Matemáticas

Términos homogéneos y heterogéneos. Semejantes. Ecuaciones. Funciones

  • Enviado por: ISRAEL ESCOBAR
  • Idioma: castellano
  • País: Guatemala Guatemala
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TERMINOS HOMOGENEOS:

Son los que tienen el mismo grado absoluto, son homogéneos porque ambos son de quinto grado absoluto.

4xy y 6xy.

Hallando la suma de los exponentes: 4 + 1 = 5

2 + 3 = 5

TERMINOS HETEROGENEOS:

Son los que tienen distinto grado absoluto.

4xy y 6xy

Hallando la suma de los exponentes: 4 + 1 = 5 2 + 1 = 3

ORDENAR UN POLINOMIO:

Se refiere a escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra escogida, como letra ordenatriz, queden en orden ascendente o descendente.

-5x + x – 3x + x – x + 6

Forma ascendente: -3x – x – 5x + x + x + 6

Con relación a “X” se escribirá así:

Forma descendente: x + x – 5x – x – 3x + 6

TERMINOS SEMEJANTES:

Dos o más términos son semejantes, cuando tienen la misma parte literal, o sea cuando tienen iguales letras, afectadas de iguales exponentes.

DE DOS O MAS TERMINOS SEMEJANTES DEL MISMO SIGNO:

Se halla la suma de los coeficientes, escribiendo delante de esta el mismo signo que tienen todos y luego se copia la parte literal.

  • 9xy – 13xy = - 22xy

41ab + 6ab = 47ab

DE DOS TERMINOS SEMEJANTES DE DISTINTO SIGNO:

Se halla la diferencia de los coeficientes y se debe de escribir el signo del mayor, luego se escribe la parte literal.

29r + 17r = - 12r

18wz – 12wz = 6 wz

DE MAS DE DOS TERMINOS SEMEJANTES DE SIGNOS DISTINTOS:

Se reducen a un solo término todos los positivos y también se reduce a un solo término todos los negativos, al resultado obtenido se aplica la regla anterior.

-7abc + 32abc – 23abc + 20abc =

- 30abc + 52 abc = 22abc

LA SUMA O ADICION:

Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos), en una sola expresión algebraica (suma).

Para hallar la suma debe aplicarse la siguiente regla general: Se escriben unas a continuación de las otras, con sus propios signos y se reducen los términos semejantes, si los hay.

LA RESTA O SUSTRACCION:

Es la operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Para hallar la resta o diferencia, se aplica la siguiente regla: Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay.

LA MULTIPLICACION:

Es la operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, debe hallarse una tercera cantidad llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva.

REGLA:

EN MULTIPLICACION DE MONOMIOS: Se multiplican los coeficientes y a continuación se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes, que tenga en los factores, el signo del producto está dado por la ley de signos.

EN MULTIPLICACION DE POLINOMIO POR MONOMIO: Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la ley de los signos y se separan los productos parciales con sus propios signos.

EN MULTIPLICACION DE DOS POLINOMIOS: Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada una de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de signos y deberán reducirse los términos semejantes.

LA DIVISION:

Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra, se divide el primer termino del dividendo entre el primero del divisor y así tendremos el primer termino del cociente.

Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta de todo el dividendo, para la cual se lo cambia el signo escribiendo cada termino debajo de sus semejantes. Si algún término de este producto no tiene termino semejante el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda, de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.

PROPIEDAD ASOCIATIVA:

Esta propiedad consiste en asociar o agrupar los sumandos, utilizando signos de agrupación tales como paréntesis (), corchetes , llaves , para realizar la operación por partes, primero se efectúan las operaciones de los sumandos agrupados y por ultimo estos resultados.

(5 + 7) + 3 = 5 + (7 + 3)

12 + 3 = 5 + 10

15 = 15

PROPIEDAD DE ASOCIATIVIDAD:

Asociar es agrupar números utilizando signos de agrupación, tales como llaves, corchetes, paréntesis y barras. Y no importa como agrupemos los números pues el resultado es el mismo.

(5 * 3) 9 = 5 (3 * 9)

15 * 9 = 5 * 27

135 = 135

SUMA Y RESTA DE NUMEROS RACIONALES:

Que las fracciones tengan igual denominador.

Para efectuar una suma o resta de este tipo basta con copiar al denominador y sumar o restar los numeradores.

3 5 3 – 5 - 2 -1 2 1

4 4 = 4 2 * 2 = 2 2 = - 2

1 + 2 + 4 1 + 2 + 4 7

3 3 3 = 3 = 3

EL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES:

REGLA: El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, mas el duplo de la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.

EJEMPLO:

(M+3)= (m)+2(m) (3)+ (3)= m+6m+9

(5+x)= (5)+2(5) (x)+(x)= 25+10x+x

EL CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:

REGLA: El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el duplo de la primera cantidad por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.

EJEMPLO:

(a-3)= (a)-2(a) (3)+ (3)=a-6a+9

(x-7)= (x)-2(x) (7)+ (7)= x-14x+49

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:

REGLA: La suma de dos cantidades multiplica por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo, menos el cuadrado del sustraendo.

EJEMPLO:

(x + y) (x - y) = x – y

(x + a) (x – a) = x - a

CUBO DE UN BINOMIO:

REGLA: El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, mas el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, mas el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, mas el cubo de la segunda cantidad.

EJEMPLO:

(A + 1) = (a) + 3(a) (1) + 3 (a) (1) + (1) = a + 3a + 3a + 1

(4n + 3) = (4n) + 3(4n) (3) + 3(4n) (3) + (3) = 64n + 144n + 108n + 27

Y al elevar (a – b) al cubo tenemos:

REGLA: El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, mas el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de segunda cantidad.

EJEMPLO:

(n – 4) = (n) – 3(n) (4) + 3(n) (4) – (4) = n -12n + 48n – 64

(a – 2b) = (a) – 3(a) (2b) + 3(a) (2b) – (2b) = a – 6ab + 12ab – 8b

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (x + a) (x + b):

REGLAS: El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios.

El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios y en este término la x esta elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el primer termino del producto.

El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

EJEMPLO:

(a + 1) (a + 2) = a +3 a + 2

(x + 5) (x – 2) = x + 3x – 10

COCIENTES NOTABLES:

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES:

REGLAS: La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la suma de las cantidades, es igual a la diferencia de las cantidades.

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la diferencia de las cantidades, es igual a la suma de las cantidades.

EJEMPLO:

9x – y y – x

3x + y = 3x – y y – x = y + x

COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES, ENTRE LA SUMA O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES:

REGLAS: La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de la primera por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.

La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, mas el producto de la primera por la segunda, mas el cuadrado de la segunda cantidad.

EJEMPLO:

1 + a

1 + a = (1) – (1) (a) + (a) = 1 – a + a

8 a – 1

2 a – 1 = (8 a) + (8 a) (1) + (1) = 64 a + 8 a + 1

COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES:

REGLAS:

La diferencia de potencias iguales, ya sean pares o impares, es siempre divisible por la diferencia de las bases.

La diferencia de potencias iguales pares es siempre divisible por la suma de las bases.

La suma de potencias iguales impares es siempre divisible por la suma de las bases.

La suma de potencias iguales pares nunca es divisible por la suma ni por la diferencia de las cantidades.

DESCOMPOSICION FACTORIAL:

FACTOR COMUN:

FACTOR COMUN MONOMIO: El factor que sea común, se escribe como coeficiente de un paréntesis.

Adentro del paréntesis se escriben los coeficientes de dividir cada uno de los términos de la expresión algebraica entre el factor común.

EJEMPLO:

a + 2 a = a(a + 2)

10b – 30ab = 10b (1 – 3ab)

FACTOR COMUN POLINOMIO: En la expresión algebraica se busca el factor común polinomio y se escribe adentro de un paréntesis, como coeficiente del otro paréntesis.

En el otro paréntesis, se escriben los coeficientes de dividir los términos de la expresión dada, entre el factor común polinomio.

EJEMPLO:

X (a + b) + m (a + b) = (a + b) (x + m)

2x (a – 1) – y (a – 1) = (a – 1) (2x – y)

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS: Agrupar los términos de la expresión dada, adentro del paréntesis, siempre que tengan algún factor común monomio.

Antes de escribir el segundo paréntesis, deberá escribirse el signo del primer término. Si es positivo no se cambian los signos de los términos, pero si es negativo, deberán cambiarse los signos de dichos términos.

Luego se trabaja cada paréntesis como un factor común monomio.

Por último, aplicar lo del factor común polinomio.

ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)

= x (a+ b) + y (a + b)

= (a + b) (x + y)

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS:

REGLA: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo. Luego se multiplican la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de la raíz cuadrada del minuendo y la del sustraendo.

EJEMPLO:

16x – 25y = (4x + 5y) (4x – 5y)

4x – 81y = (2x + 9y) (2x – 9y)

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

REGLA: Se dice que un trinomio es cuadrado perfecto, con relación a una letra, cuando el primero y tercer término tienen raíz cuadrada exacta y positivos, el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas.

EJEMPLO:

4x – 20xy + 25y = (2x – 5y)

a + 18 a + 81 = (a + 9)

TRINOMIO DE LA FORMA X + BX + C:

REGLA: El trinomio se descompone de dos factores binomios, cuya primera cantidad es la raíz cuadrada del primer término.

En el primer factor después de la primera cantidad se escribe el signo del segundo término. En el segundo factor después de la primera cantidad se escribe el signo que resulte de multiplicar los signos del 1 y 2 términos del trinomio.

Si en los dos factores los signos escritos después de la primera cantidad son iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del coeficiente del 2 termino y cuyo producto sea el valor absoluto del coeficiente del 3 termino.

Si en los dos factores los signos escritos después de la primera cantidad son distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del coeficiente del 2 termino y cuyo producto sea el valor absoluto del coeficiente del 3 termino. El mayor de estos números es la segunda cantidad del 1 factor binomio y el menor, es la segunda cantidad del segundo factor binomio.

EJEMPLO:

a – 2 a – 15 = (a – 5) (a + 3)

x – 7x + 12 = (x – 4) (x – 3)

TRINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c:

REGLA: Se multiplica el trinomio por el coeficiente del primer término y se deja indicado el producto por el segundo término.

Se aplica la regla del caso anterior y se buscan los dos números.

Como al principio multiplicábamos el trinomio por el 1 termino, ahora lo dividimos por el mismo y lo descomponemos.

EJEMPLO:

6x – 7x – 3 =

= 36x – 6(7x) - 18

= (6x) – 7 (6x) – 18

= (6x – 9) (6x + 2)

3 x 2

= (2x – 3) (3x + 1)

CUBO PERFECTOS DE BINOMIOS:

REGLA: Tener cuatro términos.

Que el 1 y el 4 término sean cubos perfectos

Que el 2 término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cubica del 1 término, multiplicado por la raíz cubica del cuarto término.

EJEMPLO:

8x + 12x + 6x + 1 = (2x + 1)

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS:

REGLAS: La suma de dos cubos perfecto se descomponen en dos factores: la suma de sus raíces cubicas, como primer factor. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz, como segundo factor.

La diferencia de dos cubos perfectos se descomponen en dos factores: la diferencia de sus raíces cubicas, como primer factor. El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz, como segundo factor.

EJEMPLO:

8x + 729 = (2x + 9) (4x – 18x + 81)

216 – 125 x = (6 – 5x) (36 + 30x + 25x)

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES:

REGLA:

a – b es divisible entre a – b, cuando n es par o impar.

a + b es divisible entre a + b, siempre que n sea par.

a – b es divisible entre a + b, cuando n es par.

a + b nunca es divisible entre a – b.

m + n

m + n = m – mn + mn – mn + n

ECUACIONES:

ECUACIONES DE PRIMER GRADO: Una ecuación de primer grado con una incógnita es una expresión de igualdad con una sola variable, que puede representarse con la letra X, elevada al exponente 1, este numero indica el grado de la variable y por ello se dice que es una ecuación de primer grado y solo hay un valor numérico que satisface la igualdad.

EJEMPLO:

5x + 2x – 9x = 2x + 8

5x + 2x – 9x – 2x = 8

- 4x = 8

X = 8

- 4

X = - 2

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:

Es un polinomio de segundo grado igualada a cero y resolverla consiste en hallar dos valores numéricos que cumplan con dicha igualdad, ya que esta es de segundo grado.

EJEMPLO:

X – 4x + 4 = 0

X – 4x + 4 = (x – 2) (x – 2)

(x – 2) (x – 2) = 0

X - 2 = 0

X = 0

USAR LA FORMULA:

En donde “a” es el coeficiente del primer término, “b” es el coeficiente del segundo término y “c” el coeficiente del término independiente.

EJEMPLO:

ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO:


SISTEMA DE ECUACION: Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.

EJEMPLO:

7x + 4y = 13

5x – 2y = 19

X= 13 – 4y X= 19 + 2y

7 5

=13 – 4y = 19 + 2y

7 5

5(13 – 4y) = 7 (19 + 2y)

65 – 20y = 133 + 14y

  • 20y – 14y = 133 – 65
  • 34y = 68

Y = - 2

Sustituyendo el valor de “y” en cualquiera de las dos ecuaciones:

7x + 4(-2) = 13

7x – 8 = 13

7x = 21

X = 3

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN USANDO LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO:

EJEMPLO:

La suma de tres números consecutivos es igual a 78. Hallar esos números:

X = número menor x + x+1 + x+2 = 78

X + 1 = numero intermedio 3x = 78 - 3

X + 2 = número mayor x = 75/3

25 X = 25

X + 1 = 25 + 1 = 26 = 78

X + 2 = 25 + 2 = 27

FUNCIONES:

Las funciones generalmente se escriben f(x). En el ejemplo que hemos venido trabajando se escribirá: f (x) = x/2 + 2 y para desarrollarla se elaborara una tabla, a dos columnas, asignando valores a “X”, para encontrar los resultados o imagen. Estos son pares de valores que pueden localizarse en un plano cartesiano.

FUNCIONES CONSTANTES:

Son aquellas en donde “Y” es igual es siempre igual a un numero determinado. En esta grafica y = 3. El hecho que no aparezca “X” se entiende que “Y” siempre valdrá 3.

FUNCIONES LINEALES:

Es la función en donde “Y” es igual a un numero multiplicado por X. Por ejemplo: f(x) = 2x.

FUNCIONES DE PRIMER GRADO:

Estas se expresan como y = ax + b, en donde tanto a como b son valores numéricos fijos.

Y = 2x + 3

FUNCION DE SEGUNDO GRADO:

Están dadas por expresiones de la forma: ax + bx + c, con a = 0. A la figura resultante se le llama parábola.