Matemática discreta

Matemática discreta. Teoría de números. División de números enteros. Relación de recurrencia. Grafos. Matriz de adyacencia

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2384292 entre 7. 231 233 congruente con 1 mód(7)divide 84292/3 84292 = 3*28097 +1,2384292=23^(3*28097)*23 congruente con 23 mód(7)#2 mód(7) el resto es 2

El enunciado es el siguiente: Sea n y k numeros naturales positivos con n=3k, entonces n!/(3!)^k es a) numero fraccionario cualquiera que sea k b) numero entero para todo k c) numero entero solo cuando k es un numero primo Es siempre entero para todo k:

el numerador es (3k)!, que tiene 3k factores, de los cuales k son multiplos de tres (si k=4 n!=12!, que tiene 12 factores: 12, 11, 10 , 9, .... 3, 2 y 1 de los cuales 12/4 = 3 son múltiplos de 3: 12, 9, 6 y 3).

Las soluciones enteras del sistema: 2x+3y=3(mod 8) y x+4y=7(mod 8) x=x0+8t, y=y0+8s, entonces: 1. 0<=yo<=6, 0<=x0<=3 2. 0<=yo<=4, 0<=x0<=5 3. 0<=yo<=7, 0<=x0<=4 2x+3y=3 3y=3

X+4y=7 8y=14

5y=11 5y=3 mod 8 y=7 2x+21=3 2x=-18 mod 8 2x= 6 mod 8 x=3

3^33 por 25; Como 33=3·11 33 =2 mod 25 311*3 #211#1024*2#1*2=2

EL RESTO DE LA DIVISION DE 77 ELEVADO A 156 POR 169 ES: A-) 1; b) 77 Y C)168 169=13*13 169-13=156 sol 1 mod 169 * euler

soluciones enteros positivos x2-y2=348 a)ninguna b)una c)dos

en factores primos 348 = 2^2*3*29 . 348=2*174=6*58 , x = (174+2)/2 = 88 ; y = (174-2)/2 = 86 2)x= (58+6)/2 = 32 ; y = (58-6)/2 = 26

Con las cifras (1,2,...,2n+1), donde 1<=n<=4 ¿Cuántos números distintos de cinco cifras se pueden formar, de modo que latercera y la cuarta cifra sean distintas >entre sí y la primera par?

a) 16n^5 + 24n^4 +12n^3 +2n^2 b) 32n^5 + 64n^4 + 48n^3 +16n^2 + 2n c) C(2n+5,5)

El número tiene cinco cifras de entre {1,2,...,2n+1}, para 1<=n<=4

1) La primera cifra tiene que ser par y entre las cifras que nos dan hay npares.

2) La tercera y la cuarta han de ser distintas, luego seran Variaciones Ordinarias de 2n+1 cifras tomadas de dos en dos, esto es: (2n+1)*(2n)

3) Las dos cifras que quedan, segunda y quinta, pueden ser cualquiera de entre las 2n+1, esto es, Variaciones con repetición de 2n+1 cifras tomadas de dos en dos, que vale: (2n+1)^2

Al formar un número de los que piden, habría que tomar un elemento del primer grupo, otro del segundo y otro del tercero y por tanto sería:

n*[(2n+1)*2n]*[(2n+1)^2] = 2n^2*(2n+1)^3= 2n^2*(8n^3+12n^2+6n+1)=16n^5 +24n^4 +12n^3 +2n^2 sol a

1- ¿De cuántas formas 5 hombres y 3 mujeres se pueden sentar alrededor de una mesa redonda de modo que dos mujeres no se encuentren juntas. (Dos formas son iguales si se llega de una a otra por rotación. No importa únicamente el sexo sino también que persona es). A)1440 B)6520 C) 1100

3- Sea Pn el e-nésimo primo, y sea Pn=(p1p2...pn)+1, entonces: A) Ningún entero de forma Pn es un cuadrado B) Todo entero de la forma Pn es un cuadrado C) Existen enteros de la forma Pn que son cuadrados

Supongamos que hemos comprobado que 7307 no es divisible por ningún número primo p, con p<=q. ¿Cuál el mínimo valor de q para que podemos asegurar que 7307 es primo? A) 47 B)3659 C)83

Raiz de 7307=85.4 menor que 85 y primo es el 83 c

El número de pares ordenados de enteros (x,y) tales que X^2+Y^2<=5 es: (<= significa igual o menor). A)23 B)36 C) 21

(0.0, 0.1, 0.2, 1.0, 1.1, 1.2, 2.0, 2.1) ¿?

El número de enteros positivos menores que 70 que son primos con 70 es: A)21 B)24 C)29

Se descompone 70= 2*5*7 a estos exponentes se resta 1 1*4*6 = 24

¿De cuántas maneras se puede ordenar la palabra EXÁMENES si no puede haber dos E adyacentes? A)2100 B)2400 C)5400

10 lugares diferentes *

1- Dado el producto 165432078*1009612=167022211_33736 sin efectuar la multiplicación. A) La cifra que falta es un 1 B) Como el primer factor es múltiplo de 3 y el segundo no, la cifra que falta es un 7 C) Como el producto ha de ser múltiplo de 8, la cifra que falta es un 4.

¿Cual es le número de colocaciones diferentes de 8 libros en una estantería de modo que 4 libros determinados estén siempre separados entre si? A)2880 B)3040 C)3268

Sea n el número 9 88 777 6666 ... 9 "unos" ¿Cuál de los siguientes números es múltiplo de 11 A)n B)n-2 C)n+6

Dados los números de la forma n=2^k - 1, entonces: A) n es primo si y solo si k es primo B) Si k es compuesto entonces n puede ser primo o compuesto. C) Si k es compuesto entonces n es necesariamente compuesto.

La solución de la relación de recurrencia: f(n)=2.f(n-1)+1, si n>1 y f(1)=1 es: A) 3^n -2 B) 2^n-2 C) 5!/12

¿De cuantas formas se pueden disponer en una fila las letras: a,b,c,d,x,x,x,x,x, de modo que ningún par de x queden juntas: A)24 B)9!/5! C)4!/5!

Las x solo de 1 forma y el resto 4! Así 4!*1= 24

Sea Kn el grafo completo con n>3 vértices n par: A) Es euleriano B) 42 C)1012

Colocaciones diferentes de 7 libros en una estantería de modo que tres libros determinados están siempre separados entre si. A)1520 B)1636 C)1440

10 formas dif de colocarlos * 3! Entre ellos * 4! El resto de libros. 10* 3!*4! = 1440

Sea G el grafo (no pseudografo, ni multigrafo) plano conexo con 15 aristas, Entonces el número de vértices de G es como mínimo: A) 9 B)49 C)165

#E=2#V 15=2*#V mínimo 8

Se tienen cadenas formadas por dos letras seguidas e dos dígitos y a continuación tres letras más. En cada grupo no están permitidas las repeticiones, pero el último grupo de tres letras puede contener como máximo una de las utilizadas en el primer grupo. Si el número de letras disponibles es 12 ¿cuántas cadenas distintas se pueden formar? A) 23522100 B) 980100 C) 7840000

Sea p un número par impar p distinto de 5 ¿Cuál de estas afirmaciones es cierta? A) p^2 -1 ó p^2 +1 es divisible por 10 B) p^2 -1 nunca es divisible por 10 C) p^2 +1 siempre es divisible por 10

Basta comprobar 32+1=10 42+1=17 62+1=37 72+1=50 82+1=65 92+1=82

Sea el número 30x142....30x142 se repite 20 veces. Para que sea divisible por 7 la cifra X ha de ser: A)0 B)3 C)5

Crit de div 7= 1,3,2,-1,-3,-2... 2+12+2-x-6= 10-x ¿¿

Sea 2...2 (veinte does) entonces: A) Es divisible por 3 y por 7 pero no por ambos B) Es divisible por 3 y por 7 C) No es divisible ni por 3 ni por 7

Divisible*3= 2+0=2,*20= 40 no div 3, 1,3,2,-1,-3,-2... 1*2+3*2= 8 no div 7

Sea Zn el conjunto de los estos módulo n. ¿Cuántas aplicaciones inyectivas distintas hay entre Z5 y Z8 A)6720 B)8^5 C) 5 V(8,5)=8*7*6*5*4= 6720

Sea el grafo con la matriz de adyacencia 0101 1011 0101 1110 El número de caminos distintos de longitud tres entre los vértices V1 y V4 es: A)5 B)3 C)2

0101 0101 2121 0101 2525

1011 1011 1312 1011 5456

0101 * 0101 = 2121 * 0101 = 2525

1110 1110 1213 1110 5554

El número de soluciones en números enteros positivos de la ecuación x+y+z=10 es: A) 78 B)36 C)30 CR(3,7)= C(9,7)= 9!/7!*2! = 72/2 = 36

¿De cuántas formas distintas pueden colorearse diez bolas de golf usando cuatro colores (a,b,c,d), de modo que haya al menos tres bolas del color b y exactamente dos del color d. A)21 B)286 C)10000

2- ¿Cuántas soluciones distintas en números enteros tiene al ecuación x^2 - Y^2=20 A)Cuatro B)Dos C)Ninguna

20=2*2*5 10-+ 2/2 = 6 y 4

x+y+z=17; siendo x>=3, y>=4, z>=5 3+4+5=12 17-12=5 luego: CR(3,5)=C(7,5)= 7!/ 5!* 2! = 21

x+y+z=21 : x>1, y>4 y z>5, 2+5+6=13 21-13=8 CR(3,8) C(10,8)= 10!/8! 2! = 90/2= 45 es un problema de combinaciones

En una cafeteria hay 4 tipos de bocadillos para comer. de cuantas maneras distintas se pueden elegir seis bocadillos de entre los 4 tipos.?

Como no dice en el orden en que se han de comer los bocadillos, serían combinaciones con repetición de cuatro bocadillos, tomados de seis en seis Esto es: CR(4,6) = C(9,6) = 84

EL NUMERO ESCRITO EN BASE 15: 9....^21.....9, ES DECIR,LAS VENTIUAN CIFRAS A 9,ES MULTIPLO DE a)7 b)2 c)5

Hay que deducir los criterios de divisibilidad entre 7, 2 y 5, en base 15.

criterio de divisibilidad de 150 #1 mod 2 #1 mod 5 #1 mod 7

151 #1 #0 #1

152 #1 #0 #1

la suma de sus cifras es 9*21 = 189, que no es múltiplo de dos, pero si lo es de siete. 189 = 27*7

Un numero escrito en base 7 es par si y solo si la suma de sus cifras es par.

El numero (210465)7 es múltiplo de: 6.

Crit 1,3,2,-1,-2,-3... 5*1+6*3+4*2-1*0-3*1-2*2 = 5+18+8-3-4 = 24 k es múltiplo de 6

EN UNA CARRERA PARTICIPAN 5 EQUIPOS CON 4 CORREDORES CADA UNO .PARA CONTABILIZAR EL RESULTADO SÓLO SE TIENEN EN CUENTAN LOS 3 PRIMEROS CORREDORES EN LLEGAR A LA META Y EL ORDEN EN QUE LLEGAN. EL NÚMERO DE POSIBLES RESULTADOS DISTINTOS CON LA CONDICION DE QUE LOS TRES PRIMEROS CORREDORES PERTENEZCAN A DOS EQUIPOS DISTINTOS ES: a)6840 b)2880 c)1440

1)En primer lugar habría que seleccionar dos equipos A y B que son los que van a estar en el podio, A con dos corredores y B con uno. Esto sería de V(5,2) = 20 formas distintas.

2)Estos equipos podrán colocar a sus corredores así: AAB, ABA y BAA, esto es de tres formas distintas.

3)Finalmente, como cada equipo tiene cuatro corredores, para A habría V(4,2) = 12 posibilidades, y para B V(4,1) = 4, esto es 12*4 = 48.

Por tanto la solución sería: 20*3*48 = 2880, y la solución es la b)

¿De cúantas formas distintas pueden colocarse 12 objetos idénticos en 5 estantes numerados, de tal forma que haya al menos 3 objetos en el estante 1, dos objetos al menos en el estante 4 y exáctamente un objeto en el estante 5? a)1820, b)210, c)84

Todas las soluciones (sin restricciones) sería: x1+x2+x3+x4+x5=12. repartir 12-3-2-1=6 objetos entre 4 estantes (x1+x2+x3+x4) [el x5 lo quito porque tiene uno y sólo un objeto, por lo que no entra en el reparto]. Entonces queda x1+x2+x3+x4=6, cuyas soluciones son CR(4,6)=C(9,6)= 9!/6!*3!= 9*8*7/6= 84

Del nº 5x6732y21 sabemos que es múltiplo de 33 y el nº xy formado por las cifras x e y es múltiplo de 7. entonces la cifra y es: a)7 b)1 c)4

Como el número ha de ser múltiplo de 33 = 3*11, ha de ser:

1)múltiplo de 3: la suma de sus cifras 24 + X + Y ha de ser múltiplo de 3, luego X+Y es múltiplo de 3.

2) XY ha de ser múltiplo de 7 (y de 3); puede ser: 21, 42, 63 y 84

3)múltiplo de 11: la suma de las cifras de lugar impar (10 + X), menos la suma de las cifras de lugar par (14+Y) ha de ser 0 ó múltiplo de 11: (10+X)-(14+Y) = = X-Y-4 = cero (ó múltiplo de 11).

Si probamos con 21 (2-1-4=-3), 42 (4-2-4=-2), 63 (6-3-4=-1), 84 (8-4-4=0), el que lo cumple es el 84. c

En una carrera de maratón intervienen 4 españoles, 4 italianos, 4 ingleses y 4 franceses. Supuesto que terminan la carrera todos los corredores, cuantos podios distintos pueden darse al acabar la carrera en los cuales no hay españoles. a)1348 b)1320 c)1570

Como no puede haber españoles en el podio, este puede ser ocupado por 12 corredores (4italianos+4...+4...).

Como el podio son 3 puestos, y importa el orden en que queden y un mismo jugador no puede ocupar dos lugares en el podio, son V(12,3) = 1320

El nº de soluciones en nº enteros positivos de la ecuación x+y+z=10 es: A) 78 B)36 C)30

Este problema es CR (n+r-1, r); CR(3,7) C(9,7) = 9!/7!*2! = 36

El número de enteros positivos menores que 70 que son primos con 70 es: a) 21 ; b) 24 ; c) 29

Se descompone 70 = 2*5*7 , multiplicar todos los factores - 1: 1*4*6 = 24

Soluciones enteras no negativas de la ecuacion : X1+X2+X3+X4=25 A) 2024 B) 3276 C) 12650

CR(4,25) = C(4+25-1,25) = C(28,25) = 28!/ 25!*3! 28*27*26/6 = 3276

En una carrera participan 5 equipos con 4 corredores cada uno.Para contabilizar el resultado solo se tienen en cuenta los 3 primeros corredores en llegar a meta y en el orden en que llegan el numero de posibles resultados distintos con la condición de que los tres

primeros corredores pertenezcan a dos equipos distintos es: A-) 6840 B-) 2880 C-) 1440

1)En primer lugar habría que seleccionar dos equipos A y B que son los que van a estar en el podio, A con dos corredores y B con uno. Esto sería de V(5,2) = 20 formas distintas.

2)Estos equipos podrán colocar a sus corredores así: AAB, ABA y BAA, esto es de tres formas distintas.

3)Finalmente, como cada equipo tiene cuatro corredores, para A habría V(4,2) = 12 posibilidades, y para B V(4,1) = 4, esto es 12*4 = 48. 20*3*48 = 2880 b)

Al tener en cuenta las regiones de un grafo plano hay que incluir la región exterior

2 20648 entre 241 Las soluciones pueden ser: a) 15 b) 120 c) 240

Como 241 es primo, 2240 es congruente con 1 módulo 241.

Por otro lado 20648 = 240*86+8, luego 220648= 1*28 =256 Y 256 #15 mod 241

El nº de soluciones de la ecuación x4-y4=544 es: a)2; b) 4; c) 8

Descomponemos 544 = 2*2*2*2*2*17

272+-2/2=137 y 135 136+-4/2= 70 y 66 68+-8/2=38 y 30 34+-16/2=25 y 9 17+-32/2= nada

n =3mod(7) por tanto n es de la forma n =7q+3 Cualquier número se puede escribir de la forma m=7q+r con r entre 0 y 6

Si elevas m al cuadrado tendrás: m2=7q'+r2 de manera que para los diferentes valores posibles de r deduces que en ningún caso m2 es de la forma 7q'+3, con lo cual n nunca será el cuadrado de ningún numero natural sea cual sea n.

Un estudiante compra un total de 6 libros de dos series distintas A y B pagando un total de 21600pts. Sabiendo que el precio de cada libro de la serie A es 300pts mas que el precio de cada libro de la otra.¿cual de las siguientes cantidades pagó por todos los libros de la

serie A? a-) 15500 b-) 14800 c-) 12400

a + b = 6 b=6-a ax + (6-a)(x-300)=21600 para a=1 x=

x = y + 300 y =300-x ax + +6x-1800-ax+300a = 21600

ax+by = 21600 300a+6x= 23400

6x = 23400-300a

¿Cuántos números distintos de seis cifras se pueden formar con cuatro "2" y cuatro "3"?

a)50 b)45 c)36

Si aplicamos la fórmula, siendo n=2 t=5 r=6 fórmula: VR(n,r)-n*[Sumatorio desde i=t hasta i=r de C(r,i)] VR(2,6)-2*[C(6,5)+C(6,6)] lo que da 2^6-2*[6+1]=64-2*7=64-14=50, que es la a)

Los números de la forma 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1), con n mayor que 1 y natural son: siempre primos ; b) siempre compuestos ; c) primos o compuestos dependiendo de n.

Como 1 + 3 + 5 + .... + (2n - 1 ) = n2 (progresión aritmética de primer término 1 y diferencia 2), siempre es compuesto.

Sea A un conjunto con cuatro elementos. Consideremos un grafo G cuyos vértices son los subconjuntos de A de dos elementos. Dos vértices están unidos por una arista si su intersección (como subconjuntos de A) es no vacía. Entonces G es:

a) completo ; b) bipartito ; c) euleriano

Si A = {a, b, c, d}, tiene C(4,2) = 6 subconjuntos de dos elementos, luego el grafo tiene seis vértices; cada vértice tiene cuatro aristas (el vértice que corresponde a {a,b} está conectado con {a,c}, con {a,d}, con {b,c} y con {b,d}; lo mismo pasa con los cinco vértices restantes) Por tanto todos los vértices son de grado par y es euleriano La solución es la c)

¿Cuántos números del conjunto {1, 2, ......., 10000} tienen la propiedad de que la suma de sus dígitos es seis y la cifra correspondiente a las unidades es “1”?

a) 166 ; b) 83 ; c) 21

Como la cifra de las unidades ha de ser un “1”, quedan solo tres lugares para colocar cifras que sumen cinco. Estas pueden ser {0, 0, 5} que nos dan números, {0, 1, 4} que da 3! = 6, {0, 2, 3} que da 3! = 6, {1, 1, 3} que nos dan y {1, 2, 2} que nos dan Total: 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 21. La solución es la c).

El resto de la división de 77156 por 169 es: a) 1 ; b) 77 ; c) 168

Como 169 es 132, (169) = 13 * 12 = 156, El Teorema de Euler dice: “Si p es primo, ”. En este caso 131561 mód (169), y el resto es 1. a)

El resto de la división de 3n por 17, donde n=100!, es: como 17 es primo, 316 #1 mód (17) 100! es múltiplo de 16, esto es 100! = 16*h 3100 = 316*h = 1h = 1 mód 17

La ecuación 12x=20 mód(21) es equivalente a la ecuación diofántica: 12x + 21k = 20.

Como d = mcd(12,21) = 3 no divide a 20, la ecuación no tiene ninguna solución

1 Sabemos que un mapa plano tiene 7 regiones y v vértices, de los cuales x>2 son de grado 3 (es decir en estos vertices coinciden 3 fronteras) e y >2 son de grado 4. Entonces v es igual a: a)7 b)5 c)10

#R + #V = #E + 2 7 + 7 = 12 + 2

Cuantas palabras distintas se pueden formar con ARITMETICA sin que la M y la E esten juntas

Cuando la M y la E han de ir juntas, es como si fueran una sola letra, y habría 9 letras de las que son iguales dos A, dos I y dos T. Serían: Permutaciones con repetición de 9 letras donde hay 2 A, 2 I y 2 T iguales: 9!/(2!*2!*2!); este número hay que multiplicarlo por 2! (permutaciones ME y EM) Por tanto queda: 9!/(2!*2!) = 9!/4 = 9*8*7!/4 = 9*2*7! = 18*7! Todas es: 10!/(2!*2!*2!) = 10*9*8*7!/8= 90*7!

Por tanto la solución es: 90*7! - 18*7! = 72*7!

Cuantas permutaciones de los numeros 1,2,...,6 dejan fijos tres numeros?:

Hay C(6,3) formas de elegir tres números que se van a quedar fijos. C(6,3)= 6!/(3!(6-3)!)=20

Para el resto de los elementos se tiene d(6-3)=d(3)desordenaciones d(3)= 2 C(6,3)*d(6-3)=20*2= 40

Cuantas permutaciones de los números 1,2,..,5 dejan fijos dos o mas numeros: la respuesta es 31, es parecido al primero.

Dejando 2 elementos =20 dejando 3 elementos =10 dejando 4elementos=0 (ya que el que sobra también estaría fijo) dejando los 5 elementos =1 20+10+0+1=31

Cuantas sucesiones con n>=3 elementos se pueden formar con lños simbolos del conjunto (a,b,c) que posean al menos una "a", al menos una "b", y al menos una "c" y tales que todas las "a"

sean contiguas y lo mismo las "b" y las "c": r:3n^2-9n+6?

Si empiezas por n=4 serían:

1)aabc y habría que permutarlas, manteniendo las dos "aes" juntas; esto es, como si fueran tres letras: 3! = 6

2) abbc y luego al permutarlas, otras 3! = 6

3) abcc y otras 6

Total 18

a) 3^n-3*2^n +3, que para n=4 da: 81-48+3=36 (no vale)

b) 3^n-2^n-13, y para n=4 da: 81-16-13 = 52 (no vale)

c) 3n^2 -9n + 6 y para n=4 da: 48-36+6 = 18

Tenemos 6 libros de la clase A y B 300 pts más caros. a + b = 6

pa = pb + 300 pesetas

luego la ecuacion que resulta es:

1) a*(pa) + b*(pb) = 21.600 2) a*(pb + 300) + b*pb = 21600

como a + b = 6 entonces b= 6 - a

a*(pb + 300) + (6 - a)*pb = 21.600

a*pb + 300*a + 6*pb - a*pb = 21.600 300*a + 6*pb = 21.600

Esta ecuacion es de la forma: ax + by=n

(siendo x=a e y= pb para que no te confunda la notacion).

Es una ecuacion lineal diofantica.

mcd(a,b)=d es decir, mcd(300,6)=6 y 6|21.600 (infinitas soluciones)

6= 300*0 + 6*1 solucion particular sería:

a(0)=0*(n/d) a=0 pb(0)=1*(n/d) b=1*(21.600/6)=3600

La forma de las soluciones generales estaría en funcion

de t . siendo t un entero, de la forma:

a=a(0) + (pb/d)*t -> a=0 + (6*t)/6 -> a=t pb=pb(0) -

(a/d)*t -> pb=3600 - (300/6)*t -> pb= 3600 - 50*t

Ahora, sabemos que el numero de libros de la serie A no

puede superar a 6 unidades, y tambien sabemos que hemos

comprado libros de las dos series, luego, a<=5

luego t puede ser: 1,2,3,4 o 5 lo cual se deduce de las

anteriores formulas ya que sabemos:

a= 6*t b= 6*t - a pb= 3600 - 50*t pa= pb + 300 = 3600 -

50*t + 300= 3900 - 50*t

luego para t=5 ,a= 5 y el pa= 3900 - 50*t = 3900 -

50*5= 3650

si multiplicamos el precio de los libros serie A(3650

pesetas) por 5 unidades, nos da un total de 18.250

pesetas que no es una solucion de las que nos han dado.

Hacemos t= 4. luego a= 4 y pa= 3900 - 50*4= 3700

Ahora, 4 libros de la serie a a 3700 pesetas son 14.800

pesetas que es la solucion b del examen.

Los libros comprados de la serie B son 2 y su precio es

de 3600 - 50*t= 3600 - 50*4= 3400 (exactamente 300

pesetas mas baratos que los de la serie A).

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Un estudiante compra un total de 5 libros de dos series

distintas A y B pagando un total de 5700 pts. Sabiendo

que el precio de cada libro de la serie A es 900 pts.

más que el precio de cada libro de la serie B, ¿Cúal de

las siguientes cantidades pagó por todos los libros de

la serie A?

  • 4.500 pts. 2. 3800 pts. 3. 4200 pts.

  • Encontrar el resto de 2290 entre 289.

    289=17^2, por lo tanto no puedo usar a^(p-1)=1mód(p) para p primo.

    pero se que si d |m y a = b mód(m) entonces a = b mód(d).

    Cómo se podría hallar la correcta ? si a y n son primos entre sí se cumple que:

    a^fi(n)=1 , modulo n siendo fi(n) la Función de Euler del número n. La

    fórmula que tú aplicas es un caso particular de esto, aplicable a números primos.

    fi(289)=(17-1)*17=272 con lo que (siempre modulo 289)

    2^290=2^(272+18)=2^18 y la solución sera el resto de 512*512/289 que si no me equivo es 21

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    El número 59x748 es divisible por 123. Entonces:1.- x= 0,1,2 ó 3. 2.- x= 4,5 ó 6. 3.- x= 7,8 ó 9. La solución es la 3. En concreto el número es 599748.

    Como 123 = 3·41, el número buscado ha de ser multiplo de 3 y, por tanto, la suma de sus cifras, múltiplo de 3; como 5+9+7+4+8 = 33, el x buscado ha de ser 0, 3, 6 ó 9.Como además tiene que ser múltiplo de 41, se va probando la cifra que falta, y la que vale es el 9. Luego x = 9 y 599748/123 = 4876.

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    >El resto de la división de 13 + 23 + 33 +...+8003 por 8 es: a) 1 b) 0 c) 3

    Tenemos que calcular 13 + 23 + 33 +...+8003 MOD 8, luego todas las operaciones las haremos MOD 8:

    13 = 1 23 = 0 33 = 3 43 = 0 53 =5 63 = 0 73 = 7 83 = 0 por tanto,

    13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 = 16 = 0 y como la suma pedida es exactamente 100 veces ésta (ya que 1=9=17=...=1+8k, 2=10=18=2-8k, ...) el resto de la

    división es cero.

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    Los nº de la forma 2k + 1 siendo k natural y múltiplos de 3 son:

    a) siempre primos b)siempre compuestos c) primos o compuestos depend de k

    a3 + 1= (a+1)(a2-a+1) y como K= 3t osea múltiplo de 3, entonces:

    2k+1 = 23t+1 = (2t+1)(22t-2t+1) por tanto siempre compuesto.

    Pregunta 1  (1 puntos)

    Principio del formulario

    Sea M la matriz de adyacencia de un grafo G con p>1 vértices. Sea C=Mp-1+Mp-2+M.

    1.

    Si C tiene alguna entrada no nula, entonces el grafo es conexo.  

    2.

    Si la entrada (i,j) de C es igual a 1, entonces existe una arista entre el vértice i y el vértice j  

    3.

    Si el grafo es conexo, entonces todas las entradas de C son no nulas  

    Pregunta 2  (1 puntos) --

    Principio del formulario

    Sea Kr el grafo completo de r vértices, (r>2). Entonces su matriz de adyacencia es:

    1.

    aii=1, aij=1 (i distinto de j)  

    2.

    aii=1, aij=0 (i distinto de j)  

    3.

    aii=0, aij=1 (i distinto de j)  

    Sea G un grafo con matriz de adyacencia A. ¿Cuál de las siguientes informaciones dan los elementos de la diagonal principal de A2?

    1.

    Los grados de los vértices de G  

    2.

    Los ciclos con a lo más dos aristas  

    3.

    Ninguna de las anteriores  

    Sea K6 el grafo completo de 6 vértices. Entonces:

    1.

    Es bipartito ya que tiene un número par de vértices  

    2.

    Es hamiltoniano  

    3.

    Es euleriano  

    Pregunta 5  (1 puntos)

    Principio del formulario

    Sea G un grafo y M un mapa con r regiones que representa a G. Si el grado de todos los vértices es 5 y G tiene 20 aristas, entonces r es:

    1.

    12  

    2.

    14  

    3.

    18  

    1.

    Ninguna vez  

    2.

    Una vez  

    3.

    Dos veces  

    ¿Cuál es el número de veces que se debe levantar el lápiz para dibujar la figura sin repetir ninguna arista?
    Matemática discreta

    Pregunta 7  (1 puntos)

    Principio del formulario

    Sea G un grafo con siete vértices y C={v1,v3,v2, v4,v5,v7,v6,v1} un camino en G. Entonces:

    1.

    C es un camino euleriano  

    2.

    C es un ciclo hamiltoniano  

    3.

    C no está bien definido  

    Pregunta 8  (1 puntos)

    Principio del formulario

    ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

    1.

    Todo grafo tiene un número de vértices de grado par  

    2.

    Todo grafo tiene un número par o cero de vértices de grado impar  

    3.

    la suma de los grados de los vértices de un grafo es par  

    Final del formulario

    Pregunta 9  (1 puntos)

    Principio del formulario

    Sea G el grafo formado por los vértices y aristas de un tetraedro T más el centro de T y las aristas que unen dicho centro con los vértices de T. Entonces:

    1.

    G es bipartito  

    2.

    G es euleriano  

    3.

    G no es hamiltoniano  

    En el camino más corto entre los vértices u y vi . Matemática discreta
    Entonces lv4 = 6 y lv2 = 2

    Principio del formulario

    Matemática discreta
    Final del formulario