Límites y continuidad

Matemáticas. Cáculo diferencial e integral. Definición épsilon-delta. Teoremas. Funciones trigonométricas. Límites unilaterales. Límites infinitos

  • Enviado por: Vanessita03
  • Idioma: castellano
  • País: México México
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 Límites y continuidad

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
LÍMITES

'Límites y continuidad'

     El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.

 'Límites y continuidad'
Definición de límite

     Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.

Ejemplo:

'Límites y continuidad'

En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función  f (x):

x

f (x)

Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2,  f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre  f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.

1.9

1.99

1.999

1.9999

2.0001

2.001

2.01

2.1

2.61

2.9601

2.996001

2.99960001

3.00040001

3.004001

3.0401

3.41

'Límites y continuidad'

'Límites y continuidad'

|x ð 2|

| f (x) ð 3|

|1.9-2| = 0.1

|1.99-2| = 0.01

|1.999-2| = 0.001

|1.9999-2| = 0.0001

|2.0001-2| = 0.0001

|2.001-2| = 0.001

|2.01-2| = 0.01

|2.1-2| = 0.1

|2.61-3| = 0.39

|2.9601-3| = 0.0399

|2.996001-3| = 0.003999

|2.99960001-3| = 0.00039999

|3.00040001-3| = 0.00040001

|3.004001-3| = 0.004001

|3.0401-3| = 0.0401

|3.41-3| = 0.41

'Límites y continuidad'

De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función  f (x) cuando x tiende a 2, es 3.

Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:

 'Límites y continuidad'
Definición épsilon-delta

     Sea  f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe     'Límites y continuidad'

Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.

Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.

Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite1:

Si  k es una constante y a un número cualquiera, entonces

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite2:

Para cualquier número dado a,

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite3:

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite4:

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite5:

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite6:

Si  f es un polinomio y a es un número real, entonces

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite7:

Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite8:

'Límites y continuidad'

Teorema de estricción y límites de funciones trigonométricas

'Límites y continuidad'

     El llamado teorema de estricción, de intercalación, o del "sandwiche" es importante para la demostración de otros teoremas. También se utiliza el teorema de estricción para calcular cierta clase de límites.

 'Límites y continuidad'
Teorema de estricción (TL9):

'Límites y continuidad'

'Límites y continuidad'


'Límites y continuidad'

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Demostración:

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite10:

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite11:

'Límites y continuidad'

Límites unilaterales

'Límites y continuidad'

     Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.

Límite unilateral por la derecha:

Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Límite unilateral por la izquierda:

Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe

'Límites y continuidad'

Límite bilateral:     'Límites y continuidad'

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Teorema de límite12:

'Límites y continuidad'

Límites infinitos

'Límites y continuidad'

     Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

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Crecimiento infinito:

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Decrecimiento infinito:

'Límites y continuidad'

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Teorema de límite13:

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite14:

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite15:

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite16:

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de lìmite 17:

'Límites y continuidad'

Límites en el infinito

'Límites y continuidad'

 'Límites y continuidad'
Teorema de límite18:

'Límites y continuidad'

'Límites y continuidad'

'Límites y continuidad'

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Asíntota horizontal:

Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje x.

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Teorema de límite19:

'Límites y continuidad'

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