Inducción matemática

Proposición. Axioma. Hipótesis. Números naturales

  • Enviado por: Jessica Diaz Reyes
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 6 páginas

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INTRODUCCION

El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.

Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.

Los pasos para desarrollar la Inducción Matemática se detallan en el contenido del presente trabajo de investigación.

INDUCCION MATEMATICA

Sea P(n) una proposición que depende de la variable n, con n perteneciente a los Naturales. Si:

  • 1 satisface a P y,

  • k pertenece a los Naturales, k satisface P! (k+1) satisface P,

  • entonces todos los números naturales satisfacen P.

    Usaremos el Axioma de Inducción Matemática para demostrar la validez, en los Números Naturales, de ciertas proposiciones P que depende de una variable n, con n perteneciente a los Naturales.

    Procederemos de la siguiente manera:

  • Verificaremos la proposición para el numero 1.

  • Supondremos que la proposición es verdadera para un numero natural cualquiera k. (Hipótesis de inducción).

  • Demostraremos la proposición para el numero natural (k+1).

  • Así, gracias al axioma de inducción Matemática, podemos concluir que la proposición la satisfacen todos los números naturales.

    Ejemplo 1:

    Demostraremos que:

    1+2+3+............+n = n(n+1), " n perteneciente a los naturales (*)

    2

  • 1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposición (*)

  • 2

  • Supongamos valida la proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que:

  • 1+2+3+.........+k = k(k+1). (Hipótesis de inducción).

    2

  • Demostremos que k - 1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que:

  • 1+2+3+.........+k+(k+1) = (k+1)(k+2).

    2

    Demostración:

    (1+2+3+.......+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1)

    2

    = k(k+1)+2(k+1)

    2

    = (k+1)(k+2)

    2

    Luego la proposición (*) es verdadera "n perteneciente a los naturales.

    En resumen, primero demuestras reemplazando el n por un 1, luego demuestras reemplazando el n por un k y finalmente lo demuestras reemplazando el n por (k+1)

    Ejemplo 2:

    Demuestre usando Inducción Matemática que:

    n

    " i3 = n2 (n+1)2

    i=1 4

    Usando n = 1

    1

    " i3 = 12 (1+1)2

    i =1 4

    1

    " 1 = 1(4)

    i =1 4

    1

    " 1 = 4 = 1

    i=1 4

    Supongamos valido para n = k

    k

    " i3 = k2 (k+1)2

    i=1 4

    Por demostrar valido para n = k+1

    k+1

    " i3 = (k+1)2 (k+1)2 se reemplaza termino igual al de arriba

    i=1 4

    = (k+1)2 (k+2)2 esto se debe demostrar

    4

    k+1 k

    " i3 = " i3 + (k+1)3

    i =1 i =1

    = k2 (k+1)2 + (k+1)3 = k2 (k+1)2 + (k+1)3 = (k+1)2 ( k2 + (k+1)

    4 4 4

    = (k+1)2( k2 +4(k+1) = (k+1)2 (k2 +4k+4)

    • 4

    = (k+1)2 (k+2)2

    4

    Ejemplo 3:

    Demuestre usando inducción que:

    2 + 4+ 6 + 8+..........+ 2n = n(n+1)

    n

    • 2 i = n(n+1)

    i =1

  • n=1

  • 1

    " 2*1 = 1(1+1)

    i =1

    • = 1*2

    • = 2

  • Suponer valido para n = k

  • k

    " 2i = k(k+1) Esto es la hipótesis

    i =1

  • Demostrar para n = k+1

  • K+1

    " 2i = (k+1)(k+2)

    i =1

    k+1 k

    " 2i = " 2i + 2(k+1)

    i =1 i =1

    = k(k+1) + 2(k+1)

    = (k+1)(k+2)

    BIBLIOGRAFIA

    • ALGEBRA , guía de trabajo de la Universidad Central de Chile

    Isabel Arratia z.

    • Cuaderno de Algebra I

    Universidad de Ciencias de la Informática

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