Matemáticas

Relaciones. Funciones exponenciales y logarítmicas. Sistemas de coordenadas. Ecuaciones. Circunferencia

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Unidad I

Relaciones y funciones.

Cuando pensamos en relaciones humanas como la amistad o el amor, no nos imaginamos que las matemáticas tengan algo que ver con ello. No obstante, estas nociones se refieren a relaciones entre conjuntos (en este caso de seres humanos) susceptibles de ser representados con símbolos. La idea es fijarse en los elementos de los conjuntos que se están relacionando entre si y formar parejas. Por ejemplo:

Simbolicemos el hecho de que Hitler odia a Roosevelt, Stalin y Churchill; Stalin odia a Hitler y a Churchill; Churchill odia a Hitler y Roosevelt y Roosevelt odia a Hitler.

Hitler= H

Roosevelt=R

Churchill= CH

Stalin= S

El Conjunto L de parejas ordenadas, permite tratar simbólicamente en la relación.

Por ejemplo, para saber si uno de estos líderes de la segunda guerra mundial, digamos x, odia a otro de ellos, digamos y bastará ver si la pareja (x, y) pertenece al conjunto N.

En el ejemplo anterior, la relación se establece entre individuos tomados de un mismo conjunto; sin embargo, los conjuntos considerados, pueden ser ajenos entre si, por ejemplo:

A {1, 3, 5}

B {2, 4, 6}

La relación “ser menor que” entre el conjunto A y el conjunto B seria:

entre el conjunto B y el A:

Las relaciones pueden ser también arbitrarias (omitiendo la regla)

Ej.

Inventar una relación entre los conjuntos:

A {a, b, c, d, e}

B {,, }

La definición formal entre dos conjuntos A y B, es fácil de entender a partir del concepto de producto cartesiano.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, escrito A x B es el conjunto de todas las parejas ordenadas cuya primera componente pertenece al conjunto A, y cuya segunda a B.

A {a, b, c}

B {1, 2, 3}

Una relación entre conjunto A y B, es cualquier conjunto de parejas ordenadas A x B.

Se llama dominio de la relación al conjunto de las primeras componentes de las parejas, y rango, o imagen de la relación al conjunto de las segundas componentes.

Notación descriptiva. No siempre es posible enumerar elementos de una relación. Por ejemplo; el conjunto de parejas ordenadas de R x R {( )......} en tales casos lo que se hace es describir la relación enunciada, una condición que han de satisfacer sus elementos.

Por ejemplo, podemos describir la relación “ser menor que” ante los números R de la forma siguiente.

M {(x, y) | x " R, y " R, x < y}

Ejemplo:

Sea A {1, 2, 3}

El producto A x A con la regla “ser igual”

Gráfica de una relación.

La gráfica de una relación entre números reales consiste de todos los puntos del plano cuyas coordenadas están en la relación. Si la relación está definida por una ecuación, la gráfica de la ecuación (lugar geométrico) es lo mismo que la gráfica de la relación y consiste de los puntos cuyas coordenadas son el conjunto solución de la educación.

Ejemplos:

Relaciones y funciones.

En matemáticas, es usual considerar magnitudes que dependen entre si, por ejemplo: si x representa el lado de un cuadrado e y representa su área.

y = x2 {(1, 1)(2, 4)(3, 9)}

Esta fórmula permite determinar para cada valor de x, un valor único de y. Decimos entonces que y es función de x.

Notar que la relación (función) asociada a esta ecuación tiene una propiedad especial: a cada número no negativo x (lado) corresponde un único valor de y (área).

Definición. Una función f del conjunto A en el B, es un conjunto de parejas ordenadas de A x B con la siguiente propiedad. Para cada x elemento de A, corresponde exactamente un elemento de y tales que (x, y) están en f.

Ejemplos:

tenemos un criterio para determinar geométricamente si una gráfica, es la de una función f.

Criterio de la recta vertical.

Si ninguna recta vertical interfecta una gráfica en mas de un punto, entonces la gráfica corresponde a una función.

Notación para las imágenes.

Toda función asocia a cada elemento x de su dominio un único elemento del codominio. Si f es el nombre de la función, podemos denotar el elemento asociado a x con f(x) este símbolo se lee: efe de equis; el objeto representado por f(x) se dice que es el valor de la función en (x) o la imagen de x bajo f.

Toda función f es un subconjunto de un producto cartesiano A x B, donde respecto a B, no hay ningún tipo reexigencia, salvo que contenga a la imagen de f. En este sentido, B puede variar sin que se altere la función.

En relación a f, al conjunto B se le da un nombre: se le llama codominio de la función. la relación entre el rango y el codominio de la función es simple: el rango esta formado por aquellos elementos del codominio que son imagen de algún elemento del dominio.

Inversa de una relación.

Si en una relación, intercambiamos los componentes de cada pareja ordenada, el resultado es una nueva relación, denominada inversa respecto a la primera.

Unidad II

Funciones exponenciales y logarítmicas.

Logaritmo: el logaritmo de un número positivo en base b, positivo y distinto de la unidad, es el exponente x al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

Propiedades de los logaritmos.

  • El logaritmo del producto de dos números positivos MN, en base b, es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores en base b.

  • El logaritmo de un cociente de dos números positivos, M y N en base b, es igual a la diferencia de los logaritmos de ambos números.

  • El logaritmo de la potencia p de un número positivo M en base b, es igual al producto del exponente p, por el logaritmo del número M en base b.

  • Ejercicios:

    Función exponencial.

    Una función exponencial, es una expresión definida por una ecuación de la forma f(x) =bx en donde b> 0 b " 1

    Consideremos algunos datos sobre la población de México a principios de los años 80.

    La última fila de la tabla corresponde al llamado factor de crecimiento. Este se utiliza para ver cómo creció la población, no en términos absolutos (esos datos se escribirán hasta el final) sino en relación al año anterior. Por ejemplo, el factor de crecimiento entre 1980 y 1981 se obtuvo mediante el cociente de la población de 1981 entre la de 1980.

    Para determinar una fórmula que nos indique cuantos habitantes habría en el país después de n años en caso de continuar la tendencia (contándose a partir de 1980) observa lo siguiente: cuando n = 0 población 67.38 (millones)

    Podemos decir que después de n años, la población está dada por:

    P(n) = (67.38) (1.026)n

    Unidad III

    Funciones trigonométricas.

    Un ángulo trigonométrico es la cantidad de rotación, que genera el movimiento de un rayo, desde una posición a otra.

    Para especificar un ángulo en trigonometría, se necesita además de los lados, una flecha curva que se extienda desde su lado inicial hasta su lado terminal.

    Se dice que un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el eje x positivo.

    Se dice que un ángulo está en cierto cuadrante, si su lado terminal, se localiza en ese cuadrante, estando el ángulo en posición normal.

    Desde el punto de vista trigonométrico, estos ángulos no son iguales, son meramente coterminantes.

    Graficar los siguientes puntos; dibújese el lado terminal del ángulo, indíquese el ángulo con una curva, utilizar un transportador para encontrar el ángulo.

    Funciones trigonométricas de un ángulo.

    Funciones trigonométricas de un ángulo negativo.

    Funciones trigonométricas de 30°, 60° y 45°

    Ángulo correspondiente.

    Para determinar las funciones de ángulos mayores de 90°, se introduce el concepto de ángulo correspondiente.

    El ángulo correspondiente de un ángulo dado  es el ángulo agudo positivo formado entre el eje x y el lado terminal de y el lado terminal de .

    Medidas en radianes.

    Hasta ahora se ha empleado el ángulo como unidad de medida de los ángulos. Para muchos fines prácticos, el grado es una unidad conveniente (el grado puede tomarse como 1 entre 360 de una rotación completa alrededor de un punto) pero la mayoría de las aplicaciones de las funciones trigonométricas que requieren las matemáticas superiores, se simplifican si se utiliza otra unidad, el radian.

    Un radian es un ángulo el cual si su vértice está colocado en el centro de un círculo, corta un arco igual en longitud al radio del círculo.

    Radianes y grados

    De acuerdo con la definición de un radian, el número de radianes en un círculo es igual al número de veces que la longitud del radio queda contenida en la circunferencia.

    Dado que el perímetro del círculo es 2r, el número de radianes en el círculo es: 2r/r = 2.

    Ya que el número de grados en un círculo es de 360, se tiene que 2 radianes es igual a 360° donde  radianes es igual a 180° donde:

    Unidad IV

    Sistema de coordenadas.

    Existen tres diferentes tipos de sistemas coordenados. El sistema coordenado cartesiano, bidimensional o plano, el cual consta de dos ejes, X y Y; el sistema coordenado unidimensional, el cual sólo consta de un eje y el sistema coordenado tridimensional, el cual, consta de 3 ejes coordenados, X, Y y Z.

    Segmento rectilíneo dirigido.

    La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos. se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento, los dos puntos se llaman extremos del segmento.

    Consideremos tres puntos distintos, A, B, C sobre una línea recta cuya dirección positiva es de izquierda a derecha.

    Sistema coordenado unidimensional o lineal.

    Vamos a determinar la longitud de un segmento que une a dos puntos dados cualesquiera, tales que P1(x1) y P2(x2) por tanto x1 y x2 son números conocidos. Por la relación fundamental.

    La longitud del segmento P1(x1) P2(x2) se obtiene en magnitud y signo, restando la coordenada del punto final.

    La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos.

    División de un segmento en una razón dada.

    Razón: es un cociente de dos números enteros.

    Hallar los puntos de trisección del segmento dirigido cuyos extremos son -7 y -19.

    Distancia entre dos puntos en un plano bidimensional.

    P1 (x1, y1)

    P2 (x2, y2)

    En la figura aparecen los puntos anteriores de los cuales trazamos paralelas a ambos ejes, interceptando al eje x en los puntos A y b y al eje y, en los puntos N y M; también se forma un triángulo rectángulo P1 P2 Q.

    Calcularemos la distancia entre P1 y P2.

    División de un segmento en una razón dada en el sistema bidimensional.

    Si r > 0, el punto P está dentro del segmento

    Si r < 0, el punto está fuera del segmento.

    Si P1 de coordenadas (-4, 2) y P2 de coordenadas (4, 6) son los puntos extremos del segmento P1P2, hallar las coordenadas del punto P (x,y) que divide al segmento en la razón P1P / PP2 = -3.

    Los vértices de un triángulo son los puntos:

    A (-1, 3)

    B (3, 5)

    C (7, -1)

    Hallar los puntos medios de sus lados.

    Un ángulo es llamado de inclinación de una recta l, si es el que se forma entre la recta y el lado positivo del eje x.

    La pendiente m de una recta l que pasa por dos puntos, es la tangente trigonométrica de el ángulo de inclinación ()

    Los vértices de un triangulo son los puntos A (-2, -1), B (2, 2) y C (5, -2). Hallar las pendientes de los lados y sus ángulos de inclinación, la circunferencia que pasa por los 3 vértices.

    El signo negativo en la pendiente sólo indica que el ángulo de inclinación está entre 90° y 180°, por lo tanto, se puede tomar como el ángulo correspondiente, el cual se resta a 180°.

    Unidad V

    Ecuación de primer grado.

    Unidad VI

    Circunferencia

    Ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0

    Línea recta.

    Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 (x1, y1) P2 (x2, y2) el valor de la pendiente resulta siempre constante.

    Ecuación de la recta que pasa por un punto y cuya pendiente dada es m.

    Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

    Dos rectas son paralelas si la pendiente y el ángulo de inclinación, son iguales m| = m2

    Dos rectas son perpendiculares L1L2 cuyas pendientes son m1 y m2 respectivamente, son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1, es decir, si son recíprocas y de signo contrario.

    Distancia (perpendicular) de un punto a una recta y de una recta a un punto.

    La distancia dirigida D de la recta dada cuya ecuación es:

    Ax + By + C = 0 al punto P1 (x1, y1) está dada por la fórmula:

    En donde el signo del radical se elige de acuerdo con lo siguiente

  • Si c " 0 entonces el signo es el contrario a c.

  • Si c =0, b " 0 entonces el signo es el mismo que el de b.

  • Si c = 0, b = 0 y a " 0, entonces el signo es el mismo que el de a.

  • Hallar la distancia de 3x -4y +12 =0 al punto (4, -1)

    Interpretación del signo de las distancias.

    Si la recta dada no pasa por el origen, d es positiva o negativa según que el punto P, y el origen están en lados opuestos o del mismo lado de la recta.

    Si la recta dada pasa por el origen, d es positiva o negativa según que el punto P, esté arriba o debajo de la recta.

    Hallar la distancia de la recta 4x -5y +10= 0 al punto (2, -3). Interpretar el signo de la distancia y comprobar la interpretación a través de la gráfica.

    Una circunferencia tiene su centro en el punto C (0, -2) y es tangente a la recta 5x -12y +2 = 0. Hallar su ecuación.

    Dada la ecuación de la circunferencia

    x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

    es posible obtener su centro y radio mediante el método de completar el trinomio cuadrado perfecto.

    Unidad VII

    La parábola.

    Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia a una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a la distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.

    Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje focal el eje x.

    La ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje focal en x, es igual a y2 = 12x. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, el lado recto y la gráfica.

    La ecuación de una parábola con ecuación x2 = 12y. Hallar coordenadas del foco, ecuación de la directriz, lado recto y gráfica.

    Ecuación de la parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje x.

    Ecuación de la parábola con vértice (h, k) y eje paralelo al eje y.

    Hallar la ecuación de la parábola con los puntos (-4, 3) como vértice y (-1. 3) como foco.

    Obtención de parábolas, por medio de una ecuación.

    Una ecuación de segundo grado, en las variables x y y que carezca del término xy, puede escribirse en la forma:

    Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

    Si A = 0, C " 0 y D " 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo o coincide con el eje x.

    Cy2 + Dx + Ey + F = 0

    Si en cambio D = 0, lo ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje y.

    Cy2 + Ey + F = 0

    Dos rectas coincidentes paralelas en el eje x, o ningún lugar geométrico según que las raíces de la ecuación son reales y desiguales, reales e iguales o complejas.

    Si A " 0, C = 0 y E "0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje y.

    Ax2 + Dx + Ey + F = 0

    Si en cambio, E = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje y, dos rectas coincidentes paralelas al eje y, o ningún lugar geométrico según que las raíces de:

    Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.

    Demostrar que la ecuación 4x2 - 20x - 24y + 97 = 0 es una parábola.

    Demostrar que las siguientes ecuaciones son parábolas:

  • x2 - 4y - 4 = 0

  • y2 - x + 4y + 6 = 0

  • Unidad VIII

    La elipse.

    Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano, es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos.

    La recta que pasa por el centro, se llama eje focal.

    distancia de vértice a vértice = 2a

    distancia de foco a foco = 2c

    distancia de polo a polo = 2b

    La ecuación de la elipse de centro en el origen y eje focal el eje x, distancia focal igual a 2c y cantidad constante 2a:

    Si el eje focal de la elipse coincide con el eje y, y centro en el origen, distancia focal 2c y cantidad constante 2a, la ecuación es:

    Dada la ecuación de la elipse, obtener las coordenadas del foco, los vértices, los polos, la longitud del eje mayor y el menor, lado recto, excentricidad y la gráfica.

    Elipse con centro (h, k).

    Los focos de una elipse son los puntos (-4, -2) y (-4, -6) y la longitud de cada lado recto es 6, hallar la ecuación de la elipse y todos sus elementos.

    Unidad IX

    La hipérbola.

    Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

    La definición de hipérbola excluye el caso en que el punto móvil se mueva sobre la recta que pasa por los focos a excepción del segmento comprendido entre ellos. Los focos y el punto medio de este segmento no pueden pertenecer al lugar geométrico.

    La ecuación de la hipérbola con centro en el origen, eje focal coincidente con el eje x y focos (±c, o) y vértices (±a, 0) y eje conjugado (0, ±b)

    La ecuación con eje focal coincidente al eje y.

    Los vértices de una hipérbola son los puntos (0, ±3) y sus focos los puntos (0, ±5). Hallar la ecuación, las longitudes de sus ejes transversos y conjugados, su excentricidad y la longitud del lado recto.

    Para la ecuación de la hipérbola 9x2 -4y2= 36, hállese todos los elementos.

    Ecuación de la hipérbola con centro (h,k)

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