Matemáticas

Cálculo numérico. Límites. Laterales. Funciones. Asíntota. Vertical. Horizontal. Infinito. Sandwich. Polinomios

  • Enviado por: Cosita
  • Idioma: castellano
  • País: Chile Chile
  • 7 páginas

publicidad
cursos destacados
Razonamiento Lógico y Matemático para ingresar a la U
Razonamiento Lógico y Matemático para ingresar a la U
Si necesitas una ayuda extra para entrar a la Universidad entonces tienes que estudiar el curso de "Razonamiento...
Ver más información

Trigonometría Plana
Trigonometría Plana
Curso de Trigonometría Plana que trata los conceptos básicos: sistema de medición de...
Ver más información


Definición intuitiva de límite

Se dice que “el límite de F(x) cuando x tiende a k es igual a L”, y escribiremos 'Matemáticas'
, si podemos acercar de manera arbitraria los valores de F(x) a L es decir, tanto como queramos, al tomar los valores de x lo bastante cerca de k pero sin hacerla igual a k.

NOTA: De manera similar se definen los límites laterales, pero tomando los valores de x cercanos a k y mayores para 'Matemáticas'
mientras que en el caso de'Matemáticas'
se deben tomar los valores de x cercanos a k y menores.

Teorema sobre límites laterales

'Matemáticas'

¡Sustitur o no sustituir, he allí el problema !

El proceso del cálculo del límite 'Matemáticas'
, en general no consiste en sustituir x = k en F(x) esto es, hay ocasiones en las cuales 'Matemáticas'
pero hay otras en que 'Matemáticas'
.

Algunos de los casos para los cuales la igualdad 'Matemáticas'
es valida son los siguientes:

  • Si F(x) es un polinomio es decir, una función del tipo: 'Matemáticas'
    .con a,b, ... ,c,d constantes, siendo n un entero mayor o igual a cero ('Matemáticas'
    ).

  • Si F(x) es una función racional es decir, si 'Matemáticas'
    siendo P(x) y Q(x) polinomios, siempre y cuando 'Matemáticas'
    entiéndase, si 'Matemáticas'
    .

  • Si F(x) es una función trigonométrica y 'Matemáticas'
    .

  • Si F(x) es una función exponencial.

  • Si F(x) es una función logarítmica y 'Matemáticas'
    .

  • Si 'Matemáticas'
    con n entero positivo y G(x) es una función de alguno de los tipos antes planteados.

  • Si 'Matemáticas'
    con n entero e impar y G(x) es una función de alguno de los tipos antes planteados.

  • Si 'Matemáticas'
    con n entero par y G(x) es una función de alguno de los tipos antes planteados, siempre y cuando 'Matemáticas'
    . En el caso 'Matemáticas'
    se hace necesario un análisis lateral. Y en el caso 'Matemáticas'
    , el límite no existe.

  • Si 'Matemáticas'
    siendo G(x) una función de alguno de los tipos antes planteados.

  • Si F(x) está dada por una combinación de sumas, restas, multiplicaciones o divisiones de funciones de los tipos antes planteados y 'Matemáticas'

  • El bendito problema de la división por cero

    Sea 'Matemáticas'
    con G(x) y H(x) funciones de los tipos antes planteados. Si al aplicar sustitución para el cálculo del límite 'Matemáticas'
    se produce una expresión de la forma 'Matemáticas'
    , distinguiremos dos casos:

    • Si k = 0 ( 0 / 0) diremos que este resultado representa una indeterminación, con lo cual no habremos calculado el límite y procederemos a realizar algún otro proceso algebraico que permita eliminar tal situación y llegar a una conclusión. Algunos de tales procesos son factorización por el método de Ruffini, multiplicación por conjugados, etc.

    • Si k " 0 el límite no existe, presentándose las llamadas tendencias infinitas.. En tales casos se considerarán:

    • 'Matemáticas'

      'Matemáticas'

      Definición intuitiva de límite infinito

      Se dice que “el límite de F(x) cuando x tiende a k es igual a +"”, y escribiremos 'Matemáticas'
      , si podemos hacer arbitrariamente grandes los valores de F(x) es decir, tan grandes como queramos, al tomar los valores de x lo bastante cerca de k pero sin hacerla igual a k.

      NOTA: De manera similar se definen los límites 'Matemáticas'
      y'Matemáticas'
      pero señalando las acotaciones del caso.

      Definición de Asíntota Vertical

      Se dice que la recta x = k es una Asíntota Vertical de F(x) si se cumple alguno de los siguientes límites:

      'Matemáticas'

      'Matemáticas'

      'Matemáticas'

      'Matemáticas'

      'Matemáticas'

      'Matemáticas'

      Algunos límites notables

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • El límite de una desigualdad

      Si 'Matemáticas'
      para todo 'Matemáticas'
      excepto posiblemente en 'Matemáticas'
      y además existen los límites 'Matemáticas'
      y 'Matemáticas'
      , entonces:'Matemáticas'

      Teorema del Sándwich

      Si para toda x en (a,b), excepto posiblemente en 'Matemáticas'
      , se cumple que

      'Matemáticas'
      y además 'Matemáticas'
      ,

      entonces: 'Matemáticas'

      Definición de continuidad en un punto

      Una función F(x) se dice que es continua en x = k si cumple las siguientes condiciones:

    • F(k) está definido

    • 'Matemáticas'
      existe

    • 'Matemáticas'

    • Si alguna de estas condiciones deja de cumplirse, se dice que F(x) es no es continua o bien que F(x) es discontinua en x = k.

      Definición de continuidad lateral

    • Una función F(x) se dice que es continua por la derecha de x = k si y sólo si 'Matemáticas'

    • Una función F(x) se dice que es continua por la izquierda de x = k si y sólo si 'Matemáticas'

    • NOTA

      Si x = k es un punto extremo del dominio de F(x), la continuidad en dicho punto será considerada sólo por la derecha o sólo por la izquierda según sea el caso, sin aclararlo.

      Tipos de discontinuidad

      Sea F(x) discontinua en x = k, entonces consideraremos los siguientes tipos de discontinuidad:

      • Removible

      Si el límite 'Matemáticas'
      existe. Falla (1) y/o (3) pero se cumple (2).

      • De salto

      Si el límite 'Matemáticas'
      no existe, pero los límites laterales 'Matemáticas'
      y 'Matemáticas'
      existen. Falla (2).

      • Infinita

      Si el límite 'Matemáticas'
      y/o 'Matemáticas'
      . Falla (2).

      Definición de continuidad en intervalos

    • Una función F(x) se dice que es continua en (a,b) si es continua en todo punto del intervalo.

    • Una función F(x) se dice que es continua en [a,b) si es continua en (a,b) y continua a la derecha de x = a.

    • Una función F(x) se dice que es continua en (a,b] si es continua en (a,b) y continua a la izquierda de x = b.

    • Una función F(x) se dice que es continua en [a,b] si es continua en (a,b), continua a la derecha de x = a y continua a la izquierda de x = b..

    • Teorema 1

      Si F(x) es: un polinomio, una función racional, una función exponencial, una función logarítmica, una función trigonométrica o una función trigonométrica inversa, entonces F(x) es continua en todo punto de su dominio y discontinua en puntos fuera del dominio.

      Teorema 2

      Sean F(x) y G(x) funciones continuas en x = k y sea “C” una constante, entonces las siguientes funciones también son continuas en x = k:

    • 'Matemáticas'
      'Matemáticas'
      'Matemáticas'
      'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'
      si y sólo si G(a) " 0

    • 'Matemáticas'
      para “n” entero positivo impar.

    • 'Matemáticas'
      con “n” entero positivo par, si x = k no es un punto extremo del DF.

    • 'Matemáticas'
      con “n” entero positivo par, si x = k es un punto extremo del DF en cuyo caso sólo habrá continuidad por la derecha o por la izquierda según corresponda.

    • 'Matemáticas'
      si F(x) es continua en G(a).

    • Teorema sobre el cálculo del límite de una función compuesta

      Si F(x) es continua en x = L y 'Matemáticas'
      , entonces 'Matemáticas'

      Teorema del Valor Intermedio

      Sea F(x) continua en el intervalo cerrado [a,b] y sea W un valor comprendido entre f(a) y F(b) entonces: existe al menos un k " (a,b) tal que F(k) = W.

      Teorema de Bolzano

      Si F(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y F(a) y F(b) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un valor x = k en el intervalo abierto (a,b) para el cual F(k) = 0.

      Indeterminaciones

      Son indeterminaciones, es decir, expresiones no concluyentes, los resultados que siguen:

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • También son indeterminaciones, aún cuando no serán estudiadas acá, los resultados que siguen: :

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • Se presentan a continuación una serie de teoremas que permiten calcular de manera rápida los límites al infinito de algunos tipos de funciones de frecuente aparición.

      Polinomios

    • Para calcular 'Matemáticas'
      se extrae factor común el término de mayor grado y luego se evalúa.

    • De lo anterior se desprende el siguiente teorema: 'Matemáticas'

    • Exponenciales (Ver Resumen # 5)

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • Logarítmicas (Ver Resumen # 7)

      Trigonométricas inversas

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • Polinomios Vs. Polinomios

      El límite 'Matemáticas'
      con P(x) y Q(x) polinomios lleva a la indeterminación 'Matemáticas'
      , la cual es resuelta dividiendo el numerador y el denominador por xk donde “k” es el grado del polinomio del denominador.

      Logaritmos Vs. Polinomios

    • Polinomios Vs. Exponenciales

    • si a > 1

    • si a " (0,1)

    • si a " (0,1)

    • si a > 1

    • Logaritmos Vs. Exponenciales

    • La regla E > P > L

      Una alternativa para calcular los límites al infinito en los últimos tres casos considerados consiste en aplicar la tendencia al infinito de forma directa a la función y en caso de producirse una indeterminación se aplica la siguiente regla mnemotécnica:

      Exponencial > Polinomio > Logaritmo

      En caso de presentarse incertidumbre relativa a signos, téngase en cuenta que el signo de la indeterminación se conserva.

      Significado Geométrico de los límites al infinito y definición de Asíntotas Horizontales

      • Si y L " !, entonces la recta y = L es una Asíntota horizontal en el extremo derecho del sistema de coordenadas.

      • Si y L " !, entonces la recta y = L es una Asíntota horizontal en el extremo izquierdo del sistema de coordenadas.

      • Si , entonces la gráfica de F(x) se “fuga” por la esquina superior derecha del sistema de coordenadas. Diremos en tal caso que F(x) no tiene asíntota horizontal en el extremo derecho.

      • Si , entonces la gráfica de F(x) se “fuga” por la esquina inferior derecha del sistema de coordenadas. Diremos en tal caso que F(x) no tiene asíntota horizontal en el extremo derecho.

      • Si 'Matemáticas'
        , entonces la gráfica de F(x) se “fuga” por la esquina inferior izquierda del sistema de coordenadas. Diremos en tal caso que F(x) no tiene asíntota horizontal en el extremo izquierdo.

      • Si 'Matemáticas'
        , entonces la gráfica de F(x) se “fuga” por la esquina superior izquierda del sistema de coordenadas. Diremos en tal caso que F(x) no tiene asíntota horizontal en el extremo izquierdo.

      Operaciones con infinitos

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • 'Matemáticas'

    • si a > 1

    • 'Matemáticas'

    • si a "(0,1)

    • 'Matemáticas'

    • si a > 1

    • 'Matemáticas'

    • si a "(0,1)

    • arc-tan(+") = /2

    • arc-tan(-") = -/2

    • arc-cot(+") = 0

    • arc-cot(-") = 

    • arc-sec(+") = /2

    • arc-sec(-") =3/2

    • arc-csc(+") = 0

    • arc-csc(-") = 

    Vídeos relacionados