Matemáticas

Límites

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1) LIMITE EN UN PUNTO.

a) Límite finito:
Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por

(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio
, podemos encontrar un entorno de a de radio
, que depende de
, de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a,
) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l,
).)

b) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).
.

c) Límite por la izquierda:

d) Límite por la derecha:

2) PROPIEDADES O REGLAS DE LOS LÍMITES.

a)
siempre que no aparezca la indeterminación
.

b)
con
.

c)
siempre y cuando no aparezca la indeterminación
.

d) Límites
siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones
e
.

e)
con
, siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

f)
siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos
.

Otra explicación.

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).

lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f g , en el punto x = a, es l m.

lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.

3) FACTORIZACION DE POLINOMIOS

Por analogía con los numeros enteros, se hablan de factorizacion de un polinomio para significar el hecho de expresarlo como producto de otros polinomios. Tal factoriacion no siempre es posible, e interesa establecer las condiciones en que puieda realizarse.

El teorema del resto proporciona el instrumento fundamental de la factorizacion ya que nos dice que si un polinomio p (x) tiene valor numerico 0 para x = a , entonces sera divisible por x-a, es decir, que el polinomio podra factorizarse en la forma P (x) = Q (x) . (x - a) donde Q (x) sera el cociente de dividir P (x) . (x-a), que puede calcularse fácilmente mediante la regla de Ruffini. Los valores de “x” para los que un polinomio es nulo, se llaman las raices del polinomio; entonces resultaran que, si es asi raiz del polinomio P(x), este sera divisible por X-a. se cumple que, si P (x) es un polinomio con coeficiente entero, entonces sus raices enteras son divisores del termino

4) CONJUGADA DE UN BINOMIO

Son dos binomios con terminos iguales, pero que llevan entre ellos signos contrarios:

EJ: Dado el binomio : a + b

SIGNOS CONTRARIOS

Su conjugado es : a - b

EJ: Dado (X - Y), Su conjunto es (x + y)

Dado (3x + 2y), el conjugado es: (3x - 2y)

(a - b) (a + b), Es el producto de binomios conjugados.

LOS LÍMITES

Definiciones:

Definición de límite de una función en un punto: Se dice que la función f converge a L en
, y se escribe
, cuando a valores x próximos a
los correspondientes valores de f(x) están próximos a L.
Definición de límites laterales de una función en un punto: Se dice que la función f converge por la derecha (izquierda) a L en
, y se escribe
(
), cuando a valores x próximos a
con
(
) los correspondientes valores de f(x) están próximos a L.

Proposición:

Por lo tanto para que exista el límite de una función en un punto, deben existir los límites laterales y ser iguales.

Propiedades de los límites: Sean f y g dos funciones tales que
y
, entonces:

Límites

Ahora bien a la hora de calcular un límite nos aparecen expresiones que se conocen por inderteminaciones, pues a priori no podemos saber su valor. Para conocerlos debemos resolver la indeterminación. Existen los siguientes tipos de indeterminaciones, aunque mediante algunas operaciones podemos transformar todas a las dos primeras:

Límites

Así lo que debemos saber resolver son las indeterminaciones
. Para ello utilizamos lo que se conoce como Regla de L'Hôpital que dice:

Si Límites
, es decir para resolver el límite derivamos en numerador, derivamos el denominador y calculamos el límite del nuevo conciente.

Ej.:

FUNCIÓN CONTINUA

Una función f(x) es continua en un punto x0 de su dominio si los valores de f(x) en las proximidades de x0 son muy aproximadas al valor que f(x) tiene en x0.

En forma más rigurosa:

Una función f(x) es continua en x = x0 si y sólo si:

1º) Existe lim f(x) = L cuando x tiende a x0.

2º) Existe f(x0) tal que f(x0) = L

***Ejemplo: Establecer si f(x) =
es o no continua para x = 5.