Límites de funciones

Análisis matemático. Cálculo. Dominio y recorrido de una función. Límite izquierda y derecha. Infinito, infinitos. Asíntotas verticales y horizontales

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LIMITE DE FUNCIONES

 

Tema: Introducción a límite

1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el valor de la función si x = -2?

b) ¿Cuál es el valor de la función si x = 3?

c) Construye la gráfica de la función.

d) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función?

e) ¿Qué tipo de gráfica representa la función?

 

2) El propósito de este ejemplo es observar el comportamiento de la función

f(x) = x2 + 1 para valores cercanos a un valor c. Esto es, ¿están los valores de f(x)

cerca de algún valor en particular cuando x se aproxima a un número? ¿Cuál es ese valor? Utiliza la función dada para contestar las preguntas a continuación.

a) ¿A qué valor se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la izquierda? (Completa la tabla y observa los valores de f(x) para contestar.)

 

x

f(x)

2.9

 

2.99

 

2.999

 

 

b) ¿A qué valor se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la derecha? (Completa la tabla y observa los valores de f(x) para contestar.)

 

x

f(x)

3.1

 

3.01

 

3.001

 

 

c) ¿Cómo comparas el valor a que se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la izquierda y el valor a que se acercan los valores de f(x) mientras x se aproxima a 3 por la derecha? (Observa las respuestas obtenidas en las preguntas a y b).

 

d) ¿Cómo comparas el valor de la función cuando x = 3 con el valor a que se acercan los valores de la función cuando x se aproxima a 3 por la izquierda y por la derecha?

 

Tema: Límite

Sea f una función. Estamos interesados en el valor de la función f(x) cuando x se aproxima a un valor c, pero no es necesariamente igual a c. Esto es, ¿según x se aproxima más y más a c (pero x no es igual a c) se acerca f(x) más y más a un valor L? Si la respuesta es si, decimos que "f(x) tiende a L según x se aproxima a c", y se representa en forma simbólica de la forma:

Límites de funciones

La frase "x se aproxima a c" o "x tiende a c" significa que independientemente de lo próximo que esté x del valor c , existe siempre otro valor de x (distinto de c) en el dominio de f está aún más próximo a c .

Una función no puede tender a dos límites distintos a la vez. Esto es, si el límite de una función existe, es único.

Teorema: El límite,

Límites de funciones

existe si el límite por la izquierda,

Límites de funciones

y el límite por la derecha,

Límites de funciones

son iguales.

Ejemplos para discusión: Para hallar el límite observando tabla de valores y la gráfica en cada una de las siguientes funciones.

1) Sea f(x) = x2 + 1. ¿A qué valor en particular se acercan los valores de la función cuando x se aproxima a 3 por la izquierda y por la derecha?

Simbólicamente, se escribe:

Límites de funciones

Diez es el valor a que se aproxima la función cuando x se aproxima a 3.

Nota: En este ejemplo se puede observar que el valor de la función cuando x = 3 es igual al valor del límite. Esta propiedad la tienen las funciones polinómicas, esto es, el límite cuando x se aproxima o tiende a c se puede calcular sustituyendo c por x en el polinomio.

2) Sea

Límites de funciones

El dominio de f contiene a todos los números reales excepto 1. Nota que no nos interesa hallar el valor de f(x) en 1, puesto que la función no está definida para ese valor. Lo que se busca es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 1. ¿Cuál es el límite de f(x) cuando x se aproxima a 1?

 

Es importante entender que el límite L de f(x) cuando x se aproxima o tiende a c no depende del valor de f(x) en x = c. El límite está determinado sólo por los valores de f(x) cuando x está cerca de c.

3) Sea

Límites de funciones

El dominio de f consiste de todos los números reales excepto cero. ¿Qué ocurre en f(x) según x se aproxima o tiende a cero?

4) Considera

Límites de funciones

¿Qué ocurre cuando x tiende a cero en f(x)?

 

Ejemplos para discusión: Calcula el límite mediante proceso algebraico.

Límites de funciones

4) Límites de funciones

si existe donde:

Límites de funciones

Límites de funciones

 

Tema: Introducción a límites infinitos

 

Considera la función:

Límites de funciones

1. ¿Qué tipo de función es f?

2. ¿Cuál es el dominio de f?

3. Completa la siguiente tabla de valores:

x

f(x)

1000

 

100

 

10

 

0.1

 

0.01

 

0.001

 

4. ¿Qué ocurre con los valores de f(x) cuando x se aproxima a cero por la derecha?

 

 

5. ¿Se acercan los valores de f(x) a un valor en particular?

 

6. Completa la siguiente tabla de valores:

x

f(x)

-1000

 

-100

 

-10

 

-0.1

 

-0.01

 

-0.001

 

7. ¿Qué ocurre con los valores de f(x) cuando x se aproxima a cero por la izquierda?

 

8. ¿Se acercan los valores de f(x) a algún valor en particular?

 

Tema: Límites infinitos

Los tipos de límites en los que f(x) se hace infinita cuando x tiende a c por la izquierda o por la derecha se conocen como límites infinitos.

¿Qué ocurre cuando x se aproxima o tiende a cero en la función

Límites de funciones

Cuando x tiende a cero por la derecha, los valores de la función que son positivos, se convierten arbitrariamente grande. Es decir, los valores de la función aumentan. Mientras que, cuando x tiende a cero por la izquierda, los valores de la función son negativos, se convierten arbitrariamente menores. Es decir, los valores de la función disminuyen. Gráficamente en ambos casos, f(x) crece o decrece sin tope, sin fronteras. Esto es,

Límites de funciones

Nota: El símbolo de infinito no significa que el límite existe, no representa un número real. Por el contrario, nos dice que el límite no existe. Simboliza el comportamiento no acotado (sin fronteras) de f(x) cuando x tiende a c. De manera que, al decir que "el límite de f(x) cuando x tiende a c es infinito" estamos diciendo que el límite no existe.

Considera la función:

Límites de funciones

¿Cómo es la gráfica de esta función? (Dibuja en el espacio provisto).

 

 

 

 

 

 

 

 

¿Cómo es el comportamiento de la función cuando x se aproxima a cero por la izquierda y por la derecha de cero?

 

Por tanto,

Límites de funciones

Asíntotas Verticales:

Si

Límites de funciones

es tal que f(c) no es igual a cero y g(c) = 0, y tanto f como g son funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a c, la gráfica de

Límites de funciones

tiene una asíntota vertical.

Ejercicio: Para cada una de las siguientes funciones dibuja la gráfica y halla la asíntota vertical. Calcula

Límites de funciones

Límites de funciones

Límites de funciones

Tema: Límite de funciones trigonométricas

 

Teorema: Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen las siguientes propiedades:

Límites de funciones

Límites de funciones

Límites de funciones

Límites de funciones

Límites de funciones

Límites de funciones

 

Recuerda: Las siguientes identidades trigonométricas:

Límites de funciones

 

 

Ejemplos para discusión:

Límites de funciones

Ejercico de práctica:

Límites de funciones

 

Tema: Límites en el infinito

Los tipos de límites en los que f(x) tiende a algún valor finito cuando x se hace infinito se conocen como límites en el infinito.

Ejemplo: Considera la función:

Límites de funciones

Completa la siguiente tabla de valores según x aumenta indefinidamente.

x

f(x)

1

 

2

 

10

 

100

 

1000

 

10,000

 

Observa que al completar la tabla, los valores de la función f(x) se aproximan a cero según x aumenta indefinidamente. Esto se representa simbólicamente como:

Límites de funciones

Completa la próxima tabla de valores según x disminuye indefinidamente.

x

f(x)

-1

 

-2

 

-10

 

-100

 

-1000

 

-10,000

 

Observa que al completar la tabla, los valores de la función f(x) se aproximan a cero según x disminuye indefinidamente. Esto se representa simbólicamente como:

Límites de funciones

Si f es una función y L es un número real, entonces:

Límites de funciones

representan los límites en el infinito. En ambos casos, la recta y = L se conoce como la asíntota horizontal.

En el ejemplo anterior como:

Límites de funciones

la asíntota horizontal es y = 0. Dibuja la gráfica en el espacio provisto.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nota: La gráfica de una función de x puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales.

Los límites en el infinito comparten muchas propiedades de los límites discutidos anteriormente.

Teorema: Si r es un número positivo y c un número real cualquiera, entonces :

Límites de funciones
.

Además, si xr está definido para x<0, entonces:

Límites de funciones
.

Ejemplos para discusión: Halla:

Límites de funciones

 

 

Asíntotas verticales y horizontales:

Teorema: Si

Límites de funciones

es una función donde f(x) y g(x) son funciones polinómicas con factores no comunes, entonces:

i) la recta x = c es una asíntota vertical si g(c) = 0.

ii) la recta y = 0 es una asíntota horizontal si el grado de f(x) (en el numerador) es menor que el grado de g(x) (el denominador).

iii) la recta

Límites de funciones
Límites de funciones

es una asíntota horizontal si el grado de f(x) es el mismo grado de g(x), y,

f(x) = anxn + ... + a0, g(x) = bnxn + ... + b0.

Ejemplo: Halla las asíntotas verticales y horizontales para:

Límites de funciones

Límites en el infinito de las funciones racionales

Para la función racional

Límites de funciones

donde f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a0 y g(x) = bm xm + bm-1 xm-1 + ... + b0 se tiene que:

Límites de funciones

 

 

Ejemplos para discusión: Halla:

Límites de funciones

Al comparar las primeras tres funciones racionales se observa que:

1) el grado del numerador es menor que el denominador y el límite de la función es cero.

2) los grados de los polinomios en el numerador y el denominador son iguales, por tanto, el límite es el cociente de los dos coeficientes dominantes: -2 y 3.

3) el grado del numerador es mayor que el del denominador y no existe el límite.

Ejercicio de práctica: Considera la función:

Límites de funciones

1) Halla:

a) las asíntotas verticales y horizontales

Límites de funciones

c) el intercepto en x y el intercepto en y

2) Indica si hay alguna discontinuidad y clasifícala en evitable o no evitable.

3) Construye la gráfica.

 

LIMITE DE FUNCIONES

 

Límites de funciones

 

 

 

 

 LIMITES INFINITOS

 

Ejercicios:

1.

Dibuja en un plano la gráfica de f que satisfaga las siguientes condiciones:

f(2) = 0

f(0) = -1

f(-1) = 0

Límites de funciones

Límites de funciones

 

 Halla el límite indicado en los ejercicios 2 y 3. Utiliza los símbolos Límites de funciones
y Límites de funciones
para indicar el comportamiento no acotado de la función f. (Para mayor facilidad dibuja las gráficas de las funciones).

Límites de funciones

 

4. ¿Cuándo el límite no existe en una función?

 

Halla las asíntotas verticales para las gráficas de las siguientes funciones. Dibuja las gráficas.

Límites de funciones

Respuestas:

1.

Este ejercicio se discutirá en clase.

2.

Límites de funciones

3.

Límites de funciones

4.

Cuando los límites laterales no son iguales, cuando la función oscila y cuando los valores de f(x) crecen o disminuyen sin cota (límites infinitos).

5.

x = -1

6.

x = 1, x = -1

 

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