Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

Simulación en Ordenador. Función de Transferencia

  • Enviado por: El remitente no desea revelar su nombre
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 10 páginas

publicidad
cursos destacados
Aprende Game Salad en 30 minutos
Aprende Game Salad en 30 minutos
GameSalad, una aplicación para Mac y Windows que nos permite crear juegos sin necesidad de saber programar es lo que...
Ver más información

Curso de C# (sharp) y ASP .net con Visual Studio 2012
Curso de C# (sharp) y ASP .net con Visual Studio 2012
Listado de tutoriales de Visual C# usando Visual Studio 2012. Programa en C# desde Cero y accede a videos de...
Ver más información


PRACTICA 1

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Observando la figura y teniendo en cuenta los datos que se adjuntan hallar:

  • Ecuación diferencial del sistema

  • Función de transferencia.

  • Identificar y hallar el valor de la constante de tiempo. ¿Qué significado tiene?

  • La respuesta temporal del sistema ante un escalón unitario

  • El tiempo de establecimiento (ts) teniendo en cuenta que se trata de un sistema de primer orden.

  • Calcular el valor de la respuesta para un tiempo igual a la constante de tiempo.

  • Realizar la simulación en módulo Simulink de Matlab

    • Determinar la constante de tiempo

    • Determinar el tiempo de establecimiento

  • Montar un circuito en el laboratorio y medir con el osciloscopio la constante de tiempo y el tiempo de establecimiento.

  • Comparar resultados y razonar discrepancias.

  • Introducción

  • La práctica consta de tres partes bien diferenciadas:

    • Base teórica

    • Simulación en el ordenador

    • Parte real

    El objetivo es estudiar el comportamiento de un sistema de primer orden ante un escalón unitario hallando principalmente su constante de tiempo y el tiempo de establecimiento.

    Una vez realizadas las tres partes mencionadas habrá que compararlas, justificando los resultados y las discrepancias.

  • Base teórica

  • Los sistemas patrón que se estudian son los de 1er y 2º orden ya que son los sistemas básicos a partir de los cuales pueden realizarse los demás.

    Esta práctica se realizará con un sistema de 1er orden (en el denominador orden 1) cuya función de transferencia (H(s)) tiene la siguiente forma:

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    Siendo Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    la constante de tiempo de un sistema de primer orden.

    Constante de tiempo Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    : Tiempo que tarda el sistema en alcanzar el 63'2% de su valor final, representando la velocidad del sistema. Si la constante de tiempo es pequeña implica que el sistema es rápido y viceversa si la constante de tiempo es grande el sistema es lento.

    Tiempo de establecimiento ts: Se define como el tiempo necesario para que la respuesta alcance y se mantenga en un rango alrededor del valor final establecido en ± 5%.

    En las gráficas siguientes podemos ver estas definiciones:

    Una vez definido las incógnitas establecidas en la práctica pasamos a identificar el sistema.

  • Resultados

  • Voy a hallar la ecuación diferencial del sistema. Para ello observo el circuito a estudiar y planteo las ecuaciones que lo rigen.

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    [1]

    Pero sé la expresión de la intensidad (i)

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    [2]

    Sustituyendo la ecuación [2] en la ecuación [1] obtenemos la ecuación diferencial del sistema buscado:

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    [3]

    Ahora hallaremos la función de transferencia haciendo la transformada de Laplace a la ecuación obtenida anteriormente y considerando condiciones iniciales del sistema, es decir, que nuestro circuito está desconectado.

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    [4]

    Una vez obtenido la función de transferencia, podemos identificar sin problemas la constante de tiempo que en nuestro caso es :

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    [5]

    Sustituyendo los valores dados como datos en el inicio del problema obtendremos la función de transferencia de nuestro sistema;

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    que es la función de transferencia de nuestro sistema

    Y además sabemos también el valor de la constante de tiempo [5], simplemente sustituyendo los valores dados como datos en el inicio del problema.

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    Por lo que nuestro sistema quedaría de la forma siguiente:

    Seguimos realizando las cuestiones y ya estamos en disposición de hallar la respuesta del sistema ante un escalón unitario.

    Escalón unitario

    Entonces la respuesta será Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    Y sustituimos los valores correspondientes a cada una de las incógnitas obteniendo:

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    y descomponemos en fracciones simples

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    Resolvemos los residuos obteniendo lo siguiente:

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    s=0

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    s=-1/2

    Con lo que tengo:

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    que es la transformada de Laplace

    Con lo que buscando en tablas obtengo la respuesta de este sistema ante un escalón unitario que es:

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden
    [6]

    Esta solución vamos a representarla en una gráfica:

    La respuesta es un exponencial pero que consta de dos partes bien diferenciadas:

  • El 1

  • El -Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

  • Con lo que por el teorema de superposición, representando cada parte por separado obtenemos:

    1

    Ahora voy a hallar el tiempo de establecimiento teniendo en cuenta que es un sistema de primer orden.

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    Y para calcular el valor de la respuesta para un tiempo igual a la de la constante de tiempo:

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    4. Parte real

    Entrando en el módulo “Simulink” del entorno Matlab, componemos el circuito del sistema a través de un generador de pulsos (vi), función de transferencia con los datos antes calculados, y dos visores de pulsos simulados, uno que muestra los pulsos emitidos por el generador, y otro que muestra la respuesta del sistema:

  • La constante de tiempo :

  • b. La constante de establecimiento ts:

    En el laboratorio observamos el circuito montado por nosotros, con su resistencia su condensador que están conectados a un generador de funciones (vi) con una impedancia interna. La resistencia y el condensador anteriormente mencionados están conectados en paralelo según el patrón del enunciado de la práctica. Para ver la respuesta del sistema está colocado un osciloscopio con una impedancia interna. Se activa el generador de funciones y se observa la respuesta, perfectamente en el osciloscopio, efectuando visualmente las medidas de la constante de tiempo , y del tiempo de establecimiento ts:

    La constante de tiempo sale casi tres veces mayor que en la simulación, esto puede ser debido:

    La amplitud de salida no alcanza el valor de un voltio sino el valor de 0.75 v, pues la medida es alterada al medir la resistencia y el condensador.

    El generador de funciones así como el osciloscopio y todos los cables que forman la circuitería tienen una impedancia interna añadida que falsea los resultados (Ninguna medida es exacta ya que se modifica el sistema.

    La resistencia y el condensador del circuito no alcanzan el valor que marca el fabricante.

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    1

    2

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    Datos

    R = 10K

    C = 39 K

    0,63

    1

    

    1

    0,95

    1,05

    ts

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    Vi

    Vc

    1

    t

    (t)

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    r1=1

    r2=-1

    2

    1

    ts=1,8873

    t=0,63

     = 1 ms

    ts = 1.2 ms

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden

    Instrumentación y control: Sistemas de primer orden