Investigación operativa

Estadística. Cálculos. Ejercicios. Supuestos prácticos. Problemas

  • Enviado por: Mmc
  • Idioma: castellano
  • País: Chile Chile
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Prueba Nº 2 - Investigación operativa II - 14 de Julio de 2007

Nombre:______________________________________________ Nota:____________

Instrucciones generales:

Para sus cálculos use 4 decimales, sin aproximar, cuando sea necesario.

Escriba todo el desarrollo del problema, no solo el resultado.

Elija 3 de los cuatro problemas presentados. Si responde los cuatro, su nota se ponderará con todos los ejercicios.

Problema 1 (25 puntos): Suponga que los clientes que entran a una farmacia se distribuyen de acuerdo a una distribución de Poisson, a tasa 180 clientes por hora. Con esta información determine:

a) Dado que en un minuto ingresaron tres clientes, ¿cual es la probabilidad que en los siguientes dos minutos ingresen siete clientes?. (8 puntos)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto ingresen dos clientes, si en tres minutos (que contienen al minuto anterior), ingresaron 10 clientes?. (8 puntos)

c) ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo de llegada entre el quinto y el sexto cliente sea mayor a 20 segundos?. (9 puntos)

Solución:

a) P{X(2) = 7 / X(1) = 3} = P{X(2) = 7} * P{X(1) = 3} / P{X(1) = 3} = 0.1376

b) P{X(1) = 2 / X(3) = 10} = P{X(1) = 2} * P{X(2) = 8} / P{X(3) = 10} = 0.1950

c) P{T6 > 20 seg} = 1 - P{T6 <= 20 seg} = e-1 = 0.3678

Problema 2 (25 puntos): Los pacientes llegan a una clínica dental según una distribución de Poisson a tasa de 12 pacientes por hora. La sala de espera solo permite tener dos pacientes en espera. Si la sala está llena, un nuevo paciente no puede entrar y se va. El tiempo de atención de un paciente es de 10 minutos según una distribución exponencial. La clínica cuenta con dos dentistas, los que atienden en forma separada.

a) Desarrolle todas las ecuaciones de balance para el modelo. (8 puntos)

b) ¿Qué porcentaje del tiempo un paciente no puede entrar a la clínica dental?. (9 puntos)

c) Determine cuanto tiempo pasa un paciente en la clínica dental. (8 puntos)

Solución:

a) ð0P0 = ð1P1

ð1P1 + ð1P1 = ð0P0 + ð2P2

ð2P2 + ð2P2 = ð1P1 + ð3P3

ð3P3 + ð3P3 = ð2P2 + ð4P4

ð4P4 = ð3P3

P0 + P1 + P2 + P3 ð P4 = 1

b) P0 + (ð0/ð1)P0 + (ð0ð1/ð2ð1)P0 + (ð0ð1ð2/ð3ð2ð1)P0 + (ð0ð1ð2ð3/ð4ð3ð2ð1)P0 = 1

P0 + (12/ð)P0 + (ððððð/ððððð)P0 + (ðððððððð/ððððððð)P0 + (ððððððððððð/ððððððððð)P0 = 1

P0 (1 + 2 + 2 + 2 + 2 ) = 1

P0 = 1/9; P1 = 2/9; P2 = 2/9; P3 = 2/9; P4 = 2/9

El porcentaje del tiempo que un paciente no puede entrar es 2/9

c) W = L / ðp

L = 0*1/9 + 1*2/9 + 2*2/9 + 3*2/9 + 4*2/9 = 20/9

ðp = 12 * (1- 2/9) = 12*(9/9) = 108/9

W = (20/9) / (108/9) = 20/108 = 10/54 = 5/27

Problema 3 (25 puntos): La empresa Corporativa Electrónica, mantiene un equipo de servicio para reparar averías de máquinas que ocurren con una velocidad de 3 al día (con distribución aproximadamente de tipo Poisson). El equipo puede atender las reparaciones a una tasa de 8 reparaciones por día, con una distribución del tiempo de reparación que se asemeja a la exponencial. Con esta información, determine:

a) ¿Qué porcentaje del tiempo el sistema está ocupado? (8 puntos)

b) ¿Cuál es el tiempo medio de inactividad de una máquina averiada? (7 puntos)

c) ¿Cuántas máquinas están pendientes de reparación en cualquier momento dado? (7 puntos)

d) ¿Cuál es la probabilidad de tener dos o más máquinas en el sistema? (8 puntos)

Solución:

Modelo M/M/1

a) % de ocupación = 1 - P0 = 1 - (1 - (ððð)) = 3/8

b) W = 1/(ððð) = 1/ (8-3) = 1/5 = 0.2 día

c) L = ðð(ððð) = 3/(8-3) = 3/5 = 0.6 máquinas; o bien Lq = ð2/(ð (ðððð) = 9/(8(8-3)) = 9/40 máquinas

d) P(X>=2) = 1-P(X=0)-P(X=1) = 1 - (5/8) -(3/8)*(5/8) = 9/64

Problema 4 (25 puntos): A una central de abastecimiento llegan órdenes de compra por un cierto item de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa de 8 órdenes /hora. El número de item en una orden pueden ser 2, 3 ó 4 con probabilidad 0,2; 0,5 y 0,3 respectivamente.

a) Se sabe que durante la primera hora de operación del sistema se recibieron órdenes por un total de 20 item. Obtenga el número promedio de item que se solicitan en la siguiente media hora

b) Es cierta la siguiente afirmación: “la varianza de número de item dentro de una hora es 34,4”. Justifique brevemente su respuesta.

Solución:

a) E[X] = 8 * (1/2) * {2*0.2 + 3*0.5 + 4*0.3} = 12.4 item

b) Var[X] = ð*t*E[X2] = 8*1*{4*0.2 + 9*0.5 + 16*0.3} = 80.8 item La afirmación es falsa, ya que la varianza, por hora es de 80.8 item.