Matemática Discreta

Conjuntos y aplicaciones. Relaciones y grafos. Teoría de números. Combinatoria y recurrencia. Algoritmo Euclides. Ecuaciones diofánticas. Congruencias

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PROGRAMA DE MATEMATICA DISCRETA

Curso 1996-97

1.- Conjuntos y aplicaciones.

Noción intuitiva de conjunto, subconjunto y complementario, unión e intersección de conjuntos, producto cartesiano.

Definición de aplicación, tipos de aplicaciones, composición de aplicaciones, inversa de una aplicación.

2.- Relaciones y grafos.

Relaciones binarias, relaciones de equivalencia, conjunto cociente. Relaciones de orden, conjuntos ordenados, elementos especiales de un conjunto ordenado. Diagrama de Hasse.

Conceptos básicos y terminología de grafos. Conexión de grafos. Grafos eulerianos y hamiltonianos. Grafos planos. Árboles. Grafos dirigidos. Coloreado de grafos.

3.- Teoría elemental de números.

Divisibilidad en Z. Algoritmo de Euclides, básico y extendido. Números primos. Teorema fundamental de la aritmética. Principio de inducción. Ecuaciones Diofánticas. Congruencias : teorema chino de los restos, criterios de divisibilidad, sistemas de numeración.

4.- Combinatoria y recurrencia

Principio de inclusión exclusión. Permutaciones con y sin repetición. Combinaciones con y sin repetición. Fórmulas combinatorias, teorema binomial.

Sucesiones definidas por recurrencia. Resolución de relaciones recurrenter por iteración.

Relaciones de recurrencia de orden superior con coeficientes constantes. Funciones definidas recurrentemente.

5.- Cálculo de proposiciones

Sintaxis. Deducción natural. Tablas semánticas. Resolución.

Bibliografía.

Epp, S. S. “Discrete Mathematics with Aplications”. Ed. Wadsworth Publishing Company (1990).

Biggs, N. L. “Matemática Discreta”. Ed. Vicens Vives (1994).

Bujalance, E. “Elementos de Matemáticas Discretas”. Ed. Sanz y Torres (1993). (UNED)

Bujalance, E. “Problemas de Matemáticas Discretas”. Ed. Sanz y Torres (1993). (UNED)

Liu, C. L. “Elementos de Matemáticas Discretas”. Ed. McGraw-Hill (1995).

Grimaldi, R. P. “Matemática Discreta y Combinatoria”. Ed. Addisson-Wesley Iberoamericana (1989).

1.- CONJUNTOS Y APLICACIONES

Conjunto

Definición : Es una colección de objetos bien definidos y diferenciables entre si que se llaman elementos.

Representación

Suelen emplearse letras mayusculas para los conjuntos y minusculas para los elementos.

Pertenencia de un elemento `x' a un conjunto `A' se denota : x " A

El contenido de un conjunto se representa :

  • por extensión : encerrando todos sus elementos entre llaves. Ej : A={1,2,3,4...}

  • por comprensión : mostrando entre llaves sus propiedades características. Ej : A={ x"N | 1 " x " 4 }

  • mediante `Diagramas de Venn' : Los diagramas de Venn son regiones del plano que simbolizan conjuntos. No tienen valor demostrativo salvo para refutar con un contraejemplo.

Tamaño o Cardinalidad

El tamaño de un conjunto A es su nº de elementos y se denota entre barras : |A|

Si un conjunto tiene " elementos se dice que es :

- infinito numerable si " aplicación biyectiva entre el conjunto y N.

- infinito no numerable en caso contrario. Ej : R ( porque " " decimales)

Subconjunto

Definición

Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B, si todo elemento de A es también un elemento de B.

Si además existe algun elemento de B no pertenencientes a A, se dice que A es subconjunto propio de B.

Ojo ! : A"B no excluye la posibilidad de que A"B, esta, es una información que ignoramos.

Representación

A subconjunto de B : A"B, o B"A

A subconj. propio de B : A"B, o B"A (notese como desaparece la línea de igual al excluirse tal posibilidad)

Propiedades de la relación "

  • reflexiva (cumple la relacion consigo mismo) : A"A

  • antisimetrica (no simetrica) : si A"B y B"A ! A=B

  • transitiva (B hace de intermediario) : si A"B y B"C ! A"C

Se considera que todo conjunto no vacío tiene como subconjunto al nulo y a si mismo.

Las expresiones `x"A' y `{x}"A' son equivalentes, ambas expresiones significan que el conjunto que tiene a x

como único elemento es subconjunto de A.

Algunos conjuntos

Nulo `"' o `{}` : Es aquel que carece de elementos.

Ojo ! : |"|=0 pero {"}"" porque este conjunto ( {"} ), tiene un elemento: el nulo.

Universal `U' : Es la colección de todos los elementos implicados en el problema a considerar.

Iguales `A=B' : Aquellos conjuntos que contienen los mismos elementos sin importar orden o repetición.

Diferencia `AB' : Es el conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B : A-B={x| x"A, x"B} )

Diferencia simétrica `A"B' : (A"B)-(A"B)= (A "

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