asegurada la victoria. El gobierno prefiere a la empresa Alfa pero hay otros competidores que pueden pagar sobornos a distintos funcionarios y ganar la licitación, en consecuencia Alfa debe gastar una cantidad de dinero en sobornos. De todas maneras le conviene hacerlo, pero sabe que si GF revisa los contratos, perdería la licitación, perdiendo el dinero invertido tanto en lo que haya desarrollado del proyecto, como en pagar los sobornos. Entonces la situación, ordenadas las opciones en orden de preferencia, queda así

GA Alfa GF

1 Dar las Conseguir GA no cierra contratos,

licitaciones a Alfa. contratos estos se hacen en su gobierno.

0 Dar las No pagar GA preserva su credibilidad,

licitaciones a sobornos reconoce contratos del gobierno,

otra empresa. y postular en el GF no sucede nada.

con g probabilidad

de ganar

-1 Dejar las Pagar sobornos revisa contratos y se sumerge

licitaciones al y ser descubierto en una situación que puede tener

GF. muchas consecuencias.

En este caso las cosas pueden tomar distintos caminos:

'Forum Vitae Matemáticas'

Primero es el gobierno quien decide que hacer:

'Forum Vitae Matemáticas'

Puede elegir no negociar, llegando a un resultado como el de abajo, donde -1 representa al GA, 0 a Alfa y 1 al GF. O puede elegir negociar con Alfa y en caso de que este no quiera, con cualquier empresa.

Ya que la última opción es la que más le conviene, será la elegida. N: negociar / -N: no negociar.

Entonces, ahora es Alfa quien puede optar:

'Forum Vitae Matemáticas'

Tiene dos caminos: P: participar en la negociación y -P: no participar.

Si elige: -P, entonces el futuro gobierno tendría dos opciones:

'Forum Vitae Matemáticas'

R: formar una comisión que revise los contratos. Se sabría que GA cometió ilegalidades con una empresa distinta de Alfa, GA podría desviar las cosas, buscar un chivo expiatorio o algo parecido, para el GF sería más difícil por que está en el poder, y por que perdería el apoyo del GA, que tiene una posición importante, de hecho por eso lo usó para ganar votos; tendría que afrontar las consecuencias que todo eso significa, y además hacer una nueva licitación, en la que Alfa tendría g probabilidad de ganar, valor que no asegura nada. De esa forma los resultados para todos serían: 0, g, -1.

-R: no revisar contratos y asumir que todo está bien; dejar a la empresa que ganó la licitación, habiendo g probabilidad de que sea Alfa. Así todos obtendrían un resultado intermedio. Que sin embargo no representa un equilibrio de Nash.

Si Alfa elige P, entonces el escenario para el GF se vuelve distinto:

'Forum Vitae Matemáticas'

También puede optar por R o -R, pero dado que Alfa es la empresa que ganó la licitación, el escenario, que considera en su forma los destinos de los tres actores, cambia:

R: Se sabría que en el GA se cometieron irregularidades, el GF tendría que afrontar las consecuencias, y Alfa perdería la licitación, lo que le provocaría grandes pérdidas económicas, por que además de haber gastado en la inversión, lo hizo en los sobornos. El resultado sería: 1,-1,-1, lo que no le conviene para nada al GF.

Si elige -R: la solución sería: 1,1,0. Este si es un equilibrio Nash, por que es evidente que el GA va a llevar a cabo lo que más el beneficia, por que es el primero en elegir, luego, Alfa, analizará la cuestión y verá que el GF no va a revisar los contratos, entonces será factible su primera opción, y en consecuencia la llevará a cabo; finalmente el GF dadas las elecciones de los otros actores, no tendrá más que elegir su segunda opción. Aquí si hay una solución que es un equilibrio de Nash, por que ninguno de los actores se vería beneficiado cambiando de estrategia. Este juego pese a ser moralmente discutible presenta una situación totalmente factible, y de hecho, debe haber sido utilizado varias veces.

Lo interesante que podemos deducir de esto es que todo depende del contexto, en un estado con leyes fuertes y que se aplican, y con organismos verdaderos, esto no sucede, pero pienso que este ejemplo retrata el funcionamiento de las ciencias políticas en el contexto político de hoy.

Sin embargo:

Si en su campaña electoral el GF enfatizara el apoyo y el mantenimiento de las políticas del GA, y sin embargo enfatizara aún más que en su gobierno existirá una justicia imbatible; luego, podría revisar los contratos y difundir que lo está haciendo, y hacer públicos los resultados sin verse tan ensuciado con todos esos crímenes, decir que no sabía nada y que se arrepiente de haber apoyado al GA y que siempre prevalece su intención de justicia por sobre todas las cosas.

Bajo esta perspectiva lo que más le convendría al GA sería hacer las licitaciones, pero sin coimas, y de esta forma Alfa tendría grandes posibilidades de ganar, dado que es una empresa grande y que nadie tendría la opción de de pagar sobornos, Y GF revisará los contratos y encontrará que todo está en orden. Es más, incluso el GA podría usar la información de las licitaciones para usarlas en el futuro y saber ciertas cosas de la economía. También encontraríamos un equilibrio de Nash en este escenario.

En la filosofía:

En primer lugar, por que si analizamos el equilibrio de Nash, podemos sacar conclusiones bastante bonitas, los equilibrios de Nash nos muestran que la mejor forma de obtener lo que se quiere, es cooperando, incluso en situaciones de competitividad (equilibrio correlacionado). E incluso en los casos en que este equilibrio lleva a situaciones subóptimas, permite mostrarnos que lo mejor es cooperar.

Por ejemplo, si buscando un equilibrio de Nash en juegos sucesivos, un hombre observa este esquema de una especie de dilema del prisionero sucesivo:

'Forum Vitae Matemáticas'

Podrá percatarse de que la opción 3, en la cual ambos presos aplicaban el principio de equilibrio de Nash (entendido en sentido restringido, para situaciones simultáneas), los lleva a mutuas condenas de 5 años. Y que en la opción 2, en la que en el primer juicio, solo uno aplica el equilibrio de Nash, el otro se ve obligado a hacerlo en todos los juicios que vienen después; terminando también con condenas mutuas de 5 años. Y sin embargo si ambos cooperan como muestra la primera solución, ambos recibirán condenas mutuas de solo 2 años.

Aunque que esto es un poco gracioso, por que si las condenas son infinitas da igual si cada una es de 2, 5 o mil años, puede permitirnos vislumbrar que en las relaciones a largo plazo, conviene siempre cooperar, y si este hombre que observa es egoísta pero racional estaría dispuesto a aplicar este principio. Principio que yo me atrevería a categorizar también como un equilibrio de Nash, uno más profundo, por que si ambos presos acuerdan cooperar, podrían darse cuenta, que el traicionar, significaría una disminución en una condena, y luego un aumento sucesivo infinitamente. Si son racionales van a cumplir el pacto y cooperar indefinidamente; entonces alguien puede decir que no es un equilibrio de Nash por que los presos se sentirán tentados a traicionar para obtener la siguiente condena más baja, pero eso es tonto, tendrían que ser muy poco inteligentes, para desear algo que saben les traerá perjuicios enormes, y les quitará lo que buscan, en una medida incomparablemente mayor. E incluso aunque en un arranque de pequeña irracionalidad un preso sintiera la tentación de traicionar, se daría cuenta de que aquello no vale la pena, y acaso ¿vale una tentación que jamás transforma nada?.

En fin, en estas áreas se refleja muy bien la gran utilidad práctica del equilibrio Nash. Y nos permiten percatarnos de que dependiendo de si la situación admite o no cambios bruscos en la estrategia, varía la cantidad de soluciones que pueden ser consideradas como un equilibrio de Nash.

Conclusiones:

- Para saber si una solución es un equilibrio de Nash se debe considerar cada elemento del contexto, pequeños cambios en la situación alteran totalmente las cosas, y hacen que aparezcan nuevos equilibrios, o que desaparezcan otros. Por ejemplo en casos similares al dilema de los prisioneros, cambia mucho la situación si el juego se hace muchas veces o si solo se hace una vez.:

- En los juegos repetidos continuamente siempre la mejor opción está en cooperar.

- En los juegos simultáneos el equilibro de nash suele ser sub. optimo, pero efectivo ya que otorga seguridad a los individuos, un mayor dominio de la situación.

- Si bien a veces parece evidente cual es el equilibrio, analizarlo y esquematizar la situación nos permite entender mejor las cosas, y así podemos tomar mejores decisiones. Algunas cuestiones son un poco más complejas de lo que creemos. La racionalidad humana tiene sus límites, como la tiene la de los otros animales.

En el ejemplo de la relación Autoridad fiscal / banco central, se ve claramente esto. Si se esquematiza la situación, se puede observar que existen dos soluciones iguales, y que sin embargo aparentemente solo una es un equilibrio de Nash, pero si analizamos mejor el contexto nos damos cuenta que dadas previas condiciones de acuerdo y dado que las políticas se pueden alterar, también la otra solución puede ser entendida como un equilibrio de Nash, y es más, a la larga resulta más beneficiosa.

- De lo anterior ser desprende, que a veces soluciones que en la matriz con las ganancias respectivas no aparecen como un equilibrio de Nash, dado por ejemplo un juego itinerado, o sea que se juega muchas veces, si lo son; ya que analizada la situación con objetividad y miramiento general los individuos verán que aquella opción les conviene más.

- La racionalidad es un tema complicado, y hace que estos esquemas tengan sus limitaciones, de esta forma a la hora de analizar una situación resulta útil conocer la forma de pensar del adversario, las capacidades del adversario.

- Dado lo anterior, la conclusión más importante, es que lo esencial para establecer equilibrios de Nash y para en general encontrar las mejores soluciones a los juegos no cooperativos, está en ponerse en el lugar del otro, considerando todo el contexto, no para darle la razón, aunque eso también es factible, si no que para tomar la decisión que le reporte a uno mismo mayor satisfacción.

Parte III. Teorema de los grafos.

Introducción:

Los teoremas que se presentarán en este trabajo, son partes de una rama de conocimiento llamada “Ciencias de Administración”, que nació para desarrollar beneficios a las operaciones militares, pero hoy es un campo que abarca muchas áreas, incluyendo la vida cotidiana.

El conocimiento de los teoremas de grafos es una herramienta que nos sirve para encontrar lo que los matemáticos denominan una solución óptima entre muchas soluciones posibles.

Estos teoremas se basan en encontrar los caminos más cortos, económicos y que utilicen menor tiempo.

Objetivos:

  • Explicar la relación entre el problema real y los grafos.

  • Conocer tipos de grafos y sus partes.

  • Explicar la teoría del circuito de Euler y del circuito hamiltoniano.

  • Demostrar que el “ensayo y error” es el peor método para encontrar soluciones.

  • Explicar el problema del cartero chino y del viajante, árboles generadores de coste mínimo. Que se relacionan con cómo encontrar un recorrido óptimo, basándose en las teorías anteriormente nombradas.

  • Explicar cómo se puede planificar una optimización de tiempo en una serie de tareas.

  • Dar ejemplos de aplicaciones en la realidad y así demostrar su utilidad.

1. El problema y los grafos

El primer paso para analizar el problema, se realiza llevando el problema real a un grafo.

El grafo es un modelo matemático que nos ayuda a simplificar los problemas complejos. Está constituido de un conjunto finito de puntos que se le denominan vértices y de líneas, llamadas aristas que enlazan un par de vértices. A los vértices se les puede asignar una letra o símbolo para su reconocimiento. En algunos casos las aristas van acompañados de un “peso”, que es una cifra que indica un coste, ya sea en dinero, en distancia, tiempo u otro factor importante a considerar en la elección de un camino.

Un camino es una secuencia de vértices y deben estar unidas por aristas, las cuales producen una ruta en el grafo, comenzando y terminando en un vértice. Este camino se puede describir con la secuencia de vértices visitados, en orden.

Un circuito es un camino que comienza y termina en el mismo vértice.

Los grafos también pueden escribirse como matrices.

En algunos grafos aparecen aristas con flechas, indicando que van en un solo sentido (unilaterales), lo cual se debe respetar. Esto podría aparecer en grafos como ciudad, en donde se indica el sentido de las calles. A estos tipos de grafos se les llama digrafos o grafos dirigidos.

También existen grafos completos, es decir, que tienen aristas que conectan todos los pares vértices.

2. Circuitos de Euler.

Existen circuitos que recorren todo el grafo, sin volver a pasar sobre una arista ya visitada. Dentro de los matemáticos surgió la duda de saber cuándo se podría estar frente a estos grafos. Fue entonces cuando el sueco Leonhard Euler, estudió este tipo de circuito, (que hoy lleva su nombre) cuando se le presentó el problema de que si se podía hacer un circuito que pasara por los 7 puentes del pueblo en donde vivía.

Euler determinó que para que se produzca este tipo de circuito, el grafo debe cumplir algunas condiciones. Este debe ser:

a) Conexo: Debe existir un camino que conecte cada vértice del grafo, aunque sea a través de una o más aristas.

b) De valencia par: La valencia de un vértice es el número de aristas que se juntan en un punto.

Entonces, si queremos saber si un grafo tiene un circuito de Euler debemos comprobar que el grafo es conexo. Luego hay que emparejar las aristas de un vértice, en donde debería haber el mismo número de aristas entrantes como de salientes, en el caso que existan aristas unidireccionales. De este modo comprobamos que los vértices tengan valencia par.

Ahora al crear el circuito de Euler, tenemos que tener cuidado de no agotar una única arista que sirva para pasar al otro extremo del grafo. En otras palabras, hay que completar el grafo de tal manera que no lo dividamos en 2 partes, ya que esto provocaría que de un lado ya no se pueda pasar al otro sin reutilizar una arista (lo cual no hay que hacer).

A partir de estos conocimientos, podemos solucionar problemas como el “problema del cartero chino”, que corresponde a grafos que no tienen un circuito de Euler y por lo tanto hay que transformarlo a uno, reutilizando el menor número de aristas posibles. A este proceso se le llama eulerización.

2.1 Eulerización.

Frente a este tipo de grafos, (los que no tienen circuito de Euler) lo primero es modificar el grafo original, localizando los vértices con valencia impar y le añadiéndole una arista que una estos vértices, los cuales deben ser la duplicación de una arista existente. Ahora todos los vértices tienen valencia par.

El siguiente paso es encontrar el circuito de Euler en el grafo modificado, enumerando las aristas e indicando el sentido del circuito. Hay que recordar que no basta con utilizar todas las aristas, sino que también hay que terminar en el vértice que se comenzó.

El paso final es fusionar este circuito, con el real. En algunos casos se notará que cada reutilización de arista que hicimos en el primer paso, corresponde a una arista añadida. En otros casos, la utilización de una arista larga que une dos aristas con vértice impar, implica repetir más de una arista, ya que ese recorrido no se puede hacer de forma directa, sino que habrá que hacerlo a través de otras aristas.

2.2 Eulerización óptima

Esto último nos plantea un nuevo problema, el hecho de encontrar el mejor camino para unir los vértices impares. Esto se resuelve examinando sólo entre las aristas impares, que pueden ser más de 2. Hay que considerar que también hay que determinar bien qué vértice se unirán, (en el caso de que haya más de dos vértices). Por lo tanto se deben unir los vértices más cercanos preferentemente y utilizando los caminos más directos posibles. También se puede aplicar el concepto de “aristas clasificadas”, que se verá más adelante.

2.3 Redes rectangulares

Las redes rectangulares están compuestas por m manzanas de largo, por n manzanas de ancho. Entonces encontramos 3 patrones:

  • Cuando m y n son impares.

  • Cuando m y n son pares.

  • Cuando m es par y n es impar, o viceversa.

Para eulerizar estos 3 grafos se utiliza la misma regla: se comienza por cualquier esquina y (por ejemplo) se recorre en sentido de las agujas del reloj, y cuando se llega a un vértice de valencia impar, se le une al siguiente vértice añadiéndole una arista. Si el siguiente vértice es de valencia par, se sigue adelante; si este es impar se vuelve a añadir otra arista.

El circuito de Euler puede ayudar a hacer más eficaz el trabajo de la recogida de basura, quitar la nieve, inspeccionar vías ferroviarias, la lectura de los contadores de luz, entre otros. De hecho en Israel, una compañía eléctrica optimizó en un 40% la tarea de la lectura de contadores de luz, utilizando una “eulerización parcial”. Se crearon rutas más eficaces para realizar el trabajo, entonces con menos personal podían hacer el mismo trabajo y en el mismo tiempo.

3. Circuitos Hamiltonianos.

En este circuito, el objetivo no es pasar por todas las aristas como en el circuito de Euler, sino que hay que buscar un recorrido que pase por todos los vértices una vez y vuelva al principio. No obstante, estos dos circuitos tienen similitudes, ya que en ambos no importa donde comience, siempre y cuando termine en el mismo vértice y también ambos prohíben la reutilización; de aristas en el caso de Euler y de vértices en el hamiltoniano.

El nombre “hamiltoniano” deriva del matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805 - 1865), que fue uno de los primeros que estudió este circuito. Sin embargo, hoy sabemos que Thomas Kirkman (1806 - 1895) estudio este concepto un tiempo antes.

En este caso, es mucho más difícil determinar en cuáles grafos se puede crear un circuito hamiltoniano, ya que no existen métodos tan sencillos como en el caso de Euler, pero si se conoce una familia infinita de grafos que no pueden tener un circuito hamiltoniano.

Este grafo consiste en una columna de m vértices y paralelamente, una de n vértices, en donde m > n. Ahora se une cada vértice de la izquierda con cada uno de la derecha. Y a pesar de que m y n varíen, nunca se podrá crear un circuito hamiltoniano. En cambio, si se podría hacer cuando m = n, pero este no es el único tipo de grafos que pueden tener este circuito. Es muy poco probable encontrar un método para determinar fácilmente si un grafo elegido al azar tiene circuito hamiltoniano.

3.1 El problema del viajante (PV)

El conocimiento de este tipo de circuito le sería útil para casos como: un pescador pone trampas de langostas y luego quiere recoger la pesca, una compañía telefónica quiere recoger el dinero de sus teléfonos públicos, una compañía de gas necesita diseñar una ruta para los lectores de sus contadores, etc. Básicamente son tareas de inspección y entregas en donde habría que pasar por varios lugares, representados por vértices.

El recorrido óptimo, sería pasar por todos los vértices sin repetirlos y volver al lugar de origen, es decir, un circuito hamiltoniano. Además en estos grafos existe el peso, que indica el coste en distancia, dinero, tiempo o algún otro factor entre dos vértices que se quiera optimizar. Entonces el recorrido óptimo además debe tener la menor suma del peso posible.

El PV tiene un grafo completo, ya que un vértice se puede ir a cualquier otro.

Para determinar este circuito existe un proceso:

  • Generar todos los circuitos hamiltonianos posibles, dependiendo de la condición que se pida, como por ejemplo comenzar en algún punto específico del grafo, etc.

  • Obtener la suma de los pesos de cada recorrido.

  • Elegir el recorrido más conveniente.

Es crucial tener los conocimientos para llegar a un buen resultado, ya que por ensayo y error se utiliza demasiado tiempo. De hecho, encontrar recorridos de este modo se denomina encontrarlos con “fuerza bruta”. Encontrar el recorrido óptimo por ensayo y error en un PV en donde n = 25 sacando recorridos a razón de un millón por minuto, demoraría 10.000 millones de años generarlos todos.

3.1.1. Método del árbol.

El primer algoritmo, (el de generar los circuitos hamiltonianos) es el más complicado. Para eso se usa el método del árbol. Este método consiste en tomar el punto de partida y usando la combinatoria, hacer un esquema creando ramas que muestren todos los caminos posibles. En este método se generarán el doble de caminos posibles, porque el mismo camino estará trazado en ambos sentidos. Este paso permite conocer cuántos y cómo son los recorridos, pero no involucra el peso. Es por eso que hay que calcular las distancias de cada recorrido en el siguiente paso.

3.1.2. Conteo.

El método del árbol es una representación gráfica del conteo. El conteo es un principio para contar las posibilidades en los procesos de etapas múltiples. Con este método conseguiremos saber cuantos caminos posibles hay, sin la necesidad de hacer una representación gráfica, que podría ser muy trabajoso para grafos con muchos vértices.

Volviendo al problema, en el caso de que tengamos un grafo con n vértices, se toma el punto de partida y se podrían visitar n - 1 vértices, luego sin importar cual haya sido este, quedarían n - 2 vértices (porque se trata de un grafo completo), luego n - 3 y así hasta llegar a una (`1') única última opción. Explicado de otro modo sería: (n - 1) x (n - 2) x… 2 x 1, lo que se reduce a (n - 1)!

El término “!” (Factorial) quiere decir que ese número se multiplica por su antecesor, sucesivamente hasta llegar a 1.

Pero hay que recordar que este método nos indica el doble de caminos ya que se consideran en dos sentidos. Entonces hay que dividir por 2, lo que nos llevaría a que cantidad de circuitos hamiltonianos para grafos completos es (n-1)! : 2

Si se tuviera el caso de hacer un recorrido entre 5 ciudades, sería n = 5, por lo tanto es 4!: 2. Entonces sería (4 x 3 x 2 x 1):2 = 24:2 = 12 circuitos.

3.1.3. Problema NP-completos

Stephen Cooke demostró en 1971 que hay ciertos problemas que tienen el mismo grado de dificultad, llamados problemas NP- completos. Son problemas que tienen como característica que si se pudiera encontrar un algoritmo rápido para resolver uno de estos problemas, existiría un método para resolverlos todos.

Con “rápido” se refiere a que si el número de n (vértices) aumenta, el tiempo necesario para resolver el problema, no aumentaría considerablemente. Volviendo a lo anterior, a medida que aumenta n, aumenta considerablemente el tiempo para resolverlas.

Si estos problemas tuvieran soluciones rápidas, probablemente ya se habría encontrado por lo menos una de estas. Hoy en día se sabe que el problema del viajante es un problema NP-completo, por eso, se piensa que nunca se encontrará algún algoritmo para obtener una solución óptima.

Por otro lado, investigadores de los laboratorios AT&T Bell han desarrollado buenos algoritmos heurísticos. Estos son métodos bastantes cercanos al óptimo, que dan lugar a un coste no mayor que 1,5 veces el coste del recorrido óptimo.

3.1.4. Algoritmo del vecino más cercano.

Es otro proceso que podría llevarnos a una buena solución. Se comienza desde una arista hacia la arista que tenga menos peso. Luego hacia la arista restante no visitada que tenga menos peso, hasta pasar por todas los vértices y completar el recorrido.

3.1.5. Algoritmo de las aristas clasificadas.

Consiste en primero ordenar las aristas en orden ascendente según su peso. Luego se toma en cuanta la primera arista (la de menor peso) y se escoge como la primera parte del recorrido, luego se siguen escogiendo las que restan (de menor peso) teniendo en cuenta que no se pueden juntar más de 3 aristas en un vértice y que no se puede dejar ningún vértice afuera.

Desgraciadamente, estos métodos son avaros, es decir, que en cada etapa uno elige la mejor (avariciosa) opción, basada en un criterio, pero esto no lleva a la mejor solución global.

3.2. Árboles generadores de coste mínimo.

Este tipo de problemas es diferente al PV, ya que aquí se busca formar redes y se evita un circuito. El recorrido es un subgrafo de una pieza y tiene ramificaciones, por lo que se le denomina “árbol”. Cuando un subgrafo une todos los vértices del grafo original se le llama un árbol generador del grafo original. El objetivo es lograr el menor peso posible en el recorrido, el cual se puede lograr con el algoritmo de Kruskal.

3.2.1. Algoritmo de Kruskal.

Consiste en añadir las aristas de coste más económico, integrando todos los vértices. Hay que recordar que hay que formar un árbol, no es necesario formar un circuito, ya que de este modo sobraría una arista.

Aquí se estaría usando el algoritmo avaro de aristas clasificadas, y este método es el más eficaz. Fue sugerido por primera vez por Joseph Kruskal, de los laboratorios AT&T Bell, en los años 50, cuando un matemático checo le presentó un problema. Su trabajo dio a lugar a aplicaciones como tanto en diseño de redes informáticas, ferroviarias como en industrias de comunicaciones.

3.3. Trayecto entre dos vértices.

Este tipo de problema busca unir dos vértices con el menor peso de aristas posibles. Se utiliza el mismo algoritmo anterior, el de las aristas clasificadas, sólo que no es necesario pasar por todas las aristas ni por todos los vértices. Es uno de los problemas más comunes, lo podemos encontrar cuando los bomberos necesitan una ruta eficiente para ir hacia un incendio, cuando se necesita diseñar una ruta que implique gastar la menor cantidad de combustible para un automóvil o una ruta que busque optimizar el mayor tiempo posible para un repartidor de pizzas, etc.

4. Programación de Tareas.

Los problemas en la programación de tareas es algo muy importante para nuestra sociedad, ya sea tanto en las casas, empresas, hospitales hasta para la NASA. Estos problemas también pueden ser llevados a un grafo. Cada vértice sería una tarea, y en éste se indica el tiempo que requiere en realizarse. Hay que tener en cuenta que muchas de las tareas requieren obligatoriamente una secuencia, porque por ejemplo, en un día de camping no podríamos hacer la carpa y luego ir al lugar de camping. Es por eso que se trataría de un dígrafo o grafo ordenado, en donde las aristas tienen una flecha para indicar que una tarea no puede realizarse sin antes haberse realizado otra.

De este modo se formaran árboles, pero existe la posibilidad de que queden tareas fuera de esta red, las cuales no requieren una tarea anterior pueden realizarse simultáneamente si es que existe otro sujeto capaz de realizar la tarea.

En estos grafos podemos identificar dos elementos:

El tiempo de terminación más corto.

Tal como lo dice su nombre, es el menor tiempo que requiere hacer una secuencia de tareas, pero no es el tiempo que se requiere para llevar a cabo todas las tareas.

Camino crítico.

Es el recorrido que al realizarlo toma el mayor tiempo entre todos los recorridos.

Al terminar el recorrido del camino crítico, los otros recorridos ya habrán finalizado. Es por esto que cuando se quiere optimizar el tiempo, se debe ser en uno de los vértices de este recorrido, de lo contrario no habrá cambios. La reducción del tiempo en uno de estos vértices, optimizará el tiempo de todas las tareas (como conjunto) hasta que se forme otro camino crítico.

Conclusiones.

Se pudo comprender como se relacionan los grafos con el problema real, simplifican el problema para visualizarlo claramente y luego proyectar decisiones.

Se conocieron las partes del grafo como el peso, vértices y aristas. Y también saber en que consistía un digrafo y un grafo completo.

Se dio a conocer una breve reseña histórica sobre cómo se motivaron los matemáticos para estudiar el circuito hamiltoniano y el de Euler. Además se explicó en el caso del circuito de Euler de qué se trataba y cómo encontrarlo. En el caso del circuito hamiltoniano, explicó de qué se trataba, pero no se conoce un método para encontrarlos todos. Sin embargo, se mostró una familia de grafos que no tiene este circuito.

Se mostró paso a paso como solucionar los problemas similares al del “cartero chino”, utilizando el proceso llamado eulerización. Se mostró que el problema del viajante era un problema que no tenía un método para sacar rápidamente la solución óptima (Problema NP-completo), sin embargo, se dieron a conocer algoritmos heurísticos, que si son rápidos y se aproximan al resultado óptimo. En el caso de los árboles generadores de coste mínimo, se explicó el algoritmo de Kruskal, el cual sirve para construir un subgrafo con la solución óptima.

Quedó claro en este trabajo cómo se visualiza una serie de tareas, (llevarlas a un grafo) mostrando cuales se pueden hacer simultáneamente y cuales requieren otra tarea antes. Además se mostró qué tareas habría que acelerar para obtener un menor tiempo utilizado.

La solución óptima fue planteada y explicada en cada problema.

En cada problema se dieron ejemplos de posibles aplicaciones, demostrando qué beneficios se pueden lograr utilizando estos conocimientos como herramienta.

Bibliografía.

Solomon Garfunkel (1999): Las Matemáticas en la vida cotidiana. Tercera edición. Madrid, España; Edit. Adisson-Wesley/ Universidad Autónoma de Madrid.

Páginas 5 - 74. (Teorema de los Grafos).

Páginas 661 - 667. (Los números en nuestro entorno).

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos

http://personales.ya.com/casanchi/mat/tjuegos1.htm

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a+b = a

a b

Esta forma de dividir una línea se llama proporción áurea.

Está dividida en dos partes tales que uno de ellas es media proporcional geométrica entre la otra parte y el segmento entero.

O sea:

el segmento menor es al mayor como

el segmento mayor es a la totalidad de la recta

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