Límites y continuidad
LÍMITES
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.
Definición de límite
Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.
Ejemplo:
En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):
| x | f (x) | Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante. |
| 1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1 | 2.61 2.9601 2.996001 2.99960001 3.00040001 3.004001 3.0401 3.41 | |
| 
| |x ð 2| | | f (x) ð 3| |
| | |1.9-2| = 0.1 |1.99-2| = 0.01 |1.999-2| = 0.001 |1.9999-2| = 0.0001 |2.0001-2| = 0.0001 |2.001-2| = 0.001 |2.01-2| = 0.01 |2.1-2| = 0.1 | |2.61-3| = 0.39 |2.9601-3| = 0.0399 |2.996001-3| = 0.003999 |2.99960001-3| = 0.00039999 |3.00040001-3| = 0.00040001 |3.004001-3| = 0.004001 |3.0401-3| = 0.0401 |3.41-3| = 0.41 |
De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x tiende a 2, es 3.
Ahora, pasamos a dar la definición formal de límite:
| 
Definición épsilon-delta Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe 
Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista. |
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Nota: los teoremas se presentan sin demostración, pero quien quiera verla puede hacer clic en el vínculo correspondiente.
Teorema de límite1:
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces
Teorema de límite2:
Para cualquier número dado a,
Teorema de límite3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
Teorema de límite4:
Teorema de límite5:
Teorema de límite6:
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
Teorema de límite7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
Teorema de límite8:
Teorema de estricción y límites de funciones trigonométricas
El llamado teorema de estricción, de intercalación, o del "sandwiche" es importante para la demostración de otros teoremas. También se utiliza el teorema de estricción para calcular cierta clase de límites.
Teorema de estricción (TL9):
Demostración:
Teorema de límite10:
Teorema de límite11:
Límites unilaterales
Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.
Límite unilateral por la derecha:
Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe
Límite unilateral por la izquierda:
Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe
Límite bilateral: 
Teorema de límite12:
Límites infinitos
Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.
Crecimiento infinito:
Decrecimiento infinito:
Teorema de límite13:
Teorema de límite14:
Teorema de límite15:
Teorema de límite16:
Teorema de lìmite 17:
Límites en el infinito
Teorema de límite18:
Asíntota horizontal:
Una asíntota horizontal es una recta paralela al eje x.
Teorema de límite19:
Límites y continuidad
Límites y continuidad
Límites y continuidad
