Inductancia completa e inductancia de dispersión

El termino inductancia, cuando se aplica máquinas y trasformadores es frecuentemente usado en dos sentidos diferentes, estrictamente de una bobina esta dada por el voltaje inducido por el flujo total colocado cuando la razón de cambio de corriente de la bobina es la unidad, si aparece un sistema de unidad es usada, la inductancia completa de cada devanado es la suma de la inductancia mutua y la inductancia de dispersión.

Lc = Mab + La

Lb= Mab +Lb

Eq = (ra+Lap) ia +Mabpib

Eb= Mabia + (rb L bp) ib

Las ecuaciones generales de voltaje.

La máquina generalizada de la figura 9.1 tiene en cada eje un par de bobinas similares a las bobinas de un transformador, como una bobina estacionaria en el otro eje, seria , si la maquina estuviera en reposo, los voltajes no estarían inducidos en cualquier bobina en un eje debido a las corrientes a las bobinas, en el otro eje

Eje en

Cuadratura

Las ecuaciones que relacionan los votajes y corrientes se pueden mostrar como:

Ef= ( rf + Lfp ) if + Md fpid

Ed= Md fpfif + ( rd + Ldp )

Mqwiq + Mgwig

Eq= -Mfwfif - Mdwid + ( rq +Lqp ) iq +Mqgpig

eg = Mqgpig + ( rg + Lgp ) ig

En estas ecuaciones, algunos términos contienen la velocidad w representan los valores inducidos por rotación en del flujo impreso por la corriente en una bobina en el otro eje, tales voltajes se llaman voltajes de rotación.

La ecuación de oscilación

Las leyes de rotación mecánica son aplicables a los problemas de estabilidad en el estado transitorio ya que se discuten problemas de cuerpos en movimiento

El par desarrollado por un cuerpo en movimiento esta dado:

T = I 

Donde

T = Par en joule/rad (Newton-metro)

I = momento de inercia Kg-m2

= aceleración angular rad/seg2

Para el caso de una maquina sincrona, T es resultante o par neto del par mecánico corregido por las perdidas de fricción y ventilación, y que el par eléctrico corregido por las perdidas electromagnéticas, a esta resultante se le conoce como par de aceleración

Ta = par de aceleración

Ta = Tm - Te

Donde:

Tm = par mecánico, corregido por perdidas de fricción

Te = par eléctrico, corregido por perdidas electromagnéticas

En el estado permanente y despreciando las perdidas

Tm " Te

Es decir Ta = 0

Esto significa que la maquina trabaja en sincronismo, cuando Ta " 0 la máquina esta fuera de sincronismo y puede ser aceleración o retardación

(Ta "0 ó Ta "0).

Para el caso de un generador:

• Entrada mecánica Tm es positivo

• Salida eléctrica Te es positivo

Para el caso de motor sincrono

• Entrada eléctrica Ta es negativo

• Salida mecánica Tm es negativo

Ta "0 en el estado transitorio

De la ecuación:

Ta = I pero = d2/ dt2

Ta = Id2/ dt2

Donde= ángulo de posición angular en grados mecánicos o eléctricos. Se ha encontrado que para el estudio de estabilidad transitoria, es mas conveniente medir la posición del rotor con respecto a un eje que gire a la velocidad de sincronismo ( ws ) que con relación a un eje estacionario

R2 = Radio de giro al cuadrado

g = aceleración de gravedad

f = frecuencia eléctrica en c.p.s.

F = f/ 2 × RPM/60 por lo tanto f= 2×60×F/ RPM

Sustituyendo

Ta = WR2/g 2xRPM/ 2x60xF d2g1/dt2

= WR2/gxRPM/60fx D2g1/dt2

Si referimos el par de aceleración Ta a un par base (eléctrico)

Ta p.u. = WR2/gx RPM/60fxd2/par base

Donde par base = Par base = Potencia base / W x K

W = velocidad angular = 2f

K = constantes para obtener unidades coherentes 0 550/0.746

Normalmente se hace referencia a la energía cinética desarrollada por la parte giratoria

E.C.= ½ IW2 = ½ IWW

Y como el momento de inercia angular, M = Iw la constante de inercia H de acuerdo con la definición

H = E.C / P nominal = ½ x wR2/32.2 ( 2RPM / 60 )2 / MVA nominales x 550/0.746

Expresando la ecuación en M - joules

H = 2.31 x 10-10 WR2 ( RPM )2/ MVA nom

De la ecuación de oscilación

Ta = I d1/ dt²

Multiplicando por W los dos miembros

Taw = wI d²1/ dt²

Pero Taw = P (potencia)

WI = M (momento angular de inercia)

Pa = M d²/ dt²; como Ta = Tm - Te

Taw = Tmw - Tew

Pa = Pm - Pe

Donde:

Pa = potencia de aceleración

Pm = Potencia mecánica

Pe = potencia eléctrica

La ecuación de oscilación queda

M d²/ dt² = Pm-Pe; como

M = H / 180f - 1/k

G = Potencia nominal = 1.0 p.u

Donde K = Constante de aceleración = 180/ M

Nuestro problema cosiste en resolver esta ecuación durante las condiciones de falla.

Antes de ocurrir el disturbio, Pm = Pe = 1.0p.u

Es decir Pa = 0

M d²/ dt = w0; w0= d0/ dt ; 0 =  /4 = ctq

W0 = 

M d/d/t = M = C2 ; C2 = 0 = /4

Durante el disturbio Pm = constante =1.0

Pe " Pm = /90 = //2 = 2/

La ecuación de oscilación en estas condiciones

M d²/dt² 0 Pa = Pm - Pe

M d²/dt² 1.0 -2/

El problema de resolver la ecuación que ser puede escribir en la forma sig:

M d²/ dt² + 2 / 0 1.0 (ecuación de 2do orden , no homogéneo

Ecuación homogéneas

Características MD² +2/  = 0; D² = -2/M

D1,2 = ± j " 2/ M = ± j " 2/M

Raiz compleja con parte real = 0

La solución de la Homogénea para este caso tiene la forma:

n 0 e oct. ( C1 cos t + C2 sen t )

 = parte real del complejo

 0 parte imaginaria del complejo

Como

 = 0, et = 1.0 por lo tanto  =" 2/ M

= C1 cos " 2 /  M t + C2 sen " 2 /  M t

La solución particular tiene la forma

p = C3 , d p / dt = 0 ; d²p / dt²= 0

En (1) 2p /  = 1.0 por lo tanto p = C3 = /2

La solución total de la ecuación es:

 ( t ) =  ( t ) + p ( t )

= C1 cos " 2 / M t +C2 sen " 2 / M +  / 2

Para determinar Ci y C2 se requiere de otra ecuación que se obtiene derivando ( 3 )

d  ( st ) / dt = w ( t ) = - C1 " 2 /  M sen " 2 /  M t + C2 " 2 /  M cos "2 / M -t

Sustituyendo las condiciones iniciales

 ( 0 ) =  / 4 ; d ( 0 ) / dt = w ( 0 ) - 0

• w ( 0 ) = Cambio en la velocidad sincronía ( exceso sobre la velocidad sincrona)

• W ( 0 ) = 0 significa que un instante antes del disturbio , no existía cambio en la velocidad sincronía.

En ( 3 ) t = 0

 / 4 = C1 +  /2 ; C1 = - / 4

En ( 4 )

0 = C2 " 2 /  m ! C2 = 0

La solución queda

 ( t ) =  /2 +  / 4 cos " 2 / m t

Podemos hacer

 ( t ) =  /2 -  / 4 cos wst

donde wosc 0 2 /  m

y además M = GH / 180f ; G = 1.0 p.u

M = H / f ; entonces ws = " 2 /  H /  f = " 2f / H

" 2x60 / 2.7 = 6.6 rad /seg

La velocidad angular en grados eléctricos / seg

Wosc = 6.66 x 180/  = 382 grado / seg

Y la solución se puede escribir como.

 ( t ) =  /2 -  / 4 cos 6.66t

 8T ) en radianes

o bien si se desea  ( t ) en grados eléctricos

 ( t ) = 90 - 45 cos 382 t

Para cada valor de t se obtiene un valor de 

w

D F

eg

eq