Matemáticas de las operaciones financieras

Contabilidad. Tipos de interés efectivos. Descuento. Tipos de interés instantáneo. Depósitos semestrales. Saldo vivo. Capital pendiente de amortizar. Ecuación de equivalencia. Términos amortizativos

  • Enviado por: Isa
  • Idioma: castellano
  • País: España España
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UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

DEPARTAMENTO DE ANÁLISIS ECONÓMICO Y FINANZAS

EXAMEN ORDINARIO DE MATEMÁTICAS DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS

ALBACETE, 9 DE JUNIO DE 2006

SOLUCIÓN

Primera pregunta.- Suponga que la función de acumulación desde t=0 viene dada por la siguiente expresión:

A(0, t)= 0 " t < 5

A partir de la misma obtenga:

  • Los tipos de interés efectivos i(4)(0) y i(4)(1/2)

  • Los tipos de interés anuales equivalentes a los anteriores y los tipos de interés nominales j(4)(0) y j(4)(1/2)

  • La función de descuento v(t) y el tipo de interés instantáneo r(t)

  • Justifique por qué i(4)(0) es mayor/menor que i(4)(1/2)

  • a) 1+i(4)(0) = A(0, ¼) = = 1'005025 'Matemáticas de las operaciones financieras'
    i(4)(0) = 0'005025 = 0'5025 %

    1+i(4)(1/2) = A(1/2, 3/4) 'Matemáticas de las operaciones financieras'
    A(0, ½) · A(1/2, 3/4) = A(0, 3/4) 'Matemáticas de las operaciones financieras'
    = 1'005076 'Matemáticas de las operaciones financieras'
    i(4)(1/2) = 0'5076 %

    b) Si denotamos por “i” al tipo de interés anual equivalente a los trimestrales, entonces

    (1+i) = (1+ i(4)(0))4 'Matemáticas de las operaciones financieras'
    i1 = (1+0'005025)4 -1 = 2'02525 %

    'Matemáticas de las operaciones financieras'
    i2 = (1+0'005076)4 -1 = 2'0459 %

    j(4)(0) = 4 · i(4)(0) = 2'01005 %

    j(4)(1/2) = 4 · i(4)(1/2) = 2'0304 %

    c) v(t) = = 1 - 0'02·t

    r(t) =

    d) Al ser r(t) una función creciente respecto a t, entonces, el tipo de interés efectivo correspondiente al primer trimestre [0, 1/4] es menor que el tipo de interés efectivo correspondiente al tercer trimestre [½, ¾], es decir, i(4)(0) < i(4)(1/2).

    > 0

    Segunda pregunta.- Un individuo decide depositar en una cuenta bancaria, cada 1 de julio, el 10 % de su salario anual estimado para el año 2006 en 25.000 € y esperando que dicho salario se incremente un 3 % anual. Si dicha cuenta es remunerada a un 2 % efectivo anual, obtenga:

  • La cuantía acumulada el 1 de enero de 2012.

  • Si en lugar de realizar un depósito anual, decide realizar depósitos semestrales (cada 1de julio y 1 de enero) por un importe igual a la mitad de los depósitos anuales del apartado anterior, obtenga cuál sería la cuantía acumulada antes de realizar el depósito correspondiente al 1 de enero de 2012 (el primer depósito lo realiza el 1 de julio de 2006)

  • ¿Cuál sería la cuantía mensual constante que depositada en esa misma entidad financiera desde el 1 de julio de 2006 hasta 1 de diciembre de 2011 (ambos inclusive) produciría la misma cuantía acumulada que en el apartado (a), a 1 de enero de 2012?

  • a) Calculamos la cuantía acumulada a 1 de enero de 2012 de la siguiente renta:

    2500 2500·1'03 2500·1'032 … 25001'035

    1.07 1.07 1.07 … 1.07 1.01

    06 07 08 … 11 12

    V1.07.11 = S(2500, 1'03)·= = 16.972'47 €

    V1.01.12 = V1.07.11 · (1+0'02)1/2 = 17.141'35 €

    b) Suponiendo depósitos semestrales, el ejercicio se puede plantear de dos formas alternativas:

    Opción 1

    1250 1250·1'03 1250·1'03 1250·1'032 1250·1'032 … 1250·1'035

    1.07 1.01 1.07 1.01 1.07 … 1.07 1.01

    06 07 07 08 08 … 11 12

    V1.07.11 = 1250 · (1+0'02)5 + S(2)(2500·1'03, 1'03)·'Matemáticas de las operaciones financieras'

    'Matemáticas de las operaciones financieras'
    1380'10 + 'Matemáticas de las operaciones financieras'

    'Matemáticas de las operaciones financieras'
    1380'10 + 14.282'97 = 15.663'07 €

    i(2) = (1+i)1/2-1 = (1+0'02)1/2-1 = 0'00995

    j(2) = 2 · i(2) = 2 · 0'00995 = 0'01990

    V1.01.12 = V1.07.11 · (1+0'02)1/2 = 15.818'93 €

    Opción 2

    1250 1250 1250·1'03 1250·1'03 1250·1'032 … 1250·1'035

    1.07 1.01 1.07 1.01 1.07 … 1.07 1.01

    06 07 07 08 08 … 11 12

    V1.07.11 = (1250·2, 1'03) + 1250·1'035 'Matemáticas de las operaciones financieras'

    'Matemáticas de las operaciones financieras'
    (1+0'02)1/2·· + 1250·1'035 = 15.454'73 €

    V1.01.12 = V1.07.11 · (1+0'02)1/2 = 15.608'52 €

    c) Calculamos la cuantía mensual constante que desde el 1 de julio de 2006 hasta 1 de diciembre de 2011 (ambos inclusive) produciría la misma cuantía acumulada que en el apartado (a), a 1 de enero de 2012

    C C C C C … C

    1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 … 1.12 1.01

    06 06 06 06 06 … 11 12

    C· = 17.141'35 €

    i(12) = (1+i)1/12-1 = (1+0'02)1/12-1 = 0'1651581 %

    C = = 245'62 €

    Tercera pregunta.- Una entidad financiera ofrece a sus clientes un préstamo con las siguientes características:

    • Cuantía del préstamo: 100.000 €

    • Plazo del préstamo: 15 años

    • Términos amortizativos semestrales crecientes un 1 % acumulativo semestral

    • Comisión de apertura : 1'5 % sobre el capital prestado

    • Comisión por cancelación anticipada: 3 % sobre el capital pendiente de amortizar

    • Tipo de interés nominal anual: j(2) = 4'80 %

    Obtenga:

  • Cuantía de los dos términos amortizativos del primer año.

  • Obtenga el saldo vivo (capital pendiente de amortizar) a los cinco años y a los cinco años y tres meses de su inicio.

  • Descomponga el primer término amortizativo del sexto año en su cuota de intereses y su cuota de amortización.

  • Plantee la ecuación de equivalencia para la obtención del TIR real pasivo de este préstamo si el cliente decidiera cancelar anticipadamente la operación a los cinco años de su inicio

  • a) Esta operación de préstamo puede representarse gráficamente como sigue:

    Co= 100.000 Prestación

    a a·q a·q2 · · · a·q9 a·q10 · · · a·q29 Contraprestación

    0 1/2 1 1+1/2 · · · 5 5+1/2 · · · 15

    donde q = 1'01 es la razón de la progresión seguida por los términos amortizativos del préstamo.

    100.000 = A(a, 1'01) =

    i(2) = j(2)/2 = 0'024

    Así pues el primer término amortizativo, a, será:

    = 4.137'99 €

    4.137'99·1'01 = 4.179'36 €

    b) El saldo vivo se puede obtener a través del método retrospectivo:

    C5 = C0·(1+i(2))10 - S(a, 1'01) = C0 (1+i(2))10 'Matemáticas de las operaciones financieras'

    'Matemáticas de las operaciones financieras'
    100.000 (1+0'024)10 - 4.137'99· = 78.578'59699 €

    Alternativamente, podemos aplicar el método prospectivo, verificándose que:

    C5 = A(1'0110; 1'01) 'Matemáticas de las operaciones financieras'

    'Matemáticas de las operaciones financieras'
    'Matemáticas de las operaciones financieras'

    'Matemáticas de las operaciones financieras'
    78.578'59 €

    El capital pendiente de amortizar tres meses más tarde, lo podemos obtener aplicando el método recurrente a partir de la reserva a los cinco años. Así, se ha de verificar que:

    C5+3/12 = C5 (1+i(2))(1/2)

    ya que entre los cinco años y los cinco años y tres meses no vence ningún capital de la prestación ni de la contraprestación

    Por tanto:

    C5+3/12 = 78.578'59699 (1+0'024)1/2 = 79.515'94 €

    c) El primer término amortizativo del sexto año se corresponde con el momento t = 5+1/2

    I5+1/2 = C5·i(2) = 78.578'59699 · 0'024 = 1.885'88 €

    A5+1/2 = a11 - I5+1/2 = a · 1'0110 - 1.885'88 = 2.685'04 €

    d) PR real = { (100.000; 0)}

    CPR real = { (0'015·100.000, 0) (a, 1/2) (a·1'01, 1) · · · (a·1'019, 5) (C5, 5) (0'03·C5, 5)}

    100.000 = 1.500 + a (1+ip)-1/2 + a·1'01 (1+ip)-1 + · · · + a·1'019 (1+ip)-5 +

    + 1'03·C5 (1+ip)-5

    'Matemáticas de las operaciones financieras'