Lógica modal

Filosofía. Lógica. Modalidades. Implicación. Condicional. Validez lógica. Lewis. Cálculo de modalidades. Axiomas. Teoremas. Reglas

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LOGICA II

OPCION (V): LOGICA Y MODALIDADES

INDICE:

1. EL PROBLEMA DE LA IMPLICACION.

1.1. IMPLICACION vs CONDICIONAL.

1.2. LAS PARADOJAS DE LA IMPLICACION MATERIAL.

2. LA PROPUESTA DE C.I. LEWIS.

2.1. EL FILOSOFO.

2.2. LA IMPLICACION ESTRICA.

2.3. EL SISTEMA.

4. LA LOGICA MODAL.

NOTAS Y BIBLIOGRAFIA.

1. EL PROBLEMA DE LA IMPLICACION.

Una de la propiedades de las argumentaciones es la validez lógica. Esta es la propiedad lógica central de la argumentación y nos garantiza que si las premisas de las que partimos son verdaderas, la conclusión será también verdadera. Una inferencia es una inferencia válida dependiendo de su forma. Una argumentación es válida si su forma es válida y que serán válidas todas las que tengan es misma forma.

Para dilucidar con precisión que determinada inferencia es una inferencia lógica, contamos con los conceptos de consecuencia lógica y formula válida. Los enunciados (premisas) de una determinada argumentación implican a un enunciado (conclusión) si los esquemas lógicos de tales enunciados son fórmulas tales que la correspondiente a la conclusión es una consecuencia lógica correspondiente a las premisas o si el esquema condicional que tiene por antecedente a las premisas y por consecuente con la conclusión es una formula válida.

Como se ve el asunto es muy importante, puesto que todo sistema lógico tiene una relación del condicional especificada y definida.

  • IMPLICACION VERSUS CONDICIONAL.

  • El condicional es el nombre que recibe la conectiva binaria `si ...entonces' simbolizada por los signos `!' o `"'. Ha sido común en la literatura lógica confundir la implicación con el condicional sin tener en cuenta que mientras en el condicional se emplean enunciados, de acuerdo con el esquema: p ! q (si p, entonces q); en la implicación se emplean nombres de enunciados, de acuerdo al esquema `p' implica `q'. La confusión citada se debe al olvido de la diferencia entre la mención y el uso.

    Ello no significa que no pueda emplearse la expresión `implica' al hablar de un condicional, lo que sucede es que tal expresión debe restringirse a las ocasiones en las cuales el condicional es lógicamente verdadero.

  • LAS PARADOJAS DE LA IMPLICACIÓN MATERIAL.

  • En el análisis de los enunciados condicionales son varias las formas que se les ha asignado. La interpretación de este tipo de enunciados más elaborada y mejor conocida es aquella que los considera como enunciados veritativo-funcionales: como enunciados tiene un valor de verdad que depende del valor de verdad de los enunciados componentes. La relación condicional que da lugar al compuesto es el llamado condicional material.

    El condicional material no indica ninguna relación entre antecedente y consecuente, sino que el único aserto contenido en una oración condicional es que o se da lo enunciado por el antecedente o se da lo enunciado por el consecuente. La implicación material permite la construcción de enunciados chocantes, donde no hay ninguna conexión de significado entre antecedente y consecuente. Son las llamadas paradojas de la implicación material:

    • Una proposición falsa implica cualquier proposición.

    • Una proposición verdadera es implicada por cualquier proposición.

    • Una contradicción implica cualquier proposición.

    • Una verdad lógica es implicada por cualquier proposición.

    Como no hay un nexo semántico (que haya un “parentesco” al menos entre enunciados) tendemos a considerarlos como no válidos. La definición clásica de la implicación lógica permite en ocasiones concluir que una proposición implica otra sin que entre ellas exista el menor vínculo significativo.

    Esto ha llevado a lógicos y filósofos de todos los tiempos a la creencia de que el condicional ha de ser analizado en términos de las condiciones de verdad, pero no de las establecidas por el condicional material. Estas paradojas se eliminan mediante la interpretación estricta de la implicación.

    Esta concepción de la implicación motivó la propuesta de sustitución, por parte de C.I. Lewis de la implicación material por la estricta.

    2. LA PROPUESTA DE C.I. LEWIS.

    2.1.EL FILOSOFO.

    Nace en 1883, en Stoneham, Massachusetts (EUA). Estudió en Harvard. Fue profesor auxiliar en la Universidad de California y luego profesor en Harvard hasta su jubilación en 1953. Murió en 1964.

    2.2. LA IMPLICACION ESTRICTA.

    Es común hablar de implicación filónica o material y de implicación diodoriana o estricta y distinguirlas del modo siguiente: hay implicación material cuando un condicional es siempre V salvo cuando el antecedente es F; hay implicación estricta cuando en un condicional el consecuente es deducible del antecedente.

    Lewis no deseaba rechazar las tesis de la implicación material que aparece en PM de Rusell y Whitehead, ya que reflejan el sentido funcional de verdad que ellos utilizan para la palabra “implica”. Lo que Lewis mantiene es que existe otro sentido, más fuerte, de “implica”, un sentido en el que cuando decimos que `p implica q ', queremos significar que `q se sigue de p'.

    Lewis considera que su empleo de `implica' está más de acuerdo con los usos habituales de tal relación en la inferencia y en la prueba.

    El cálculo basado en la implicación estricta no es ni un cálculo de extensiones, ni un cálculo de intensiones. Incluye relaciones de ambos tipos, pero las distingue y muestra sus conexiones. La implicación estricta contiene la implicación material en tanto que sistema parcial, y contiene también un sistema parcial suplementario cuyas relaciones son las de intensión.

    El sistema de la implicación estricta de Lewis permite aclarar lo que implicaría una proposición falsa si fuese verdadera y abre el campo de la inferencia lógica. Tenemos que p " q significa `p implica estrictamente a q' o `no es posible que no sea el caso que si p entonces q'.

    2.3. EL SISTEMA.

    Lewis se dio a conocer primero por su manual de lógica simbólica en el cual presentó su lógica modal y su cálculo de modalidades. Por lo pronto descartó la noción de implicación material y basó el cálculo lógico en la implicación material. La razón aducida para introducir esta modificación era que la implicación material impedía ejecutar inferencias partiendo de suposiciones falsas. La relación designada por Boole y Rusell mediante el término `implica' es de tal índole que no puede poner en claro lo que implicaría una proposición falsa si fuese verdadera. De este modo se abrió paso a la modalidad.

    El primer tratamiento comprehensivo de los sistemas de implicación estricta apareció en 1932 en libro de Lewis y Langford Symbolic Logic. A la posibilidad se le considera como el operador modal primitivo y se desarrollan con considerable detalle dos sistemas axiomáticos de implicación estricta (S1 y S2). También se desarrollan los sistema S3 y otros dos (S4 y S5) que contiene algunos de los postulados de reducción de Becker.

    Veamos.(*)

    • S1:

    • Símbolos primitivos.

    • Reglas de formación.

    • Definiciones:

    • Def. " (a " b) = Def. ¬ (¬a • ¬b)

    • Def. " (a " b) = Def. ¬M (a • ¬b)

    • Def. = (a = b) = Def. [(a " b) • (b " a)]

    • Def L. La = Def. ¬M ¬a

    • Axiomas:

    • AS1.1 (p • q) " (q • p)

    • AS1.2 (p • q) " p

    • AS1.3 p " (p • p)

    • AS1.4 [(p • q) • r] " [p • (q • r)]

    • AS1.5 [(p"q) • (q"r)] " (p"r)

    • AS1.6 [p • (p"q)] "q

    • Reglas de transformación:

    • Sustitución uniforme.

    • Sustitución de equivalentes estrictos.

    • Adjunción.

    • Modus Pones (separación).

    • Teoremas: (TS1)

  • (p • q) = (q • p)

  • p " q

  • p = p

  • (¬p " q )= (¬q " p)

  • [p • (q • r)] = [(p • q) • r]

  • ¬¬p " q

  • ¬p = ¬ ¬ ¬ p

  • p " ¬ ¬ p

  • p = ¬ ¬ p

  • [(p • q) " r] = [(p • ¬r) " ¬q]

  • (p " q) " (p " q)

  • [p • (p " q)] " q

  • [p • (p " q)] " ¬[r • ¬(q • r)]

  • (p " q) " [¬ (q • r) " ¬ (p • r)]

  • (p " q) = L (p " q)

  • p= (¬p " p)

  • Lp = (¬p " p)

  • Lp " p

  • [(p • q) " r] = [p " (q • r)]

  • [(p " q) • (q " r) • (r " s)] " (p " s)

  • L (p " q) " (Lp " Lq)

  • Lp " (q " p)

  • ¬ Mp " (p " q)

  • [(p " q) • T] " [(p • r) " (q • r)]

  • [(p " q) • (p " r) • T] " [p " (q • r)]

  • {[p" (q • r)] • T} " [(p " q) • (p " r)]

    • S2:

    - Añadiendo a S1 el siguiente axioma:

    • AS2.1 M (p • q) " Mp

    - Teoremas:

    • TS2.1 Mp " M (p " q)

    • TS2.2 Lp (p • q) " Lp

    • TS2.2 a L (p • q) " Lq

    • TS2.3 Lp " (q " p)

    • TS2.4 ¬Mp " (p " q)

    • S3:

    • Añadiendo el siguiente axioma:

    • AS3.1 (p " q) " (¬Mq " ¬Mp)

    • Teoremas:

    • TS3.1 (p " q) " (Lp " Lq)

    • TS3.2 M (p • q) " Mp

    • TS3.3 Lp " (Lq "Lp)

    • TS3.4 (p " q) " {(p " r) " [p " (q • r)]}

    • TS3.5 (p " q) " [(q " r) " (p " r)]

    • TS3.6 (q " r) " [(p " q) " (p " r)]

    • TS3.7 LLq " (Lp " LLp)

    • S4:

    • Añadiendoa S1 el axioma extra:

    • AS4.1 Lp " LLp

    • Teoremas:

    • TS4.1 (p " q) " L (p " q)

    • TS4.2 (p " q) " (Lp " Lq)

    • TS4.3 (p " q) " (¬Mq " ¬Mp)

    • S5:

    • Se obtiene con la adición a S1 del axioma:

    • AS5.1 Mp " LMp

    • Teoremas:

    • TS5.1 Mp = LMp

    • TS5.2 Lp = LLp

    Esto son, en líneas escuetas, los sistemas modales ideados por C.I. Lewis, pero podemos decir algo mas.

    El S1 no está construido como extensión del cálculo proposicional. De hecho ningún axioma de S1 es una fórmula bien formada (a partir de ahora fbf) del cálculo proposicional. Incluso, mientras que la regla de Sustitución uniforme pertenece al cálculo proposicional, el Modus Ponens de S1 se establece para la implicación estricta, no para la implicación material como en al cálculo proposicional. Con esto, las pruebas de los teoremas de S1 pueden tener un “estilo” diferente ya que no tenemos libertad para servirnos de cualquier tesis del cálculo proposicional (a partir de ahora CP) que nos pueda parecer útil. No obstante, S1 contiene a CP; es decir toda tesis de CP es un teorema de S1, y toda fbf de CP es un a fbf de S1.

    Lewis introduce el AS2.1 o Postulado de Consistencia a S1, que significa que sólo una proposición posible o consistente puede ser un término en una conjunción consistente, obteniendo S2. En este sistema vemos la Regla de Becker o RB que dice !(a " b) ! !(La " Lb), esta fórmula permite demostrar en S2 las “paradojas de la implicación estricta” en sus formas más fuertes. S3 es semejante a S1 y S2 en que no contiene la regla de la Necesariedad de forma no restringida(a); y diferente a los anteriores en que contiene teoremas que permiten reducir las modalidades.

    Cada sistema sucesivo contiene a todos los anteriores, pero ninguno de los sistemas está contenido en ninguno de los anteriores, y por tanto, ninguno es deductivamente equivalente a cualquiera de los demás (b).

    3. LOGICA MODAL.

    3.1. GENERALIDADES.

    La lógica modal puede entenderse como el estudio de la noción de necesidad lógica (c).

    Entre las proposiciones verdaderas podemos distinguir:

    • se da el caso de que son verdaderas.

    • las que tienen que ser verdaderas, no pueden ser falsas.

    Entre las proposiciones falsas distinguimos también:

    • se da el caso de que son falsas.

    • las que tienen que ser falsas, no pueden ser verdaderas.

    A las proposiciones que tiene que ser verdaderas las llamamos necesariamente verdaderas o proposiciones necesarias. A las que tiene que ser falsas las denominamos proposiciones imposibles. Las demás serán denominadas proposiciones contingentes. Si una proposición no es imposible decimos que es una proposición posible, que incluyen todas las proposiciones, las verdaderas y las necesarias, excepto las imposibles.

    El sentido que “necesidad” adquiere en lógica modal queda explicado indicando que cuando decimos que una determinada proposición es necesaria no queremos significar con ello que de continuar el mundo tal y como está, no pueda dejar de ser verdadera, sino, más bien, que no podría de dejar de ser verdadera, independientemente de cómo estén las cosas. De modo semejante podemos decir de “imposibilidad”, “contingencia” y “posibilidad”. Estas cuatro nociones, son las nociones modales. La quinta noción importante es la vinculación, entendida como la conversa de la relación de “se sigue lógicamente de”. Los operadores monádicos modales serían: “es necesario que...” y “es posible que ...”; y los operadores diádicos de proposiciones sería: “vincula” y “se sigue lógicamente de”.

    Ninguno de ellos son funcionales de verdad y no pueden ser representados por los operadores del CP ya que éstos son funcionales de verdad. Así que para obtener la lógica modal tendremos que añadir nuevos operadores a CP y ampliar nuestros tipos de fórmulas. Introduciremos los símbolos L y M como operadores monádicos y " como operador diádico, y les permite que tomen como argumentos fórmulas cualesquiera. En vista de la interpretación que se les da les denominaremos a L el operador de la necesidad y a M el operador de la posibilidad.

    ¿Qué fórmulas modales son válidas? Existen condiciones que parece intuitivamente razonable exigir que cumpla un sistema para poder ser interpretado como sistema modal:

    • Si L Y M deben ser interpretados como los operadores de la necesidad y la posibilidad, deben ser válidas las equivalencias:

    • Lp " ¬M ¬p Mp " ¬L ¬p

    Los sistemas que contengan estas equivalencias podría tomar a M como primitivo e introducir L mediante definición o viceversa:

    • Ma = Df. ¬ L ¬a (base L) La = Df. ¬M ¬a (base M)

    • Siempre que p vincula a q es imposible que p sea verdadero sin que q sea verdadera también. Así que:

    • (p " q) " ¬ M (p • ¬q) (p " q) " ¬ M (p • ¬q)

    Cuando dos proposiciones se implican estrictamente la una a la otra decimos que cada una de ellas es estrictamente equivalente a la otra:

    • (a = b) = Df. [(a " b) • (b " a)] (a = b) = Df. L (a " b)

    • No pueden ser ni tesis ni válidas las siguientes:

    • Lp" ¬p Lp" p

    • Lp " (p "¬p) Lp " (p • ¬p)

    • Dos axiomas:

    • Axioma de necesidad: Lp " p

    • Axioma de posibilidad: p " Mp

    • Cualquier proposición que tenga la fórmula válida no es simplemente verdadera sino necesariamente verdadera.

    • Todo lo que se sigue lógicamente de una verdad necesaria es asimismo necesariamente verdadero. Así que:

    • [Lp • (p " q)] " Lq L (p " q) " (Lp " Lq)

    Cuando una fórmula sea tesis de un determinado sistema se dice que pertenece a, o está contenida en dicho sistema. Si dos sistemas A y B tiene distintas bases pero contiene las mismas tesis (exactamente) diremos que son equivalentes. Si todas las tesis del A son tesis del B, pero algunas de este último no lo son del anterior, diremos que A es el más débil y B el más fuerte de los dos sistemas. Si todas las tesis de A son tesis de B diremos que B contiene a A.

    3.2. EL SISTEMA T.

    El más débil de todos los sistemas que cumplen con todas las condiciones que hemos establecido es el sistema T, propuesto por Robert Feys en 1937.

    • Símbolos primitivos.

    • Reglas de Formación: RF1, RF2, RF3.

    • Definiciones:

    • Def. como en CP de ", ", •

    • Def. M Ma = Def. ¬ L ¬a

    • Def. " (a " b) = Def. L(a b)

    • Def = (a = b) = Def. [(a " b) • (a " b)]

    • Axiomas:

    • A1 .... A4 como en PM.

    • A5 Lp " p

    • A6 L (p " q) " (Lp " Lq)

    • Reglas de Transformación:

    • Sustitución Uniforme y Modus Ponens

    • RT3 o Regla de la Necesariedad: ! a ! ! La

    • Teoremas (T) y Reglas Derivadas (RD). Algunos de ellos son:

    • RD1 ! (a " b) ! ! (La " Lb)

    • T1 p " Mp

    • T2 (p = q) " (Lp " Lq)

    • T3 L (p • q) " (Lp • Lq)

    • T4 L (p " q) " (p = q)

    • RD2 ! (a " b) ! ! (La " Lb)

    • T5 Lp " ¬ M ¬p

    • T6 ¬ M (p " q) " (¬ Mp • ¬ Mq)

    • T7 M (p " q) " (Mp " Mq)

    • T8 (p " q) " (Mp " Mq)

    • RD3 ! (a " b) ! ! (Ma " Mb)

    • T9 (Lp " Lq) " L(p " q)

    • T10 M (p • q) " (Mp • Mq)

    • T11 (¬p " p) " Lp

    • T12 (p " ¬p) " L ¬p

    • T13 [(q " p) • (¬q " p)] " Lp

    • T14 [(p " q) • (p " ¬q)] " L ¬p

    • T15 Lp " (q " p)

    • T16 L ¬p " (q " p)

    • T17 Lp " [Mq " M(p • q)]

    • RD4 !a ! ! (Mb " M (a • b))

    3.3 LOS SISTEMAS S.

    Hay razones que sugieren la construcción de dos nuevos sistemas axiomáticos más potentes que T (uno de ellos es más potente que el otro). Toda tesis de T es también tesis de S4, y toda tesis de S4 es tesis de S5. Son:

    • S4:

    • Axiomas:

    • A7 Añadiremos el axioma Lp " LLp a T

    • Teoremas: (S4)

    • T18 MMp " Mp

    • T19 Lp " LLp

    • T20 Mp " MMp

    • T21 MLMp " Mp

    • T22 LMp " LMLMp

    • T23 LMp " LMLMp

    • T24 MLp " MLMLp

    • S5:

    • Axiomas:

    • A8 Añadiremos el axioma Mp " LMp a T

    • Teoremas: (S5)

    • T25 MLp " Lp

    • T26 Mp " LMp

    • T27 Lp " MLp

    • T28 L(p"q) " (Lp "Mq) (d)

    • T29 L(p " Lq) " (Lp " Lq)

    • T30 L(p " Mq) " (Lq " Mq)

    • T31 M (p • Mq) " (Mp • Mq)

    • T32 M (p • Lq) " (Mp • Lq)

    • T33 p " LMp Axioma Brouweriano.(e)

    • T34 MLp " p

    • RD5 ! (Ma " b) ! ! (a " Lb)

    3.4. RELACION ENTRE LOS SISTEMAS S Y T. (f)

    S5 S4 T

    S3 S2 S1

    T está contenido en, pero no contiene a, S4. T contiene a S2, pero éste no contiene a T, como tampoco S3 contiene T, pero éste tampoco contiene a S3: T y S3 son sistemas independientes.

    La relación existente entre los sistemas S y el T se representa por el diagrama superior: Los sistemas que aparecen por encima de la línea horizontal poseen la regla no restringida de la Necesariedad. Los que están a la izquierda de la línea vertical poseen solamente un número finito de modalidades distintas

    NOTAS:

    * Los símbolos que utilizo son:

    " Implicación estricta.

    " Implicación material.

    • Conjunción.

    " Disyunción

    " Equivalencia material

    ¬ Negación.

    a y b como  y 

    ! a por ejemplo `a es una tesis'

    (a) Una de las bases del sistema T es la Regla de Necesariedad o RT3, que no es válida es S1, no es válida de forma no restringida, como lo es en T. En S1 hay una regla más débil del mismo tipo, restringida en los casos en los que a es una tesis de CP, es decir, una tesis que no contiene operadores modales.

    (b) Introducción a la lógica modal. G.E. Hughes y M.J. Cresswell. Tecnos Pag. 200.

    (c) En el presente trabajo sólo me ocuparé de la lógica proposicional modal.

    (d) Se necesitan los teoremas del 28 al 32 para la demostración del teorema de reducción de S5: “Toda fórmula de grado superior al primero es reducible en S5 a una fórmula de primer grado”. Introducción a la lógica modal. G.E. Hughes y M.J. Cresswell. Tecnos Pag. 54.

    (e) Sistema Brouweriano. Introducción a la lógica modal. G.E. Hughes y M.J. Cresswell. Tecnos Pag. 59.

    (f) Introducción a la lógica modal. G.E. Hughes y M.J. Cresswell. Tecnos Pag. 211.

    BIBLIOGRAFIA:

    • La estructura de los condicionales. Pilar Castrillo. UNED.

    • Diccionario de Filosofía. José Ferrater Mora. Alianza Diccionarios.

    • Introducción a la lógica formal. Alfredo Deaño. Alianza Universidad.

    • Introducción a la lógica modal. G.E. Hughes y M.J. Cresswell. Tecnos.

    Facultad de Filosofía. Centro asociado de Algeciras.

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