Matemáticas

Ecuaciones. Ecuación diferencial. Factores integrantes. Coeficiente. Parámetros. Derivadas. Transformadas

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19 DE FEBRERO DE 2001

OBJETIVO GENERAL:

AL TERMINO DEL CURSO EL ALUMNO RESOLVERÁ ECUACIONES DIFERENCIALES.

UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL

  • Que es una ecuación diferencial

  • Definición de una ecuación diferencial

  • Definiciones básicas

  • Tipos de ecuaciones diferenciales

  • Solución de una ecuación diferencial

  • UNIDAD II. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN

  • Ecuación diferencial de variables separables

  • Ecuaciones diferenciales homogéneas

  • Ecuaciones diferenciales exactas

  • Factores integrantes

  • Ecuaciones diferenciales lineales de primer grado

  • Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

  • UNIDAD III. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

  • Ecuación lineal general

  • Ecuación diferencial homogénea

  • Independencia lineal

  • Ecuación diferencial no homogénea

  • Método de coeficientes indeterminados

  • Variación de parámetros

  • UNIDAD IV. TRANSFORMADAS DE LAPLACE

    UNIDAD V. SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

    UNIDAD VI. SERIE DE FOURIER

    21 DE FEBRERO DE 2001

    UNIDAD I. Ecuaciones diferenciales en general.

    DEFINICIÓN-. Una ecuación diferencial es una ecuación que tiene diferenciales o derivadas.

    Diferencial

    Derivada

    Ejemplos:

    Primer orden

    Segundo orden, Primer grado

    Primer orden, No lineal

    ORDEN-. El orden de una ecuación diferencial será igual al orden de la derivada más alta contenida en la ecuación.

    Primer orden

    Segundo orden

    n orden

    Segundo orden, tercer grado, no lineal

    GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL-. Será igual al exponente que esté elevada la derivada más alta.

    Segundo orden, Primer grado, No lineal

    Derivadas parciales

    Derivada ordinaria

    Diferencial

    CLASIFICACION-. Las ecuaciones diferenciales por su tipo pueden clasificarse en: Ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) y Ecuación diferencial parcial.

    Ecuaciones diferenciales parciales:

    Las ecuaciones diferenciales también se pueden clasificar por su orden en: Primer orden, segundo orden, ...n orden.

    Las ecuaciones diferenciales también se pueden clasificar por su en: Lineales y No lineales.

    LINEAL.-Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que cumple las siguientes características:

    • La variable dependiente y todas sus derivadas serán de primer grado.

    • El coeficiente de la variable dependiente y de todas sus derivadas serán funciones en la variable independiente

    • El segundo miembro estará en función de la variable independiente.

    No Lineales.- Las que no son lineales.

    Lineal

    1 de Marzo del 2001

    Solución de una E.D.O.

    DEFINICIÓN.- La solución de una E. D. O. Es una relación entre variables que no tienen derivadas ni diferenciales y que satisfacen a dicha ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.)

    Las soluciones se pueden clasificar en:

    Solución general.- Son aquellas soluciones que tienen una o varias constantes, geométricamente nos representa una familia de curvas.

    Solución particular.- Son aquellas soluciones que se obtienen de las soluciones generales, sustituyendo las constantes por valores específicos, geométricamente nos representa una curva.

    Solución singular.- Son soluciones que no se pueden obtener de las soluciones generales.

    Ejemplo.-

    Supongamos que:

    es la solución general de una ecuación diferencial.

    Soluciones particulares:

    Las soluciones por su presentación se pueden clasificar en:

    Solución explícita.- Cuando una de las variables está completamente despejada.

    Solución implícita.- Cuando ninguna de las variables está despejada.

    Solución general implícita

    Solución general explícita

    Solución particular implícita

    Solución particular explícita

    Constante esencial definimos como constantes esenciales en una solución general, a aquellas constantes que no pueden ser reducidos.

    2 DE MARZO DE 2001

    UNIDAD II Ecuaciones diferenciales de primer orden.

    Ecuaciones diferenciales de variables separables

    Una E.D.O. del primer orden será de variables separables si sus variables pueden ser separadas por miembros o en términos.

    METODO DE SOLUCION.- Una vez separadas las variables aplicamos integraciones directas.

    La solución general de una E.D.O. de primer orden siempre tendrá una constante esencial.

    Ejemplos.- Resolver la siguiente E.D.O.

    a)

    Matemáticas

    SOLUCION.-

    5 DE MARZO DE 2001

    Ejemplos.- Obténgase la solución general.

  • Sol.

  • Solución:

  • Sol.

  • Solución.-

  • Sol.

  • Solución.-

    6 DE MARZO DE 2001

    ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

    FUNCION HOMOGÉNEA.- Una función f(x,y) se dice que es homogénea de grado n si cumple la siguiente integral:

    Ejemplo.- Determinar la siguiente función homogénea.

  • Solución.-

    Entonces la función dada, es una función homogénea de grado uno.

    FUNCION POLINOMIAL.- Una función polinomial será homogénea si el grado de cada uno de sus términos son iguales.

    Ejemplos:

    Función homogénea de grado 2

    No es homogénea

    DEFINICIÓN.- La Ecuación diferencial ordinaria.

    Se define como una E.D.O. homogénea si las funciones y son funciones homogéneas del mismo grado.

    METODO DE SOLUCION.- Una E.D.O. homogénea se resuelve transformándola a una de variables separables, mediante las siguientes sustituciones:

    ;

    ;

    Resuelve la ecuación diferencial ordinaria.

  • Solución:

    Función homogénea de segundo grado

    Función homogénea de segundo grado

    ;

    7 DE MARZO DE 2001

    Ejemplo:

  • Solución:

    ;

    Matemáticas

    Para Para

    Para

    8 DE MARZO DE 2001

    Obténgase la solución general

  • Sol.

  • Solución:

    Función Homogénea, 1er grado

    Función Homogénea, 1er grado

    RESULTADO:

  • Sol.

  • Solución:

    12 DE MARZO 2001

    Ecuación diferencial ordinaria exacta.

    Si ; entonces:

    es la diferencia total

    DEFINICIÓN: La ecuación diferencial ordinaria.

    es una E.D.O. exacta si existe una función tal que la

    Supongamos que la ecuación diferencial ordinaria

    Sea una ecuación diferencial ordinaria exacta.

    Por definición existe una función:

    tal que:

    (1)

    Sabemos que o está dada por:

    (2)

    Igualando la expresión (1) y (2) podemos concluir que:

    (3)

    (4)

    Derivamos parcialmente (3) y (4) con respecto a y con respecto a , respectivamente.

    (5)

    (6)

    Por un teorema del cálculo superior sabemos que:

    Entonces:

    Teorema. La E.D.O.

    es una E.D.O. exacta sí y sólo sí.

    Método de solución.

    Para resolver la E.D.O. exacta procedemos de la siguiente manera.

    Exista tal que

    Solución general.

    Procedemos a calcular

    Consideremos las ecuaciones (3) y (4).

    .............(7)

    ..............(8)

    Comparando (7) y (8) podemos encontrar y , y así quedaría completamente determinada la función buscada.

    15 de Marzo de 2001

    Ejemplo.- Encuéntrese la solución general.

  • Sol.

  • Solución:

    Sí es exacta:

    Resultado:

  • Solución:

    Sí es exacta:

    Resultado:

    Ejemplo.- Encuéntrese la solución general.

  • Sol.

  • Solución:

    Sí es exacta:

    Resultado:

    30 de marzo de 2001

    FACTORES INTEGRANTES

    Una relación entre variables es un factor integrante de la Ecuación diferencial ordinaria

    Si la ecuación diferencial ordinaria es una E.D.O. exacta.

    Factores integrantes en una variable

    Si , entonces un factor integrante para la ecuación diferencial ordinaria (1) estará dado por:

    Si , entonces un factor integrante para la ecuación diferencial ordinaria estará dado por:

    Ejemplo.- Resuélvase cada una de las ecuaciones siguientes:

  • Sol.

  • Solución:

    No es exacta:

    .........Si es exacta

    2 de abril de 2001

    Ecuación diferencial ordinaria. Lineal

    Una E.D.O lineal en la variable es de la forma:

    donde: y son funciones en la variable .

    METODO DE SOLUCION

    La E.D.O. lineal (1) se resuelve mediante la formula.

    Ejemplo.- Encuéntrese la solución general.

  • Sol.

  • Solución:

    RESULTADO

  • Sol.

  • Solución:

    Matemáticas

    RESULTADO

    23 de Abril de 2001

    UNIDAD II. Ecuación diferencial de primer orden.

    Variables separables

    Homogéneas

    Exactas

    Factores integrantes

    Lineal

    Bernoulli

    Ecuación diferencial ordinaria de Bernoulli

    La E.D.O. de Bernoulli es de la forma:

    donde

    METODO DE SOLUCION

    La ecuación de Bernoulli se resuelve transformándola a una ecuación diferencial lineal en una nueva variable utilizando una nueva sustitución adecuada.

    (1)

    (2)

    (3)

    Sustituimos 3 y 2 en 1

    E.D.O. lineal en la variable v

    Ejemplo: Resolver la Ecuación

    Solución:

    24 de abril de 2001

    UNIDAD III ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n.

    (1)

    OBJETIVO.- Al término de la unidad el alumno resolverá E.D.O. lineales con coeficientes por medio de los métodos: coeficientes indeterminado y variación de parámetros.

    Si entonces La E.D.O. (1) se llama E.D.O. lineal homogénea.

    Si entonces La E.D.O. (1) se llama E.D.O. lineal no-homogénea.

    Un conjunto de funciones son linealmente independientes si la relación.

    Sólo se cumple para c1=c2=...=cn=0

    Si existe algún entonces decimos que el conjunto de funciones es linealmente dependientes.

    Wrons Kiano.- El wronskiano para las funciones y1, y2,..., yn se define como:

    W=

    Teorema.- Un conjunto de funciones y1,y2, y3,..., yn es linealmente independiente si y sólo sí su wronskiano es diferente de cero.

    Ejemplo. Obténgase el wronskiano.

    para n>1

    Solución

    Para n = 2,...1,x

    W=

    Para n = 3 1, x, x2

    W=

    W=

    MIERCOLES 25 DE ABRIL DE 2001

    Ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea

    TEOREMA. Si y1(x), y2(x), ..., yn(x) son n soluciones linealmente independientes de una E.D.O. lineal homogénea con coeficientes constantes de orden de orden n, entonces la solución general estará dada por:

    A la solución general de una E.D.O. lineal homogénea se le llama solución complementaria y se le denota con un subíndice c.

    ;

    (1) E.D.O. lineal de segundo orden

    Supongamos que la E.D.O. (1) tiene por solución a:

    ...........ECUACIÓN AUXILIAR

    Supongamos que m1 y m2 son las soluciones de la ecuación auxiliar, entonces las soluciones de la E.D.O. (1) estarán dadas por:

    y

    Analicemos 3 casos para las soluciones de la ecuación auxiliar.

    CASO 1. SOLUCIONES REALES Y DIFERENTES

    Sea, , entonces calculamos el Wronskiano.

    W=

    Entonces las soluciones

    y

    Son linealmente independientes

    Por lo tanto, la solución general para E.D.O. (1) estará dada por:

    Ejemplo. Encuéntrese la solución general de la siguiente ecuación diferencial.

    Solución:

    26 de Abril de 2001

    Caso 2. Soluciones complejas diferentes

    Si entonces aplicamos el Caso 1 y obtenemos la solución general.

    Formas de Euler

    Ejemplo: Obténgase la solución general

    Solución:

    a)

    b)

    Solución:

    Caso 3: Soluciones reales iguales

    Sí m1=m2 entonces la solución general estará dada por:

    c)

    Solución:

    Consideramos la E.D.O. lineal homogénea con coeficientes constantes

    Su ecuación auxiliar correspondiente será:

    Esta ecuación auxiliar tendrá “n” soluciones.

    A continuación veremos algunos de los casos que se pudieron presentar.

    Caso. Todas las “n” soluciones son diferentes (reales).

    La solución complementaria estaría dada por:

    Caso. Todas las “n” soluciones son iguales (reales).

    La solución complementaria estaría dada por:

    Caso. Si n = 10 y

    Entonces la solución complementaria será:

    27 de Abril de 2001

    Ejemplos: Resolver la ecuación

    a)

    Solución:

    1 -4 1 6 -1 1 -4 1 6 -1 1 -5 6 2 1 -3 3

    1 -3 -2 -1 5 -6 2 -6 3

    1 -3 -2 4 1 -5 6 0 1 -3 0 1 0

    b)

    Solución:

    1 -7 18 -20 8 1 1 -6 12 -8 1 1 -6 12 - 8 -1

    1 -6 12 -8 1 -5 7 -1 7 -19

    1 -6 12 -8 0 1 -5 7 -1 1 -7 9 -27

    1 - 6 12 - 8 2 1 - 4 4 2 1 - 2 2

    2 -8 8 2 -4 2

    1 -4 4 0 1 - 2 0 1 0

    c)

    Solución:

    1 - 3 9 13 1 1 - 3 9 13 -1

    1 - 2 7 - 1 4 -13

    1 - 2 7 20 1 - 4 13 0

    Sea cualquier solución particular de la ecuación:

    y sea una solución de la ecuación homogénea correspondiente

    .......................(1)

    entonces la solución general de (1) estará dada por:

    Para determinar soluciones particulares utilizaremos en esta unidad dos métodos: el método de coeficientes indeterminados y el método de variación de parámetros.

    METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

    Antes de proceder con el método de coeficientes indeterminados algunas de las ideas fundamentales aplicadas a los operadores.

    Operador general

    3 de Mayo de 2001

    “Procedimiento para desarrollar el método de coeficientes indeterminados”

    Sea:

    Una E.D.O. lineal no homogénea

    Consideremos a la función b(x) la solución particular de una E,D.O. lineal homogénea, cuyas raices de su ecuación auxiliar correspondiente estan dadas por:

    Sean las raices correspondientes de la ecuación auxiliar de la E.D.O. homogénea:

    Construimos las soluciones complementarias para cada uno de los conjuntos de raices, y les llamamos yc y yc*.

    Con ambos conjuntos de raices construimos una sola solución y le llamamos y*.

    Comparamos las soluciones de y* y yc, y eliminamos de y* los terminos semejantes de yc, los términos restantes de y* formarán la posible solución particular yp buscada.

    Supongamos que la solución buscada yp está dada por:

    donde A1, A2, AL son constantes por determinar.

    Para determinar estas constantes sustituimos la solución particular yp en la E.D.O. lineal no homogénea, e igualamos términos semejantes para obtener un sistema de ecuaciones algebraicas, el cuál resolveremos para determinar los valores de las constantes.

    9 DE MAYO DE 2001

    METODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS

    El método de variación de parámetros al igual que el método de coeficientes indeterminados nos ayuda a encontrar soluciones particulares de E.D.O. lineales con coeficientes constantes.

    Para fijar ideas el método de variación de parámetros lo aplicaremos a una E.D.O. lineal de segundo orden.

    Consideremos una E.D.O. de segundo orden:

    (1)

    Supongamos que ...(2) es la solución general de la E.D.O. homogénea correspondiente a E.D.O. (1).

    Sustituimos las constantes c1 y c2 en la expresión..(2) por funciones en x u1(x) y u2(2) respectivamente.

    (3)

    a la relación 3 se le llama relación fundamental

    De esta primera derivada igualamos a cero la suma de los términos que tengan u1' ó u2'

    (4)

    Entonces la primera derivada de la relación fundamental queda como:

    Derivamos la primera derivada de la ecuación fundamental.

    igualamos a b(x) la suma de los términos de esta segunda derivada que contengan u1'(x) ó u2'(x).

    (5)

    Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por 4 y 5 por medio de la regla de cramer.

    u1'(x)=

    u1'(x)=............(6)

    ..............(7)

    Integramos las expresiones 6 y 7

    .................(8)

    ...................(9)

    Sustituimos 8 y 9 en 3 y así obtenemos la solución particular yp buscada.

    E.D.O. lineal de 2° orden.

    16 DE MAYO DE 2001

    EJEMPLOS. Resolver las E.D.O. siguientes

    a)

    w=

    b)

    22 de Mayo de 2001

    b)

    Solución:

    W=

    22 de Mayo de 2001

    UNIDAD IV. Transformada de Laplace.

    OBJETIVO. Al término de la unidad el alumno resolverá E.D.O. lineales con condiciones iniciales aplicando la transformada de Laplace.

    DEFINICIÓN. La transformada de Laplace de una función f(t) se simboliza como y se define como:

    Calculo de transformadas de Laplace de funciones elementales

    donde

    23 DE MAYO DE 2001

    1)

    2)

    3)

    4.-

    5.-

    6.-

    7.-

    8.- Propiedad de linealidad

    1.-

    2.-

    DEFINICIÓN. Una función f(t) es seccionalmente continua en , si intervalo de definición puede ser partido en un número finito de subintervalos en cada uno de los cuales f(t) es continua y existen sus límites hacia los extremos del intervalo.

    f(t)

    La función f(t) se llama de orden exponencial si cumple la relación:

    donde M y son constantes

    f(t)

    DEFINICIÓN. Una función f(t) es una función de clase A si es una función seccionalmente continua y de orden exponencial.

    TEOREMA DE EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

    Si f(t) es una función de clase A entonces:

    existe

    24 de Mayo de 2001

    PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN

    TEOREMA.- Si f(t) es una función de clase A y entonces:

    Ejemplos: Calcular las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:

    1)

    2)

    3)

    4)

    5)

    6)

    7)

    Transformadas de derivadas

    Transformada de una derivada

    Derivada de una transformada

    Si f(t) es una función de clase A entonces:

    28 de Mayo de 2001

    DERIVADAS DE TRANSFORMADAS

    TEOREMA.- Sea f(t) una función de clase A, sí entonces:

    Sí n =1 entonces:

    Sí n = 2 entonces:

    Definición.- Sí entonces:

    lo definimos como la transformada inversa de Laplace de la función F(s).

    a)

    b)

    29 de Mayo de 2001

    Ejemplos.- Calcular las transformadas inversas de Laplace siguientes:

    a)

    Solución:

    b)

    Solución:

    c)

    Para s = 0 Para s = -1 Para s = -3

    -6 = 3 -5 = -2C 3 = 6B

    A = -2 B =


    d)

    Solución:

    Para s = -1 Para s = 0 Para s = 1

    -5+6-3 = -E -3 = C -4 = 4A+ 4B-12+ 2D+2

    E = 2 C = -3 6 = 4 A +4B +2 D

    Para s = 2 Para s = -2

    40-12-3 = 36 A + 18 B-27 +24 D +16 -40 + 12 -3 = 4 A -2 B -3 8D-16

    36 = 36 A +18 B + 24 D -12 = 4 A - 2 B + 8 D

    2 A + 2 B + D = 3 13 = 2 A + 4 D + 6

    6 A + 3 B + 4 D = 6 2 A +4 A + 8 D + 12 + D = 3

    2 A - B + 4 D = -6 6 A+ 9 D = -9

    6 A + 6 A + 12 D + 18 + 4 D = 6

    30 DE MAYO DE 2001

    SOLUCION DE E.D.O. LINEALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE

    Ejemplo. Resuélvase el problema

    ; ,

    Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la E.D.O.

    Aplicamos la propiedad de linealidad

    Aplicamos las fórmulas de las transformadas de derivadas y la tabla de transformadas de Laplace.

    Sustituimos las condiciones iniciales.

    Despejamos

    Calculamos la transformada inversa de Laplace

    b) ; ,

    Para S=1 Para S=2

    1+14=10ª 4+14=36-12-6+6C

    18=18+6C

    6C=0

    Para S=-1 C=0

    1+14=-10B

    Para S=0

    14=6+6-D

    D=6+6-14

    D=-2

    31 de Mayo de 2001

    4.-

    Solución :

    5 de Junio de 2001

    UNIDAD V. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

    En esta unidad se trabajará con sistemas de Ecuaciones diferenciales Ordinarias que tengan una sola variable independiente.

    En esta unidad se trabajará con sistemas cuadrados, es decir, el número de Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales será igual al número de variables dependientes.

    Para resolver este tipo de sistemas de Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales cuadrados, utilizaremos dos métodos:

    • El método de los operadores

    • El método de la transformada de Laplace.

    METODO DE LOS OPERADORES

    Este método usa la regla de Cramer para poder reducir el sistema de dos ecuaciones con dos variables dependientes a una sola ecuación con una variable dependiente.

    La Ecuación diferencial ordinaria resultante la resolveremos por los métodos vistos anteriormente.

    TEOREMA : El número de constantes esenciales en la solución general de un sistema de Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales cuadrada, será igual al grado del polinomio resultante del determinante de coeficientes operacionales del sistema.

    11 de Junio de 2001

    Ejemplo.- Resolver el sistema de ecuaciones lineales simultáneas siguientes:

    Solución :

    13 de Junio de 2001

    EL METODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

    Ejemplo.- Resolver el sistema de ecuaciones

    con las condiciones iniciales

    Solución :

    Aplicamos la transformada de Laplace al sistema.

    Aplicamos la propiedad de linealidad

    Aplicamos las fórmulas de la transformada de una derivada y la tabla de transformadas de Laplace.

    Sustituimos las condiciones iniciales:

    14 de Junio de 2001

    Calculamos las transformadas inversas de Laplace:

    A + B + D = 0 B + D = -1 4 A = 4

    C + E = 0 B + 4 D = -7 A = 1

    5 A + B + 4 D =-2 3 D =-6 B = 1

    C + 4E = 0 D = -2

    25 de Junio de 2001

    UNIDAD VI. SERIES DE FOURIER

    SUCESIÓN. Conjunto infinito de números los cuáles son obtenidos mediante alguna regla.

    Ejemplos:

  • 1,2,3,...,n....

  • 2,4,6,...,2n...

  • 1,1/3,1/3,...,1/n,...

  • Serie: Es la suma de los elementos de una sucesión.

    Ejemplos:

    a)

    b)

    c)

    Cuando la suma de una serie existe decimos que la serie es convergente. En caso contrario, decimos que la serie es divergente.

    Serie de potencias

    De términos positivos

    Crecientes

    Decrecientes

    Alternantes

    Taylor

    McLaurin

    Fourier

    OBJETIVO: Al término de la unidad el alumno escribirá funciones en desarrollos en series de Fourier.

    FUNCIÓN PERIÓDICA: Una función f(x) es una función periódica de periodo p si cumple la relación.

    f (x + p) = f(x)

    Ejemplo:

    DEFINICIÓN: Un desarrollo de la función periódica f(x) con periodo2c, en serie de Fourier estará dada por:

    donde y son coeficientes constantes a determinar.

    Los valores de las constantes y se determinan mediante las fórmulas llamadas fórmulas de Fourier.

    Ejemplo: Construir la serie de Fourier sobre el intervalo .

    por la función definida por:

    Solución:

    n

    1 -1

    2 1 0

    3 -1

    4 0

    5

    6 0

    7 pppp000

    a b

    x

    y

    Matemáticas

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    POZA RICA, VER. 11 DE JUNIO DE 2001.

    CATEDRATICO:

    MATERIA:

    MATEMÁTICAS IV

    TEMA:

    APUNTES FINALES

    GRUPO:

    402 - E

    ALUMNOS:

    FACULTAD INGENIERIA ELECTRONICA Y COMUNICACIONES

    Matemáticas

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