Sucesiones, conceptos de límite y convergencia; sucesiones monótonas y acotadas.

Las sucesiones de números son tan comunes, en las matemáticas que se utilizan incluso en pruebas de inteligencia y en los pasatiempos matemáticos. Por ejemplo una sucesión de números es:

1, 2, 3, 4, 5…

Una sucesión finita es una función cuyo dominio es el conjunto:

{1, 2, 3, …., n}

de los primeros n enteros positivos (existe un último término). Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto {1, 2, 3, …, n, …}

de todos los enteros positivos (no tiene un ultimo termino), y el rango será definido por la propia sucesión .

Una sucesión {an } tiene como limite el numero 1, si para todo numero positivo ε se puede hallar un numero positivo N en que puede depender de ε tal que | an -1| < ε para todo entero n > N . En tal caso se escribe lim an = 1

Si el limite de una secesión existe, entonces la secesión es convergente, si no existe se llama divergente.

Si todos los términos de una sucesión an son menores o iguales a un número M, esto es:

an ≤ M para todo n.

Entonces se dice que la sucesión an esta acotada superiormente y M se dice que es cota superior de la sucesión. De igual manera, si todos los términos de una sucesión son mayores o iguales a un número m, esto es:

An ≥ m para todo n

Entonces se dice que la sucesión está acotada inferiormente y m se le conoce como cota inferior de la sucesión

Si para todos los términos de una sucesión se cumple que el término n más uno es mayor, o igual que la n, esto es:

An+1 ≥ an

Entonces la sucesión se llama monótona creciente, si se cumple el mayor estricto:

An+1 > an

Entonces se llama estrictamente creciente. Análogamente si para todos los términos de una sucesión se cumple que el término n más uno es menor, o igual, que la n, esto es:

An+1 ≤ an

Entonces la sucesión se llama monótona decreciente, si se cumple el menor escrito:

An+1 < an

Entonces se llama estrictamente decreciente.

Operaciones y propiedades de las series. Series Aritmética y Geométrica

Las sucesiones infinitas se estudiaron en el apartado anterior se introdujeron con la intención especial de considerar en este apartado sus “sumas”.

A1+a2+a3+a4+…

La suma infinita :

A1+a2+a3+… = lim Sn

Se le conoce con el nombre de serie infinita, y converge si y solo si existe lim Sn

La notación sigma se define por la ecuación:

ƒ (i) = ƒ (m) + ƒ(m+1)+…+ ƒ(n)

donde m y n son entero y n>m

Las series tienen propiedades, una de ellas es que el límite de la suma de dos series es la suma de los límites de cada una

(an + bn) =
an +
bn

La multiplicación de todos los elementos de una secesión por un escalar, al ser sumados, tiene como resultado la multiplicación del escalar por la suma de la serie, esto es:

can = c
an

Se llama serie aritmética a la suma de la forma:

Sn = a1 +(a1 +d) +(a1 + 2d) + (a1 + 3d)+ … + [a1 + (n - 1)d]

Y esta es igual a:

Sn = (a1 + an)

donde el término enésimo es:

an = a1 + (n - 1) d

La Serie Geométrica es de la forma:

Sn = a1+ a1r+ a1 r ^2 + …+ a1 r ^ n - 1

Y es igual a :

Sn = con r ≠ 1

Donde el término enésimo es:

An = a1 r ^ n - 1

La serie geométrica:

ar ^ i = a+ ar+ a r ^2 + a r ^3 + …

con a y r constantes, converge a:

S =

Si | r | < 1 y diverge si | r | ≥ 1

Series de términos positivos: criterio de comparación. Serie “p”, criterio del cociente y de la raíz.

No todas las series son aritméticas o geométricas; existen muchos tipos de series aparte de estas dos, por el momento solo estudiaremos las series que tienen solo términos positivos. También, antes de estudiar en que convergen las series, estudiaremos solo si convergen o no, es decir, varios criterios para poder afirmar con seguridad si una serie es convergente

Las series “p”

i ^ p = + + + …

convergen si p > 1 y divergen si p ≤ 1

Sea una serie convergente formada por términos

An ≥ 0 para todo n > N

Si 0 ≤ bn ≤ an , para todo n > N, entonces la serie formada por los términos bn también converge.

Sea una serie divergente formada por términos:

An ≥ 0 para todo n > N

Si 0 ≤ an ≤ bn, para todo n > N, entonces la serie formada por los términos bn también diverge.

Cuando los criterios hasta ahora conocidos no son suficientes para conocer si una serie es convergente, entonces utilizamos otros dos criterios:

a) Criterio del cociente. Sea una serie tal que sus términos an > 0 para todo n, y supóngase que:

lim = r

Entonces la serie:

an

converge si r < 1 diverge si; r = 1 no se tiene suficiente información con este criterio.

b) Criterio de la raíz. Sea una serie tal que sus términos an > 0 para todo n, y supóngase que:

lim

Entonces la serie:

an

Converge si r < 1. Además, si r = 1 no se tiene suficiente información con este criterio

Series de Signos alternados: definición, citerior de Leibniz y de convergencia absoluta y condicional.

Ahora ya que conocemos los criterios para las series cuyos signos son todos positivos, toca estudiar las series cuyos términos alternan de signo, es decir, si un término es positivo, el siguiente y el antecesor son negativos, y viceversa. A este tipo de series se les conoce con el nombre de series de signos alternados.

Para la convergencia de series de signo alternado existe el criterio de Leibniz, este criterio dice:

Si los términos de una sucesión cumplen con:

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4≥…

y aparte

lim an = 0

Entonces la série :

( - 1) ^ n + 1 an = a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ….

converge

La serie ∑ an se llama absolutamente convergente si ∑ | an | es convergente. Si ∑ an converge pero ∑ | an | diverge, la serie ∑ an se llama condicionalmente convergente.

Series de potencias; intervalo de convergencia.

Después de terminado el estudio de las propiedades de los números, estas se extendieron para las expresiones algebraicas, que son su generalización. De igual manera, terminado el estudio de las series numéricas, procederemos a extender nuestros resultados a las series de potencias.

Una serie de potencias de x es de la forma:

A0 + a1x + a2x + a2x^2 + … =
anx ^n

Donde A0 ,a1, y a2 son constantes.

EL intervalo | x | < R ó -R < x < R , que puede incluir a los extremos, se llama intervalo de convergencia de la serie.

n

∞

n

2

a1 - ran

1 - r

a

1 - r

1

1^p

1

2^p

1

3^p

an + 1

an