Historia de las matemáticas

Matemática educativa. Aritmética. Cálculos geométricos. Sistemas de numeración y cálculo. Geometría. Algebra. Probabilidad. Estrategías heurísticas. Proceso metacognitivos

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BREVE RESEÑA HISTORICA DE LAS MATEMÁTICAS

El mundo de las matemáticas es, sin duda, discutible, El hombre primitivo necesita el número para contar tal o cual categoría de objetos, para verificar la cuenta de su rebaño o para efectuar sus estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones en el siglo XIX, o como la ciencia que produce condiciones necesarias, ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto, estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Los números se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas… de cada número, la multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (a), junto con la fracción B, para expresar todas las fracciones. Los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3,14).

Los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de intercambios comerciales.

La matemática es una ciencia que ya ha cumplido más 2000 años y aunque actualmente está estructurada y organizada, esta operación llevó muchísimo tiempo. Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad. Ya la encontramos en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres (donde se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas). Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos (prestar atención como cuentan los niños), lo que resulta evidente por la abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados.

Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos.

En el siglo V a.C., algunos de los más importantes geómetras fueron el filósofo atomista Demócrito de Abdera, que encontró la fórmula correcta para calcular el volumen de una pirámide, e Hipócrates de Cos, que descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos. Este descubrimiento está relacionado con el famoso problema de la cuadratura del círculo (construir un cuadrado de área igual a un círculo dado). Otros dos problemas bastante conocidos que tuvieron su origen en el mismo periodo son la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo (construir un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado). Todos estos problemas fueron resueltos, mediante diversos métodos, utilizando instrumentos más complicados que la regla y el compás. Sin embargo, hubo que esperar hasta el siglo XIX para demostrar finalmente que estos tres problemas no se pueden resolver utilizando solamente estos dos instrumentos básicos.

Euclides, matemático y profesor que trabajaba en el famoso Museo de Alejandría, también escribió tratados sobre óptica, astronomía y música, en áreas tan diversas como la geometría de polígonos y del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes.

Al final del periodo medieval se realizaron importantes estudios matemáticos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, Era una fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matemático italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior.

También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático francés François Viète llevó a cabo importantes estudios sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en Inglaterra.

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas, el siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.

La ciencia de la teoría de números, que había permanecido aletargada desde la época medieval, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica.

Otro avance importante en las matemáticas del siglo XVII fue la aparición de la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre un problema presente en los juegos de azar, el llamado problema de puntos. Este trabajo llevó al científico holandés Christiaan Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado en el Ars coniectandi (1713) del matemático suizo Jacques Bernoulli. Tanto Bernoulli como el francés Abraham De Moivre, en su Doctrina del azar de 1718, utilizaron el recién descubierto cálculo para avanzar rápidamente en su teoría, que para entonces tenía grandes aplicaciones en pujantes compañías de seguros.

El gran matemático del siglo XVIII fue el suizo Leonhard Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. Sin embargo, el éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.

ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

La enseñanza de la matemática en la escuela ha sido y es fuente de preocupaciones para padres y maestros.

Por muy variados que sean los recursos didácticos utilizados, para los niños el sistema de numeración se constituye en un problema, porque no comprenden las reglas de nuestro sistema de numeración decimal-posicional, lo que ocasiona dificultades en la operatoria ya que no logran visualizar la relación entre la organización del sistema y los algoritmos convencionales de las operaciones.

Se ha trabajado en la forma de agrupamientos, para ser comprendida por los niños, así como la utilización de colores y figuras representando unidades, decenas y centenas, donde terminan siendo expertos agrupadores de palitos, decodificadores de colores y formas, pero el problema continúa sin ser resuelto.

Creemos importante tener en cuenta que ya que la numeración escrita existe no sólo dentro de la escuela sino también fuera de ella, los niños deberian tener conocimientos acerca de este sistema de representación. Utilizando páginas de los libros, calendarios, publicidades, direcciones, reglas, etc. Esto trae como consecuencia que las competencias numéricas de los niños sean sumamente heterogeneas, lo cual sugiere por un lado la necesidad de proveer a los maestros de herramientas para diagnosticar estos niveles.

La didáctica de la matemática ha hecho importante los procesos de enseñanza y aprendizaje en diferentes contenidos de esta ciencia particularmente en situaciones escolares, determinando condiciones didácticas que permiten mejorar los métodos y los contenidos de enseñanza asegurando en los niños evolucionen y puedan resolver problemas dentro y fuera del aula.

Para la enseñanza de la matemática en los niños se deben plantear situaciones de trabajo individuales y grupales donde en problemas con números, deban utilizar sus conocimientos y poner a prueba sus hipótesis, probando, desechando y retomando caminos. La comparación entre sus escrituras y las formas en que aparecen en la realidad, las intervenciones, las discusiones entre pares, constituyen situaciones en las que surgen permanentemente conflictos .

Este tipo de situaciones no se encuentra frecuentemente al observar clases organizadas de una manera tradicional, en las que el maestro provoca, recibe, corrige e interpreta todas las respuestas de cada uno de sus alumnos. Además, la gestión de estas situaciones por parte del docente es difícil, en su quehacer cotidiano.

Es necesario obtener el asesoramiento y capacitación docente y/o directiva para una implementación gradual y eficiente y su aplicación en el aula.

La matemática en su esencia es fácil, por cuanto sus conceptos fundamentales son producto de una actividad totalmente humana, si se le compara como se establece en dichos conceptos en las ciencias de la naturaleza, ciencias sociales o ciencias del comportamiento, sus conceptos fundamentales han tenido que extraerse de un mundo exterior al hombre; bajo un proceso que podemos llamar de aproximaciones sucesivas y que, además, supuestamente este proceso converge hacia la verdad.

Se puede observar, en forma general, que en el desarrollo del pensamiento matemático hay un desplazamiento del objeto matemático. Existe un proceso de simplificación. En consecuencia habrá mayor coherencia, claridad y generalidad en el desarrollo del pensamiento matemático.

En la actualidad, tanto los matemáticos como educadores y planificadores de la enseñanza de la matemática, están participando en un movimiento de amplitud mundial donde procuran modernizar y estructurar, su enseñanza

Cada vez se siente más la necesidad de una reforma en contenido y metodología de tal manera que responda, entre otras cosas, al acelerado cambio tecnológico de nuestra época. Esta necesidad se hace más evidente en los niveles de primaria y secundaria, por cuanto es aquí donde está, no solo la posibilidad de formar actitudes positivas hacia la matemática, sino también de aprovechar las aptitudes naturales de los niños y jóvenes para brindarles la enseñanza adecuada en el aprendizaje de la matemática.

Como resultado de todas estas actividades se debe establecer un o contenido matemático teniendo en cuenta la Capacidad para:

- recordar definiciones, notaciones, operaciones y conceptos

- manipular datos y calcular con rapidez y exactitud

- interpretar datos numéricos

- interpretar datos simbólicos

- seguir pruebas

- construir pruebas

- aplicar conceptos a problemas matemáticos

- analizar y determinar las operaciones que deben aplicarse a los problemas matemáticos.

- inventar generalizaciones matemáticas.

ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS

Este método se basa a enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más invocado para poner en práctica el principio general de aprendizaje activo y de inculturación. Lo que se persigue con ella es transmitir en lo posible de una manera sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas.

Ver un problema cuando se encuentra en una situación desde donde se quiere llegar a otra, unas veces bien conocida otras un tanto confusamente, y no se conoce el camino que pueda llevar de una a otra. Esta actividad, que fue un verdadero problema para los algebristas del siglo XVI, se encuentra, como suele suceder, al final de una sección sobre el binomio de Newton, no constituye ya ningún reto notable. El alumno tiene los caminos bien marcados. Si no es capaz de resolver un problema semejante, ya sabe que lo que tiene que hacer es aprenderse la lección primero.

La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma los contenidos matemáticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamiento eficaces.

Se considera que lo más importante para el alumno es que :

- manipule los objetos matemáticos

- active su propia capacidad mental

- ejercite su creatividad

- reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo concientemente

- de ser posible, haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su trabajo mental

- adquiera confianza en sí mismo

- se divierta con su propia actividad mental

- se prepare así para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida cotidiana

- se prepare para los nuevos retos de la tecnología y de la ciencia.

Estas ventajas de este tipo de enseñanza tiene razones interesantes:

- porque es lo mejor que podemos proporcionar a nuestro jóvenes, la capacidad autónoma para resolver sus propios problemas

- porque el mundo evoluciona muy rápidamente en los procesos efectivos de adaptación a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra cultura no se hacen obsoletos

- porque el trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satisfactorio, autorrealizador y creativo

- porque muchos de los hábitos que así se consolidan tienen un valor universal, no limitado al mundo de las matemáticas

- porque es aplicable a todas las edades.

Se ha enseñado siempre a resolver problemas en nuestra clase de matemáticas, los buenos profesores han utilizado de forma espontánea los métodos que ahora se propugnan, pero lo que tradicionalmente se ha venido haciendo haciendo es la exposición de contenidos -- ejemplos -- ejercicios sencillos -- ejercicios más complicados (problemas).

En todo el proceso para resolver un problema, el profesor debe colocar al alumno en situación de participar, sin aniquilar el placer de ir descubriendo por sí mismo lo que los grandes matemáticos han logrado con tanto esfuerzo.

PROCESOS METACOGNITIVOS

Entre los conocimientos adquiridos por los expertos que solucionan problemas tenemos los conocimientos declarativos que abarcan principios, formulas y conceptos; los conocimientos de estrategia donde permiten al hombre solucionador de los problemas decidir cuales son las etapas o pasos que debe seguir para solucionar los problemas y el conocimiento precedimental busca las acciones necesarias para resolver un tipo de problema en particular.

Los procesos metacognitivos permiten el seguimiento de actividades cognitivas.

Comprende

Seguido de

Donde ________________ que __________

ESTRATEGÍAS DIDÁCTICAS DE MAPAS CONCEPTUALES

El uso de mapas cada vez está más extendido en la didáctica, se ha trasladado su aplicación a los canales de comunicación con el fin de familiarizar al estudiante en su forma educativa con respecto al aprendizaje y uso. Es por lo que consideramos la parte práctica de los mapas conceptuales como amplios y flexibles, hasta el punto que permite desarrollar un esquema básico de utilización didáctica en el organigrama. Desde la pedagogía actual se aborda el constructivismo educativo y el aprendizaje significativo, con la intención de plasmarlo en la didáctica diaria del profesorado, y por consiguiente, en la dinámica de trabajo del alumnado. siendo más acorde a las necesidades de la persona a educar (los alumnos), que permitan adquirir estrategias de aprendizaje dedicado al estudio.

Son los docentes los que deben trasmitir el mecanismo de aprender a conocer. No es el de saber almacenar el conocimiento en el periodo escolar, sino que se trata de aprender y saber buscarlo, interpretarlo, manejarlo y actuar con él.

Es obvio que el aprendizaje significativo da respuesta a este aspecto de la docencia y, en gran medida responde a los procesos cognitivos básicos del proceso evolutivo del alumnado.

Las aplicaciones de los mapas conceptuales en la didáctica de aula son indudablemente una estrategia en el desarrollo de actividades y en la dinámica diaria. Es constante la exposición de nuevos conceptos en formato de imagen en los primeros años de la Educación Infantil, los cuales se irán convirtiendo en sonidos de una comunicación y, posteriormente en grafemas visuales. Éstos se exponen ante el alumnado durante su periodo educativo constantemente, hasta convertirlos en síntesis y técnicas de estudio, dirigidos a responder las estrategias de aprendizaje individual,.

Los mapas son diariamente utilizados por el profesorado para solicitar al alumnado que active el procedimiento de análisis ante la resolución de conflictos.

Del mismo modo, los materiales didácticos utilizados, exponen sus procedimientos mediante mapas de imágenes, trazos de colores, formas y enlaces de relación entre ellos. El profesorado comienza a utilizar el mapa como herramienta de exposición de la materia y de relación entre conceptos y, especialmente interesante es el uso que se da en la didáctica de aula.

ESQUEMA DE REPRESENTACIÓN DE PROBLEMAS

Entre los modelos para representación de un problema podemos señalar la orientación, donde le profesor debe conocer y prepararse con elementos técnicos que permitan garantizar la formación de valores desde el punto de vista particular y general del problema, pasando a la concreción donde define los valores que se propone formar, después de la selección de valores pasa a la etapa de diagnostico que se sustenta en el conjunto de acciones tales como:

ORIENTACIÓN

Comprende elementos

Comprende es la relación se desarrolla

BIBLIOGRAFIA

FUENTE:

ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA

AUTORA: Modesto Arrieta Illaramendi (1998)

COLLETE, Jean Paul. Historia de las matemáticas II. Siglo XXI

Edición 1986. [Segunda edición en español].

Matemática Educativa. Panamá, Imprenta Universitaria. (1992)

 

 

METACOGNICION

PLANIFICACIÓN

SUPERVISIÓN

identifica el problema___

formula metas___

anticipa y obstáculos previsibles___

define estrategias de éxito___

anticipa modificaciones del plan____

Mantiene el objetivo planteado

y estrategias trazadas___

decide sobre una submeta ___

decide cuando dar un paso___

da solución a los obtáculos___

___

Diagnostico

Aprendizaje

Caracterización

de sus cualidades

Caracterización

del contexto

Comprensión y solución de un problema

Entre maestros, alumnos, compañeros de aula y familiares

La Aptitud

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