Matemáticas

Dirección de crecimiento. Derivada parcial. Extremo relativo. Vectores. Matrices. Forma cuadrática. Funciones

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MATEMÁTICAS GRUPOS C, D, y E 4 de JUNIO de 2004

1.- Defina los siguientes conceptos: Dirección de crecimiento. Derivada parcial. Autovector. Extremo relativo.

(1 punto)

2.- Demuestre que en toda aplicación lineal f, Ker f e Isomorfismo f son subespacios vectoriales.

(1 punto)

3.- Sea f: R3 R3 la aplicación lineal dada por:

f (x,y,z) = (ax - 3y - z , 2y + 2z , ax + ay + 3z)

a) calcule a para que la imagen del vector (1, -1, 1) sea el vector (3, 0, 3)

b) Para ese valor de a, calcule el núcleo y la imagen de f, indicando bases de ambos.

c) ¿Cuál será la matriz de f si en R3 consideramos la base B= { U1, U2, U3 } siendo U1= (1, 1, 1), U2= (0, 1, 1) y U3= (0, 0, 1)?

(2 puntos)

4.- Consideremos la forma cuadrática: Q (X1, X2, X3)= - 2x1.x2 - 2x1.x3 - 2x2x3. Halle los autovalores y autovectores de su matriz asociada, escribiendo su forma diagonal y clasificándola.

(1, 5 puntos)

5.- Dadas las funciones f (x, y, z) = ( x . Ln y + z, ð x.y +z , Ln z/y) y

g(u, v, w)= (uv , Ln (u2 + v2), ew), calcule hv (2, 1, 2) siendo h = gof y

v = (1, 1, -3).

(2 puntos)

6.-Extremos relativos de f (x, y, z) = Ln x.y2 . z3 condicionada por

x + 2y + 3z = 7

(2, 5 puntos)

CURSO 2003/2004