Matemáticas Empresariales

Endomorfismo. Vectores. Aplicación lineal inyectiva

  • Enviado por: Sonyum
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 7 páginas
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MATEMÁTICAS EMPRESARIALES

FEB 2000

1-. CONTESTAR RAZONADAMENTE

  • Sean u1,u2,u3 tres vectores independientes de !3. Indicar si {u1,u2-u3,u1+u2+u3} es una base de !3.

  • Sean u, v, w, tres vectores de un espacio vectorial ". Sea x un vector de " tal que

  • x = u + v +w y x = 3u-2w. ¿Pueden ser u, v, w, independientes?

  • Sea f:!3!4 una aplicación lineal.¿Es posible que img(F) sea de dimensión 2 y que el

  • Ker(f)={x/x1-x2+x3=0}

  • Sea f:"!3 una aplicación lineal inyectiva y u y v dos vectores independientes.¿Es

  • Posible que f(u)=(-1,2,1) y f(w)=(3,-6,-3)?

  • Sea f un endomorfismo de !4, 1=-2,2=3,3=-1 tres autovalores, con vectores propios asociados a=(a1,a2,a3,a4) b=(b1,b2,b3,b4),c=(c1,c2,c3,c4) respectivamente?. Hallar el rango de la matriz M:

  • a1 a2 a3 a4

    M = b1 b2 b3 b4

    c1 c2 c3 c4

    2-. Sea M2x2 el espacio vectorial de las matrices 2x2 y H el subespacio formado por las matrices que conmutan con la matriz A.

    -1 0

    A = 1 1 H ={x"M2x2/A X =X A}

  • Probar que H es subespacio de M2x2 y hallar su dimensión y una base.

  • Sean:

  • a + b -2a -a + 2b a

    L = b a + b M = b a + 4b

    Estudiar si L o M son suplementarios de H.

    3-. Sea f un endomorfismo de !3 tal que:

    f(1,0,0)=(3,2,2)

    f(0,1,0)=(2,2,0)

    6 es autovalor de f y £{=6}=£{(2,2,1)}

  • Calcular la matriz de f en la base canónica.

  • Calcular la dimensión y una base del Ker(f) e Img(f).

  • Estudiar la posible diagonalización de f mediante una base ortonormal.

  • Calcular An.

  • RESOLUCIÓN DEL EXAMEN:

    1-.

    1a) Serán base si son independientes:

    2 formas de resolución:

    1ª forma:

    au1 + b( u1 - u3 ) + c( u1 + u2 + u3 ) = 0

    (a + b + c)u1 + cu2 + ( -b + c )u3=0

    a + b + c = 0

    c = 0 c = b = a = 0

    -b + c = 0

    2ª forma:

    Hallando el rango

    1 0 0

     1 0 -1

    1 1 1

    = número de independientes  " 2

    /M/=1"0 indep. base

    1b)

    u + v + w = 3u - 2w

    -2u + v + 3w = 0

    combinación lineal de los vectores iguales a 0 sin ser 0 los coeficientes.

    Son dependientes

    1c)

    Para que sea así se tiene que cumplir esta condición:

    dim Img(f) + dim Ker(f) = dim !3=3

    x1=x2-x3

    x1=-

    x2= £{(1,1,0)(-1,0,1)}

    x3= 

    Hallamos la dimensión:

    1 1 0

    dim=  -1 0 1 =2

    dim Img(f) + dim Ker(f) = dim !3=3

    2 + 2 " 3 No es posible

    1d)

    Las aplicaciones inyectivas transforman vectores independientes a dependientes a veces.

    No es posible porque las aplicaciones lineales inyectivas conservan la independencia lineal y a dos vectores independientes les ha transformado en vectores dependientes.

    1e)

    A autovalores distintos les corresponden autovalores independientes:

    Hallamos el rango de la matriz:

    a1 a2 a3

    = b1 b2 b3 =3

    c1 c2 c3

    2-.

    2a)

    1º Si x1, x2 "!x1,x2"

    2º si x " !x

    1º Hipótesis Tesis

    A x1 = x1 A A (x1 + x2)=(x1 + x2) A

    A x2 = x2 A

    Demostración

    A (x1 + x2)=Ax1+Ax2=(por hipótesis)x1A+x2A=(x1 + x2) A

    2º Hipótesis Tesis

    A x = x a A(x)=(x)A

    Demostración

    A(x)=Ax=(por hipótesis) xA=(x)A

    Dimensión y base:

    a b

    x = c d

    -1 0 a b a b -1 0

    1 1 c d = c d 1 1

    -a = -a + b b=0

    -b = b d=a+2c

    a + b = -c + d El conjunto H es el conjunto que tiene la forma a 0

    b + d = d c a+2c

    a 0 1 0 0 0

    H= c a+2c = £ 0 1 1 2

    1 0 0 1

    dim H== 0 0 1 2 =2

    2b)

    a+b -2a -a+2b a

    L = b a+4b M= b a+4b

    H+L=M2x2

    H"L=0

    1 -2 1 0 -1 1 2 0

    L=£ 0 1 1 1 M=£ 0 1 1 4

    1 0 0 0 1 -2 1 0

    H+L = £ 0 1 1 2 0 1 1 1

    1 0 0 1

    0 0 1 2

    dim H+L=  1 -2 0 1 =4

    1 0 1 1

     " 3

    1 0 0 0

    0 0 1 2 0 1 2

    //= 1 -2 0 0 = 2 0 0 " 0

    1 0 1 0 0 1 0

    dim H+L=M2x2

    dim H+L + dim H"L= dim H +dim L

    4 + x = 2 + 2

    Si son suplementarios.

    1 0 0 0 -1 1 2 0

    H + M = £ 0 1 1 2 0 1 1 4

    1 0 0 1

    0 0 1 2

    dim H+M= -1 1 0 1

    2 0 1 4

     " 3

    1 0 1

    //= - 0 1 2 " 0

    2 1 4

    dim H+M" M2x2 No son suplementarios

    3-.

    3a) 3 2 a

    f:A 2 2 b

    2 0 c

    f(x)=x

    Ax=x 3 2 a 2 2

    2 2 b 1 = 6 1

    2 0 c 2 2

    8+2a=12 a=2

    6+2b=6 b=6

    4+2c=12 c=4

    3 2 2

    A= 2 2 0  " 2 /A/=0

    2 0 4

    3b) dim y base del núcleo:

    (A)=2

    dim Img(f)= (A)=2

    Base Img={(3,2,2)(2,2,0)}

    dim núcleo = N-(A)=3-2=1

    Img Núcleo:

    3 2 2 x 0

    2 2 0 y = 0

    2 0 4 z 0

    2y+2z=-3x

    2y =-2x

    x=

    y=-

    z= -1/2 

    Ker(f)=£{(1,-1,1/2)}={(2,-2,-1)}

    3c)

    diagonalización de f por base ortonormal.

    La matriz asociada a A es simétrica. Si se puede diagonalizar mediante base ortonormal.

    3- 2 2

    2 2- 0 = (3-)(2-})(4-)-4(2-)-4(4-)=-3+92-18=0

    2 0 4-

    =0

    -(2-9+18)=0 2=-9+18=0

    = 9±" 81-72

    2 =6 =3

    =0

    =6

    =3

    £{=6}=£{(2,1,2)}

    £{=0}=£{(2,-2,-1)}

    £{=3}=£{(1,2,-2)}

    Base ortogonal:{(2,1,2)(2,-2,-1)(1,2,-2)}

    Base ortonormal:{(2/3,1/3,2/3)(2/3,-2/3,-1/3)(1/3,2/3,-2/3)}

    6 0 0

    -^- 0 0 0

    0 0 3

    3d)

    An=M-^-nM-1=M-^-nMT

    2/3 2/3 1/3 6n 0 0 2/3 1/3 2/3

    = 1/3 -2/3 2/3 0 0 0 2/3 -2/3 -1/3

    2/3 -1/3 -2/3 0 0 3n 1/3 2/3 -2/3