Economía y Empresa
Matemáticas financieras
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
El objetivo primordial de este artículo es introducir a los estudiantes en el área de las matemáticas financieras, en el análisis de la estructura financiera de la empresa e ir completando una serie de escritos con los cuales se pueda hacer un compilado de temas con los cuales se pueda completar el cometido inicial. Se explica la parte teórica y se complementa con algunos ejercicios prácticos.
Renta:Es el pago periódico de igual valor.
Periodo de renta: Es el tiempo que transcurre entre los pagos periódicos continuos.
Porcentaje:O tanto por ciento a la proporcionalidad que se establece con relación a cada cien unidades. Consiste en relacionar una cantidad con respecto a 100 y se expresa con el símbolo %.
Cualquier número expresado en forma decimal puede ser escrito como porcentaje, colocando simplemente el punto decimal dos lugares a la derecha y agregando el símbolo%.
Ejemplo:
5% significa tomar 5 unidades de cada 100
5/100= 0,05= 5%
50% significa tomar 50 unidades de cada 100
50/100=0,5= 50%
0,5% significa tomar 0,5 unidades por cada 100
0,5/100= 0,005= 0,5%
El 100% de una cantidad es la misma cantidad, pues se toma su totalidad; por ejemplo:
El 100% de 50 es 50
Existe también el tanto por ciento fraccionario que se utiliza con frecuencia en las tasas de interés; por ejemplo:
1 1/8%= 1,125%= 0,001125
10 2/16 %= 10,125%= 0,10125
Existen dos procedimientos para el cálculo de porcentajes:
* Dado un porcentaje respecto de una cantidad, encontrar la cantidad resultante
En este caso se utiliza la regla de tres simple o se multiplica directamente la cantidad por el porcentaje, expresado en forma decimal.
Ejemplo:
Calcular el 10% de 900
Aplicando regla de tres simple
900= 100%
X = 10% x= (900)(10)= 90
100
Directamente
(900)(0,10) = 90
* Dado la cantidad resultante, encontrar el porcentaje respecto de una cantidad
En este caso se utiliza regla de tres simple, o se divide la cantidad dada entre la resultante multiplicada por cien.
Ejemplo:
Qué porcentaje de 500 es 60?
1.- 500= 100%
60=x% x= (60)(100) = 12%
500
2.- (60)(100) = 12%
500
Aplicaciones
Las aplicaciones más comunes son:
> Descuento por compra al contado
> Descuento por compra al contado con aplicación de impuestos
> Cálculo de porcentaje del precio de costo
> Cálculo del porcentaje sobre precio de venta
Descuento por compra al contado
Calcular el valor de la factura de venta de una refrigeradora, cuyo precio de lista es de $ 350,00, si ofrece el 12% de descuento por venta al contado
a) $ 350,00 precio de lista
- 42,00 12% descuento (350,00)(0,12)
$ 308,00 Valor de factura
b) $ 350,00 (1 – 0,12) = $ 308,00
Descuento por compra al contado con aplicación de impuestos
Calcular el valor de la factura de venta de una lavadora, cuyo precio de lista es $480,00, con el 15% de descuento por compra al contado, si se aplica el 10% de impuesto a las ventas.
a) $ 480,00 precio de lista
- 72,00 15% de descuento (480,00) (0,15)
$ 408,00 precio con descuento
40,80 impuesto a las ventas (408,00) (0.10)
$ 448,80
b) 480,00(1-0.15) = 408,00
408,00(1 + 0,10) = $ 448,80
Cálculo de porcentaje del precio de costo
Un comerciante desea obtener una utilidad o beneficio de 20% sobre el precio de costo de un producto que adquirió en 250,00; calcular el precio de venta.
a) Precio de venta = Precio de costo + utilidad
Precio de venta = 250,00 + 250,00(.20)
Precio de venta = 250,00 + 50
Precio de venta = 300,00
b) Precio de venta = 250,00(1 + 0,10) = 300,00
Es decir, vende con una utilidad de 20% sobre el precio de costo.
Expresar la utilidad hallada en el ejemplo anterior como porcentaje del precio de costo y del precio de venta.
*Porcentaje sobre el precio de costo:
250,00 = 100%
50,00 = X X = (50,00)(100)= 20%
250
*Porcentaje sobre el precio de venta:
300,00 = 100%
50,00 = x X = (50,00)(100) = 16,67%
300
DEPRECIACIÓN
“Es la perdida de valor de un bien o activo, maquinaria, edificio, equipos, etc., que sufren los bienes o activos debido al uso, desgaste, u otros factores.”
“La depreciación es el proceso por el cual un activo disminuye su valor y utilidad con el uso y/o el tiempo.”
Para reemplazar el activo al fin de su vida útil se establece un fondo, separando periódicamente cierta cantidad que debe ser igual al costo del reemplazo al término de la vida útil.
Para comprender mejor lo que es depreciación, se presentan algunas definiciones de los elementos que intervienen en ella:
Vida útil
Es la duración probable de un bien o activo; se estima con base en la experiencia e informe de expertos o fabricantes.
Costo inicial
Valor del bien o activo en la fecha de compra.
Valor de salvamento o valor residual
Valor que conserva el bien cuando ha dejado de ser útil.
Cargo por depreciación
Depósitos periódicos que se realizan en el fondo para depreciación.
METODOS DE DEPRECIACIÓN
Existen diferentes métodos de depreciación
Métodos de depreciación contables
De acuerdo con la legislación vigente, son fáciles de aplicar, no toman en cuenta los costos financieros y son en moneda corriente.
* Método uniforme o de línea recta.
* Método de depreciación por unidad de producción.
En línea recta supone que la depreciación anual es la misma para toda la vida útil y en consecuencia se reservan cada año valores iguales de manera que, al finalizar la vida útil, se tenga un fondo de reserva que, sumado al valor de salvamento del bien, alcance para su reposición.
“Este método consiste en tomar cada año, para el activo considerado, un valor de depreciación constante”.
El valor de depósito anual o cargo por depreciación puede calcularse con la siguiente formula:
Esta fórmula se utiliza en el caso de que la depreciación este dada en función del número de años.
Cuando la depreciación se calcula en función de las horas de operación, puede utilizarse la fórmula:
Cuando la depreciación se calcula en función de unidades producidas, puede utilizarse la fórmula:
Cargo de depreciación (CD)=Costo inicial(CI)- Valor de salvamento (vs)
Número de unidades de vida útil (N)
Es decir, que únicamente cambia el denominador N, dependiendo de si la depreciación está dada en función de los años, el número de horas o las unidades producidas.
EJEMPLO:
Calcular el cargo por depreciación anual de una lavadora, que costó
$2500,00, si su vida útil se estima en 10 años y su valor de salvamento en
10% de su valor original.
(2500,00) (0,10)= 250 (Valor de salvamento)
CD = 2.500 - 250,00= 225,00
10
Cargo de depreciación (CD)=Costo inicial(CI)- Valor de salvamento (vs)
Número de unidades de vida útil (N)
Una maquinaría industrial tuvo un costo inicial de $1.400 y el valor residual se calcula en $ 200, después de producir 6.000 unidades. Calcular el cargo por depreciación anual, y elaborar la tabla de depreciación, si la producción anual se estima en 750 unidades
CD = 1.400 - 200 = 0,20
6.000
$ 0,20 por unidad
Anualmente se tiene (750) (0,20) = 150
AGOTAMIENTO
Es la pérdida progresiva de un activo o bien debida a la reducción de su cantidad aprovechable. Ejemplo: petróleo, minerales.
“El agotamiento básicamente tiene el mismo objetivo que la depreciación, con la diferencia que se aplica a los yacimientos de recursos naturales no renovables
Fondo de depreciación
Cantidad que se va formando mediante depósitos periódicos para reemplazar el bien.
Caída en desuso u obsolescencia
Cuando en razón de los avances de la técnica se inventan nuevos equipos mas económicos, rápidos y productivos, y quedan obsoletas los que estaban en uso. Ejemplo: equipos de computación.
LOGARITMOS
De los logaritmos se estudiara la parte que tiene aplicación en la resolución de problemas de matemáticas financieras y de ella, los que aun si se utilizan calculadoras, no pueden resolverse directamente y requieren explicación.
La razón de exponer los logaritmos de esta manera es por la práctica y facilidad actual de utilizar las calculadoras, sin necesidad de revisar conceptos que, se supone, el estudiante ya dominan.
Calculo de n e i
Así, el cálculo de (1+i)n,que contiene dos variables i y n, exige la aplicación de logaritmos que de otra manera puede ser difícil obtenerlo.
Más adelante se estudiara que la variable isignifica tasa de interés y nnúmero de periodos. Es importante saber cuando aplicar los logaritmos y cuando utilizar las calculadoras.
El logaritmo en base b de un número positivo N ( logb N) es el exponente L,de modo que bL = N
Ejemplo:
Todo logaritmo tiene una parte entera llamada característica y una parte llamada mantisa.
Ejemplo:
Un logaritmo en base 10.
Logaritmo 225 = 2,352183, en el que 2 es la característica y 0,352183, la mantisa.
Es necesario tener presente las siguientes definiciones:
* El logaritmo de un producto de dos o más números positivos es igual a la suma de dos logaritm0s de dichos números.
Log(A)(B) = logA + logB
* El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
logA/B = logA – logB
* El logaritmo de una potencia de un número positivo es igual al producto del logaritmo del número multiplicado por el exponente de la potencia.
LogAn = n logA
* El cologaritmo de un número es igual al logaritmo de sus reciproco; se expresa como “colog”. Se utiliza para calcular el logaritmo de un número decimal menor que 1, o cuando el signo menos aparece delante de un logaritmo.
Ejemplo:
Log 0,25 = -1 + 0,307940
se calcula el cologaritmo:
Se suma 1 a la característica y se resta 1 a la mantisa para obtener
= -0,602060
Con la calculadora el resultado es directo log0, 25 = -0,602060
Ejemplo:
Calcular i
(1+i)18 = 3,379932
Se aplican logaritmos a los dos miembros:
Log(1+i)18 = log 3,379932
El logaritmo de la potencia de una cantidad es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la cantidad.
Se obtiene el antilogaritmo para encontrar el número
(1+i) = 1,07
i = 1,07 - 1
i = 0,07
i= 7%
INTERÉS SIMPLE (I)
Analizaremos algunos conceptos o bases conceptuales de lo que significa el interés simple, con sus diferentes variables: capital, tasa de interés, tiempo, valor actual, monto y sus aplicaciones.
Citaremos algunas definiciones sobre interés:
“Interés es la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo a la cantidad producida por la inversión del capital”
“El dinero se invierte siempre en forma productiva; es decir, siempre está ganando interés”
“Interés es el alquiler o rédito que se conviene en pagar por un dinero tomando en préstamo”.
“Precio del servicio proporcionado por el prestamista al prestatario, pagado por éste último para conseguir la utilización de cierta suma de dinero durante un periodo determinado”.
Se concluye que el interés está directamente relacionado con la utilización del dinero el cual siempre está produciendo más dinero, en función del tipo de interés y del tiempo. En consecuencia, se puede decir que interés es el valor pagado por el uso del dinero. Por ejemplo: si por invertir $ 100 obtenemos $15, decimos que estamos ganando el 15% de interés.
Tasa de interés (i)
“Es la razón del interés devengado al capital en la unidad de tiempo”.
Esta dada como un porcentaje o su equivalente; generalmente se toma el año como unidad de tiempo. Se representa por la letra i.
Ejemplo:
i = interés = 15 = 15% = 0,15
Capital 100
INTERÉS SIMPLE
Cuando el capital genera intereses por un determinado tiempo, al interés producido, se le denomina interés simple.
FORMAS DE CALCULAR:
El interés simple (I) está función directa del capital (C), la tasa de interés (i) y el tiempo (t).
I = C i t
Ejemplo:
Calcular el interés simple que gana un capital de $ 500 al 12% anual , del 15 de marzo al 15 de agosto del mismo año.
Antes de resolver el problema, calcularemos el tiempo que transcurre entre las dos fechas.
Como podemos ver, el interés más alto se da en el segundo caso, con el tiempo exacto y el año comercial, con un valor de 25,5; mientras el más bajo esta dado por el tercer caso con tiempo aproximado y el año calendario, y es igual a 24,657553.
Para operaciones bancarias el más utilizado es el: Con el tiempo exacto y el año comercial.
CÁLCULO DEL NÚMERO DE DÍAS
El número de días también puede variar:
Año comercial 360 días
Año calendario 365 días
Año bisiesto 366 días
En forma aproximada, con el objeto de facilitar los cálculos del tiempo, se acostumbra suponer el año de 365 días, dividido en 12 meses de 30 días cada uno. Esto se denomina cálculo aproximado del tiempo.
Ejemplo:
Del 15 de Abril al 15 de julio hay días
Abril 15 días
Mayo 30 días
Junio 30 días
Julio 15 días
TOTAL: 90 días
En forma exacta se toma como referencia el número de días calendario, es decir, meses de 30 y 31 días, año de 365 y 366 días, según corresponda. Como se puede observarse, tomando el ejemplo anterior y considerando una de las dos fechas extremas, son 91 días.
Ejemplo:
Del 15 de Abril al 15 de julio hay días
Abril 15 días
Mayo 31 días
Junio 30 días
Julio 15 días
TOTAL: 91 días
VARIACIÓN DEL CÁLCULO DE INTERÉS
El cálculo del interés varía igualmente si tomamos el año de 360, 365 0 366 días.
Interés exacto
Cuando se divide el tiempo para 365 0 366 días, si la tasa de interés es anual.
Interés ordinario
Si dividimos el tiempo para 365 0 366 días en iguales condiciones.
Ejemplo:
Calcular el interés exacto y ordinario de un capital de $ 20,000 al 9% de interés anual, del 10 de abril al 15 de septiembre del mismo año.
VARIACIÓN DE LA TASA DE INTERÉS EN FUNCIÓN DEL TIEMPO
Entre las tasa de interés más empleadas se hallan la anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, bimestral, mensual o diaria.
Como puede notarse la tasa de interés simple debe estar en la misma relación del tiempo; generalmente, si la tasa es anual, el tiempo estará dividido en 360 días; si es semestral 180 días; si es trimestral 90 días; si es mensual 30 días, y si es diario, un día. Es necesario relacionar la tasa de interés-tiempo para evitar errores de cálculo.
CÁLCULO DEL CAPITAL
Para el cálculo del capital inicial (C), se toma como base la fórmula del interés simple.
Ejemplo:
¿Qué capital produjo un interés de $ 18.000 a una tasa de interés de 20% anual en 180 días?
C = 18.000 =180.000
(0,20) (180/ 360)
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS
Para el cálculo de la tasa de interés se toma como base la formula I = C i t y se despeja i:
i = I
(C) t
Ejemplo:
¿A qué tasa de interés mensual se coloca un capital de $ 50.000 para que produzca $ 18.000 en 180 días?
i = 18.000 = 0,72
(50.000) (180/ 360)
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