Matemáticas

Resolución de ecuaciones. Lineales. Variables. Métodos. Gráfico. Unidad. Sustitución. Eliminación. Suma. Resta. Multiplicación. Igualación. Determinantes. Matrices. Cuadradas. Traspuesta. Producto interno

  • Enviado por: La Neta
  • Idioma: castellano
  • País: México México
  • 22 páginas

publicidad
cursos destacados
Álgebra Lineal
Álgebra Lineal
En este curso se estudian los conceptos básicos sobre Álgebra Lineal. Se explica que es una matriz, los...
Ver más información

Lógica y Conjuntos
Lógica y Conjuntos
En este de curso de Lógica y Conjuntos estudiaremos fundamentos de la lógica matemática, lo cual...
Ver más información

publicidad

De una ecuación lineal

Si tenemos ecuación la manera de graficarla es la siguiente:

  • Lo primero es despejar , es decir, dejar esta variable de un solo lado de la igualdad

  • -3

    -6.66667

    -2

    -5.33334

    -1

    -4

    0

    -2.66667

    1

    -1.33334

    2

    0

    3

    1.33334

  • Enseguida se toman valores arbitrarios de que nos representen la línea en los cuadrantes positivo y negativo del plano cartesiano, y se sustituyen en la ecuación :

  • Lo siguiente es realizar el trazado de la gráfica con los valores de la tabla:

  • Sistema de ecuaciones lineales de dos variables

    Un sistema de ecuaciones se compone de más de una ecuación lineal

    La solución de de un sistema de ecuaciones es el punto de intersección de las dos líneas, tenemos varios métodos para resolver este sistema.

    Método gráfico

    Graficamos las dos líneas como se vio en un principio

    -3

    -6.66667

    5.6

    -2

    -5.33334

    5.4

    -1

    -4

    5.2

    0

    -2.66667

    5

    1

    -1.33334

    4.8

    2

    0

    4.6

    3

    1.33334

    4.4

    4

    2.66667

    4.2

    5

    4

    4

    6

    5.3334

    3.8

    La gráfica quedaría de la siguiente manera

    Como podemos observar la intersección esta en la coordenada (,), siendo este punto la solución de este sistema de ecuaciones de dos variables.

    Método gráfico de los extremos

    Para este método lo que hacemos es tomar los puntos donde se interceptan las líneas con los ejes del plano cartesiano, es decir cuando tomamos puntos como y para cada una de las líneas. Veamos el proceso:

    Despejamos enseguida sustituimos los valores de y

    Si entonces

    Y cuando , pero primero tenemos que despejar de la ecuación

    Ahora sustituimos

    De esta manera obtenemos los puntos donde se interceptan las líneas

    con los ejes del plano cartesiano, es decir para cada ecuación encontramos dos puntos

    Se intercepta con el eje en y con el eje en

    Se intercepta con el eje en y con el eje en

    Lo único que tenemos que hacer es prolongar las líneas hasta que se interceptan

    .

    De nuevo obtenemos el resultado que habíamos obtenido con el método anterior.

    Método C o método de la unidad

    Este método nos permite obtener de manera sencilla los puntos donde se interceptan las líneas y los ejes. Lo primero es igualar el resultado de la ecuación a uno.

    El proceso es el siguiente, se toma el primer termino como el coeficiente de es 1 entonces se dice que este termino esta completo, por lo tanto pero es igual a su denominador, por lo cual , es decir .

    Ahora se toma el segundo termino , aquí tenemos que volver el coeficiente de en 1, por lo cual , de esta manera completamos la unidad, así que para este termino tenemos que y , es decir .

    Aplicamos este método a la siguiente ecuación

    Al comparar estos resultados nos damos cuenta que son iguales con los puntos resultantes del método gráfico de los extremos, por lo cual la gráfica es la misma de tal método y la podemos observar en la página anterior.

    Método de sustitución

    Este método se caracteriza por la sustitución de una variable que representa a su ecuación origen en la otra ecuación del sistema, veamos esto paso a paso

    Despejamos x de la ecuación y sustituimos en

    Sustituyendo por ultimo sustituimos

    En cualquiera de las ecuaciones o , en este caso sustituimos en

    Por lo cual el punto solución del sistema de ecuaciones es , comprobando los métodos gráficos anteriores.

    Método de suma y resta (eliminación)

    En este método se intenta igual términos en las ecuaciones para poder eliminarlos por la suma o resta de las ecuaciones del sistema.

    Primero igualamos a cero la ecuación para poder igualar uno de los términos es necesario en este caso multiplicar la segunda ecuación por , es decir

    Dando como resultado de tal manera que al sumar los términos de las ecuaciones obtenemos

    El resultado se sustituye en cualquiera de las ecuaciones

    El punto solución del sistema de ecuaciones es .

    Método de igualación

    En este método despejamos una variable en particular de las dos ecuaciones y las igualamos.

    entonces y igualamos las ecuaciones sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones obtenemos el punto solución del sistema de ecuaciones es .

    Método de determinantes

    En este método solo nos interesan los coeficientes numéricos incluyendo su signo.

    Que equivale a como matrices, enseguida buscamos sus incrementos

    Las soluciones del sistema son

    El punto solución del sistema de ecuaciones es .

    Ejemplo

    Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por los siete métodos vistos.

    Solución.

    Método grafico

    Despejamos las ecuaciones de tal manera que le demos valores a para por graficar la línea

    Realizamos la tabla

    -3

    10

    -11

    -2

    8

    -8

    -1

    6

    -5

    0

    4

    -2

    1

    2

    1

    2

    0

    4

    3

    -2

    7

    La gráfica quedaría de la siguiente manera

    El punto solución es aproximadamente .

    Método gráfico de extremos.

    Despejamos las ecuaciones para poder sustituir

    Cuando tenemos que

    Y cuando tenemos que

    Para la primera línea, los puntos donde intercepta con los ejes son y ; y para la segunda línea y , la gráfica se vería de la siguiente manera:

    'Matemáticas'

    El punto solución es aproximadamente .

    Método C o método de la unidad

    Tomamos la primera ecuación

    Para cada término

    Para la segunda ecuación

    Para cada término

    Comprobándose que se obtienen los mismos puntos que en el método anterior, y por lo tanto la gráfica sería la misma.

    Método de sustitución

    Para obtener sustituimos el punto solución del sistema es .

    Método de suma y resta

    Para obtener sustituimos el punto solución del sistema es .

    Nota. Solo en este caso utilizamos ningún coeficiente para igualar alguno de términos de a ecuación, ya que se tenía términos recíprocos los cuales eliminamos al sumar.

    Método de igualación

    Igualamos para obtener sustituimos el punto solución del sistema es .

    Método de determinantes

    El punto solución del sistema es .

    Matrices

    Matriz: Arreglo común rectangular que sirve para ordenar elementos y obtener comunes (por medio de situaciones determinantes).

    Matriz, los elementos se encierran en un paréntesis

    Una matriz se compone de filas y columnas

    Nomenclatura

    = elemento que representa a la fila 1, columna 1

    = elemento que representa a la fila 1, columna 2

    Una matriz tiene m renglones y n columnas, se dice que tiene dimensiones m x n.

    Matriz de dimensiones 2 x 2

    Vector: Matriz que tiene dimensiones m x 1 o 1 x n (Una sola fila o una sola columna).

    O

    Matriz cuadrada cuando m=n

    Matriz cuadrada 2 x 2

    Matriz cuadrada 3 x 3

    Matriz transpuesta

    Es el reacomodó de una matriz m x n a una matriz n x m

    Vector fila

    Vector columna

    Matriz transpuesta

    Suma y resta de matrices

    Solo si tienen las mismas dimensiones las matrices a sumar o restar, se pueden realizar estas. Por ejemplo:

    Otro ejemplo:

    Multiplicación de matrices

    Multiplicación escalar

    Producto interno

    Multiplicación de un vector fila por un columna.

    Es decir

    Multiplicación de matrices

    El producto de matrices esta definido si y solo si el número de columnas de es igual número de filas de , .

    Las dimensiones de la matriz resultante sean

    Para encontrar la matriz resultante se hace el producto interno de la primer fila de por la primera columna de , luego la segunda fila de por la primera columna de , y así sucesivamente.

    Otro ejemplo es

    Otro ejemplo

    Otro ejemplo

    Otro ejemplo

    ya que es la matriz identidad, es decir equivale al número uno en un a multiplicación con escalares.

    Ejercicio de tarea

    Matemáticas II

    17

    Columna 1

    Columna 2

    Fila 1

    Fila 2

    +

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    'Matemáticas'

    +

    Examen 1

    Examen 2

    Examen 3

    Examen 4

    Alumno 1

    Alumno 2

    Alumno 3

    Alumno 4

    Matriz m x m

    Matriz 4 x 4

    Matriz transpuesta de A

    Sí se puede realizar la multiplicación entre matrices

    Las dimensiones y son iguales, por lo tanto se puede realizar la multiplicación

    La dimensión de la matriz resultante es y , es decir

    Vídeos relacionados