Matemáticas

Porciones simples. Posiciones compuestas. Proposiciones. Tablas. Valor de verdad. Símbolos. Problemas

  • Enviado por: Juan
  • Idioma: castellano
  • País: Ecuador Ecuador
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1. Determine de las siguientes propuestas:

1.1. Cuáles son proposiciones simples.

1.2. Cuáles son proposiciones compuestas.

1.3. Cuál es el valor de verdad de cada proposición simple. Cuál es el

valor de verdad de cada proposición compuesta.

1.4. Niegue cada una de las propuestas simples y compuestas.

Propuestas:

a : la luna es un satélite y pertenece al sistema solar.

2

b: si x - 1=3 entonces x = 2.

c: Todos los números racionales son enteros y reales.

d: El área de un triángulo regular es la mitad de la de un rectángulo, sí y solo si

el rectángulo y el triángulo tienen igual base.

e: 3 + 4 < 10

f : Entra a la casa que es muy tarde ya.

g : Si un cuerpo realiza un Movimiento Rectilíneo Uniforme, su velocidad de

traslación puede determinarse hallando la razón entre la distancia recorrida y

el tiempo transcurrido.

h : La Biblia es el libro más antiguo que se conoce.

2. Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones

compuestas. Establezca además el valor de verdad de cada proposición

simple implícita en las compuestas.

a. Río de Janeiro será la sede de las Olimpiadas del 2016 y Australia es

una región de África.

b. Si el chimpancé es un mamífero, entonces sabe trepar árboles.

c. 4 < 78 ó 6 x 2 = 12

d. 18/ 6 = 3 ó 9 x 4=56

e. 9 x 5 = 45 sí, y solo si 45 es múltiplo de 5 y 9.

f. 8 < 12 V 5 x 6 = 10 x 3

g. 12/ 6 = 4 Λ 8 / 4 ≥ 5

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3. Negar las siguientes proposiciones.

a. 3 x 1=3

b. No tengo hambre.

c. Solo las mujeres usan maquillaje.

d. Es falso que 14 + 1 = 15.

4.1 Utilizando las proposiciones anteriores, escriba una proposición

simple para cada caso que forme:

4.1.1. Una conjunción con valor de verdad verdadero.

4.1.2. Una disyunción con valor de verdad falso.

4.1.3 Una implicación con valor de verdad verdadero.

4.1.4 Una equivalencia con valor de verdad falso.

5. Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones.

a. ~[(~ݐ) V(~ݑ)]

b. [(r V q) Λ (~p)]

c. ~ [p Λ (~q)] ֜[(r V p) Λ s]

d. (~p) , ฻[(r) (~q)]

e. [t Λ (~r)]

f. [s ฺ (q _ r)]

h. ~ [(~p)) (~q)].

6. Sea p la proposición: él es delgado y sea q la proposición: él es noble.

Simbolizar:

a. Él es delgado o noble

b. Él es delgado, o no es grueso.

c. No es cierto que él es delgado y noble

d. Él no es noble, pero tampoco delgado.

e. Él es noble pero no delgado.

f. Él es delgado y noble, o grueso y no noble.

7. Resolver el siguiente problema.

La profesora detuvo a José, Aldo, Juana y Enma, pues estaban seguros de que

uno de ellos había roto el jarrón del salón de clases.

Al ser interrogados estas fueron sus declaraciones:

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José: - Fue Aldo.

Aldo: - Fue Enma.

Juana: - Fui yo.

Enma: - Yo no fui.

Si se sabe que sólo Enma dice la verdad. ¿Quién rompió el jarrón?

8. Establecer el valor de verdad de las proposiciones.

a. Si el eucalipto es una planta, entonces las plantas son seres vivos.

b. 8 = 5 y 4 = 2

c. Si 3 < 5, entonces Japón es una potencia económica mundial.

d. El auto rojo es de Juan, sí y sólo si Pedro tiene su casa en el campo.

e. 9 + 8 = 56, y 9 x 8=72

f. Si 2 es u número natural, entonces 1.2 también lo es.

g. Marte es un planeta si y sólo si Plutón también lo es.

9. Siendo la proposición p: "Ana es alta" y la proposición q: "Sofía es

rubia", se pide escribir en lenguaje simbólico cada una de las siguientes

proposiciones.

a. Ana es alta y Sofía es rubia.

b. No es cierto que Ana es alta.

c. No es cierto que Ana es alta y Sofía es rubia.

d. Ana es alta sí y solo si Sofía no es rubia.

e. Si Sofía no es rubia, entonces Ana no es alta.

f. Ana es alta, pero Sofía no es rubia.

g. Sofía es rubia, o Ana no es alta.

10. Supongamos ahora que es cierto que Ana es alta y que Sofía es rubia.

¿Cuáles de las siete proposiciones compuestas del ejercicio son

verdaderas?

11. Sean las siguientes proposiciones: p: " Es muy tarde" y q: "Voy al

parque". Traducir al lenguaje coloquial las siguientes proposiciones:

a. p Λ q

b. ~ (~ q) Λ ~ p

c. p V q

d. ~ q ฻ p

e. p ฺ~ q

f. ~ q V p

g. q ฺ p

h. ~ (~ p)

i. ~ p ฻ ~ q

12. Supongamos ahora que ambas proposiciones del ejercicio anterior

son verdaderas. ¿Cuáles de las nueve proposiciones compuestas del

ejercicio anterior son verdaderas?

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13. Resolver el siguiente problema

Al finalizar el filme en el cine solamente cuatro personas quedaron en la sala:

Adolfo, Esteban, Marcelo y Tomás. Fueron abandonado la sala de uno en

fondo hasta dejarla totalmente vacía. Al preguntarles en qué orden

abandonaron la sala respondieron:

Adolfo: - Yo salí primero.

Esteban: - Yo no salí cuarto.

Marcelo: - Yo salí cuarto.

Tomás: - Yo salí segundo.

Si se sabe que sólo Tomás dijo la verdad. ¿En qué orden se retiraron de la

sala?

14. Utilizar los símbolos de enlace y los símbolos de agrupación para

simbolizar los siguientes enunciados:

a) Si p entonces q.

b) p y si q, entonces no r.

c) O p y q o r y s.

d) Si o p o q entonces r.

e) O p o q.

f) O no p o no q.

g) Si no p entonces no q y r.

15. A cada proposición p, q, r, asigne un enunciado (una oración simple) y

traduzca en una sola oración compuesta lo que expresa la simbología

siguiente.

a) (qฺ ݌)ש [(~p) ฻ q]

b) [p ר (~q)]฻ (~p)

c) (p ฻ r) Λ (q ֜ p)

d) ~ [r Λ (~݌)], (~ݍ)

e) r [ሺ~݌ሻ ש ሺ~ݍሻሿ ฺ ሾݎ ש ݌ሿ

f) q฻ ሾݎ ר ሺ~݌ሻሿ

g) ሾ݌ ר ሺ~ݍሻሿ ฺ ሾሺ~ݎሻ ש ݌ሿ

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16. Señalar los términos de enlace en las siguientes proposiciones.

Indique después cómo sería la proposición en símbolos lógicos y

agregue los símbolos de agrupación donde sean necesarios.

Ejemplo: a) No ocurre que, Pedro es más fuerte o Jesús es más fuerte.

Solución: ~ሺ݌ ש ݍሻ

b) Pedro es el más inteligente y Antonio no es el menos atento.

c) José se marcha ahora y o yo iré con él o Pedro irá con él.

d) Si la obra de teatro es protagonizada por María, entonces nosotros iremos a

verla y no ocurrirá que Paula irá.

e) Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el

cuadro rojo.

f) O no lo compró o no estaba en venta.

g) O estoy equivocado, o la primera canción es de una autor ecuatoriano y la

segunda canción es de la autoría del intérprete.

17. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) Si todas las proposiciones compuestas tienen términos de enlace, entonces

algunas proposiciones compuestas tienen exactamente una proposición simple

y una proposición simple tiene términos de enlace.

b) No ocurre que, Shakespeare fue un escritor inglés, o Walt Whitman no era

norteamericano.

c) O todos los números son naturales y algunos números son reales, o todos

los números racionales son reales.

d) La raíz cuadrada de 68 es un número par, o 7 es menor que 10 y 10 es

múltiplo de 5.

e) Si un hexágono tiene 6 ángulos interiores, entonces no es cierto que un

hexágono tenga 8 lados y 4 diagonales.

18. Demuestre a través de la aplicación de las Leyes de Álgebra de

Proposiciones estudiadas si las siguientes igualdades son verdaderas o

falsas.

a) ݌ ר ݍ ש ሺ~ݎሻ ൌ ሺ݌ ר ݍሻ ש ሾ݌ ר ሺ~ݎሻሿ

b) ሾሺ~ݔሻ ר ሺ~ݕሻሿ ש ሺ~ݖሻ ൌ ሾ~ሺݖ ש ݔሻሿ ר ሺ~ݕሻ

c) ሺܽ ש ܿሻ ר ሾ~ሺܾ ש ݀ሻሿ ൌ ሾሺܽ ש ܿሻ ר ሺ~ܾሻሿ ש ሾሺܽ ש ܿሻ ר ሺ~݀ሻሿ

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d) ݋ ר ൣ~ሾሺ~݉ሻ ש ݊ሿ൧ ൌ ሾሺ~݊ሻ ר ݋ሿ ש ሺ݋ ר ݉ሻ

19. Represente simbólicamente cada una de las proposiciones siguientes.

a) Las aves vuelan gracias a sus alas o gracias al poco peso de sus cuerpos.

b) Este frasco de aspirinas tiene más pastillas que el tuyo.

c) Si xy=0, entonces x=0 o y=0.

d) Es falso que si xy>0, entonces x<0 y y>0, o x>0 y y<0

e) La guerra no puede explicarse totalmente por una causa.

3

f) Si a = 5, entonces a = 125.

20. Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla

de un río, dispone de una barca en la que solo caben él y una de las otras tres

cosas. Si el lobo se queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda

sola con la lechuga se la come, ¿cómo debe hacerlo?

21. Un oso camina 10 Km. hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte,

volviendo al punto del que partió. ¿De qué color es el oso?

22. ¿Qué animal tiene en su nombre las cinco vocales?

23. Un hombre esta al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores,

al final hay una habitación con la puerta cerrada. Uno de estos tres

interruptores enciende la luz de esa habitación, que esta inicialmente apagada.

¿Cómo lo hizo para conocer que interruptor enciende la luz recorriendo una

sola vez el trayecto del pasillo? Pista: El hombre tiene una linterna.

24. Un prisionero está encerrado en una celda que tiene dos puertas, una

conduce a la muerte y la otra a la libertad. Cada puerta está custodiada por un

vigilante, el prisionero sabe que uno de ellos siempre dice la verdad, y el otro

siempre miente. Para elegir la puerta por la que pasara solo puede hacer una

pregunta a uno solo de los vigilantes ¿Cómo puede salvarse?

25. Tres amigos con dificultades económicas comparten un café que les cuesta

30 pesetas, por lo que cada uno pone 10. Cuando van a pagar piden un

descuento y el dueño les rebaja 5 pesetas tomando cada uno una peseta y

dejando dos en un fondo común. Más tarde hacen cuentas y dicen: cada uno

ha pagado 9 pesetas así que hemos gastado 9x3=27 pesetas que con las dos

del fondo hacen 29 ¿dónde está la peseta que falta?

26. El alcalde de una cárcel informa que dejara salir de la prisión a una persona

al azar para celebrar que hace 25 años que es alcalde, eligen a un hombre y le

dicen que quedara libre si saca de dentro de una caja una bola blanca,

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habiendo dentro 9 bolas negras y solo 1 blanca. El prisionero se entera por un

chivatazo que el alcalde pondrá todas las bolas de color negro, al día siguiente

le hace el juego, y el prisionero sale en libertad. ¿Cómo ha conseguido salir de

la cárcel si todas las bolas eran negras?

27. Un lechero tiene un cántaro de 8 litros lleno de leche, y dos más de 5 y de 3

litros. Un cliente le pide exactamente 4 litros. ¿Cómo puede calcularlos cuatro

litros y dárselos en el cántaro de 5 litros?

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