Integral

Definida e indefinida. Análisis funciones. Cálculo. Antiderivadas, antiderivada. Regla de la cadena. Métodos integración: racionales, descomposición

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ANTIDERIVADA

Definición :

Se llama antiderivada de una función f definida en un conjunto D de números reales a otra función g

derivable en D tal que se cumpla que:

Integral

Teorema :

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales,

entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Integral
Integral

Integral

Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de

f es en ese conjunto D se puede escribir como Integral
, c constante real.

Integral indefinida:

Integral

Integral
Integral
antiderivada de f ó integral indefinida de f.

f(x) : Integrando ; c : constante de integración.

Integral
, Integral
 : cte real Integral
Integral

Integral

Integral

Integral
Integral
Integral

Técnica para resolver antiderivada basada en la regla de derivación de funciones compuestas.

Integral

Integral

Integral
Integral

Propiedades de las antiderivadas: se basa en las propiedades de las derivadas ya que cualquier propiedad de las

derivadas implica una propiedad correspondiente en las antiderivadas.

Sean f y g dos funciones definidas en un conjunto D de números reales y sean :Integral
antiderivadas

Si Integral
es un número real, entonces se cumple :

  • Integral

  • 2) Integral

    MÉTODOS O TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

    Integración de funciones racionales

    Son integrales de la forma: Integral
    , donde Integral
    y Integral
    son funciones polinomiales.

    Método de descomposición en fracciones simples

    Es un método algebraico aplicable solo a funciones racionales y consiste en descomponer una fracción en suma de fracciones simples, o sea, fracciones que tengan denominadores mas sencillos que el dado.

    El procedimiento para la descomposición de fracciones simples, es el siguiente :

    1) Si el grado Integral
    Integral
    efectuamos la división, obteniendo un cociente y el resto:

    Integral

    Por definición de división: Integral
    divido en Integral

    Integral
    ; Integral

  • Vamos a descomponer Integral
    siendo Integral

  • Factoreamos el denominador. ( por teorema del álgebra : Todo polinomio con coeficientes reales puede descomponerse en factores lineales o en factores cuadratico irreducibles).

    Integral

    * Integral
    son números reales algunos iguales o todos distintos

    Si hay factores iguales, hay factores lineales repetidos.

    * Integral
    son números reales algunos iguales o todos distintos.

    Diferentes casos:

    Caso 1) Todos los factores que aparecen en el denominador Integral
    son lineales y distintos.

    Caso 2) El denominador de Integral
    es un producto de factores todos lineales y algunos están repetidos.

    Caso 3) En Integral
    aparecen factores cuadráticos irreducibles que no se repiten.

    Caso 4) En Integral
    aparecen factores cuadráticos irreducibles repetidos.

    Método de integración por partes

    Se basa en la regla de derivación del producto de dos funciones derivables en un dominio común.

    Sean

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