Lógica

Negación. Conjunción. Disyunción. Enunciación hipotética. Proposiciones simples y compuestas. Operadores lógicos. Tablas de verdad. Condicional. Formas y propiedades proposicionales. Leyes de Morgan

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Trabajo de Investigación

Unidad #1

¿ Qué es lógica ?

Es la ciencia de las proposiciones y las demostraciones que se basan en un razonamiento para llegar a una conclusión, ya sea verdadera o falsa.

Elementos:

Negación

Este operador lógico cambia el valor de verdad de las proposiciones de verdadero a falso o viceversa. Se simboliza por ¬ y se lee ¨´NO¨´.

Conjunción

Este operador lógico se relaciona con dos proposiciones para formar una tercera proposición que es la conjunción de las dos primeras. Se representa por el símbolo ^ que se lee ´´´I¨´´. En español la ´´I´´ de propsición se hace generalmente con la conjunción copulativa Y, pero a veces se hace con otras. Por ejemplo ¨´´pero´´

Disyunción

Este operador lógico relaciona 2 proposiciones para formar una tercera proposición que es la disyunción de las dos primeras. Se representa con el símbolo ¨V´´ que se lee ´´o´´.

La palabra o permite una doble interpretación en español.

Enunciación Hipotética

Este operador lógico tiene una gran importancia por medio del condicional simple también conocido como ´´explicación lógica´´ se puede construir una nueva proposición llamada antecedente o hipótesis y de otra llamada consecuente o tésis. La simbología es ´´ ´´ que se lee ´´entonces´´.

Bicondicional

Es un operador lógico que relaciona dos proposiciones y se simboliza por ´´ ´´ y se lee ´´si y solo si´´.

Disyunción Exclusiva

La disyunción exclusiva sirve para determinar una conclusión, pero no las dos a la vez. Se simboliza ´´ v´´ y se lee ´´o´´ pero no ambas.

Proposición

¿Qué es una proposición?

Proposición.- Es toda oración o enunciado al que se le puede asignar un cierto valor (V o F).

Si no puede concluir que es verdadero o falso no es proposición. Ejemplo

  • Hoy es lunes (falso). Si es proposición ya que se puede verificar.

  • El árbol es grande. Como no se puede concluir si es verdadero o falso, no es una proposición.

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo:

p, q, r, a, b, etc.

Clases de proposiciones

Hay dos clases de proposiciones:

  • Proposiciones simples y compuestas, también llamadas atómicas y moleculares respectivamente.

a. Proposiciones Simples.- También denominadas atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. Ejemplo:

El cielo es azul. (verdadero)

Nomenclatura: p

b. Proposiciones Compuestas.- También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Ejemplo:

Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.

Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.

Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalaré un auto.

Conectivos (Operadores) Lógicos.-

Son aquellos que sirven para formar proposiciones más complejas (compuestas o moleculares).

Conectivos Lógicos:

Conectivo

Prop. Compuesta

NOT

¬

Negación

AND

^

Conjunción

OR

v

Disyunción inclusiva

OR exclusivo

v

Disyunción exclusiva

Condicional

Bicondicional

Tablas de verdad de los Conectivos Lógicos

A. Negación.-

Ejemplo:

p.- Juan conversa

-p.- Juan no conversa

B. Conjunción.-

Ejemplo:

P: La casa está sucia.

Q: La empleada la limpia mañana

P Q: La casa esta sucia y la empleada la limpia mañana

C. Disyunción.-

D. Disyunción exclusiva.-

Ejemplo:

P: Pedro juega básquet

Q: María juega fútbol

PvQ: Pedro juega básquet o María juega fútbol.

E. Condicional.-

Ejemplo:

P:Si me saco la loteria

Q: Te regalaré un carro

P Q: Si me saco la lotería entonces te regalaré el carro.

F. Bicondicional.-

Ejemplo

P: Simón Bolivar vive

Q: Montalvo está muerto

P Q: Simón Bolivar vive si y solo si Montalvo está muerto.

Traducción de proposiciones compuestas de lenguaje común a lenguaje formal.-

Para realizar este proceso seguimos los siguientes pasos:

  • Identificar las proposiciones simples.

  • Dar nombre a cada proposición simple.

  • Identificar los conectivos utilizados.

  • De los conectivos identificar el principal.

  • Traducir al lenguaje formal.

  • Ejemplo:

    Berta es atractiva o Claudia es atractiva, pero no ambas.

    p: Berta es atractiva

    q: Claudia es atractiva

    'Lógica'

    'Lógica'

    Estudio o trabajo, pero si tomo mis vacaciones no trabajo.

    p: Estudio

    q: Trabajo

    r: Tomo mis vacaciones

    'Lógica'

    'Lógica'

    Condicional.-

    'Lógica'

    Antecedente Consecuente

    Cond. Suficiente Cond. Necesaria

    Para leer un condicional se puede usar la siguiente forma de parafrasear:

    • Si p entonces q.

    • Si p, q

    • P implica q

    • P solo si q

    • P es suficiente para q

    • Q si p

    • Q para que p

    • Q es necesario para p

    Para reconocer la forma del condicional (parafraseo), en el caso que no sea “p es suficiente para q”, realizamos la siguiente pregunta:

    ¿Qué es suficiente para ... ? y como respuesta obtenemos el antecedente del condicional.

    ¿Qué es necesario para ... ? y como respuesta obtenemos el consecuente del condicional. Ejemplo:'Lógica'

    Pienso luego existo'Lógica'

    ¿Qué es suficiente para que piense?

    ¿Qué es necesario para que exista?

    P: Pienso

    Q: Existo

    'Lógica'

    Recíproca, inversa y contra recíproca de una condicional

    Proposición directa p'Lógica'
    q (Si p, entonces q.)

    Recíproca q'Lógica'
    p (Si q, entonces p.)

    Inversa (contraria) ¬p'Lógica'
    ¬q (Si no p, entonces no q.)

    Contra recíproca ¬q'Lógica'
    ¬p (Si no q, entonces no p.)

    Ejemplo:

    Pienso entonces existo

    P: Pienso

    Q: Existo

    Original: P -Q:

    Inverso: P-Q: No pienso entonces no existo.

    Recíproca: Q-P: Existo puesto que pienso.

    Contrarecíproca: q -p: No existo puesto que no pienso.

    Formas Proposicionales

    Existen 3 formas proposicionales:

    • Tautológicas

    • Contradicciones

    • Falacias

    Tautológicas.- Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero.

    Contradicciones.- Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.

    Falacias o Indeterminada.- Es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez.

    Condición Suficiente.-

    H es condición suficiente para C.

    Ejemplo:

    Si llueve hoy entonces me mojo

    H C

    Condición Necesaria.-

    C es condición necesaria para H, si la enunciación hipotética A-B es verdadera se dice que A es una condición suficiente para B. Bajo las mismas condiciones , se dice que B es una condición necesaria para A. Esquemáticamente:

    A-B Dónde

    A: Condición suficiente para B

    B: Condición necesaria para A

    Propiedades del Álgebra de proposiciones.

    a. Conmutativa.-

    'Lógica'

    b. Asociativa.-

    'Lógica'

    c. Distributiva.

    'Lógica'

    'Lógica'
    'Lógica'

    d. 'Lógica'
    Identidad.

    'Lógica'

    e. Absorción.

    'Lógica'

    f. Leyes de Morgan.

    'Lógica'

    g. Doble Negación.

    'Lógica'

    Razonamiento

    Las formas proposicionales que están constituidas por una o más hipótesis o premisas y por una conclusión.

    Estructura

    Conjunto de premisas Conclusión

    'Lógica'

    Un razonamiento es válido si y solo si el condicional formado es tautológico.

    Ejemplo:

    Si hay lluvias, hay cosechas; si hay enfermedades, no hay cosechas; hay heladas o hay enfermedades; no hay enfermedades. Por lo tanto, hay lluvias.

    1.- Identificamos las hipótesis y la conclusión, que en este caso son separadas por “;”.

    H1.- Si hay lluvias, hay cosechas.

    H2.- Si hay enfermedades, no hay cosechas.

    H3.- Hay heladas o hay enfermedades.

    H4.- No hay enfermedades.

    C.- Hay lluvias.

    2.- Determinamos las proposiciones simples:

    p: Hay lluvias

    q: Hay cosechas

    r: Hay enfermedades

    s: Hay heladas

    3.- Traducimos al lenguaje formal.

    H1:'Lógica'

    H2:'Lógica'

    H3: 'Lógica'

    H4:'Lógica'

    C: 'Lógica'

    4.- Entonces estructuramos el razonamiento.

    'Lógica'

    'Lógica'

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