Matemáticas

Ejercicios Churchill. Logaritmo. Función exponencial. Coordenadas

  • Enviado por: Yjarma
  • Idioma: castellano
  • País: Colombia Colombia
  • 14 páginas
publicidad

MATEMÁTICAS ESPECIALES II

EJERCICIOS CHURCHILL

Probar que:

a) Log ( -ei) = 1 - /2i;

Por propiedades de logaritmos:

'Matemáticas'

Pero:

'Matemáticas'

Entonces:

'Matemáticas'

Se sabe que por la definición de la función logaritmo:

'Matemáticas'

Entonces:

'Matemáticas'

'Matemáticas'

Por lo tanto:

'Matemáticas'

b) Log (1-i ) = ½ Log 2 - /4i

Como se dijo en anteriormente:

'Matemáticas'

Entonces:

'Matemáticas'

Por Lo tanto:

'Matemáticas'

'Matemáticas'

Y por propiedades del logaritmo:

'Matemáticas'

2. Probar que cuando n = 0, ±1, ±2, …

  • log e = 1 + 2ni

  • Por propiedades de la función exponencial:

    'Matemáticas'

    Entonces:

    'Matemáticas'

    Por lo tanto:

    'Matemáticas'

  • log i = (2n + ½)i

  • Tenemos que i = 0+i, o en coordenadas polares: 'Matemáticas'

    Pero:

    'Matemáticas'

    Entonces:

    'Matemáticas'

    c) 'Matemáticas'

    En notación polar:

    'Matemáticas'

    Con:

    'Matemáticas'

    Entonces:

    'Matemáticas'

    Por lo tanto:

    'Matemáticas'
    'Matemáticas'

    3. Probar que Log[(1+i)2] = 2 Log (1+i) pero Log[(-1+i)2]"2 Log(-1+i)

    Usando la definición del logaritmo principal:

    'Matemáticas'

    Nótese que se utiliza el argumento principal el cual se define como:

    'Matemáticas'

    Entonces analizando los argumentos de ambas expresiones:

    'Matemáticas'

    Entonces: 'Matemáticas'

    Pero:

    'Matemáticas'

    Entonces se concluye que

    4. Probar que:

    a) Si log z = Log r + i  con /4 <  < 9/4, entonces log (i2) = 2 log i

    b) Si log z = Log r + i  con 3/4 <  < 11/4, entonces log (i2) " 2 log i

    En este ejercicio se toma  como el ángulo del número complejo operado por el logaritmo sea este i2 o i.

  • 'Matemáticas'
    Para esta parte el ángulo de i2 es  que está dentro del rango y para i es /2 que también está incluido.

  • 'Matemáticas'
    Por otro lado:

  • 'Matemáticas'
    En la segunda parte, el ángulo de i2 es  debido a la condición de intervalo; para i, el ángulo es de 5/2 para quedar dentro del intervalo.

  • Además:

    'Matemáticas'

  • Probar que a) el conjunto de valores de log(i1/2)=(n + 1/4)i y es igual al de (1/2)log(i); b) el conjunto de log(i2) NO es igual al de 2 log(i).

  • a)

    'Matemáticas'
    b)

  • Hallar las raíces de la ecuación:

  • 'Matemáticas'

  • 'Matemáticas'
    Dada la determinación log z = log r + i , de log z que es analítica en cada punto de su dominio, probar que su derivada en cada punto es 1/z .Demostrarlo derivando ambos miembros de la ecuación siguiente:

  • Si el punto z = x + iy está en la banda horizontal  <  < +2, probar que cuando se usa la determinación:

  • de la función logaritmo, entonces log (ez) = z

    Se usa la restricción para hacer n = 0 y poder escribir el último paso.

    9. y 10. Probar que para todo par de números complejos no nulos z1 y z2

    además que cuando Re(z1), Re(z2).

    El signo de la parte real de los dos complejos puede ser igual(a) o no(b), si es igual:

    -<a,b< y 1,2=a,b respectivamente; por el contrario, si difiere 1,2=a,b2n, teniendo a -<a,b< siempre.

  • Con signos iguales en Re(z) 1=a y 2=b

  • Con signos diferentes 1=a y 2=b2

  • 11. Dado que Arg. (z1/z2) = Arg. z1 - Arg. z2, comprobar para log(z1/z2) que:

  • Tomando dos valores concretos no nulos de z1 y z2, probar que la propiedad [6], sección 26, no es siempre válida si log es sustituído por Log.

  • Se hace z1 = -1 - i

    Y z2 = i

    Entonces:

    Como se dijo anteriormente:

    'Matemáticas'

    Y además cuando 'Matemáticas'
    arg(z) = Arg(z), entonces:

    'Matemáticas'

    Analizando los dos argumentos:

    'Matemáticas'
    y 'Matemáticas'

    Entonces:

    'Matemáticas'

    Por lo tanto:

    'Matemáticas'

    13. Comprobar que:

    14. Probar que en los puntos z = x + iy, la función:

    Tomando z = x + iy

    R = (x2 + y2)1/2

     = tan-1 (y/x)

    15. Probar que:

    a) La función Log(z - i) es analítica en todo el plano salvo sobre la semirrecta y =1(x"0)

    f(z) es analítica si tiene derivada en todos los puntos de una región.

    'Matemáticas'

    Por definición la derivada de la función logaritmo es:

    'Matemáticas'

    Entonces 'Matemáticas'
    donde 'Matemáticas'

    Realizando las derivadas parciales y comprobando las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemman

    'Matemáticas'

    Por lo tanto:

    'Matemáticas'

    Y f'(z) es analítica en todo el plano excepto en cualquier punto de la semirrecta y =1(x"0).

  • La función es analítica en todo el plano salvo en los puntos y sobre la parte x " -4 del eje real.

  • Expandiendo:

    'Matemáticas'

    Por lo tanto es analítica en todo el plano menos en los puntos z = 'Matemáticas'
    y sobre la parte x " -4 del eje real.

    17. Probar que:

    18. Demostrar que [8], sección 36, también cumple cuando n es un entero negativo.

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'