Integral

ANTIDERIVADA

Definición :

Se llama antiderivada de una función f definida en un conjunto D de números reales a otra función g

derivable en D tal que se cumpla que:

Teorema :

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales,

entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de

f es en ese conjunto D se puede escribir como
, c constante real.

Integral indefinida:

antiderivada de f ó integral indefinida de f.

f(x) : Integrando ; c : constante de integración.

,
 : cte real

Técnica para resolver antiderivada basada en la regla de derivación de funciones compuestas.

Propiedades de las antiderivadas: se basa en las propiedades de las derivadas ya que cualquier propiedad de las

derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivadas.

Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D de números reales y sean :
antiderivadas

Si
es un número real, entonces se cumple :

2)

MÉTODOS O TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

Integración de funciones racionales

Son integrales de la forma:
, donde
y
son funciones polinomiales.

Método de descomposición en fracciones simples

Es un método algebraico aplicable solo a funciones racionales y consiste en descomponer una fracción en suma de fracciones simples, o sea, fracciones que tengan denominadores mas sencillos que el dado.

El procedimiento para la descomposición de fracciones simples, es el siguiente :

1) Si el grado

efectuamos la división, obteniendo un cociente y el resto:

Por definición de división:
divido en

;

Factoreamos el denominador. ( por teorema del álgebra : Todo polinomio con coeficientes reales puede descomponerse en factores lineales o en factores cuadratico irreducibles).

*
son números reales algunos iguales o todos distintos

Si hay factores iguales, hay factores lineales repetidos.

*
son números reales algunos iguales o todos distintos.

Diferentes casos:

Caso 1) Todos los factores que aparecen en el denominador
son lineales y distintos.

Caso 2) El denominador de
es un producto de factores todos lineales y algunos están repetidos.

Caso 3) En
aparecen factores cuadráticos irreducibles que no se repiten.

Caso 4) En
aparecen factores cuadráticos irreducibles repetidos.

Método de integración por partes

Se basa en la regla de derivación del producto de dos funciones derivables en un dominio común.

Sean