Matemáticas

Álgebra de conjuntos. Notación. Finitos. Infinitos. Vacío. Universal. Subconjuntos. Propiedades. Diagrama de Venn-Euler. Intersección. Diferencia. Unión

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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE CAMPECHE

FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICO BIOLOGICAS

MATEMÁTICAS

INGENIERO:

ALUMNA: A.

PRIMER SEMESTRE DE QUIMICO FARMACEUTICO BIOLOGO.

11/ DIC/ 2003

INDICE

1.- Definición de conjunto.

2.- Notación de conjunto.

3.- Conjunto unitario.

4.- Conjuntos finitos e infinitos

5.- Conjunto vacío.

6.- Conjunto universal.

7.- Notación y propiedades de los subconjuntos.

8.- Diagrama de Venn Euler.

9.- Unión de conjuntos.

10.-Intercepción de conjuntos.

11.-Diferencia de conjuntos.

ÁLGEBRA DE CONJUNTO

1.- DEFINICIÓN DE CONJUNTO:

El concepto de conjunto es conjunto es fundamental en todas las ramas de las matemáticas. Es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que, como se verán pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros de un del conjunto.

Los conjuntos se estudian como entidades abstractas. El concepto de conjunto a sido utilizado de forma tan generalizada en todas las matemáticas modernas, que es preciso su conocimiento por parte de todo estudiante de nivel universitario. Los conjuntos son un medio por el cual los matemáticos hablan de colecciones de objetos de una manera abstracta.

Según G. Cantor (1845- 1918), el matemático que desarrollo la teoría de conjuntos, ”un conjunto es una agrupación de objetos simples en un todo”. La colección formada por una silla, por una pluma, una silla y una flor es un ejemplo de conjunto.

La idea de conjunto es básica en el pensamiento humano. La idea es algo puramente intuitivo, algo no definido, pero si entendido por cada persona como resultado de su propia experiencia. Gracias a que la idea de un conjunto es algo ya entendido, podemos identificarlo y hablar de èl. Cuando alguien habla de conjunto se refiere a una colección de objetos que se entiende se presentan juntos. Estos objetos se le laman miembros o elementos del conjunto.

Ejemplo:

Los números 1,3, 7 y 10 .

Las vocales del alfabeto a, e ,i o, u.

Los estudiantes Tomás, Ricardo y Enrique.

Los ríos de los Estados Unidos.

Los estudiantes ausentes de la escuela.

Los miembros del senado forman un conjunto llamado senado de la republica.

Los números 2, 3 y 5 forman un conjunto con tres elementos.

Un conjunto es una colección de elementos que se agrupan mediante algunas características en común y que solo aparecen una sola vez.

2.- NOTACIÓN DE CONJUNTO:

usaremos letras mayúsculas para presentar los conjuntos e incluiremos sus elementos dentro de llaves, separándolos por comas.

El símbolo E ( es elemento de). Así (a E S) se lee (a es elemento de S).

3.- CONJUNTO UNITARIO:

Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.

Ejemplo:

A = { 5 }

B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 }

C = {la capital del Perú } = { Lima }

D = {x / 2x = 6} = {3}

A = { 1 }

B = {x I x es la solución de 'Matemáticas'
}

C = {números pares entre 2 y 6} = { 4 }

D = {La capital del México }

4.- CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS:

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Es finito si consta d e un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito.

Ejemplo:

Si M es el conjunto de los días de la semana, entonces M es finito.

Si N={2,4,6,8...}, N es infinito.

Si P={x/x es un río de la tierra}, P es también finito aunque sea difícil contar los ríos del mundo.

5.- CONJUNTO VACÍO:

Es un conjunto que carece de elementos. Este conjunto se suele llamar conjunto nulo.

Ejemplo:

Si A es el conjunto de personas vivientes mayores de 200 años, A es vacío según la s estadísticas conocidas.

Sea B = {x/x2 = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío.

6.- CONJUNTO UNIVERSAL:

En toda aplicación de la teoría de conjuntos todos los conjuntos que se consideran serán muy probablemente subconjuntos de un mismo conjunto dado. Este conjunto se llamará conjunto universal o universo del discurso y se denotará por U.

Ejemplo:

En geometría plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano.

En los estudios sobre población humana el conjunto universal es el de toda la gente del mundo.

7.- NOTACIÓN Y PROPIEDADES DE LOS SUBCONJUNTOS:

Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A es un elemento de B. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

Un conjunto A se dice subconjunto de B , 'Matemáticas'
, si todos los elementos de A pertenecen a B el reciproco no es necesario, pero si sucede, el conjunto A es igual a B. A esta relación se le conoce como relación de inclusión.

 

RELACION DE INCLUSIÓN: Es una relación conjunto - conjunto. Se dice que un conjunto A está incluido en otro B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B.

 

PROPIEDADES DE LOS SUBCONJUNTOS:

 

Los subconjuntos tienen las siguientes propiedades:

 

 

REFLEXIVA.- Todo conjunto es subconjunto de si mismo.

A  A

 

ANTISIMETRICA.- Si dados dos conjuntos A y B se verifica A  B, entonces se deduce que B  A.

 

A  B A  B

 

TRANSITIVA.- Dados tres conjuntos A, B y C, si se verifica

 

A  B y B  C entonces A  C

 

A = {x I x es par}

B = {2,4,6,8}

C = {vocales}

D = {abecedario}

 

Los subconjuntos se expresan de la siguiente manera:

 

AB (A es subconjunto de B)

CD (C es subconjunto de D)

 

Los elementos del conjunto A esta contenido en B pero al revés no es cierto, es decir B no es subconjunto de A y se representa como: 'Matemáticas'
.

 

8.- DIAGRAMA DE VENN - EULER:

El matemático y lógico británico, John Venn (1834 - 1923) es especialmente conocido por su método de representación gráfica de proposiciones (según su cualidad y cantidad) y silogismos. Los diagramas de Venn permiten, además, una comprobación de verdad o falsedad de un silogismo. Entre sus obras destaca Lógica Simbólica y los principios de la lógica empírica o inductiva. Sin embargo, también fue importante la participación de Euler en la esquematización de las representaciones de algunas operaciones.

 

Cada conjunto de elementos se encuentra encerrado dentro de un circulo, o figura geométrica, y estos a su vez están encerrados dentro de otra figura, por lo general está es un rectángulo, se pueden dibujar cada elemento del conjunto o bien solo se puede indicar su existencia. Los diagramas de Venn son una buena herramienta, que nos permite realizar las operaciones entre los diversos conjuntos del universo de un forma más sencilla.

Se logra ilustrar de manera sencilla e instructiva las relaciones entre los conjuntos mediante los llamados diagramas de Venn- Euler, simplemente, que representa un conjunto con un área plana, por lo general delimitada por un círculo.

Los diagramas de VENN son representaciones gráficas y planas de las relaciones entre conjuntos, de forma que facilitan la comprensión de la teoría de conjuntos.

9.- UNIÓN DE CONJUNTOS:

La unión de dos conjuntos A y B, la cuál se denota por A U B, es el conjunto de todos los elementos que están en el conjunto A y/o en el conjunto B.

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

  A U B = {x I x  A o x  B}

 En forma gráfica la unión puede tener varios casos, como el siguiente en el que se muestra cuando los conjuntos son disjuntos  

 

   Cuando los conjuntos tienen algunos elementos en común:  

'Matemáticas'

Cuando todos los elementos de un conjunto están contenidos en el otro, no es necesario que los conjuntos sean iguales:

      'Matemáticas'

 

1.- Dados los siguientes conjuntos: A = {2,4,6,8,10}, B = {0,1,2,3 }, C = { -2,-1, 0,3} construye los diagramas de Venn-Euler de a).- AUB, b).- AUC, c).- BUC

 

10.- INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:

La intersección de dos conjuntos A y B, la cual se denotará por A B, es el conjunto de elementos que están a la vez en ambos conjuntos A y B.

A B ={x l x E A y x E B}.

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos

 

 

que son comunes a A y B. Se denota por A  B, que se lee: A intersección B.

 

A B = { x I x A y x  B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:

En el siguiente gráfico se muestra la intersección de dos conjuntos disjuntos:

 

 

   

En el siguiente ejemplo se muestra un gráfico de dos conjuntos que tienen elementos en común:

'Matemáticas'

   

Todos los elementos de A están contenidos en B

'Matemáticas'

 

Ejemplos:  

1.- Dados los siguientes conjuntos: A = {2,4,6,8,10}, B = {0,1,2,3 }, C = { -1,-2, 0,3} construye los diagramas de Venn-Euler de a).- AB, b).- AC, c).- BC

 

'Matemáticas'
;

b).- AC, 

          c).- BC

11.- DIFERENCIA DE CONJUNTOS:

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.

La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como:

A - B = {x / x 'Matemáticas'
A y x 'Matemáticas'
B}

Mediante un diagrama de Venn - Euler:

'Matemáticas'

 

'Matemáticas'

 

'Matemáticas'

Cuando no tienen

 

Cuando tienen

 

Cuando todos los elementos de un

elementos comunes

 

elementos comunes

 

conjunto pertenecen a otro conjunto

Ejemplos:

1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

a)

A - C

 

 

 

 

 

b)

B - C

 

 

c)

A - B

Tenemos:

a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }

 

 

 

 

A - C = { a, b, c, e }

'Matemáticas'

 

 

 

'Matemáticas'

 

 

 

 

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C

b) B = { a, e } y C = { d, f, g }

 

 

 

 

B - C = { a, e }

'Matemáticas'

 

 

 

'Matemáticas'

 

 

 

 

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C

c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }

 

 

 

 

A - B = { b, c, d }

'Matemáticas'

 

 

 

'Matemáticas'

 

 

 

 

Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B

 

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