Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Como en la ecuación (x2 + y2) dx - 2xy dy =0, una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. La meta es de encontrar Métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial.

Definición y terminología:

Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida o una o más variables.

Ejemplos:

( x2 + y2 ) dx -2xy dy = 0

Clasificación:

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

Según el Tipo:

Se clasifican, en ecuación diferencial ordinaria y en ecuación diferencial en derivadas parciales.

Ecuación diferencial ordinaria: la función desconocida depende de una sola variable.

Ejemplos: a).

c).

Ecuación diferencial en derivadas parciales:

La función desconocida depende de más de una variable.

Ejemplos:

f es la variable desconocida.

Cuando una ecuación involucra a una o mas derivadas con respecto a una variable en particular, tal variable es llamada independiente. Una variable es dependiente si aparece una derivada de esa variable. En la ecuación:

i es la variable dependiente, t la variable independiente Y, L, R, C, E y W son llamadas constantes o parámetros.

Según el Orden:

Orden: El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el grado de la derivada más alta (exponente).

Ejemplos:

1er Orden

Según la linealidad o no linealidad:

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si es de la forma:

donde son coeficientes de x.

Las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades:

La variable dependiente Y junto con todas sus derivadas son de primer grado.

Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente x.

Ejemplos:

Ecuaciones diferenciales lineales.

Se dice que una ecuación diferencial no lineal es una ecuación diferencial ordinaria que no cumple con las condiciones de linealidad o propiedades de linealidad.

Ejemplos de Ecuaciones diferenciales no lineales.

Problemas de Valor inicial:

Considere la ecuación diferencial sujeta a

Una función desconocida f (x. y) se desea determinar una curva solución que pase por el punto .

En realidad son problemas con condiciones pobre la función desconocida especificada en un valor de la variable independiente.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial.

, sujeta a y(1)= 3 ; y'(1) = 4 el número uno (1) es la variable independiente

1- Ecuaciones diferenciales como modelos Matemáticos:

Una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales es un modelo matemático.

Ejemplos:

Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano.

La tasa de crecimiento de la población de un País crece en forma proporcional a la población total, P (t), de ese país en cualquier momento t.

En términos matemáticos

Razón de cambio de la población con respecto al tiempo.

P (t) Población.

= K P

Para modelar el fenómeno de la desintegración radiactiva, se supone que la tasa con que los núcleos de una sustancia se desintegran (decaen) es proporcional a la cantidad A(t) de sustancia que queda al tiempo t.:

Una vez formulado el modelo matemático, llegamos al problema de resolverlo, que no es fácil en modo alguno. Hay que aprender las diferentes formas de resolver una ecuación diferencial.

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden:

Una Ecuación diferencial de primer orden es de la forma o se puede escribir como F (y , y' )= 0

Debemos encontrar la solución de la ecuación diferencial de primer orden. Es decir, y=f(x) es una solución de la ecuación diferencial, si al reemplazarla en la ecuación diferencial resulta una identidad.

Variable Separables:

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma es separable, o de variable separable.

Ejemplo: Resolver:

dy = 8 sen 4x dx

" dy= 8 " sen 4x dx

Y= -2 cos 4x +c

x y2 dx + ex dy

x y2 dx = - ex dy

x dx / ex = - dy/y2

x e-x dx = - y-2dy

" x e-x dx = - " y-2dy

= y-1

-x e-x + " e-xdx = 1/y

-x e-x - e-x + c = 1/y

y =

Ecuaciones exactas:

Definición: Una Ecuación diferencial M (x, y) dx+ N (x, y) dy =0 es exacta si corresponde a la diferencial de alguna función f(x, y) tal que

y

La ecuación diferencial se transforma en

Teorema Si M (x, y) y N (x, y) son continuas y sus derivadas parciales existen entonces, una condición Necesaria y suficiente para que M(x,y) dx + N (x,y) dy =0

Sea una diferencial exacta es que

Ejemplos: Verifique si las ecuaciones diferenciales dadas son exactas.

Y2 dx + 2 X Y dy =0

M(x,y)= Y2 entonces

N(x,y)= 2 XY entonces

La Ecuación diferencial es exacta

2 x y dx + ( x2-1) dy =0

M(x,y) = 2xy entonces

N(x,y) = x2 -1 entonces

La ecuación diferencial es exacta = 2x

3x(xy-2) + ( x3 +2y) dy =0

M(x,y) = 3x(xy-2) entonces

N(x,y) = x3 + 2y entonces

La ecuación diferencial es exacta = 3x2

Procedimiento para encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta.

Determine que

Suponga que

Encuentre f integrando M (x, y) con respecto x

f(x, y)=" M (x, y)dx + h(y)

h (y) es una constante de integración

Derive parcialmente con respecto a Y

+ h'(y)

5. Iguale y reemplace en (4).

N(x,y) = + h'(y)

6. Despeje h'(y) en(5)

h'(y) = N(x,y) -

7. Se integra con respecto a y

Se tiene h(y)=G(y)+c

8. Se sustituye h(y) en el paso (3) y se obtiene la solución de la ecuación diferencial exacta.

Ejemplo: Encuentre la solución de la ecuación diferencial dada

1. 3x(xy-2) + ( x3 +2y) dy =0

Como M(x,y) = 3x(xy-2) entonces y

N(x,y) = x3 + 2y entonces

La ecuación diferencial es exacta = 3x2

3x(xy-2)

f(x,y) = 3 "x(xy-2)dx

f(x,y)=3 " (x2y-2x)dx

f(x,y) = 3 ( x3y/3 - x2) + h(y)

f(x,y) = x3 y - 3x2 + h(Y)

Como N(x,y)= entonces:

X3 + 2y = x3 + h'(y)

2y= h'(y)

2 "y dy = h(y)

y2 + c = h(y)

la solución es:

f(x,y) = x3y - 3 x2 + y2 +C

ó

x3 y - 3x2 + y2 = C2.)Resolver ( 2x3 - x y2 - 2y + 3) dx - ( x2y + 2x) dy =0

= 2x3 - xy2 - 2y +3

f(x,y) = " (2x3 - xy2 - 2y +3) dx

f(x,y) = ½ x4 - ½ x2y2 - 2xy - 3x + h(y)

= - x2y - 2x + h'(y)

= N(x,y) = - x2y - 2x

- x2y -2x + h'(y) = -x2y - 2x

h'(y)=0

h(y)=C Toda constante derivada es cero.

f(x,y) = ½ x4 - ½ x2y2 - 2xy - 3x + C

Ecuaciones diferenciales lineales

Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación de la siguiente forma:

a)

ó (forma canónica)

b)

También se puede escribir a1(x) + a0(x) y = g(x)

Para resolver este tipo de ecuaciones debemos buscar un factor que al multiplicarlo por la ecuación diferencial lineal, se pueda transformar esta en una ecuación diferencial exacta, dicho factor le llamamos factor de integración y es de la forma v(x)= e"P(x)dx. Como

al multiplicar por v(x) tenemos:

e"P(x)dx

Resolver la ecuación exacta resultante.

La podemos escribir en la forma [
Y ] =
Q(x)

Una familia uníparamétrica de soluciones de esta ecuación es:

Y
= "
Q(x) dx + C

Es decir: Y= ["
Q(x) dx] + C ....... (d)

Ejemplos: Resolver

2 ( y - 4 x2) dx + x dy =0

La ecuación es lineal en y. Escrito en la forma canónica:

x " 0

P(x)= 2/x Q(x)=8x

V(x) =

=

= e Lnx2 por la propiedad eLna = a

V(x)

X2 (dy/dx + 2y/x = 8x)

x2 dy + ( 2xy - 8x3) dx = 0

M(x,y) = 2xy - 8x3 y N(x,y) = x2

Es exacta.

f(x,y)="M(x,y)dx

= " (2xy - 8x3) dx

f(x,y) = x2 y - 2x4 + h(y)

N(x,y)=

X2 = x2 + h'(y)

0=h'(y)

C = h(y)

La solución f(x,y) = x2 y - 2x4 +C

El siguiente ejemplo lo resolveremos como una solución de un parámetro como en (d) de la página 11 (once) .

ydx+(3x-xy+2)dy=0 es lineal en x

ydx+(3x-xy)dy=-2dy

ydx+x(3-y)dy=-2dy

y + x ( 3- y) = -2

+ x ( para y " 0

P(y)= (3-y)/y V(y)= = = e3Lny - y Q(x)= (-2/y)

X = e -3Lny + y

X = e -3Lny e y

X = y -3 e y

X = y -3 e y

la integración se hará por Tabular

Derivar Integrar e-y

+ Y2 -e-y

- 2y e-y

+ 2 - e-y

X = y -3 e y

X = y -3 e y

X = y -3 e y

X = y -3(2y2 + 4y + 4) + C ey

X y 3 = (2y2 + 4y + 4) + C ey

Soluciones por sustitución:

Una ecuación de la forma

M(x,y)dx + N(x,y) dy)=0

Puede no ser resuelta por los casos anteriores. Pero la podemos transformar a otra ecuación diferencial mediante una sustitución. Por ejemplo, supongamos que se quiere transformar la ecuación de primer orden con la sustitución y=g(x,y) donde u(x) es una función. Si g tiene primeras derivadas parciales, entonces la regla de la cadena da

Si sustituimos a
por la derivada anterior y a `y' en f(x,y) se transforma en , que después de despejar
tiene la forma .

Para aclarar el punto veamos ejemplos de ecuaciones diferenciales transformadas a otra por medio de una sustitución.

Ejemplo.

1.) En la ecuación diferencial (x+2y-1)dx+3(x+2y)dy=0 , la combinación (x+2y) aparece dos veces, hacemos u=x+2y

du=dx+2dy

dx=du-2dy

Entonces al sustituir en la ecuación diferencial dada, se transforma en

(u-1)(du-2dy)+3udy=0 ó

(u-1)du-2(u-1)dy+3udy=0

(u-1)du+(-2u+2+3u)dy=0

(u-1)du+(u+2)dy=0

(u-1)du+(u+2)dy=0

Por variables separables obtenemos:

u-3Ln|u+2|+y+c=0

Pero u=x+2y

X + 2 y - 3 Ln|x+2y+2| + y + C=0 o tambi{en se puede escribir como:

X + 3 y + C = 3 Ln|x+2y+2|

2.) Resolver ( 1 - 3 x Sen y ) dx - x2 Cos y dy =0

Hacemos W=Sen Y. Entonces dw=Cos y dy

La ecuación diferencial dada se transforma en:

(1+ 3x w) dx - x2 dw = 0

x2 dw - ( 3xw + 1) dx = 0

Ecuación diferencial lineal en w, la solución como familia uníparamétrica:

P(x)= -3/x , Q(x)= 1/x2

El factor integrante:

V(x)=

= e-3Lnx

=

La ecuación se transforma en:

Al resolver la ecuación diferencial lineal tenemos:

W X-3 = "x-3 ( 1/x2) dx + C

W X -3 = " dx/x5 + C

Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden

Veremos problemas de valor inicial en este punto.

Un modulo matemático es un conjunto de formulas y/o ecuaciones basadas en una descripción cuantitativa de un fenómeno real, y creadas con la pretensión de que el comportamiento que predicen se parezca al comportamiento real en el que sea han basado.

Con esta interpretación, un modelo matemático podría ser tan simple como una sola formula que relación dos variables, o tan complicadas como un conjunto de ecuaciones que describa la relación entre un conjunto de incógnitas.

Un modulo es la segunda ley de newton que por lo general se da como F = ma donde f es la fuerza neta sobre un objeto m es la masa del objeto y a es la aceleración que resulta de la fuerza, La segunda ley de newton se puede expresar en formas que son útiles. La relación entre la aceleración, velocidad y distancia:

Substituyendo esta expresión en la segunda ley de newton se obtiene las ecuaciones:

y

Son ecuaciones diferenciales en formación.

Suponga ahora que la fuerza de gravedad constante g es la única fuerza sobre el objeto se puede usar cualquiera de las formas de la segunda ley de newton, la segunda ley de newton de las ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones lineales

Ejemplo: Se deja caer un objeto de masa m en un línea recta desde la parte mas alta de un edificio de 400 pies de altura con una velocidad inicial de 12 pies/seg. Suponiendo que la fuerza que actúa en el objeto es la gravedad, determine la ubicación del objeto en cualquier tiempo t y también cuando chocara contra el suelo.

Solución:

f= mg Segunda ley de newton

por tanto

Integrando ambos lados

Tenemos: V(t) = g t + C

Si y(t) es la posición del objeto V(t) = entonces

Integramos con respecto a t

Tenemos:

Y(t) = ½ g t2 + Ct + k

Que es la ubicación del objeto en cualquier tiempo

Determinaremos las constantes de integración C y K, Vinicial = 12 pies/segundos en estas unidades g = 32 pies / segundos en el instante que se deja caer el objeto t=0 entonces

v(0)=g . (0) + C =12 el valor de C es 12

Luego: Y(t) = ½ g t2 + 12 t + k para t = 0

0=k

La ecuación es ahora

Y(t) = ½ (32) t2 + 12 t

Y(t) = 16 t2 + 12 t

= V(t) = 32 t + 12

Estas es la ubicación y la velocidad en cualquier tiempo, ahora el edificio mide 400 pies de altura, por tanto, el objeto choca contra el suelo después de haber recorrido 400 pies:

Y(t) = 400 = 16 t2 + 12 t

t =

t =

Ecuaciones no lineales

Una ecuación diferencial que describe la velocidad V de una masa m que cae, sometida a un resistencia al aire proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, es de
, k es la constante proporcional . La dirección positiva es hacia abajo, resolver la ecuación sujeta a la condición inicial

v(o) = Vo.

Este es un ejemplo de ecuación no lineal como modelado.

Sistema de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales:

Una sola ecuación diferencial puede describir el movimiento de un objeto, una población en un ambiente, pero dos ecuaciones en un sistema que puede que dos especies interactúes y compitan en el mismo ambiente, el modelo de su población son pues especies en función de una tercera variable que será el tiempo x(t)y y(t).

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es:

Por ejemplo un modelo de dos comportamientos para la interacción de un medicamento con lo tejidos humanos consiste de las ecuaciones diferenciales:

Donde x(t) y y(t) son cantidad de medicamentos en la sangre y en los tejidos, r1 y r2 son la velocidad de decaimiento relativo en los procesos que el cuerpo usa para eliminar el medicamento, y k1 y k2 son las velocidades relativas a las que el medicamento se mueve entre sangre y tejido