Historia de las Matemáticas

Prolegómenos. Propedéutica filosófica. Pitágoras. Parménides. Sofistas. Platón. Aristóteles. Alenjandría. Euclides. Pensamiento Archai. Axiomas. Diagonal. Media proporcional. Sección Aurea. Pre-euclidianas. Mesopotamia. Egipto. Arquimedes

  • Enviado por: Rubio
  • Idioma: castellano
  • País: España España
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TEMA 1: PROLEGÓMENOS

  • FUENTES Y AUTORIDADES PARA EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS ANTIGUAS.

  • La Antigüedad Clásica es un período de la historia bastante amplio. Podemos poner el principio en Homero y Hexiodo en el s. VIII a. C.. A la hora de buscar textos, las obras de filosofía más antiguas que se tienen son las de Platón (428/7-348/7). En cuanto a las matemáticas, los textos más antiguos datan de Euclides y Autólico de Pitame, anteriores al 300 a. C.. Las obras de Autólico de Pitame son de astronomía y ligeramente anteriores a las de Euclides.

    Las fuentes más antiguas que se conservan enteras son las de Herodoto (450 a. C.) y Tucídies (410 a. C.). Las últimas fuentes de las que sacaremos información sobre los siglos anteriores son ya del s. XII d. C. Que son bizantinas pero están escritas en griego.

    AUTORIDADES

  • Autores anteriores a Euclides:

  • A1) Platón (428/7-348/7 a. C)

    A2) Aristóteles (384-222 a. C.)

    A3) Eudemo (finales del s. IV a. C.)

    A4) Autólico de Pitame

  • Autores matemáticos propiamente dichos y posteriores a Euclides: Arquímedes, Papus, Eutocio, etc.

  • Neopitagóricos y Neoplatónicos:

  • C1) Nicómaco de Gerasa (finales del s. I d. C.)

    C2) Teón de Smirna (s. II d. C.)

    C3) Porfirio de Tiro (s. III d. C.)

    C4) Yámblico de Calcis (s. III- IV d. C.)

    C5) Dominos de Larisa (s. V d. C.)

    C6) Proclo (s. V d. C.)

  • Comentaristas de Aristóteles:

  • D1) Alejandro de Afrodisia (s. II - III d. C.)

    D2) Boecio (475-524 d. C.)

    D3) Simplicio (s. VI d. C.)

    D4) Filiponos (s. V-VI d. C.)

  • Doxógrafos y críticos de sistemas filosóficos: (posteriores a Aristóteles)

  • E1) Aecio (s. I-II d. C.)

    E2) Hipólito (comienzos del s. III)

    E3) Eusebio (s. III-IV d. C.)

    E4) Epifanio (315-403 d. C.)

    E5) Clemente de Alejandría (s. II d. C.)

    E6) Gregorio de Nisa (s. IV d. C.)

    E7) Luciano de Samósata (s. II d. C.)

    E8) Sexto Empírico (s. II-III d. C.)

  • Historiadores y biógrafos:

  • F1) Diodoro de Sicilia (s. I a. C.)

    F2) Estrabón (63 a. C.-20 d. C.)

    F4) Diógenes Laercio (s. III d. C.)

    F5) Atenea de Náucratis (s. III d. C.)

  • Compiladores:

  • G1) Juan Estobeo (s. V-VI d. C.)

    G2) La Suda (o Suidas) (s. IX-X d. C.)

    G3) Juan Tzetzes (s. XII d. C.)

  • Autores de interés para la Astronomía

  • ALGUNOS COMENTARIOS SOBRE ALGUNOS AUTORES

    • Eudemo: no se conserva ningún escrito pero se le considera importante porque escribió historias de astronomía y geometría guiado por Aristóteles. Parece ser que también se guió y ayudó por un manual de Matemáticas que se debe a los Pitagóricos. Simplicio y Proclo están continuamente citando a Eudemo y por ello es interesante estudiar o conocer los caminos que nos llevan a esas historias, es decir, los caminos por los que los distintos autores han llegado a Eudemo:

    Año 0

    Gemino

    s. I Derallides

    s. II Teón de Smirna Porfirio Sosígenes Clemente de Alejandría

    s. III Sporo

    s. IV Papus

    s. V Proclo

    s. VI Eutocio Simplicio

    En el cuadro la doble línea significa que los autores están directamente relacionados con Eudemo (porque han leídos sus escritos o cosas así). La línea continua significa que no hay relación directa sino que su relación proviene de la relación con los que se relacionan directamente con Eudemo.

    • Proclo: es importante porque tiene muchas obras y algunas son específicamente de matemáticas. En particular hay un comentario de los cuatro primeros libros de Euclides (sólo lo hace de esos libros porque son los que más relación tienen entre sí). Además tiene una institución teológica muy famosa en la que expone la filosofía de Plotino y de -----. Es neoplatoniano. También tiene un tratado sobre la esfera, otro sobre las hipótesis de las posiciones planetarias y otra sobre los comentarios de Platón (sobre el Parménides y La República en especial)

    Es de principios del s. V. Nación en Bizancio pero no pertenece al período de esplendor bizantino (el Imperio Bizantino). En Alejandría se dedicó a estudiar y pronto observó que allí se cultivaban más las ciencias que la filosofía. Pertenecía a la Escuela de Atenas. Era un devoto del paganismo y creía en la vida de los sueños y en las revelaciones de los sueños. Proclo es también fundamental para el origen del Neoplatonismo florentino que se desarrolló en es s. XV. Marsilo Ficino tradujo por encargo de uno de los Medicis obras directamente del griego de Platón y de Proclo, pero pensaba que la mejor forma de estudiar a Platón era a través de Proclo, Porfirio y alguno más; es decir, veían a Platón desde el punto de vista de Proclo que era neoplatoniano. En el s. XIX cuando Creuzer, Hegel y otros compatriotas pusieron en marcha el idealismo alemán se fijaron también en las ideas de Proclo, por lo cual podemos considerar a éste como uno de los autores cuyos ideales han llegado lejos en la historia de la humanidad y con mucha repercusión.

    • Boecio (475-524 d. C.): no es un alumno de Proclo. Tuvo mucha participación en la política: fue presidente de Senado con Teodosio el Grande, fue encarcelado y finalmente ejecutado. Fue el único que tradujo obras de Aristóteles del griego al latín, hasta que llegaron las traducciones del griego al árabe, en Toledo. Escribió la Institución música y la Institución aritmética. En el primero reproduce dos fragmentos de Arquitas de Tarento, con lo que atribuyeron algunos libros de Euclides a los Pitagóricos en lugar de al propio Euclides. Se trata de un libro de música teórica.

    • Simplicio: hizo posible la transmisión de muchas cosas y comentarios sobre Aristóteles. Cuando Justiniano y Teodosia cerraron la Escuela de Atenas, a la que pertenecía, fue uno de los personajes que tuvo que huir a Persia.

    ALGUNAS FECHAS IMPORTANTES

    • ANTES DE LA BATALLA DE QUERONEA (Batalla en la que Filipo de Macedonia derrotó al ejército de aliados griegos)

    Edificios Poetas Pensadores Historia política

    Templo Olimpia Simónides Heráclito Maratón

    (460) (556-468) (544-484) (490)

    Partenón Sófocles Protágoras Pericles

    (448-442) (497-406) (481-411) (461-429)

    Sócrates Guerra del Peloponeso

  • (431-404)

    • 404- Guerra del Peloponeso

    • 338 (2 de Agosto) - Batalla de Queronea

    • 356-323 - Alejandro Magno

    • 216 - Batalla de Cannas (historia de la parte de occidente no de Grecia)

    • 0 - Augusto

    • 117 - Trajano

    • Aproximadamente sobre el año 200 desaparecen los antoninos

    • 235 - Maximino: primer emperador soldado

    • 256-258 - Alianza de Roma con los galos para defender la frontera del Rin (historia correspondiente a los territorios romanos).

    • 241 - Sapor y Valerio (historia del antiguo imperio persa)

    • 260 - Valerio prisionero (historia del antiguo imperio persa)

    • 270 - Aureliano: ordena la construcción de murallas para Roma

    • 274 - Culto al Sol: el emperador asimilado al sol (influencia árabe)

    • 284 - Diocleciano: inicio del Bajo Imperio (los cristianos se van haciendo con el poder)

    • 312 - Batalla del Puente Milvio: Constantino

    • 313 - Edicto de Milán: el cristianismo pasa a ser una de las religiones del imperio romano pero no la única

    • 325 - Concilio de Nicea: muy importante

    • 330 - Fundación de Constantinopla

    • 360 - Juliano el Apóstata: trata de recomponer la situación contra el cristianismo pero fracasa

    • 376 - Los visigodos acuerdan con los romanos ser servidores del imperio

    • 395 - Muerte de Teodosio el Grande (hizo que la religión oficial del imperio fuera el cristianismo

    • 406 (31-12-406) - Vándalos, suevos y alanos llegan, mediante el Rin helado

    • 410 - Saqueo de Roma: mediante Alarico

    • 431 - Concilio de Efeso: muy importante

    • 451 - Concilio de Calcedonia: Campos Catalaúnicos (en la parte de occidente); romanos y visigodos consiguen detener a Atila

    • 476 - Odoacro: pone fin al imperio romano de occidente

    • 527-565 - Justiniano: emperador del imperio romano de oriente

    • 529 - Guerra de la Escuela de Atenas: a manos de Justiniano

    • 610 - Heraclio: fundador del Imperio Bizantino

    /// historia de las matemáticas en los siglos IV, V, VI a. C.

    FUENTES MATERIALES

    Se nos han transmitido desde Grecia datos que estaban escritos en papiros, pero sólo nos han llegado unos fragmentos de ellos, en ocasiones muy pequeños. En realidad toda la información de la que disponemos nos ha venido por libros, objeto que hasta el s. IV d. C no apareció y que fueron los cristianos los que lo llevaron a su auge; es decir, los textos y obras antiguamente escritas en papiros fueron llevadas a los libros. Al principio incluso los libros eran una especie de recopilación de papiros pero éstos empezaron a escasear en la época de Heraclio. Fueron los árabes los que trajeron el papel, quienes lo copiaron o aprendieron de los chinos que son los primeros que lo fabricaron. Hasta el año 800 d. C no se empezaron a usar los libros con papel.

    Por lo tanto estamos recopilando datos de la historia por medio de los escritos de siglos posteriores a la época estudiada. Eso quiere decir que lo más probable es que muchos datos no sean exactos y algunos incorrectos, ya que en los papiros se escribía con las letras mayúsculas para una mayor claridad pero en los siglos posteriores, sobre todo en aquellos en los que las traducciones y los escritos empezaron a tener mucha importancia, se empezó a escribir con letras minúsculas ya que se ahorraba tiempo, pero este tipo de letra es más difícil de entender con lo que se pueden haber transmitido datos errores por una mala caligrafía.

    Al papel tuvieron acceso en la batalla de Samarcanda, ya que fue donde hicieron prisioneros a los chinos que eran los que sabían hacer papel. El libro más antiguo que se conserva en papel es el Manuscrito en griego (el Vaticano 2200). Hacia el 950 la letra minúscula se impone a la mayúscula definitivamente. Los comentarios hechos a las obras en griego se añaden con papiros suplementarios y esto dio lugar a que añadieran cosas por los márgenes de la escritura; esto termina con los escolios que son anotaciones a los márgenes haciendo alusión al texto escrito.

    Así los comentarios y la información sobre los textos se ponía en los escolios, pero a partir de ahora los textos van solamente copiados. Con eso y con el hecho de que en los escolios además se añadía información sobre los que escribían los comentarios y se contrastaban cosas, los textos ya son de una gran utilidad.

    Todo esto está referido al mundo griego ya que a pesar de que la información nos ha llegado mucha de ella a través de los árabes, en aquella época ellos escribían en tablillas de barro y con la escritura cuneiforme. Pero esto traía problemas puesto que estas tablillas se rompían. Se conservan muchos fragmentos pero la transmisión continuada no se da.

    La primera biblioteca importante de la que se tiene constancia es la de Aristóteles en el Liceo de Atenas, y en ella se aglomera gran parte del pensamiento griego. Como Aristóteles era el preceptor de Alejandro Magno, éste favoreció mucho la filosofía y pensamientos de su preceptor.

    Cuando murió Alejandro Magno, el Imperio Persa (Egipto) quedó en manos del General Tolomeo, que se inspiró en la zona de Atenas para crear las instituciones. Tolomeo fundó un museo donde había una subsección que era la biblioteca de Alejandría, que es la sucesora de la de Aristóteles. Se cree que existían unos 700.000 volúmenes pero Cesar incendió la biblioteca y se perdió mucho material. Aquí había manuscritos en papiros pero el museo no tenía actividad docente, a pesar de que existía una gran sabiduría y la ciudad era bastante civilizada. La información que tenemos sobre el Museo de Alejandría nos viene dada por Estrabón, quien nos cuenta que no había sala de lectura y había una actividad intelectual incompatible sin libros.

    Las ramas más importantes del estudio o que más se cultivaban eran:

    • Matemáticas (nacen las matemáticas euclídeas)

    • Medicina (junto con las matemáticas se favorece de una gran tradición ya existente)

    • Filología (análisis críticos de textos).

    Un gran filólogo fue Calímaco, que era bibliotecario de la biblioteca de Alejandría y quería ser poeta. Otro bibliotecario fue el matemático Eratóstenes.

    En este museo también había un patio que recuerda a lo que más tarde serían los patios de los conventos en la Edad Media.

    Así pues, la gran actividad intelectual se da en Alejandría. Si nos situamos en le s.I d. C, Alejandría ha perdido mucho de su poder y en cambio Éfeso se empieza a configurar como un centro cultural importante. Les ocurre lo mismo a Pérgamo y Esmizna.

    DÓNDE SE EMITE SAPIENCIA

    Hacemos otro corte en la historia en el s.V d. C:

    • Atenas sigue siendo un gran centro de formación de jóvenes

    • Alejandría pierde mucha importancia aunque no totalmente (todo su máximo esplendor estuvo en el s.II d. C con Tolomeo)

    • En Gaza hay una escuela donde se cultivaban las tradiciones filológicas

    • En Beirut existe una gran tradición jurídica

    • En Antioquía también hay una gran tradición jurídica. Se fundan los Eleúcides nada más morir Alejandro Magno

    Pero en el s.V ya estamos en un ámbito cristiano. Por tanto un cambio importante es que aparece el estudio de la Teología como una de las ramas importantes. Con el Concilio de Nicea (325), se creó una escuela de teología cristiana en Antioquía que se caracterizó por su carácter racionalista, frente al carácter místico de la escuela teológica de Alejandría. Aquí tuvieron cogida varias corrientes ideológicas que más tarde veremos con detenimiento.

    Edesa es una ciudad griega fundada por los griegos como consecuencia del helenismo.

    Nibis pertenecía a los territorios del antiguo Imperio Persa que pasaron a ser de los sasánidas. Roma consiguió que les cedieran, tras batallar, Nisibis (298 d. C) y aquí se creó una escuela de teología cristiana en imitación de la de Antioquía. Esto tendrá mucha importancia ya que pretendía atender a las necesidades de las comunidades cristianas que hablaban arameo (lengua semítica). El arameo fue llevado a su plenitud literaria derivando en el siríaco, lengua cuyo alfabeto es el estangelo. Después del 340 Nisibis deja de ser territorio romano ya que Juliano el apóstata lo pierde, y pasa a manos de los sasánidas; por lo tanto, la escuela de Nisibis se traslada a Edesa que aún era de los romanos. Tras unos años allí, en el 489 d. C la escuela volvió a Nisibis que aún formaba parte de los sasánidas y se fundó la escuela teológica de donde arranca la iglesia jacobita y nestoriana, que llegó a lugares como China e India. La lengua de esta iglesia era el siríaco. Esto es fundamental ya que las obras del griego fueron traducidas al siríaco de lo que se aprovecharon los árabes.

    A partir de Nisibis, vía cristianismo, empieza una ruta de transmisión de conocimiento que llegará hasta China. Desde el punto de vista de las matemáticas llegará a Persia, dará un giro por el norte de África y, con la invasión musulmana, aparecerá en Sicilia y España.

    Hay una ruta colateral ya iniciada y rutas anteriores a ésta, como la Ruta de la Seda, y la Ruta Marítima (que llegaba a la India).

    Al mismo tiempo que estos acontecimientos ocurren en Nisibis y Edesa, Mahoma llega a La Meca (571). Por la aparición de Mahoma y tras su muerte comienza la invasión musulmana y Heraclio pierde casi todos sus territorios (610). Por lo tanto, la antigüedad clásica se va a Antioquía y los escritos matemáticos se concentran en Constantinopla. En el 678 los bizantinos rechazaron el primer ataque del primer califa omeya (dinastía de califas árabes), Moaba, porque tenían una muralla muy importante y además los bizantinos poseían lo que se denominaba “fuego griego”.

    Los manuscritos en lengua griega se concentran en las murallas de Constantinopla pero muchos otros quedan sueltos en manos de los musulmanes de lo que van a derivar las traducciones del griego al árabe.

    LOS MANUSCRITOS QUE QUEDARON DENTRO DE LAS MURALLAS DE CONSTATINOPLA

    Este periodo se divide en varias etapas:

    • Periodo iconoclasta y consecuencias (730-787): fue un periodo en el que se practicaba el culto a las imágenes, pero al final se acaba condenando esa actitud iconoclasta mediante la teología bizantina que prohibía rendir culto a las imágenes.

    La filología de Alejandría se utilizó para la lucha entre los iconoclastas y los contrarios a ella. Los iconoclastas inventaban textos y los contrarios, para refutar estos textos, buscaban palabras que en la época en la que supuestamente estaba escrito el texto no se usaban.

    Los bizantinos apreciaban las obras científicas (como los Elementos de Euclides) y los usaban para la diplomacia bizantina. Regalaban a los califas musulmanes textos (como los Elementos de Euclides) ya que estos estaban muy interesados en los textos científicos. Algunos de ellos fueron Al-Mansur (754-775) y Al-Mamun (813-833) al que le regalaron los Elementos de Euclides.

    • León el filósofo (790-869): fue un periodo de transición ya que el 843 vuelve a surgir la ideología iconoclasta. León el filósofo fue un hombre al que le gustaba la filosofía y era conocedor de astronomía y astrología, además de ducho en la construcción de autómatas. Su biblioteca tenía libros muy importantes desde el punto de vista científico-matemático. Entre otros, tenía:

    • Manuscrito de las cónicas de Apolonio

    • Tratado de geometría de Proclo

    • Obras astronómicas de Teón de Smirna

    • Manuscritos de Arquímedes (era un griego muy arcaico lo que volvió locos a los traductores del Renacimiento)

    • Almagesto de Tolomeo

    • Tenía un ejemplar de Los Elementos de Euclides (actualmente se encuentra en la biblioteca Bodleiana)

    • Conocía a Diofanto

    • Fue maestro de Cirilo y Metodio (los que hicieron el alfabeto ruso)

    • Entre el 800 y el 875 hay muchos manuscritos griegos de matemáticas clásicas que están reproducidos (casi con toda seguridad). Lo que tenía eran obras como:

    • El Almagesto

    • Una copia de los Elementos de Euclides que es fundamental porque es el ejemplar de los Elementos más antiguo que se conserva, por lo tanto es uno de los más fiables. Aunque es un libro porque está encuadernado, en realidad es una recopilación de papiros.

    • Focio (810-893): es una época importante pero no en las matemáticas. Se escribió una obra llamada La Biblioteca que es de tipo literario y tiene importancia porque describe con bastante exactitud la vida griega con lo que podemos conocerla mucho mejor.

    • Aretas (850): era un obispo de Capadocia (península anatólica). Encargó lujosos ejemplares, entre los que hay:

    • Los Elementos de Euclides (pero por la línea teonina, no arcaica, que viene de Teón de Alejandría)

    • Platón

    • Aristóteles

    • Ordenó la transcripción de las meditaciones de Marco Aurelio

    • Conserva la copia más antigua de Isócrates

    • Actividad filosófica desde Aretas hasta el s.X : aquí está “La Suda”. Era un libro muy importante porque era como una especie de enciclopedia o diccionario. Se escribió entre 976 y 1025, en tiempos de Basilio II, ó bien en tiempos de Constantino, entre 913 y 957; da mucha importancia a Aristófanes.

  • PROPEDÉUTICA FILOSÓFICA PARA EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS EN LA ANTIGÜEDAD CLÁSICA

  • TALES DE MILETO (585 a.C.)

    Es considerado el primer matemático. También conocía la astronomía y está en contacto con el antiguo imperio persa. Observó los solsticios de verano e invierno. Sus escritos están todos perdidos; parece que escribió una geografía náutica. Era una persona muy inteligente y observadora.

    En términos filosóficos, es el primero de los filósofos milesios (de Mileto) y trataba de dar cuenta de la naturaleza a partir de algo de la naturaleza, es decir la naturaleza deriva de ella misma. Así aparece la primera palabra importante que se va a tratar: “argé” que significa origen de las cosas. Para Tales el argé era el agua. Ve la naturaleza como manifestación plural del argé, es decir, toda la naturaleza es agua que está en distintas formas. Creía que todas las cosas estaban llenas de dioses (aunque estos dioses no son los de la mitología griega) y que tenían alma.

    Se le atribuyen también varios descubrimientos matemáticos:

    • Un círculo se divide en dos partes iguales por medio de su diámetro (la demostración la hizo por el método de yuxtaposición)

    • Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales

    • Cuando dos líneas se cortan los ángulos alternativos son iguales

    • Dos triángulos que comparten un lado y los ángulos sobre los extremos son iguales son semejantes

    • Circunscripción de un triángulo rectángulo en una circunferencia

    Hizo muchos descubrimientos y además utilizó un método más teórico que empírico para demostrarlos. Como por ejemplo la medición de la altura de las pirámides, la atracción de imanes y la electricidad (aunque estos últimos no fueron así nombrados sino que pensaba que eran producto de los dioses de los cuerpos e incluso del argé).

    Se le atribuye también la forma de calcular la distancia de un barco a la costa

    ANAXIMANDRO (483 a.C.)

    Se plantea también el tema del argé pero es muy diferente de la de Tales. Para él, el argé era el “apeirón” que significa lo ilimitado.

    PITÁGORAS (532 a.C.)

    Se duda si existió porque sólo está inscrito en una tradición de pensamiento que a lo largo de la historia tiene muchos altibajos. Incluso Yámblico (neopitagórico) en uno de sus textos llega a decir que Pitágoras ni siquiera escribió ningún texto. Por eso, no hay duda de que muchas de las historias de su vida son inventadas por los seguidores de esta tradición. Aún así, se estudia, aunque de él no se conserva nada, por el libro La Leyenda de Oro, donde se tocan temas como la sección áurea. Lo que sí se sabe es que si existió nació en Samos.

    Los testimonios más antiguos que se tienen sobre si Pitágoras existió son de Herodoto (que dice que Pitágoras estaba es Samos), Aristoseno de Tarento (que dice que estaba en el sur de la actual Italia (en aquella época la Magna Grecia)) y Diógeno de Laercio (que afirma que estaba en Italia y que además administró la política del lugar de una excelente manera).

    En un primer momento Pitágoras se dedicó a las matemáticas y a la investigación científica por encima de todas las cosas. Los textos que hablan sobre él lo relacionan con los griegos y los habitantes de la zona del Mar Negro. Cuando Pitágoras llega a Crotona (Magna Grecia) funda un grupo de seguidores que se ponen en conexión con el ofismo, las prácticas báquicas (del dios Baco) y los ritos orgiásticos. Según Porfirio (neopitagórico que habla de Pitágoras) existía un secretismo a cerca de las doctrinas que se daban en el grupo de los pitagóricos.

    En lo relacionado a la transmigración de las almas, Pitágoras era partidario de ella. Es más, Porfirio le atribuye a él la introducción de estas ideas en la Grecia Clásica. Pero sobre este tema, el que más habla es Diógeno Laercio, que asegura que Pitágoras creía que el alma del hombre era inmortal y que iba pasando por otros cuerpos distintos repitiéndose cada cierto tiempo el volver al propio cuerpo. En realidad, y según Porfirio, Pitágoras pensaba que el alma pasaba del cuerpo del hombre al cuerpo de todos los animales terrestres y voladores e incluso marítimos y que tras pasar por todo ese ciclo, que solía durar unos 3000 años, regresaba al cuerpo humano. Es decir, creía que todo se repetía y que había ciclos a su alrededor en movimiento estático (se movían pero en una repetición continua). Como consecuencia de este pensamiento, en su escuela Pitágoras introdujo normas de comportamiento muy estrictas para favorecer el alma. Por ejemplo, no consentía comer carne de animales, y en general obligaba a abstenerse de cualquier ser vivo, a ningún miembro de su escuela, aunque podían criarlos (pero no alimentarse de ellos). Tampoco podían acercarse a carniceros ni cazadores, ni comer habas.

    Pero Pitágoras también es importante por las doctrinas relacionadas con la ciencia. Hay varios testimonios a cerca de la forma de entender la ciencia de Pitágoras. Proclo asegura que Pitágoras transformó la filosofía de la geometría, y en general de todas las matemáticas, en una forma de educación liberal. Es decir, consiguió que las matemáticas formaran parte de la educación. Otros textos como los de Diógenes Laercio nos comentan que Pitágoras veía la vida como una asamblea de juegos donde unos participaban y otros observaban. En realidad lo que ocurría es que Pitágoras era partidario de la observación. A su vez, Daecio nos dice que el primero en utilizar la palabra “cosmos” para referirse al universo fue Pitágoras que quería darle el significado de ley y orden (cosmos significa precisamente ley y orden). Dentro de las doctrinas de la ciencia, Aristoseno que era pitagórico, nos cuenta que los pitagóricos purificaban el cuerpo con la medicina y el alma con la música. Esto daba lugar a lo que se denomina “catarsis”. Luego, para resumir, en tiempos de Pitágoras se dedicaban a la contemplación de algo que tenía orden y ley, lo que provocaba que tras la contemplación llegue el desarrollo de la música y la medicina como purificación del cuerpo y del alma.

    Tradición del teorema de Pitágoras: el teorema de Pitágoras en realidad no es de él. Por medio de la arqueología se han descubierto tablillas de barro con escritura cuneiforme procedentes de Babilonia que ya lo conocían.

    Escala musical: Pitágoras estudiaba la música teórica ligada a las matemáticas. Esta unión desencadenó la aparición de muchas obras literarias dedicadas a la música teórica. Este tipo de música se basaba en los distintos sonidos de una cuerda tensada. Había una distinción entre instrumentos: los instrumentos de cuerda (que se correspondían con un tipo de música llamada apolínea) y los de percusión (que se correspondían con un tipo de música llamada báquica). La música teórica se basaba en los instrumentos de cuerda; tomaban una cuerda de una determinada longitud y la hacían vibrar. Luego tomaban la mitad de la cuerda, la tensaban y la volvían a hacer vibrar; la consecución de los dos sonidos era consonante y por ello decían que sonaba bien. Lo mismo ocurría si en lugar de escuchar los sonidos consecutivos lo hacían al unísono. A las diferentes combinaciones de sonidos les llamaban acordes y los distinguían por números. Así la música se basaba en las particiones (quebrados) de la longitud de una cuerda. Uniendo acordes de distintos instrumentos de forma consonante de tal manera que en cada instante del tiempo hubiera acordes consonantes conseguían una melodía.

    Pero la música lleva a una gran controversia que aún hoy existe: por un lado están los que defienden que la música proviene del intelecto, como los pitagóricos y el propio Pitágoras, y por otro están los que piensan que la música proviene del sentimiento, como Aristóteles. Y Aristoseno, antiguo pitagórico, se pasó de una ideología a la otra.

    Los pitagóricos pretendían matematizar todo tipo de música, no sólo los instrumentos de cuerda sino también los de viento, pero para hacer esto hay que buscar un camino distinto del tomado por ellos para los instrumentos de cuerda.

    Doctrina de la tetráctis: según Aercio, los pitagóricos pensaban que el 4 era un número muy importante. Con 10 bolas construyeron un triángulo equilátero del que fueron cavilando cosas.

    Se fijaron en que se formaba un triángulo equilátero cuyo lado tenía cuatro bolas. Así pensaban que el 10 era incomprensible sin el 4 y viceversa. Es decir, unen el 4 y el 10 que se manifiestan al tiempo (4 bolas de lado, 4 filas y 10 bolas en total). También el 3 va a ser un número importante si tenemos en cuenta que todas estas relaciones entre 4 y 10 vienen de construir un triángulo.

    Así con el 4 los pitagóricos se inspiran para escribir todos sus textos de matemáticas. Así iban haciendo relaciones. Por ejemplo, 3+4=7 y 3*4=12 y 7*4=28,... con lo que iban sacando una relación de números. Pero en realidad para ellos los más importantes eran los números del 1 al 10. Y lo que trataban era de encontrar los números que generaban los demás. Por lo tanto, tomaban cada uno de los números n del 1 al 10 y estudiaban si n+n=k con 1<=k<=10 ó si n*n=k con 1<=k<=10. Si era así decían que n engendraba un número. Si no estudiaban lo contrario, es decir, si para cada n entre 1 y 10 existía k entre 1 y 10 tal que k+k=n ó k*k=n; entonces decían que n estaba engendrando. Pero investigando así se encuentran con el número 7 que ni es engendrado ni engendra ningún número. Por ello le asignaron a Palas Atenea el número 7 (por la mitología se sabe que Atenea no fue engendrada puesto que procede de un hachazo en la cabeza de Zeus). Esta característica de los pitagóricos les llevó a considerar que la semana tendría 7días, que los astros eran 7 y, posteriormente por la cristianización de las ideas pitagóricas, los pecados capitales y las virtudes eran 7, por ejemplo. Pero a su vez, los paquetes de 7 elementos se dividen en dos paquetes de tres y cuatro elementos (por ejemplo, los astros se dividían en los interiores (sol, luna, Venus, Mercurio) y los exteriores (Marte, Júpiter, Saturno).

    En relación con el número 6=2*3 y el número 5=2+3, nacen como compromisos entre el primer par (el 2) y el primer impar (el 3), puesto que para los pitagóricos el uno no era un número sino que era la unidad. Así el 216 es el tiempo de reencarnación de las almas. Y 28=4*7 es un compromiso entre el 4, número esencial para comprender el 10, y el 7 (que es la suma a su vez del 3 y el 4 ambos números esenciales para comprender el 10). El número 28 es un número de los llamados perfectos ya que coincide con la suma de todos sus divisores. Es decir

    28=1+2+4+7+14

    También es número perfecto el 6.

    Algunos ejemplos de la importancia de los números para los pitagóricos es la forma de construcción. Por ejemplo en la Basílica de Puerta Mayor en Roma (s.I d.C) era neopitagórica y cuando allí se reunían los neopitagóricos lo hacían en 4 mesas de 7 comensales cada una.

    Otro tipo de números que son importantes para los pitagóricos son los números primos, que rememoraban la unidad (porque no tienen divisores consideran que son números compactos y similares a la unidad)

    Pitagorismo preparteneideo: Aristóteles nos informa de los pitagóricos, aunque los textos más antiguos que hablan sobre los pitagóricos son de Filolao. Aristóteles dice que los pitagóricos fueron los primeros en desarrollar las matemáticas. Creían que el número era el principio material de las cosas de la naturaleza y el que constituye sus modificaciones. Así que se puede decir que para los pitagóricos el argé es el número. Consideraban que el número tenía dos elementos lo par (que era ilimitado) y lo impar (que era limitado), con lo cual reducían la naturaleza a lo limitado y lo ilimitado. A la unidad la consideraban par e impar a la vez.

    Pero a la vez, como Aristóteles tenía una filosofía contraria a los pitagóricos, dice que cuando las cosas no les salían bien a los pitagóricos se inventaban realidades. Por ejemplo, querían que hubiera 10 planetas pero como sólo había 9 se inventaron la antitierra. Además asegura que los pitagóricos reducían todas las cosas a números. Algunos de estos pitagóricos dijeron que los principios de la naturaleza eran 10 y estaban en dos columnas de pares coordenados y opuestos:

    Limitado Ilimitado

    Impar Par

    Uno Múltiple

    Derecha Izquierda

    Masculino Femenino

    Estático Movimiento

    Derecho Curvo

    Luz Oscuridad

    Bueno Malo

    Cuadrado Oblongo

    En Crotona existió Alcmeón de Crotona que profundizó en la visión dualista del cosmos que dice que la mayoría de las cosos humanas son duales.

    Así llegamos a la conclusión de que los ideales coinciden en la idea de que las cosas son duales y que ese dualismo es el principio de todo. Los pitagóricos eran muy estrictos pero en otros entornos esta idea era muy general.

    De todo esto se puede ver que la tabla de los 10 principios se asemeja mucho a la tabla del Ying-Yang china.

    Pero lo más interesante de todo matemáticamente hablando son los pares par-impar y limitado-ilimitado. Los pitagóricos asocian lo ilimitado (o infinito) a lo par. Esto se puede ver con los números:

    *

    Asocian a los pares a lo ilimitado porque son divisibles por dos, es decir se pueden dividir en dos partes iguales (cosa que no se puede hacer con los impares) y esto se puede hacer infinitas veces. Además, la sucesión de las bolas que forman los lados de los rectángulos de la figura es de la forma:

    2/1; 3/2; 4/3; 5/4; ...

    de tal forma que la sucesión nos da infinitas razones, mientras que la de los impares es de la forma:

    1/1; 2/2; 3/3; ....

    Y como se puede observar sólo existe una razón, el 1. Por lo tanto la sucesión de las razones de los pares era infinita.

    Los pitagóricos creen sólo en el número matemático y constituyen pues todo su universo a partir de él. Además consideran que los números son unidades con extensión, es decir que tienen una magnitud espacial. El resto de los matemáticos (según Aristóteles) opina que los números están constituidos por unidades abstractas.

    Es más los pitagóricos llegan a decir que las cosas deben su ser a los números. No dicen que el argé sean los números sino que las cosas imitan a los números en lugar de proceder de ellos. Luego para ellos la realidad es una inmensa representación teatral de los números, donde los números son los actores. Y lo que tratan los pitagóricos es de conocer esa representación en su estado más puro.

    PARMÉNIDES (515/510 a.C. ) Y ZENÓN (490/485 A.C)

    Entramos en los que se llama la filosofía eleática. Esta corriente tuvo mucha importancia en Platón y en los sofistas. Incluso para Platón era tan importante que llegó a escribir uno de sus diálogos dedicado a este tema que tituló “Parménides”. En este diálogo nos cuenta algo de la vida de Parménides. Por ejemplo que habitaba en Helea, al sur de Italia, y que junto con Zenón, discípulo suyo, viajó hasta Atenas. Parménides se asoció a Amíneas, un pitagórico, con lo que conoció las ideas del pitagorismo e incluso llegó a seguirlas. Se dedicó a la vida contemplativa y además a la política escribiendo algunas leyes, según textos de Estrabón y Plutarco.

    PARMÉNIDES

    Parménides aportó formas de razonar que luego los matemáticos han usado una y otra vez. Por ellos sus pensamientos son muy importantes. Escribió dos obras: “La vía de la verdad” que se conserva en su mayor parte (nueve décimas partes) gracias a que Simplicio y algunos otros la reprodujeron para evitar su pérdida porque es de gran importancia (es un poema escrito en hexámetros); y “La vía de la opinión”, de la que se conserva muy poco porque se consideraba de menor interés.

    En cuanto a sus ideas las podemos resumir de la siguiente forma: consideraba la verdad “redonda” y “el sendero de los humanos trillado”. Es decir, tenía un pensamiento circular.

    Además consideraba que no se puede conocer lo que no existe ni hablar sobre ello. Por lo tanto, llega a la conclusión de que el pensar y el ser es lo mismo, puesto que lo que es (o existe) se puede pensar y expresar, cosa que no ocurre con lo que no es (o no existe). Los humanos, según Parménides, temen el radicalismo y por lo tanto lo rechazan. Es por ello que se dedican a mezclar compromisos. Parménides los tacha de ignorantes.

    Así el ser no generado e imperecedero es completo, inmóvil y sin fin; pero además lo es todo a la vez (porque si no lo fuera tendría carencias y por lo tanto sería perecedero y no bueno). Es continuo, porque si no lo fuera nacería de lo que no existe pero en eso no se puede pensar así que no puede haber nacido, y por esa continuidad tampoco puede morir porque en algún momento tendría que dejar de ser y eso para Parménides no se puede pensar. Con este pensamiento está negando el tiempo, el vacío y la pluralidad. Pero matemáticamente, lo más curioso de sus ideas es la forma en que llega a ellas: a través del razonamiento de reducción al absurdo, tan utilizado en nuestros días. Está considerado por ello el creador de la reducción al absurdo, y fue el que lo introdujo en Grecia.

    También considera que la realidad es indivisible, no tiene ni principio ni fin y es finita (porque si no lo fuera tendría carencias). Su límite está en todos lados de igual forma porque es completo, y por lo tanto la realidad se asemeja a una esfera.

    ZENÓN DE ELEA

    Fue discípulo de Parménides. Su libro es una réplica contra los que se mofaban de Parménides. Según Aristóteles, fue el creador de la didáctica que trata de la oposición de dos ideas.

    Zenón prueba que las dos formas de ver el espacio y el tiempo, infinitamente divisibles por unidades sin extensión o constituidas de forma discreta por unidades con extensión, llevan a absurdos. Para demostrarlo desarrolla unas paradojas (cosa que también hace para llegar al mismo razonamiento para la pluralidad)

    • Paradojas para la forma de dividir infinitamente tiempo y espacio con unidades sin extensión

    • Paradoja del estadio: nos la transmite Aristóteles. Consiste en demostrar que un estadio de longitud L no se puede recorrer en un tiempo finito. Esto es, para recorrer el estadio, si suponemos que el espacio se puede dividir infinitamente, primero hemos de recorrer la mitad del trayecto, después la mitad de la mitad, y así sucesivamente. Llega un momento en que se ve que así no se llegaría nunca al final, pero esto no es cierto porque en la vida normal si que llegamos a recorrer todo el camino.

    • Paradoja de Aquiles y la tortuga: prácticamente llega a desarrollar lo mismo que en la paradoja anterior. Ahora supone que Aquiles tiene que alcanzar a la tortuga. Pero como la tortuga se va moviendo, para cuando Aquiles llegara a alcanzar el punto donde estaba la tortuga, ésta ya se habrá movido. Y ocurrirá lo mismo cada vez que Aquiles y la tortuga avancen. Por lo tanto nunca se alcanzarían, cuando sabemos que eso no es cierto.

    NOTA: este razonamiento tiene importantes consecuencias

    A T At

    Supongamos que At es el punto donde se encuentran la tortuga y Aquiles. Podemos así definir una correspondencia biunívoca de tal forma que a cada punto A de [A,At] le corresponde uno de [T,At]. Además observamos que [A,At] contiene al [T,At]. Así llegamos a que el número de elementos de [A,At] es el mismo que el de [T,At] y como uno está contenido en el otro concluimos en que estamos delante de un conjunto infinito de elementos (ya que los conjuntos infinitos se caracterizan por tener tantos elementos como una de sus partes)

    Zenón, como Parménides, utiliza la reducción al absurdo. En 1968, Brouwer, matemático que no creía en la reducción al absurdo, fundó una escuela con lo que se dio a llamar corriente del Intuicionismo que se ha dedicado, y aún lo hace, a demostrar que la reducción del absurdo no es una buena forma de demostrar las cosas.

    • Paradojas respecto a considerar el espacio y el tiempo constituidos por unidades indivisibles (o con extensión)

    • Paradoja de la flecha disparada: nos la transmite Aristóteles. Se considera que un objeto está en reposo cuando ocupa un espacio igual a sus propias dimensiones (esas dimensiones estarán formadas por un número determinado de unidades indivisibles). Como una flecha en vuelo está ocupando un espacio igual a sus dimensiones en cada instante, entonces una flecha en vuelo está en reposo.

    • Paradoja de las filas en movimiento: consideramos la figura heredada de Alejandro de Afrodisia.

    A A A A

    B B B B

    T T T T

    A, B, Y T representan cuerpos que son un indivisible de espacio. Las A representan espectadores en un estadio; las B y las T representan corredores que en el estadio avanzan en dos grupos con sentidos contrarios. La velocidad a la que avanzan ambos es de un indivisible de espacio en un indivisible de tiempo. La paradoja consiste en que en el tiempo en el que cada B alcanza a dos A, las T, que van a la misma velocidad que los B, pasan delante de cuatro B. Con lo cual uno tarda el doble que el otro, pero eso es un absurdo porque van a la misma velocidad.

    LOS SOFISTAS

    Antes de la invasión doria, la actualidad cultural griega era muy importante. Y todo ese conocimiento se transmitió a la época de Homero.

    En tiempos de Homero, existieron los aristócratas (que tenían el poder) y los campesinos, las dos clases sociales más importantes de la época. Los aristócratas desarrollaron una cultura de tipo caballeresco y con bastantes paralelismos con la cultura de la Edad Media. Los jóvenes eran educados de esa forma y el ideal era conseguir el “areté”, algo parecido a la valía y la valentía. Lo conseguían por imitación de las virtudes de los que se consideraban héroes en la antigüedad. Se les invitaba a leer las obras de Homero (que no son de él sino que son una recopilación de textos antiguos).

    Tras la guerra del Peloponeso hay un cambio y la aristocracia se va transformando creándose unas nuevas clases sociales en ascenso. Son personas que no son de origen aristocrático y quieren tener poder. A lo que aspiran es a educarse como los aristócratas y así poder conseguirlo. Píndaro (521-441) fue un poeta de la época que no tenía origen aristocrático. Contempla como se va creando la escuela pública donde van los niños a aprender, lo que luego les servirá participar en los asuntos públicos. Píndaro considera que la valía personal (la valentía, la virtud,...) no se adquiere con educación sino que es algo innato y por lo tanto no es enseñable. Por lo tanto rechaza las escuelas públicas y además hay un desprecio para aquellos que sólo saben lo que han aprendido.

    Con este ambiente social puede entenderse mejor a los sofistas. La raíz de la palabra sofistas significaba artesanos. Por lo tanto se consideraba que los que enseñaban eran artesanos. Los sofistas se encargaron de la educación de la época y se presentaban a ellos mismos como capaces de enseñar a conseguir el areté. Su areté es la técnica; cada sofista tiene un método para conseguir el areté y cobraban a los alumnos por moldearles. Pero en general, todos se dedicaban a convencer a cualquier persona de que podían enseñarles a conseguir el areté sin necesidad de que fueran aristócratas. También, casi en general, los sofistas admiten a las matemáticas como una de las partes imprescindibles de la educación para conseguir el areté. De ahí su importancia en la Historia de las matemáticas. De todas formas, algunos les daban mucha importancia (como Hipias y Antifonte) y los hay que les daban menos (como Isócrates y Protágoras). Otro rasgo característico de todos los sofistas es que coinciden en que hay que seguir estudiando a Homero y Hesiodo con una gran importancia. Como los aristócratas hacían eso, la cultura que enseñan es de tal forma que tiene un tinte aristocrático pero en el espíritu (y eso ya no se ha olvidado nunca en la historia de la enseñanza).

    Todo este conocimiento lo querían para participar en la vida pública, así que tenían que enseñar a hablar y a pensar con la dialéctica a cualquier persona. Es por eso que aunque le dan importancia a las matemáticas queda por debajo de la literatura.

    Se puede observar, pues, que con todo esto los sofistas discrepan de la opinión de Píndoro.

    Los sofistas son optimistas pues creen que con una técnica se puede conseguir el areté. En ese sentido, aunque no es en el único, se relacionan con la corriente de los humanistas. De hecho se puede considerar que es precisamente durante la época de los sofistas cuando están los comienzos de Humanismo, sobre todo por la coincidencia entre los dos ideales de la importancia de la educación.

    Los sofistas son unos profesionales cuya técnica educativa incluye la retórica y la dialéctica, y tratan de que sus discípulos hagan valer su causa en el Foro con la palabra. Los sofistas incluyen en sus técnicas la dialéctica de Zenón, pero la usan para el relativismo; como por ejemplo, los discursos de Protágoras en los que se demuestra una cosa y la contraria.

    Tucídides considera que los sofistas tenían una cultura espiritual pero sin relajación, por lo que no estaba de acuerdo con ellos.

    Los sofistas más importantes son Protágoras e Isócrates. Protágoras dijo que “el hombre es la medida de todas las cosas”. Es decir, toda la realidad se entiende en tanto que son fenómenos percibidos por el hombre (el hombre está en el centro). Con este tipo de pensamiento llega a la conclusión de que “la tangente a una esfera corta a la esfera en más de un punto”. La explicación a esto es sencilla: como el hombre es el centro de la realidad y ningún hombre ha observado nunca que la tangente a una esfera sólo la toque en un punto, la afirmación de que sólo la toca en un punto no puede ser cierta.

    Los sofistas ven la ciencia como un peligro porque absorbe al individuo que la conoce o la está estudiando. La ciencia no convierte al hombre en el centro de todas las cosas sino que en un apéndice “carnoso” de la ciencia. Es por esto por lo que no consideran la ciencia importante para la educación, aunque con las matemáticas hacen una pequeña excepción.

    Al final, el pensamiento sofístico se transformó en un pensamiento relativista y Platón y Sócrates acabaron rechazando el cinismo que tenían los sofistas. Es más, Sócrates acabaría retomando los ideales de Píndoro.

    PLATÓN(428/7-348/7 a.C.)

    Era un aristócrata cuyo pensamiento fue evolucionando con el paso del tiempo. Antes del 367 escribió “Fedón”, “Gorgias”, “El Simposio” y algunos libros de “La República”, en uno de los cuales ya estaba el mito de la caverna. En 367, Aristóteles se incorporó a la academia de Platón como profesor ayudante de retórica. También en ese mismo año llegó a Atenas Eudoxo, matemático que tuvo contactos con Platón. La academia de Platón tenía la misma estructura legal que la de los pitagóricos.

    En 369, escribe el “Teeteto” y habla de sus pensamientos sobre la posición en la cultura y la educación de las matemáticas.

    Platón se hizo eco de la filosofía eleática y le influenció mucho.

    Para Platón hay dos cosas importantes:

    • Ideas: con existencia trascendental, es decir, que existen fuera de la realidad

    • Apariencias

    Considera que hay una forma de alcanzar la Ideas: piensa que el Alma recuerda y por reminiscencia le es posible al ser humano alcanzar esas Ideas. La técnica que posibilita conocer las ideas (es decir, la técnica conceptual que se puede considerar como verdadero conocimiento) se denomina la Episteme y en realidad es lo que más tarde se ha denominado “dialéctica platoniana” (es la dialéctica pero con unas características distintas importantes).

    La dialéctica aparece en muchos textos pero no está sistematizada; y la veremos reflejada en las construcciones matemáticas posteriores.

    En el “Timeo”, diálogo muy pitagórico, hubiera querido poder haber considerado más geometría como verdadero conocimiento. Platón dice que la geometría es un saber híbrido, es una dianoia; es decir, es un saber híbrido de la episteme con la doxa. Considera que la fundamentación de la geometría no puede aspirar a ser una episteme (sobre todo con las paradojas existentes de Zenón).

    Platón como educador:

    Le concede mucha importancia a la educación, y las matemáticas tienen un papel fundamental.

    Describe su sistema educativo en “La República” y adicionalmente en otros textos. Su educación tiene varias etapas que van determinadas por la edad de la persona.

    • Desde los 3 hasta los 7 años los niños, y las niñas ya que para Platón las mujeres hasta cierta edad debían de educarse, se dedicaban a pequeños juegos que iban desarrollando la mente.

    • Desde los 7 hasta los 10 años comienzan a conocer cálculos aritméticos muy sencillos.

    • Desde los 10 hasta los 18 años tienen lo que se llaman estudios secundarios. A su vez este período de la educación se divide en tres partes:

    • Desde los 10 hasta los 13 años se dedican a estudios puramente literarios, aunque Platón en la ciudad de “La República” expulsó a los poetas.

    • Desde los 13 hasta los 16 se dedican al estudio de la música terminando en este período con algo más de aprendizaje en matemáticas. A Platón le influenció un sofista que era experto en música y dijo que los cambios en gustos musicales de una sociedad tienen consecuencias morales, políticas y sociales. Platón era partidario de la participación en el coro pues lo consideraba una forma de integración social.

    • Desde los 16 hasta los 18 años se interrumpían los estudios porque los jóvenes, en Platón tanto hombres como mujeres, tenían que realizar el servicio militar. Platón daba importancia a la educación militar porque consideraba que daba al educado la posibilidad de enfrentarse con las ideas de sacrificio, carencia y situaciones como esas que maduran a la persona. Sin embargo no aceptaba las competiciones olímpicas.

    • Desde los 20 años y durante otros 10 tiene lugar la educación superior. Era una educación restringida, es decir, no todo el mundo podía llegar a ella. En la enseñanza superior se dedicaban a un estudio exhaustivo de las matemáticas.

    • Después se desarrollaban durante 5 años los estudios filosóficos en los que se daba mucha importancia a la dialéctica de Platón.

    • Por último, durante los 15 años siguientes, se enfrenta a los alumnos con la realidad para completar por completo su educación

    Con esto se puede observar que para Platón una persona no estaba completamente preparada hasta los 50 años.

    3. ARISTÓTELES Y EL STATUS EPISTEMOLÓGICO DE LA CIENCIA. ALEJANDRÍA

    ARISTÓTELES (384-322 a. C.)

    El pensamiento de Aristóteles ha evolucionado con el tiempo. Prácticamente no se conservan obras literarias de Aristóteles, sin embargo sus textos científicos, lógicos y filosóficos se han transmitido hasta nuestros días. La primera obra de Aristóteles es un diálogo del tipo de los de Platón, llamado “El Protéptico”.

    Llegó a la academia de Platón en el 367, por lo tanto comienza siendo platónico. Cuando muere Platón hubo muchos enfrentamientos entre los alumnos; Espeusipo se hizo con el control y como era un pitagórico extremo asoció las Ideas de Platón con los números. Fue en ese momento cuando Aristóteles, que no estaba de acuerdo con ese pensamiento, decidió abandonar definitivamente la academia. Ya antes la había abandonado pero fue por orden de Platón que le encargó de la educación de Hermias en Asia Menor.

    Aristóteles niega la existencia trascendental de las Ideas. En realidad, lo que hace es salvar el fenómeno, es decir, la realidad. Por la tanto, cree que el fenómeno es susceptible de verdadero conocimiento (verdadero aprendizaje). Por ejemplo da por hecho la existencia de movimiento; es decir, considera que el movimiento existe a priori y se dedica a estudiarlo después.

    Aristóteles tiene una dicotomía. Para él hay dos categorías en la realidad: la forma y la materia. La materia es un concepto puramente límite (es decir, no existe materia sin forma). Toda forma de la manifestación de la realidad está siempre “embarazada” de materia. Sin embargo si existen formas sin materia, las llamadas formas puras, que son los motores de los planetas y el Motor Inmóvil ( que luego los cristianos identificarían con Dios).

    El mundo sublunar conoce la génesis y corrupción, es decir, está en movimiento pleno. Aristóteles entiende el movimiento como aspiración a más forma. La materia actúa como principio de individualización (la forma se individualiza por medio de la materia) y aparecen los individuos. Como consecuencia de esa búsqueda de forma absoluta aparecen dos conceptos relacionados con materia y forma, como son la potencia y el acto. Así, la potencia es más grande cuanto más pequeño es el acto.

    Así el fenómeno, con estas categorías, tiene interpretación racional pero hay que pensar bien. Para ello escribe unas obras recopiladas en “La lógica de Aristóteles”; la lógica en el sentido de la analítica para Aristóteles. La lógica o analítica para Aristóteles no es una ciencia sino un método, ya que para que haya ciencia según Aristóteles los entes tienen que tener materia. Además esta técnica es anterior a todas las técnicas que hasta este momento han aparecido ya que consiste en la forma de razonar y hacerlo bien.

    Como hemos podido observar, Aristóteles considera que hay ciencia sólo cuando los entes tienen materia; pues bien, para poder considerar las matemáticas como ciencia tiene que inventarse la matemática inteligible, ya que si no las matemáticas no tendrían materia y por lo tanto no las podría considerar ciencia.

    Para estudiar las formas puras, sin embargo, usa la metafísica, cuyo nombre significa exactamente eso.

    La aspiración a la forma es lo que hace posible el movimiento, que Aristóteles considera que es un dato o un hecho de la experiencia (al contrario de los eléatas). Para estudiar la realidad en estas líneas se necesita una lógica o analítica. La analítica consta de varias obras. Las obras básicas son:

    • Primeros Analíticos: tienen por objetos el silogismo como pieza central de todo razonamiento

    • Segundos Analíticos (o analítica posterior): tratan del razonar, cuando este se hace de un modo científico. Aquí se plantea Aristóteles ir más allá de una mera coherencia.

    Otras obras son Tópicos, y Refutaciones sofísticas que escribió a causa de su cargo enseñando retórica en la academia de Platón; por ello aprendió técnicas pitagóricas.

    Otra obra anterior a todas estas es “Las Categorías”. Son meros predicados lo más sencillos posibles. El problema es que ésta definición no es del todo correcta ya que la primera categoría se llama sustancia individual (por ejemplo Sócrates es una sustancia individual) y con este concepto hay que tener cuidado (por ejemplo, el color es una categoría pero no así los diferentes grados de color).

    Para Aristóteles la segunda categoría conceptual importante es la de sustancia. Según él hay dos sustancias:

    • La primera sustancia que él llama individual y que se refiere a los individuos concretos y reales

    • La segunda sustancia que él llama de especies y géneros.

    Para Aristóteles, en el conocer lo que prima es la sustancia segunda. Para que algo sea comprensible debe de ser vehículo de una entelequia conceptual. Para explicar esto utilizaba muchos símiles con plantas ya que se dedicó mucho a la biología.

    Lo real, como ya hemos dicho, para Aristóteles era el individuo pero para entender esto, tiene que pertenecer a una sustancia ínfima que es la especie. Esto se pone de manifiesto por un proceso de inducción incompleta, que hace posible captar esas especies ínfimas. Puede haber inducciones completas cuando se refieren a colecciones finitas, pero en general no será así.

    Aparece ahora el segundo escalón que es el género. Cuando ya la especie se ha manifestado el género ya no plantea problemas conceptuales, ya que es un tema finito.

    Así pues, la materia dispersa la materia en especies, y la especie, por inducción incompleta, llega a ser captada.

    El silogismo para Aristóteles:

    Aristóteles define el silogismo de la siguiente forma:

    “Un argumento en el cual, habiendo sido concedidas ciertas cosas, algunas otras distintas de aquellas se siguen necesariamente de su verdad, sin que haya necesidad de ningún otro término exterior”

    Por ejemplo: todos los españoles son europeos; todos los andaluces son españoles; conclusión, todos los andaluces son europeos.

    Los silogismos fueron clasificados más tarde por los escolásticos, que como regla nemotécnica para recordarlos representaban por letras algunos de ellos. Por ejemplo la “a” era para los afirmativos y la “e” para los negativos. Y con estos hacían todas las combinaciones posibles de razonar.

    Esta tabulación no se observa en la academia de Platón. La dialéctica de éste no estaba vertebrada en una mecánica de reglas.

    La terminología de la lógica de Aristóteles tiene mucho en común con la terminología de la lógica matemática que se daba en aquella época.

    El silogismo tiene tres términos: dos instrumentales y la conclusión y aquí se ve clara la influencia de las matemáticas que se estaba gestando.

    Hay un abismo entre el silogismo y la inducción. La inducción se convertirá en un silogismo cuando se aplique a un conjunto finito. Pero la inducción incompleta consiste en que a partir de pluralidades se deduce la existencia de individualidades, especies.

    Aristóteles afirma que para fijar los principios de una ciencia sólo es necesario la inducción al infinito.

    Otros silogismos eran:

    • El entinema: reliquia que viene de la didáctica sofista. Es un razonamiento en el que se trata de hacer ver las consecuencias a las que conduce un razonamiento, y de esta forma refutar las premisas de las que se ha partido. Este razonamiento es el que se usa en la lógica actual.

    • La demostración: ahora ya no es abstracto, sino que es un silogismo que versa sobre algo tangible con contenido de materia.

    Los primeros principios de cada ciencia Aristóteles los clasifica en dos grupos (lo que

    va a ser importante después para el estudio de los elementos de Euclides):

  • Axiomas: principios de contradicción

  • Tesis: a su vez se dividen en:

    • Hipótesis

    • Definiciones

    Aristóteles afirma que la ciencia admite las definiciones de todos sus términos más elementales, probando luego la existencia de los demás.

    Aristóteles afirma que todo no se puede demostrar e incluso asegura que hay cosas para las que ni siquiera tiene sentido la demostración. Por tanto la demostración física no es la única forma de conseguir la verdad, sino que es una forma de llegar a ella en un instante dado.

    Los primeros principios o premisas se alcanzan por un razonamiento intuitivo (que no tiene que ver con la demostración). Cree que hay una preexistencia de algo que se ha captado de forma sensorial; de ahí es de donde se sacan los conceptos universales (se observa con esto que tiene en cuenta la memoria).

    Aristóteles dio un vuelco al mundo griego y estudió mucho la realidad llamada ciencia, que en aquella época no significaba lo mismo que para nosotros ahora pero que Aristóteles si la concebía como se hace actualmente. Además dio un gran impulso a la biología y la investigación.

    TEMA 2: LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

    Los Elementos de Euclides nos han llegado por distintas vías, como en papiros o mediante las traducciones del griego al árabe (por manuscritos regalados o por manuscritos encontrados en tierras conquistadas durante la invasión árabe). A partir de ellas, Heiberg fijó el texto de los Elementos de Euclides en la traducción clásica. La edición de Heiberg se hizo entre 1883 y 1888, en la que tuvo en cuenta las dos líneas de manuscritos que existen:

    • Línea teonina: proviene de que Teón de Alejandría mando copiar los Elementos de Euclides pero cambió una de las proposiciones. Es por lo tanto una línea menos pura

    • Línea no teonina: en la que el cambio anterior no aparece y es la más pura.

    Los Elementos de Euclides comienzan con tres bloques: definiciones, postulados y

    axiomas

    • Definiciones: pone en conocimiento lo que entiende por los distintos conceptos que luego usará en los libros. Son conceptos como línea, cuadrado, triángulo, punto,...

    • Postulados: hay cinco y empiezan con una petición:

    • Trazar una recta de un punto a otro cualquiera

    • Dado un segmento poder prolongarle indefinidamente

    • Dado un intervalo, poder trazar tomando cualquier punto como centro, la circunferencia cuyo radio sea el intervalo tomado.

    • Los ángulos rectos son todos iguales

    • Si una recta corta a otras dos rectas tal que los ángulos internos de un lado suman menos que dos rectos, entonces las rectas prolongadas se cortan en un punto del lado de los ángulos que hemos tomado

    Se observa que el quinto postulado es distinto de los otros cuatro y parece más un teorema. Es importante que en los postulados aparece la idea de prolongación indefinida.

    • Axiomas: según las ediciones no aparecen todos y esto se debe a que en algunos manuscritos están y en otros no. En los manuscritos no se designan por axiomas sino por nociones comunes:

    • Magnitudes iguales a una misma magnitud son iguales entre si

    • Si a dos magnitudes iguales se añaden magnitudes iguales los todos resultantes son iguales

    • Si a dos magnitudes iguales se le sustraen magnitudes iguales los todos resultantes son iguales

    • Si a dos magnitudes desiguales se añaden magnitudes iguales los todos resultantes son magnitudes desiguales

    • Las magnitudes que son dobles de una misma magnitud son iguales entre si

    • Las magnitudes que son mitades de una misma magnitud son iguales entre si

    • Las magnitudes que se superponen entre ellas son iguales entre ellas

    • El todo es más grande que la parte

    Estos son los principios de los Elementos de Euclides. Los Elementos de Euclides están

    divididos en 13 libros. Lo más curioso es que hay pequeñas incoherencias a la hora de escribir los libros, puesto que empieza con todas las definiciones que va a necesitar y cuando llegamos al quinto libro vuelve a definir un montón de conceptos. E incluso hay algunos de entre los del primer libro que no utiliza para nada en los restantes. También en el séptimo libro aparecen definiciones todas ellas relacionadas con la aritmética.

    Con todo esto, podemos concluir que da la sensación de que en realidad los libros de los Elementos de Euclides son simplemente una recopilación de un montón de datos que tenía él; aunque en su mayor parte parece que esto es cierto, también es verdad que hay cosas genuinas de Euclides, ya que tampoco intenta ocultar que hay cosas que está copiando.

    EL PENSAMIENTO “ARCHAI”

    La palabra “archai” significa lo primero, el principio. Lo “archai” está dividido en tres partes. Parece que Euclides organiza la ciencia matemática según la organizó Aristóteles. Pero esto no es cierto; vamos ha comparar ambas divisiones.

    ARISTÓTELES

    ARCHAI

    TESIS AXIOMAS

    HIPÓTESIS DEFINICIONES

    EUCLIDES

    ARCHAI

    DEFINICIONES POSTULADOS AXIOMAS

    Si ambas clasificaciones coincidieran, tendríamos que los postulados en Euclides equivalen a las hipótesis en Aristóteles. Se podría pensar que es demasiado puntilloso el hecho de diferenciar por la palabra conceptos que hoy en día se usan con total igualdad. Pues bien, esto tiene su sentido ya que para los griegos la exactitud entre la palabra y el concepto que definen es muy importante. Ya Proclo dedica buena parte de sus textos a la decisión de cuando poner postulado y cuando axioma; y una investigación filológica posterior de Fritz descubre que existen muchas discrepancias en la terminología posterior a Euclides. Otro ejemplo de este problema es que Apolonio consideraba que el primer axioma de los Elementos de Euclides debería haber sido un postulado y por ello intentó demostrarlo. Es más, Fritz descubrió que en Aristóteles la palabra postulado tiene hasta dos significados distintos.

    En cuanto a las palabras hipótesis y definición tenemos que tener en cuenta:

    • Precisiones filológicas: definición proviene de la palabra horizonte. Sin embargo, la palabra hipótesis viene de hipo (lo que está debajo) y titestai (que es el verbo sostener). Por lo tanto, hipótesis es lo que sostiene.

    • Datos sobre el deslizamiento entre definición e hipótesis: se pueden encontrar en Proclo, Arquímedes (que en lugar de definiciones usaba hipótesis) y en el libro 9 de los Elementos de Euclides (en el que usa hipótesis para definir). Este último tiene gran importancia porque es el más antiguo y el más pitagórico con lo que podemos seguir que este deslizamiento es anterior.

    Así llegamos a la conclusión de que los postulados de Euclides no coinciden con las hipótesis de Aristóteles. Algunos autores como Ross afirman lo contrario, pero lo cierto es que está confuso que la división tripartita del “archai” de Euclides sea una división heredada de la división de Aristóteles.

    Parece que lo más lógico es que Euclides intentó acomodar los elementos matemáticos preexistentes en alguna tradición anterior a Euclides al modelo tripartito de Aristóteles, pero que le resultó muy difícil hacerlo.

    Vamos a ver si estudiando este tema anteriormente podemos llegar a algún lado. Acercándonos a la historia de Platón y a su entorno podremos entenderlo algo mejor. Vamos a ver hasta que punto los Elementos de Euclides se dejan contemplar como una construcción conceptual de la dialéctica.

    Podemos observa que también en Platón existe un deslizamiento entre las palabras definición e hipótesis. Se ve en los textos filosóficos de Platón que se da el mismo conflicto terminológico que en los textos matemáticos de Euclides y en los posteriores. Becker, en1959, hizo ver que el método de razonar por hipótesis era mencionado en los diálogos de Platón, y Sócrates, en El Menón, atribuye a los matemáticos la capacidad o habilidad de razonar por hipótesis. Luego no sólo los matemáticos del entorno de Platón sino los matemáticos anteriores ya usaban el razonamiento por hipótesis.

    El razonar por hipótesis en los diálogos de Platón significa ponerse de acuerdo sobre unas premisas y a partir de ahí empezar a razonar. Luego ahora el problema es ver cuáles son las premisas sobre las que hay que empezar a razonar. El método de los diálogos de Platón para encontrar estas premisas es el de la demostración indirecta (si no se acepta lo que se dice se llega a una contradicción (contradicción en griego se dice adinatón)). Es un método eleático. Por ejemplo, se ve que en el libro 7 de los Elementos de Euclides, de las 36 proposiciones primeras 16 son por demostración indirecta; y en el libro 9, hay 6 por demostración; también cuando explica el número 2 usa también la reducción al absurdo.

    Análisis del bloque de los postulados

    Aitema es la palabra griega que significa postulado. Su raíz griega es pedir, rogar.

    Estudiamos los textos de Platón para conocer mejor el significado de postulado y las desviaciones en su uso. Encontramos la palabra en un texto dialéctico, acompañada de los términos hipótesis y homologuema. Homologuema y aitema tienen significados distintos y Aristóteles nos informa (vía Proclo) de esas diferencias. En cuanto a la palabra aitema consiste en plantear una cuestión en un principio y rogar o solicitar que el que escucha, aunque no la entienda en un principio, espere hasta el final de la exposición para decidir si la rechaza o no. Sin embargo, cuando se usa la palabra homologuema, se tiene implícito que los hablantes se han tenido que poner de acuerdo en un principio sobre unas bases o unas ideas que ambos van a dar por sabidas y correctas, y que luego se expondrá el resto. Pero si no llegan a ponerse de acuerdo entonces no podremos continuar.

    Es manifiesto que en Euclides pasa lo mismo, ya que los 5 postulados comienzan todos con “permítaseme que...”. Luego nada se opone, aunque tampoco nada lo demuestra, a que hay homologías entre los postulados en Euclides y los postulados de la dialéctica de Platón.

    Es importante fijarse además que Euclides pide permiso en los postulados para construir (círculos, prolongar rectas, etc.). Incluso lo hace en el quinto postulado que es el que más se parece a un teorema, ya que lo necesitará para las construcciones geométricas.

    CRONOLOGÍA DE LOS POSTULADOS DE EUCLIDES

    Becker llamó la atención sobre una información que Proclo dio: Oenopide fue el primero en resolver el problema de trazar a una recta indefinida y desde un punto exterior a ella una perpendicular (que es la proposición 12 del libro 1 de los Elementos de Euclides).

    Proclo también afirma que la proposición 23 del libro 1 se debe a Oenopide (lo que Proclo ha leído de Eudemo). Becker así afirma que Oenopide contribuye a demostrar que con los cuatro primeros postulados se pueden construir todos los resultados de los Elementos de Euclides. Como consecuencia, los cuatro postulados son, como poco, de la época de Oenopide que pertenece a la academia de Platón (esto refuerza la idea de la analogía de los postulados entre Euclides y la dialéctica platónica).

    EL QUINTO POSTULADO

    La historia del quinto postulado después de Euclides nos va a llevar a conocer los problemas con los que se encontraron los matemáticos anteriores a Euclides, y esto lo vamos a conocer por medio de Aristóteles. Por lo tanto vamos a estudiar esa historia.

    El quinto postulado parece más un teorema. Ptolomeo (s. II d.C), astrónomo de Alejandría, fue el que primero intentó demostrarlo a partir de los otros cuatro pero fracasó en su intento (ya que usó razonamientos circulares). Al igual que él, posteriormente lo intentaron Proclo, el matemático persa Omar Kharyyam (s. XI d. C), el también persa Nasir ad Din al Tusi (1201-1274), el inglés Wallis (s. XVII), el jesuita Saccheri (1667-1733), Lambert (1728-1777) Legendre (1725-1833) y Beltrani (que en 1889 fue el que recuperó el libro de Saccheli que estaba perdido); pero todos obtuvieron el mismo resultado y ninguno llegó a resolverlo. Pero con las investigaciones que se fueron sucediendo unidas al gran interés de los matemáticos Bolyai (húngaro), Lowachesky (ucraniano), Beltrani (italiano), Klein (alemán) y Gauss (alemán) por el quinto postulado, se fue creando y perfeccionando la geometría hiperbólica.

    Otras cosas que se intentaron fueron por ejemplo que Saccheri intentó eliminar las deficiencias que él encontraba en el quinto postulado.

    Análisis de las proposiciones del libro 1 que se refieren al quinto postulado (el postulado de las paralelas)

    Nos vamos a adentrar ahora en el estudio más a fondo del quinto postulado. Vamos a empezar con las 29 primeras proposiciones del libro 1 de los Elementos de Euclides. Estas son importantes porque en las 28 primeras no se usa para nada el quinto postulado y, sin embargo, en la proposición 29 ya sí se usa, y con posterioridad aparecerá en otras.

    La proposición 29 dice así: “Una línea recta que corta a dos líneas paralelas es tal que los ángulos que determina son alternativamente iguales, de manera que el ángulo exterior es igual al correspondiente interior y opuesto, verificándose que la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos

    Lo que predica esta proposición son propiedades de las rectas paralelas. Previamente, las proposiciones 27 y 28 también hablan de rectas paralelas pero sin utilizar el quinto postulado (es decir parten de la misma definición de paralelismo).

    La proposición 27 es una condición suficiente para que dos rectas sean paralelas y dice “si una línea recta corta a otras dos rectas y determina ángulos alternativamente iguales, entonces las líneas serán paralelas”.

    La proposición 28 también es una condición suficiente y su enunciado es: “si una línea recta corta a otras dos rectas y determina que el ángulo exterior sea igual al interior y opuesto en el mismo lado o sucede que los interiores del mismo lado suman dos rectos entonces las líneas son paralelas”.

    En la proposición 32 del libro 1 nos habla de que la suma de los ángulos de un triángulo es 180. Lo enuncia de la siguiente forma: “en cualquier triángulo, si se prolonga uno de los lados el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos y como el exterior y su opuesto suman dos rectos se concluye que los tres ángulos interiores de un triángulo suman dos rectos.

    Podemos observar que para demostrar esta proposición se remite a la proposición 29.

    En las 28 primeras proposiciones se utiliza el concepto de línea recta tal como la concibe Euclides (es decir, como un flujo unipuntual). Como un atributo de la línea en Euclides es que se puede prolongar indefinidamente. Sin embargo, está visto que el hecho intuitivo de línea recta tal como lo conocemos actualmente no es válido, ya que siendo fiel a los postulados y demás es compatible que

    es también una recta. Aunque más adelante estudiaremos esto con más detalle.

    Vamos a ver la demostración de la proposición 29 del libro 1:

    Es una demostración por reducción al absurdo, por lo tanto muy en la línea de Parménides

    Sin embargo el caso (2) Euclides se olvidó de demostrarlo; fue Savile en 1621 quién se percató del hecho de que Euclides no lo había demostrado y lo hizo él. Lo que pasa es que no usó el postulado de las paralelas para demostrarlo (es una demostración por geometría absoluta, que es como se llama a la geometría creada a partir de las 28 primeras proposiciones).

    Sacheri, en su libro, también trató de todo esto. Es lógico porque Sacheri quiso demostrar que el quinto postulado era un teorema. Se vio con varias hipótesis:

    -

    -

    -

    Por tanto llegó a la conclusión de que si con la primera y la tercera llegaba a un absurdo entonces tendría la segunda y así demostraría el quinto postulado. Utilizando implícitamente en sus razonamientos que toda recta se pude prolongar indefinidamente, llega a absurdo con la primera de las hipótesis. Pero con la otra hipótesis no llegó a ninguna conclusión.

    Mientras tanto, como el libro de Sacheri estaba perdido, Legendre se ocupó de esto y llegó a demostrar que en una geometría en la que se cumplieran las 28 primeras proposiciones (una geometría absoluta) la suma de los ángulos de un triángulo es menor o igual a dos rectos. Esto guarda relación con el quinto postulado. Hace un progreso sobre Euclides porque éste en la proposición 17 del libro 1 demuestra que la suma de dos ángulos cualesquiera es menor que dos rectos. Legendre demuestra sin el postulado de las paralelas que la suma de los ángulos es menor o igual que dos rectos.

    Aristóteles tiene textos en los que nos habla de esto. Afirma que “la esencia del triángulo es la suma de sus ángulos, que puede ser mayor, igual o menor que dos rectos”. Así mismo Decaelo, en “El cielo” afirma que “si la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a dos rectos el lado del cuadrado mide la diagonal” (liga el tema de la suma de los ángulos con el tema de 2, es decir, que el lado no mide a la diagonal)

    Esta ligazón desglosada al nivel de los Elementos de Euclides va a ser la proposición 32 del libro 1, que remite a la proposición 29 del libro 1 y ésta al quinto postulado.

    En la proposición 47 del libro 1 se expone el teorema de Pitágoras que los pitagóricos utilizaban para probar que el lado no mide a la diagonal. Esta proposición se apoya en la proposición 46 del libro 1 que a su vez lo hace en la proposición 29 del libro 1 que, como ya sabemos, se basa en el quinto postulado. Aristóteles relaciona esto con 2 que es la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado, es decir, cuando tenemos que el lado mide 1 y la diagonal mide 2. La demostración de que el lado no mide a la diagonal es por reducción al absurdo. Por medio del teorema de Pitágoras se llega a la conclusión de que si eso pasara habría un número que sería par e impar a la vez, lo cual no es posible.

    Todo esto los griegos lo hacían sólo contando con los textos de Aristóteles, y a base de razonar por contradicción, ya que no tenían modelos gráficos o visuales en términos elaborados en los que apoyarse. Pero esto hay que matizarlo ya que en el libro 3 (consagrado al estudio de las circunferencias) habla del ángulo entre la circunferencia y la tangente, lo cual no es correcto ya que la circunferencia es una curva. Ya que Euclides desliza esto se puede conjeturar que podría haber triángulos con lados curvos. En La Física de Aristóteles, se dice que “si esto es una línea recta, entonces se sigue con necesidad que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos”. Sin embargo otros textos de Aristóteles abren nuevas perspectivas. En La Ética de Eudemo dice que “sobre estas cosas uno no puede hablar ahora de modo más preciso, pero tampoco puede pasarlo por alto”. En La Metafísica, dice que “si tuviéramos que admitir que el triángulo tiene esencia inmovible, nosotros no admitiríamos que una vez la suma de los ángulos del triángulo fuera dos rectos y otra fuera menor que dos rectos”. En otros textos afirma que “ si la suma de los ángulos de un triángulo vale dos rectos, entonces la suma de los ángulos de un cuadrado vale cuatro rectos; pero si el triángulo cambia su esencia geométrica entonces el cuadrilátero cambia su esencia también. Por ejemplo: si la suma de los ángulos de un triángulo vale tres rectos, al cuadrado le tocan seis rectos, y si al triángulo le corresponden cuatro rectos, al cuadrado le corresponden ocho rectos”. En otros dice que “si la suma de los ángulos del cuadrado no vale cuatro rectos, entonces la suma de los ángulos de un triángulo no será tampoco dos rectos”. Estos últimos textos son menos precisos, pero demuestran la importancia de este tema y además se abre a los cuadrados que da la pista para una geometría esférica. Modelos en los que esto funciona son los modelos de Aristóteles sobre la esfera.

    Y entonces surge una geometría sobre la esfera. No sabemos que esto ya estuviese desarrollado en tiempos de Aristóteles. Según los ángulos que le demos al triángulo aparece una geometría u otra. Entonces había una gran polémica entre esto y el postulado de Euclides, que va en contra de esto porque las líneas rectas se pueden prolongar indefinidamente, y estas son curvas cerradas que difícilmente pueden ser prolongadas indefinidamente.

    Inre Toth (historiador rumano moderno) considera que hubo un acto de decisión intelectual fría de optar por la geometría del postulado de las paralelas. No es una opción apasionada o por enamoramiento, sino fría y libremente. Es decir, que optaron por completar la geometría que tenían con el quito postulado. Esta opción libre se encuentra con el problema de si no habrá en todo esto paradojas. En el s.XIX se ha probado por Beltrami que el quinto postulado no introduce más contradicciones o paradojas de las que ya había.

    LOS AXIOMAS

    En los textos antiguos aparecen con el nombre de nociones comunes, pero en Proclo ya aparecen con el nombre de axiomas. Además aparecen en los textos en los que Proclo comenta los cuatro primeros libros de Euclides con lo cual es más que seguro que el propio Euclides los llamó axiomas ya que es probable que el texto sobre el que se está basando Proclo sea más fiable que los que han llegado a nuestras manos. Se sabe que fueron los “estoicos” los que les asignaron el nombre de nociones comunes.

    Cronología

    Aristóteles reproduce textualmente el axioma tres de Euclides; por lo tanto el axioma 3 es anterior a Euclides, como poco tiene la edad de Aristóteles aunque seguramente será anterior puesto que Aristóteles no es un matemático sino que se limitó a recopilar información.

    En Platón también aparece la palabra axioma. Pero dialécticamente hablando, en los diálogos de Platón, axioma y postulado no se diferencian.

    La palabra axioma procede del verbo “conducir excitando”. Tiene que ver con axial, es decir, tiene connotaciones de eje. Por lo tanto, etimológicamente, axioma tiene un significado más fuerte que postulado (que significa pedir). Por lo tanto, lo diferenciamos porque axioma es aquello que es lo menos dudoso. Es más, en Aristóteles no aparece la palabra axioma ni tampoco los llama nociones comunes; pero si que conserva la noción de común en el sentido de que es algo evidente y creíble.

    Proclo dice que los postulados están pensados para los problemas y que los axiomas están pensados para los teoremas, y que los que dudan que los axiomas son verdades aceptables por cualquiera lo hacen por el mero gusto de discutir (uno de los que los discute es Apolonio, importante matemático de la época).

    Sin embargo, en todo esto falla el axioma 7 ya que tiene implícito el movimiento y se asemeja un poco a los postulados. En el “Teeteto”, Platón dice que “jamás nada se hace ni más grande ni más pequeño ya sea en volumen o en número en tanto que permanece igual a si mismo”. Además dice que “aquello a lo que ni se le añade ni se le quita nada ni crece ni decrece y siempre permanece igual a si mismo”. Con lo cual no parece que los axiomas tengan nada que ver con Platón ni con la filosofía eleática, cosa que ocurría con los postulados.

    Schopenhauer se preguntó por qué los matemáticos dieron tanta importancia al quinto postulado y sin embargo ninguno se fijó en el axioma 7. Solo un francés del Renacimiento lo tuvo en cuenta y aseguró que con axioma 7 la geometría creada pasaba a ser la geometría de Desargues.

    Aristóteles si habla del movimiento de superposición y lo toma como algo inherente en las matemáticas.

    Cómo se utilizan los axiomas en los Elementos de Euclides

    Los axiomas 1, 2 y 3 se aplican continuamente. El axioma 7 juega un papel fundamental y aparece por vez primera en la proposición 4 del libro 1 que asegura que dos triángulos que compartan un lado y los ángulos sean iguales son iguales entre ellos.

    Euclides no pone esta proposición como axioma seguramente que por la tradición que viene desde Tales, sin embargo Bertram Rasell asegura que se puede poner como axioma y así lo considerará él.

    El axioma 8 aparece citado en muchas proposiciones pero no aparece como tal sino que está incluido en razonamientos por reducción al absurdo en la siguiente frase “... lo más pequeño sería igual a lo más grande” (es decir, aparece en los razonamientos para llegar a la conclusión del absurdo). Esta frase aparece también en Autólico de Pitame en un libro sobre la esfera.

    Conclusiones

    • Hay un pensamiento (que es contradictorio con el axioma 7) que dice que los axiomas se pueden encerrar en la aritmética (ya que los axiomas se pueden ligar a la cantidad). Con esto se da más importancia y categoría a los axiomas.

    • Platón reprocha que los matemáticos se dediquen a construir sin darse cuenta de que lo importante no es construir sino conocer.

    • Proclo está muy interesado en asociar los axiomas a la cantidad. Por ello dice que la geometría es matemática (que Platón considera un conocimiento híbrido) y es la segunda después de la aritmética que es la primera. Esto lo dice porque “los números son más puros que las magnitudes y que el principio de los números es más simple”.

    • Yámblico dice que la geometría es la ciencia de la visión.

    • Proclo dice que hay que liberar a la geometría de los brazos de Calipso (es decir, dice que la geometría está llena de conceptos humanos engañosos y que no tiene rigor)

    • También Proclo nos habla del movimiento de puntos y de flujos cuando comenta los postulados de Euclides, pero no está de acuerdo con el pensamiento de que algo que no tiene partes pueda moverse (es decir, que los puntos que no tiene partes se muevan para crear rectas). Con esto pone de manifiesto que los griegos no concebían el movimiento en la geometría. Ya se dieron cuenta de que el concepto de punto y todo lo que de él se deriva es muy complicado y por lo tanto, trae complicaciones.

    • Los axiomas 5 y 6 no están en algunos textos (seguramente por que trae una huella de Zenón de Elea y la filosofía eleática que de él derivó no considera estos axiomas como tales) pero lo que si es cierto es que Euclides si los incluyó, seguramente por la tradición ya existente, aunque los axiomas son reiterativos de los demás.

    • Podemos observar que con Euclides tenemos escrito en un texto y hecho el método de razonar de los matemáticos, pero también podemos observar que el método es por lo menos de la época de Platón (lo que no significa que fuera el propio Platón su creador). Vemos que tiene mucho que ver con la dialéctica platónica.

    EL LIBRO VII

    Comienza con una serie de definiciones. Vamos a llegar a descubrir con el estudio de los libros que los libros VII, VIII y IX no son de Euclides sino que son de los Pitagóricos.

    Veamos algunas de las definiciones que aparecen en el libro VII:

    • Unidad : es aquello según lo cual cada una de las cosas existentes se dice una

    • Número: multitud compuesta de unidades (observamos que Euclides no llama a la unidad número)

    • Número como parte de otro: un número es parte de otro cuando lo mide (por ejemplo 2 es parte de 4 porque 4 es dos veces 2, sin embargo2 no es parte de 5 porque 2 no mide a 5).

    • Partes de un número: es el equivalente a la definición de fracción aunque en los Elementos de Euclides no hay fracciones ya que evita hablar de ellas. Si tomamos un número y la parte de un número (es decir, algo que lo mide) tenemos una de las partes del número. Si tomamos esa parte n veces tendremos n partes del número. (Por ejemplo, si tenemos 5, 1 divide a 5; entonces 3/5 es tomar 3 partes de un total de 5).

    • Múltiplo : el número más grande es múltiplo del número más pequeño cuando el más pequeño mide al más grande.

    • Un par un número par de veces

    • Un número impar un número par de veces

    • Impar que es un número impar de veces un número impar

    • Número primo: el que sólo se mide por la unidad

    • Números primos entre si: aquellos números que ninguno de ellos mide al otro

    • Número compuesto: actualmente los definiríamos como aquellos que se pueden factorizar. Pero Euclides no habla de factores sino de lados.

    • Números cuadrados, cúbicos, rectangulares,... (los números rectangulares son aquellos números que son múltiplos de dos distintos, es decir, n=a·b)

    • Números proporcionales: (definición 21 del libro VII) números están en la misma razón si el primero es el mismo múltiplo del segundo que el tercero del cuarto, o cuando el primero es la misma parte o las mismas partes del segundo que el tercero lo es del cuarto.

    • Números semejantes: (definición 22 del libro VII) refiere la definición a los números planos (aquellos que sean números cuadrados o rectangulares). Son aquellos números que son proporcionales (a/b=c/d escrito en forma moderna).

    La proposición 1 del libro VII es un criterio para decidir si dos números son primos entre si. Ve si dos números son primos entre si mediante un algoritmo basado en la música (es lo que modernamente se llamará algoritmo de Euclides)

    A=P1·B+R1 ; B=P2·R1+R2 ; R1=P3·R2+R3 ; ....

    Si al final el único resto que mide es la unidad los números A y B son primos entre si.

    La proposición 2 del libro VII se plantea el problema del cálculo del máximo común divisor.

    EL LIBRO VIII

    Vamos a entresacar las dos proposiciones de más relevancia: la proposición 18 y la proposición 20.

    En la proposición 18 nos dice que “entre dos números planos semejantes hay un número media proporcional”. Es decir, si nos adentramos en la demostración sean A=a·b y B=c·d dos números planos que son semejantes. Entonces por la definición de semejanza de números podemos escribir a/b=c/d. Así tenemos que a·b/b·c=b·c/c·d.

    En la proposición 20 del libro VIII tenemos una especie de recíproco del anterior que dice que “si entre dos números existe una media proporcional, entonces los números son planos y semejantes”. La demostración de esto es la siguiente:

    Nota: en la fotocopia tenemos detalladas algunas otras proposiciones de los libros VII y VIII

    EL LIBRO IX

    También en este caso vamos a enumerar una serie de proposiciones que están en el libro:

    • Proposición 21: la suma de números pares es par

    • Proposición 22: la suma de un número par de números impares es un número par.

    • Proposición 23: la suma de un número impar de números impares es un número impar.

    • Proposición 24: par menos par es par

    • Proposición 25: par menos impar es impar

    • Proposición 30: si un número impar mide un número par también mide a su mitad.

    • Proposición 31: si un número impar es primo con otro número entonces también es primo con su doble.

    • Proposición 32: un número que resulta de la duplicación repetida de 2 es par un número par de veces

    • Proposición 36: si un número es de la forma 2 n (1+2+...+2 n ) donde p=1+2+...+2 n es primo, entonces el número es un número perfecto.

    Es importante fijarse, sobre todo en la proposición 36, que las definiciones que se está dando concuerdan en gran parte con las definiciones de los pitagóricos acerca de estos temas.

    La proposición 35 hace referencia a los libros VII y VIII. De la proposición 21 a la 34 se está desarrollando la teoría de lo par y lo impar y la 36 está relacionada con esta teoría puesto que parece que cabe preguntarse si todo número perfecto es par (conjetura que aún no ha encontrado solución). Por este motivo, Becker se propone demostrar la proposición 36 sin utilizar la 35, como hizo Euclides. Y lo consiguió, con lo cual ancló la proposición 36 de los números perfectos a la teoría de lo par y lo impar. A la conclusión que podemos llegar es que seguramente el libro IX es anterior a los libros VII y VIII, y que la proposición 35 fue un “apaño” de Euclides para demostrar la proposición 36. Con esto vamos a poder ver que el libro IX contiene en su mayor parte (e incluso lo podría tomar completo) el conocimiento de los pitagóricos.

    CRONOLOGÍA DE LOS LIBROS VII, VIII Y IX

    Comenzamos por el libro IX. Se ocupa de la teoría de lo par y lo impar y de los números perfectos. Su espíritu es completamente pitagórico.

    Nicómaco de Gerasa (s. I d.C) cita sistemáticamente todas las proposiciones del libro IX (y es el que hace la conjetura sobre si todos los números perfectos son pares).

    En el apéndice del libro X aparece la demostración de la inconmensurabilidad de 2, es decir, el lado no mide a la diagonal de un cuadrado. Esta demostración es por reducción al absurdo y se llega a que un número es par e impar a la vez. Por lo tanto, esa demostración hace uso de la teoría de lo par y lo impar. Según Aristóteles, esta demostración es debida a los pitagóricos y no hay una sola fuente antigua que diga lo contrario. Papus también insiste en que la demostración es de los pitagóricos. Por lo tanto, la probabilidad de que así sea es muy elevada.

    En el Teeteto Platón se plantea el tema de ver si 3, 5, ..., 17 son o no conmensurables. No empezó en 2 seguramente porque ya se sabía que 2 es inconmensurable.

    Con todo esto estamos llegando a ver que por lo menos el tema de 2 es anterior a Euclides. Si la demostración de la inconmensurabilidad de 2 es muy rigurosa y utiliza la teoría de lo par y lo impar, esto significa que también la teoría debe de ser muy rigurosa; con lo cual, podemos pensar que la teoría de lo par y lo impar es anterior a Euclides y más concretamente parece que es debida a los pitagóricos. Así podemos concluir que el libro IX de Euclides es pitagórico.

    En cuanto a los libros VII y VIII podemos decir lo siguiente:

    Boecio, en la “Institución musical” (obra que trata sobre música teórica) habla de las proposiciones A y B, cuyos enunciados son los siguientes:

    Proposición A: “entre dos números en razón epimórica (en la razón (n+1)/n) no existe media proporcional.”

    Proposición B: “si tenemos una razón de números y la componemos consigo misma y el resultado es una razón múltiple, entonces la razón primitiva es múltiple

    Boecio atribuye estas demostraciones a Arquitas de Tarento (450 a. C). En cualquier caso, el contenido de los libros VII y VIII aparece continuamente en el Epinomis y el Timeo, dos obras que Platón escribió en su época más pitagórica. Con todo esto da la sensación de que los libros VII y VIII ya eran conocidos en la época de Platón como poco.

    Por otro lado, si se observan las demostraciones de las proposiciones A y B sucede lo siguiente:

    • La demostración de la proposición A contiene palabra por palabra a la demostración de la proposición 22 del libro VII y a la de la proposición 8 del libro VIII.

    • La demostración de la proposición B aparece en la “Sección canónica” de Euclides, obra dedicada a la música teórica. Por lo tanto, Boecio no es el creador de esta proposición porque por lo menos aparece en Euclides.

    La definición de proporción de números aparece en un fragmento de la cuadratura de las lúnulas de Hipócrates de Quios (anterior a Euclides) enunciada para magnitudes geométricas.

    Del estudio de los libros VII, VIII y IX se deduce que están muy bien trabados (quitando quizá proposiciones del tipo de la 35 del libro IX) y sobre todo el libro VII y el IX.

    Tenemos así las siguientes posibilidades:

    • Las proposiciones A y B eran conocidas intuitivamente por los pitagóricos pero no las demostraron, lo que no es muy coherente con el rigor de la demostración de la inconmensurabilidad de 2 (es bastante improbable que desconocieran estas proposiciones)

    • Boecio estaba en lo cierto cuando asigna las demostraciones a Arquitas de Tarento.

    Si admitimos que el conocimiento de las proposiciones A y B no es intuitivo sino que están correctamente demostradas y con total rigor, la consecuencia que se establece es que los libros VII, VIII y IX corresponden más o menos al tiempo de Arquitas de Tarento que era pitagórico (podemos concluir que los tres libros son pitagóricos)

    Comentarios

    La forma de evitar usar las fracciones utilizando el término de partes tiene que ver con la filosofía eleática. Parece que hay un deseo por no tocar la unidad y no sólo eso sino que también quieren adorarla. Esto puede verse en la definición de número primo en la que se rememora la plenitud de la unidad. Lo mismo ocurre con los números perfectos, porque aunque el número perfecto es una pluralidad y, por lo tanto, puede descomponerse, la suma de las partes en las que se descompone vuelve a ser el propio número; es decir, está rememorando la unidad.

    Platón habla de esto en La República en la que dice que “los matemáticos no dividen la unidad sino que la multiplican por temor a que la unidad no aparezca más como una sino como una pluralidad”.

    LA INCONMENSURABILIDAD DE LA DIAGONAL POR EL LADO Y LA MEDIA PROPORCIONAL

    Tenemos la siguiente cuestión previa: ¿cómo se plantea el tema de la inconmensurabilidad en los estudios clásicos?. Hay varios enfoques. El primer enfoque es el de que la diagonal no mide el lado. Posteriormente, fundamentándose en un texto de Yámblico que habla del dodecaedro, hubo eruditos que dieron importancia a la inconmensurabilidad refiriéndose al dodecaedro.

    Por último apareció el enfoque del Teeteto sobre el estudio de 3, 5, ..., 17 que inició Tannegy.

    La inconmensurabilidad de la diagonal por el lado

    La demostración es la siguiente:

    La demostración aparece en los Elementos de Euclides en la proposición 117 del libro X. Todos los eruditos están convencidos de que no es de los Elementos sino que es una interpolación anterior.

    Se usa para la demostración el postulado de las paralelas; con esto podemos deducir que la demostración es válida para la geometría euclídea pero no para la absoluta (porque el postulado de las paralelas no tiene cabida en ella).

    Media proporcional de segmentos

    En el libro V aparece por primera vez la definición de proporción o analogía para segmentos (por lo tanto no la usa en los cuatro libros anteriores que son los que comenta Proclo. Podría ser una de las razones por la que sólo comentó esos libros).

    Buscamos medias proporcionales en torno a la inconmensurabilidad de 2 o de la diagonal por el lado, porque sabemos que es cierto 1/ 2= 2/2.

    Pero cuando dos números están en razón epimórica no existe media proporcional. Por ejemplo, en el caso de 1 y 2, no existe c tal que 1/c=c/2.

    El valor de la diagonal del cuadrado es media proporcional entre los números 1 y 2 pero no es posible expresarlo en la forma de número (es decir, en realidad no encaja con la definición de número, por lo que no se consideraba que fuera un número).

    La media proporcional aparece en la proposición 14 del libro II, donde se formula la media proporcional, pero sin mencionarlo. El contenido de la proposición es construir un cuadrado que tenga por área el área de una figura rectilínea.

    En el libro VI, en la proposición 13, ya utiliza el concepto de razón y la define de la siguiente manera: si nos dan dos longitudes x e y, las ponemos una a continuación de la otra. La longitud total la toma como el diámetro de un círculo y la perpendicular por el punto de unión de x y de y es la media geométrica de x e y.

    Esto está relacionado con lo anterior ya que expresado en áreas es lo mismo. Además esto no significa que c sea un número. Esta proposición versa sobre magnitudes geométricas; en realidad es lo mismo y en lo único que se diferencian es en que en el libro VI se utiliza el término razón y el libro II aún no.

    Interpretación de todo el recorrido

    Aristóteles, en su libro “La Metafísica”, nos habla del tetragonismo. “¿Qué es el tetragonismo? Consiste en descubrir una media proporcional. Las definiciones son ordinariamente construcciones; así el tetragonismo es la construcción de un cuadrado de igual área que un rectángulo. Decir que es el descubrimiento de una media proporcional es expresar la causa de la cosa”.

    Vemos como relaciona la media proporcional y el tetragonismo. Por lo tanto, la media proporcional es conocida por Aristóteles que es anterior a Euclides. Así que como poco la media proporcional es del entorno de Aristóteles. Pero es que es más antigua ya que en textos de Hipócrates de Quios también se refiere a la media proporcional. En concreto dice que si se nos da un cubo para encontrar otro de volumen doble el problema es encontrar dos medias proporcionales entre dos números a y b, que luego se fijan.

    De igual modo que los textos sobre las lúnulas nos ayudaron a referir la idea de que los libros VII, VIII y IX son pitagóricos, este otro nos refuerza el que la media proporcional ya detectada en Aristóteles se puede considerar anterior a él. Pero también hay otro texto de Arquitas en el que se hace uso de la media proporcional. Por tanto la media proporcional es antigua en el tiempo.

    Según Sabo esto ya se plantea en Platón. En “El Menón”, Sócrates le pide a un esclavo que le construya un cuadrado de área doble de uno dado. El esclavo dice que eso es algo muy sencillo ya que basta con tomar un cuadrado de lado doble. Sócrates le demuestra que la respuesta dada no es la correcta.

    En ese instante nos da la respuesta correcta. Con el dibujo hecho por el esclavo, el área del cuadrado formado es cuatro veces la del primero (contenidos dentro del cuadrado de lado doble hay cuatro cuadrados como el original). Sócrates le explica que el cuadrado que hay que formar es como el de la figura:

    Luego la duplicidad del área del cuadrado está relacionado con el tema de la inconmensurabilidad de 2, ya que es justamente la longitud del cuadrado de área doble que el dado. Luego 2 es media geométrica entre 1 y 2 (aunque no sea un número).

    Para la duplicación del volumen de un cubo de arista 1 pasa lo mismo:

    Así pues, el concepto de la media proporcional está detectado en Arquitas e Hipócrates aplicado a problemas geométricos y es probable que Sócrates hable en “El Menón” de un tema que ya se conocía.

    En el texto de Platón el “Teeteto”, cuenta como Teodoro le explica a Teeteto una teoría sobe la inconmensurabilidad. Se basa en la transformación de números rectángulos en números cuadrados. Es muy famoso porque sobre él se vienen haciendo las construcciones teóricas y geométricas más discutidas. Los filólogos que estudiaron esto se dieron cuenta de que el texto de Platón tiene mucha falta de precisión técnica en comparación con los textos de Euclides. Matemáticamente es impreciso.

    La palabra “dinamis” significa valor de cambio de una moneda. Poco a poco su significado se va transformando hasta llegar a significar en matemáticas valor de cambio de un rectángulo a un cuadrado. Diofanto ya usaba el término incremento para la equivalencia de un rectángulo en un cuadrado mientras que pueda haber equivalencia entre una figura rectilínea y un cuadrado. La conclusión de los filólogos es que Platón está presentando a Teeteto como un alumno que no entiende perfectamente las cosas. Con ello parece que llegamos a que el tema de la inconmensurabilidad por lo menos es de tiempos de Teodoro, que es el que se lo está contando a Teeteto; con esto llegamos a darle más antigüedad no sólo a la inconmensurabilidad de 2, sino también a la de 3, 5,... (más adelante veremos por qué se pudo para en 17).

    Otro diálogo de Platón, el “Político”, plantea cómo formular la distinción entre un hombre y un cerdo. Es importante porque informa históricamente sobre la diagonal. La diferencia entre el cerdo y el hombre hay que verla sobre la diagonal y la diagonal de la diagonal. Dice que el hombre es bípedo y que tiene la facultad de andar sobre dos piernas. La idea del dinamismo y la facultad de andar aparece también en el Teeteto cuando está hablando de la dinamis. Con todo esto se está aludiendo a la media proporcional.

    Veamos una explicación erudita de por qué Teeteto se para en el estudio de la inconmensurabilidad de 17.

    Reconstrucción histórica

    Se debe a Szabo (y consiste en un método para ver si un cuadrado se puede poner o no como producto de dos números). Hace uso exclusivamente de las proposiciones del libro VII de los Elementos de Euclides. (Si la reconstrucción fuese cierta Teodoro hubiera usado matemática pitagórica para resolver el problema con que se encontró y que Teeteto dice que resolvió).

    Así, va haciendo con los demás: 4, 5, ..., 17. El problema es que por ejemplo para 6 hay muchas posibilidades y las tiene que contabilizar todas. Por eso una razón por la que s quedó en 17 podría ser que se cansó de tantas posibilidades.

    LA SECCIÓN AUREA

    Dado un segmento, se trata de dividir el segmento en dos partes tal que ocurra que una parte del segmento sea media proporcional entre el segmento y el otro trozo, es decir:

    B C

    | | | tal que A/B=B/C

    A

    Modernamente podemos considerar que A=1 para así tener los siguientes cálculos:

    Así el número n se llama número áureo. Como 5 es inconmensurable, el número n pone de manifiesto que el segmento se divide con la inconmensurabilidad incluida.

    Euclides no la llama sección áurea. La primera aparición en los Elementos de Euclides tiene lugar en la proposición 11 del libro II que dice así: “cortar una recta dada de manera que el rectángulo comprendido por ella y un de sus segmentos sea igual al cuadrado del segmento restante”.

    Hemos de fijarnos que el concepto de razón no aparece, lo que es lógico teniendo en cuenta que no está definido hasta el libro V.

    La sección áurea vuelve a aparecer en el libro IV, libro que comentó Proclo, en la proposición 10. Dice lo siguiente: “construir un triángulo isósceles de tal forma que los ángulos de la base sean el doble que el ángulo de la cúspide”.

    Proposición 11 del libro IV: “en un círculo dado inscribir un pentágono equilátero y equiángulo

    Luego vuelve a aparecer en el libro VI (ya se dispone de la noción de razón) en las proposiciones 28, 29 y 30, que son básicas.

    Proposición 30 del libro VI: “dividir una recta en media y extrema razón

    Para Euclides media y extrema razón es la sección áurea

    Proposición 28 del libro VI: “dada una línea recta aplicar un paralelogramo igual en área a una figura rectilínea dada C y deficiente en un paralelogramo semejante a otro D dado”. Es la que conduce a la proposición 30 en el esquema del libro VI.

    Tenemos que tener en cuenta antes de continuar que el libro IV de Euclides se dedica a la construcción de figuras planas inscritas en la circunferencia. Las figuras que desarrolla son el triángulo, el cuadrado, el pentágono, el hexágono y el polígono de 15 lados. Desarrolla sólo estos porque son los que se pueden construir mediante la regla y el compás. El de 15 lados lo desarrolla porque tiene aplicaciones astronómicas.

    La sección áurea aparece en el libro VI. Vamos a desarrollar un poco las proposiciones en las que aparece.

    Explicación de la proposición 28:

    La construcción que aparece en esta proposición se llama por elipsis (porque no llegamos a completar el segmento)

    Proposición 29 del libro VI: “Dada una línea recta, aplicar un paralelogramo igual en área a una figura rectilínea dada C y excedente en una figura semejante a otra D dada”. Esta construcción se llama hiperbólica (porque nos pasamos del segmento).

    La proposición 29 del libro VI proviene de la 29; es más es un caso límite. Para entenderla es preciso fijarse en que todos los cuadrados son figuras semejantes:

    Las formas de hablar por elipse y por hipérbola son griegas. Proclo comentando la proposición 44 del libro I nos habla de la construcción por parábola, y dice que cuando no es parábola es una construcción por elipse o por hipérbola. La proposición 44 del libro I dice: “dada una línea recta aplicar, supuesto que se haya dado un ángulo rectilíneo, un paralelogramo igual en área al triángulo dado”. Esta construcción es por parábola porque ni me paso ni me faltan partes del segmento.

    La sección áurea no aparece en los libros VII, VIII y IX porque son los libros de la aritmética. El libro X se dedica a la inconmensurabilidad. En los libros XI y XII se habla de áreas y comienza a hablarse de la geometría en el espacio. Pero es en el libro XIII donde verdaderamente se desarrolla esta geometría. El objetivo final del libro XIII es construir los poliedros regulares inscritos en una esfera, que son el icosaedro, dodecaedro, cubo, tetraedro y octaedro. También se les llama sólidos platónicos.

    La sección áurea aparece en la proposición 1 del libro XII: “Si se divide una recta en media y extrema razón, el cuadrado del mayor de los segmentos incrementado en la mitad de la recta es igual a 5 veces el cuadrado que tiene por lado la mitad de la recta

    También aparece en la proposición 2 del libro XIII, que es el recíproco de la proposición anterior: “Si dividimos una recta y el cuadrado del mayor de los segmentos incrementado en la mitad de la recta es cinco veces el cuadrado de lado la mitad del segmento entonces la recta está dividida en media y extrema razón”.

    Otras proposiciones importantes en las que aparece la sección áurea son:

    La proposición 3 del libro XIII: “si dividimos una recta en media y extrema razón el cuadrado del segmento menor incrementado con la mitad del segmento mayor es igual a cinco veces el cuadrado que tiene por lado la mitad del segmento más grande”.

    La proposición 5 del libro XIII: “si se divide una recta en media y extrema razón y se le añade al mayor de los segmentos, la recta resultante queda dividida en media y extrema razón

    La proposición 8 del libro XIII: “Las líneas que unen los vértices no consecutivos de un pentágono regular se dividen mutuamente en media y extrema razón

    La proposición 9 del libro XIII:

    Lado del hexágono + lado del decágono lado del hexágono

    =

    Lado del hexágono lado del decágono

    el lado del hexágono divide en media y extrema razón a la recta formada por el lado del hexágono y el lado del decágono

    La proposición 10 del libro XIII: “el lado del pentágono al cuadrado es igual al lado del hexágono al cuadrado más el lado del decágono al cuadrado

    Las siguientes proposiciones ya son de la construcción de los poliedros propiamente dicha.

    Comentarios sobre los poliedros

    Estas construcciones se pueden hacer porque hay una ley de reciprocidad entre las figuras planas. Sin embargo esto no es cierto entre los poliedros. El tetraedro se transforma en si mismo; pero el cubo se transforma en un octaedro y el octaedro en un cubo. A los poliedros se les llama sólidos platónicos porque todo esto aparece en el Timeo, último libro de Platón. Lo que hace es ponerlos en equivalencia con los cuatro elementos:

    El tetraedro lo relaciona con el fuego

    El cubo lo relaciona con la tierra

    El octaedro lo relaciona con el aire

    El icosaedro lo relaciona con el agua

    El dodecaedro lo relaciona con la quinta esencia (la esfera de las estrellas)

    OTRAS CUESTIONES

    A continuación vamos a dar una demostración de la proposición 11 del libro II, en la que Euclides utiliza varios resultados. Se trata de dividir un segmento a de forma que cumpliera la siguiente condición en área: a2 = x2 + a·x, donde a2 representa el área del cuadrado de lado a, x2 representa el área del cuadrado de lado x y a·x representa el área del rectángulo de lados a y x.

    a

    |

    x y

    Para ello trazamos el cuadrado de lado a y la línea diagonal de la figura:

    a

    a/2

    Dando por cierto el resultado de la proposición y utilizando el teorema de Pitágoras, se tiene que: a2 + (a/2)2 = x2 + a·x + (a/2)2

    Y esto, por la proposición 4 del libro II, es igual a (x + a/2)2. Entonces, si el enunciado es cierto, la diagonal está constituida por dos partes y por tanto es posible la construcción con regla y compás. El problema está en demostrar la relación de áreas en la proposición. Para demostrarla nos servimos del diagrama espacial de la proposición 6 del libro II:

    x

    x

    a/2

    Los resultados de las proposiciones 4, 5 y 6 del libro II son muy parecidos, como veremos a continuación:

    Proposición 4 del libro II: “el área de un cuadrado de lado a+b es (a+b)2

    a

    b

    b a

    Proposición 5 del libro II: trata de dividir un segmento. Toma x = a/2 + z (es decir toma la mitad por exceso); luego considera y = a/2 - z (toma la mitad por defecto). El término z es el factor de corrección al dividir a en dos partes desiguales.

    Con ayuda del siguiente diagrama, Euclides prueba que x·y + z2 = (a/2)2 teniendo x, y, z los valores indicados:

    x y

    y

    a/2 z z

    a/2

    Proposición 6 del libro II: añade al segmento a un trozo y

    a = x - y

    z = a/2 + y |

    z = x - a/2 a y

    Y con este diagrama prueba lo que a nosotros nos interesa; es así como demuestra la proposición 11 del libro II. Podemos observar que todos estos razonamientos son con áreas, de ahí de Van der Waerden denomine a estos estudios de Euclides como proposiciones geométricas, aunque esto no es aceptado por todos.

    Se sabe, por una investigación erudita, que antes de Eudoxo el concepto general de paralelogramo no está presente en las matemáticas griegas; sólo se consideraban los cuadrados y los rectángulos.

    Los diagramas espaciales de los que hace uso Euclides en las demostraciones de las proposiciones 28, 29 y30 del libro VI no son sino reformaciones de los diagramas de las proposiciones 5 y 6 del libro II. En las proposiciones 9 y 10 del libro II aparecen otros diagramas muy similares a los de las proposiciones 5 y 6 del mismo libro; y como las proposiciones 9 y 10 del libro II están emparentadas, igual que las proposiciones 5 y 6 del libro II, y Proclo en su comentario a La República atribuye a los pitagóricos la proposición 10 del libro II, podemos atribuir el libro II de los Elementos de Euclides a los pitagóricos. Está todo tan bien trabado que al atribuir la proposición 10 ya tenemos argumentos suficientes para caracterizar todo el libro II como pitagórico.

    Proclo así mismo también hace referencia a esto al comentar los cuatro primeros libros de los Elementos de Euclides al comentar la proposición 44 del libro I que contenía la aplicación por parábola y que atribuía a los pitagóricos.

    Veamos ahora el contenido de las proposiciones 9 y 10 del libro II sobre la división de un segmento:

    Proposición 9 del libro II: considera a = x + y; x = a/2 + z; y = a/2 - z

    Proposición 10 del libro II: considera a = x - y; x = z + a/2; y = z - a/2

    La fórmula conjunta que relaciona estas dos proposiciones es:

    x2 + y2 = 2·((a)2/2 + z2)

    Proclo dice que utilizando la proposición 10 del libro II los pitagóricos resolvieron el siguiente problema:

    s y

    Por la proposición 47 del libro I se tiene y2 = 2s2

    Proclo afirma que demuestran que el cuadrado que tuviera por lado la diagonal del otro, tenía por diagonal y + 2s. Aplicando a esto la fórmula que relacionaba las proposiciones 9y 10 tenemos que:

    2((a/2)2 + (y + a/2)2 ) = (a + y)2 + y2

    Tomando s= a/2 queda rescrita de la siguiente forma:

    2(s2 + (y + s)2 ) = (2s + y)2 + y2

    2s2 + 2(y + s)2 = (2s + y)2 + y2

    2(y + s)2 = (2s + y)2

    Por tanto 2s + y es la diagonal del cuadrado que queríamos. Esto servirá para dar muy buenas aproximaciones a 2

    Una definición importante que hay en el libro V es la de razón o analogía entre magnitudes geométricas, que dice “dos magnitudes geométricas a y b están en la misma razón, proporción o analogía que otras dos c y d si se verifica que para cualesquiera dos números naturales m y n se tienen las siguientes relaciones:

    Si an>mb entonces cn>md

    Si an = mb entonces an = md

    Si an<mb entonces cn<md

    Esta definición no se sabe bien quien la formuló. La única fuente antigua de la que se dispone es un escolio en uno de los manuscritos de los Elementos de Euclides, que dice que esta definición se debe a Eudoxo, pero no es aceptado de forma general.

    Un escolio que aparece en el libro X, que se ocupa de la inconmensurabilidad, atribuye a Teeteto el libro X de los Elementos de Euclides. Además dice que la proposición 2 del libro X se debe a Teodoro pero Szabo no se lo cree ya que Eudoxo es posterior a Teeteto.

    Van der Waerden afirma que la definición de razón entre magnitudes es de Eudoxo, pero Szabo no lo cree así ya que piensa que es pitagórico.

    Como no consiguen ponerse de acuerdo, comienzan a buscarse definiciones anteriores de razón. Una de estas es la antifairesis que es la sustracción recíproca y que aparece en Aristóteles, las Refutaciones sofistas y La Suda.

    Zeuthen afirma que “a y b están en la misma razón que c y d cuando la antifairesis o sustracción recíproca entre a y b es la misma que entre c y d”.

    Así, en la proposición 2 del libro X se expresa un criterio de inconmensurabilidad: “dos magnitudes no son conmensurables si su sustracción recíproca no acaba nunca ”.

    Van der Waerden utiliza el diálogo del Teeteto sobre los cuadrados de área 3, 5,...,17 pies cuadrados para reforzar su creencia de que el libro X es de Teeteto. Así nos habla de que aparece la siguiente proposición: “los segmentos que engendran un cuadrado cuya área es un número natural que no es un cuadrado, son inconmensurables con la unidad de longitud”. Ocurre lo mismo con la siguiente proposición: “dos magnitudes geométricas conmensurables están en la misma razón que dos números

    TEMA 3: HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS PRE-EUCLIDIANAS

  • EGIPTO Y MESOPOTAMIA

  • EFEMÉRIDES ACONTECIMIENTOS HISTORIA DE LA CIENCIA

    LAS MATEMÁTICAS EN MESOPOTAMIA

    Algunas civilizaciones usan palabras especiales y símbolos para representar unidades de orden superior, realizan operaciones aritméticas sencillas (la idea de fracción se hace mediante la palabra) y reconocen ideas geométricas sencillas como la recta, el círculo y el ángulo. Hasta los egipcios y babilonios no hay más progreso.

    Los pueblos entre el Tigris y el Eufrates y sus alrededores son los pueblos babilónicos, cuya historia política y científica se ha desarrollado en los cuadros anteriores.

    La información que de ellos tenemos nos viene dada por textos grabados en tablillas de arcilla en escritura cuneiforme. Hay una continuación de la tradición astronómica en el periodo de Alejandro Magno y posterior (periodo seleúcida) que es muy importante. Y también es importante la contribución en aritmética y geometría. Nosotros nos vamos a dedicar a estudiar principalmente esto último.

    Utilizan el sistema sexagesimal, es decir: 60n, 60n-1, 60n-2,..., 602, 60; 1/60, 1/602,...,1/60n. Esta es la base de su estructura. En las tablillas de barro escribían en escritura cuneiforme pero existía la dificultad de que ponían una ristra de números pero no especificaban su valor sexagesimal; es decir, no especificaban el valor “n”. Además los babilonios tampoco tenían el cero, lo especificaban con espacios en blanco y más adelante ponían una marca. Tolomeo, astrónomo griego, es el primero que utiliza el círculo para notar el cero (aunque no es exactamente el cero que actualmente usamos).

    Por esta capacidad de escribir los números con una escritura posicional podemos llegar a comprender la capacidad calculística de este pueblo.

    Vamos a ver unos ejemplos de problemas que están resueltos en tablillas de arcilla. Por ejemplo tratan de resolver el problema siguiente (tenemos en cuenta que estamos escribiendo en moderno):

    x·y + x - y = 183

    x +y =27 el problema trata de áreas y distancias

    Realizan el cambio y' = y+2 y sustituyen en las ecuaciones que tienen con lo que llegan al siguiente sistema:

    x·y' = 183

    x + y' = 19

    Así llegan a resolver todos los problemas de este estilo mediante el cambio pertinente en cada caso, llegando siempre a sistemas del tipo

    x·y = p x·y = p

    x + y = a ó x - y =d

    Por tanto, las soluciones que suelen considerar las consiguen mediante el hecho de tomar las soluciones pasándose de la mitad o no llegando a ella. Es decir, en el caso del primer sistema prueban con la solución x=1/2 a + w y para la otra variable y = 1/2 a - w.

    En el caso del segundo sistema toman la solución de la siguiente forma: x = w +d/2; y = w - d/2

    Tanto en un caso como en el otro, al sustituir en las ecuaciones nos queda una ecuación de segundo grado en w. Pues bien, aunque no dicen cómo llegan a ello, conocen la fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado, es decir, dicen que llegamos a la solución :

    w = (a/2)2 - p w = (d/2)2 + p

    Otras veces se ven en las tablillas problemas de este estilo:

    a·x - by = c

    x + y = d

    Calculando por tanteo, toman x = d/2 = y con lo que llegan a tener a·d/2 - b·d/2 = p con p distinto de c. Consideran la resta de ambos números y tiene c - p = a·(x - d/2) - b·(- y + d/2), tomando como w el valor que aparece entre paréntesis (toman los dos valores). Con ese valor corrigen x e y con las fórmulas que tiene.

    Otro tipo de problemas son los geométricos:

    Tiene un trapecio del estilo del de la figura.

    b

    h

    a

    Como saben calcular el área, tomamos S = (a + b)·h/2

    Para estimar la inclinación del lado del trapecio, tomaríamos inclinación = (a - b)/(2·h) (como mucho puede ser 30 grados). En los problemas que plantean se suele conocer a, S y la inclinación del lado y lo que nos piden es calcula b. Así, hacen 2·inclin·2·S = a2 - b2. Les sale b al cuadrado y para calcular b tienen unas tablas de donde sacan valores aproximados.

    Otra observación importante es que deben de conocer las fórmulas siguientes

    (a + b)·(a - b) = a2 - b2

    (a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2

    (a - b)2 = a2 - 2·a·b + b2

    Otra ecuación con la que se encuentran es:

    x2+ y2 = a2

    Tomando y = 2/3·x + 5 sustituyen y les queda una ecuación de segundo grado que con las fórmulas que conocen descritas anteriormente van calculando.

    Una cosa curiosa que se observa es que las ecuaciones del tipo a·x2 + b·x + c = 0 no las resuelven con las fórmulas sino que distinguen tipos y resuelven sin usar la fórmula. Los tipos que distinguen son:

    x2 + x = a1

    x2 - x = a2

    x2 + b1·x = a3

    c1·x2 + b2·x = a4

    Por ejemplo:

    Esto también está en los Elementos de Euclides; con esto podríamos asociar a Pitágoras con los babilónicos porque el libro en que aparece esto en los Elementos de Euclides se lo hemos asignado a los pitagóricos.

    Otras ecuaciones con las que se suele encontrar son:

    También se observa que conocen el teorema de Pitágoras. Proclo en los comentarios a los cuatro libros de los Elementos de Euclides ya dice que el teorema de Pitágoras no es de él. En las tablillas babilónicas aparece de varias maneras (o en varias versiones). Una de ellas es considerarlo como el movimiento de una columna con respecto a una pared. Esto se ve en la figura

    Con respecto al teorema de Pitágoras, hay una tablilla en la que aparecen cuatro columnas de números. Utilizando contenidos de Diofanto, matemático griego muy posterior, hacen una labor de desciframiento que hubiera sido imposible sin él. Lo que resulta es que hay escritos tres números que satisfacen el teorema de Pitágoras. Con esos valores elaboran el siguiente desarrollo (en notación moderna) de cálculos inspirados en Diofanto

    Y así tengo unas fórmulas para ir introduciendo valores p y q para que las tríadas de números que aparecen cumplan el teorema de Pitágoras.

    Otra de las fórmulas que conocen los babilonios es la suma de los cuadrados de los diez primeros números. No pasan del valor diez pero aseguran que el valor es:

    12 + 22 + ... + n2 = (1/3 + (2/n)·n2 )·(1 + 2 + ... + n)

    Esta fórmula la utilizará mas tarde Arquímedes para la cuadratura del cubo.

    También conocen la fórmula siguiente:

    1 + 2 + 22 + ... + 22 = 2n + 2n - 1

    Lo que sí se observa es que unas veces usaban una fórmula equivocada para la pirámide truncada de base cuadrangular, y en otras ocasiones usaban la correcta. Por norma general utilizan B=3 y en otros ocasiones dicen que B=3+1/8

    LAS MATEMÁTICAS EN EGIPTO

    Su historia es menos turbulenta que la de los babilonios. Estudiamos algunas de las situaciones que se dieron:

    • 3100-2700 a.C.: tenemos información escrita de estos años

    • 2750-1200 a.C.: imperio antiguo

    • 3000-1200 a.C.: construcción de las pirámides

    • 2150-1750 a.C.: imperio medio

    • 1500-1100 a.C.: imperio nuevo

    • 1284 a.C.: Batalla de Qadesh. Fue en tiempos de Ramsés II y quedó en tablas

    • 1200 a.C.: batalla de los pueblos del mar. Hay un gran cataclismo por el Mediterráneo y se remodeló el imperio político debido a la irrupción de los pueblos del mar, que venían de Asia y tenían desarrolladas las técnicas del hierro. Llegaron a Cerdeña y debido a ellos cayeron varios pueblos como los Hititas. Pero Egipto se libró porque Ramsés III fue capaz de controlarlos a la altura del delta del Nilo. Sin embargo, provocó que Egipto se replegara geográficamente sobre si mismo hasta que en el año 550 a.C. los persas se hicieron con el imperio. Cuando Alejandro Magno fue a conquistar Egipto, no lo hizo por los propios egipcios sino por los persas que en aquel momento estaban dominando Egipto.

    En el campo de las matemáticas, los egipcios conocían algunas cosas, como el sistema decimal (aunque no tenían una escritura posicional, sólo símbolos y palabras para el 10 y el 100) y algunos conceptos de la aritmética. Las fuentes de conocimientos que tenemos de los egipcios en cuanto a matemáticas son el papiro de Moscú y el papiro de Rhind. Estos aportan desarrollos matemáticos que los egiptólogos datan del 2400 a.C. Son desarrollos muy arcaicos del imperio antiguo.

    Las únicas fracciones que consideraron fueron las constituidas por la unidad. Cuando aparece una que no es de la unidad la expresan como suma de fracciones de la unidad. Por ejemplo, 2/5 = 1/3 + 1/15. Es más, distinguen dos tipos de fracciones, las de numerador par y las de numerador impar. Una vez que están escritas así, según el numerador, las expresan de la siguiente forma:

    n n

    2n/a = 2/a +...+ 2/a 2n+1/a = 2/a +...+ 2/a + 1/a

    Si nos fijamos ahora en el papiro de Rhid, nos fijamos en que aparecen fracciones con denominadores impares desde 5 hasta 101 y cuyo numerador es siempre 2, es decir aparecen fracciones del estilo 2/5,...2/101 con denominador impar. Pues bien, en el papiro están escritas todas las descomposiciones de estos números. Por ejemplo: 7/29 = 2/29 + 2/29 + 2/29 + 1/29, con ,lo que tiene prevista una descomposición canónica para 2/29.Así nos queda:

    7/29 = 1/6 + 1/24 + 1/58 + 1/232

    Por supuesto, la descomposición no es única pero para los egipcios si lo era ya que siempre les quedaba la misma.

    Algebra y geometría

    Realizaban oralmente ecuaciones . Pedían encontrar una cantidad que cumpliera una relación como por ejemplo la siguiente:

    (2/3)·x + x/2 + x/7 + x = 33

    Otros problemas que resolvían eran dados 5 números, n, n+d, n+2d, n+3d, n+4d, querían encontrar una progresión aritmética que sume 100. Para resolverlo aplican la regla de Folsi. Toman n = 1 y d = 5 + 1/2. Haciendo la suma les sale 60. Dividen por tres y multiplican por cinco y así suman 100. Luego ya tienen que el factor que corrige a todos los números es 5/3.

    En cuanto a las fórmulas geométricas no son muy importantes, solo consideran el triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 y de hipotenusa 5, que es muy útil para levantar paredes. Es el llamado “triángulo egipcio”.

    Con respecto a los volúmenes, conocen la fórmula correcta para el volumen de la pirámide truncada de base cuadrangular.

    Además también se ven con ecuaciones cuadráticas, como por ejemplo:

    x2+y2=100

    y=(3/4)·x

    Astronomía

    Se preocuparon por algunas cosas que luego tuvieron repercusión en la cultura. Por ejemplo en la forma de contar años.

    El año egipcio consta de 365 días. Esa es la duración es de gran utilidad para astrónomos y burócratas, pero plantea problemas con el ciclo de las estaciones. Contabilizan el año desde el primer día de primavera hasta el siguiente día de primavera. Esto hace referencia al año trópico que es lo que ocurre en la tierra y tiene que ver con el punto Aries. Los puntos Aries y Libra son los puntos de intersección de la eclíptica con el ecuador.

    Si definimos así el año, es decir, como el paso de tiempo entre el paso del sol por dos puntos Aries consecutivos, no coincide con 365 días, es superior. Luego el año trópico es de mayor duración que los 365 días que los egipcios contabilizaban. Luego los egipcios consideraban que había llegado antes la primavera de lo que en realidad ocurría. A lo largo de los años podría incluso ocurrir que dijeran que era primavera en época de nieves.

    El concepto de año trópico se debe a los griegos. Sin embargo es una buena unidad de medida para la astronomía pues situaban cada día perfectamente los movimientos de las estrellas.

    La noche la medían mediante unos relojes estelares que se basaban en el movimiento de las estrellas de Canos. De las 36 estrellas de esa constelación la más importante era Sirio cuyo comportamiento era en especia el que estudiaban. En el momento del amanecer del 20 de julio del 3000 a. C. Sirio y el sol se encontraban en la línea del horizonte. Esto se llama orto heliaco de Sirio. Sin embargo, por el mal planteamiento de los 365 días para el año, esto dejaba de ocurrir cada año para repetirse tras un ciclo determinado. Por ejemplo, en el s. III d.C vuelve a ocurrir en Hispalis (Sevilla).

    Con el paso del tiempo, Sirio se va viendo mejor en la noche. Así en la época de Acuario se ve lo siguiente

  • LAS MATEMÁTICAS GRIEGAS HASTA EUCLIDES

  • INTRODUCCIÓN

    Con el texto fotocopiado de la página siguiente, texto de Proclo, tenemos una guía de autores matemáticos griegos en orden cronológico.

    Algunas notas que podemos hacer con respecto al texto son:

    • Según Proclo, del primero que se conoce que escribiera un libro de geometría es de Hipócrates de Quio.

    • Eudoxo tiene contacto con Platón pero no es platónico.

    • La sección áurea tiene que ver con Eudoxo

    • No cita para nada a Demócrito. Es posible que fuera porque considera que no es importante, pero sus críticos afirman que no lo incluyó porque sus relaciones personales no eran buenas.

    A continuación vamos a ir desarrollando autor por autor según esa guía.

    TALES DE MILETO

    Nos es suficiente con lo visto en el tema 1

    PITÁGORAS

    Ya visto anteriormente en el tema 1. Sólo podemos añadir que en un escolio del libro XIII de los Elementos de Euclides aparece la afirmación de que Pitágoras sólo se vio con el cubo, el tetraedro y el dodecaedro. No sabemos si es cierto pero en el sur de Italia (donde estuvo Pitágoras) se han encontrado unos dodecaedros en piedra pómez luego posiblemente conociera su construcción. También el pentágono estrellado aparece en babilonia y el dodecaedro consta de pentágonos. Vamos a estudiar un poco a los pitagóricos más relevantes:

    • Hipaso de Metaponto: Yámblico y Van der Waerden le asignan descubrimientos musicales.

    • Arquitas de Taras: Es un pitagórico. El libro IX de los Elementos de Euclides podría ser anterior a Arquitas ( entre el 450 y el 400). Y también los libros VII y VIII. Los críticos le dan el libro VIII a Arquitas casi con total probabilidad.

    Yámblico afirma que los pitagóricos también se dedicaron a resolver sistemas el tipo siguiente:

    x + x1 +...+ xn-1 = s

    x + ...... = a1

    x + x1 + x2 +... = a2

    x +....+ xn-1 = an-1

    Este sistema también se llama flor de Thymaridas.

    También podemos afirmar que el libro I de los Elementos de Euclides es pitagórico. El teorema de Pitágoras aparece en la proposición 47 del libro I. Proclo afirma que el teorema de Pitágoras es de él o anterior incluso. Eudemo afirma que el que la suma de los ángulos de un triángulo sea dos rectos es de los pitagóricos. Como las preposiciones 32 y 47 del libro I se las atribuye a los pitagóricos y el libro II necesita del libro I, podemos afirmar que, en esencia, el libro I es pitagórico.

    DEMÓCRITO

    No es uno de los geómetras que Proclo nombra en su lista. No se conserva nada de él pero se le atribuye la demostración del volumen del cono.

    SOFISTAS

    Los más importantes son:

    • Antifonte (445-450 a.C) : afirmó que como podemos inscribir cualquier polígono en una circunferencia, podemos considerar la circunferencia como un polígono de infinitos lados. De aquí dedujo que la cuadratura del círculo era imposible. El paso que hace al límite es ilícito y vago.

    • Hipias (399-443 a.C)

    • Protágoras (490-420 a. C): sus ideas se basaban en la idea de que el hombre es la medida de todas las cosas. Por este hecho considera falso, por ejemplo, que un plano tangente corte a la esfera en un sólo punto, ya que afirma que ningún hombre ha podido ver esto.

    HIPÓCRATES DE QUIOS (430 A.C)

    Demostró que la duplicación del cubo se reducía a encontrar dos medias proporcionales. Además se ocupó de la cuadratura de las lúnulas. El estudio de Hipócrates sobre las lúnulas nos ha llegado a través de Simplicio, que a su vez lo tomó de Eudemo.

    Una lúnula es una figura del estilo de la de la figura:

    Hipócrates se dedica al estudio de unas concretas. Para hacer el estudio utiliza el concepto de segmento circular semejante

    Los segmentos marcados son segmentos circulares semejantes porque sus lados son paralelos. Sus áreas están en función del cuadrado de la cuerda.

    Segmento1 cuerda12

    =

    Segmento2 cuerda22

    La primera lúnula que considera es:

    Toma una semicircunferencia, sobre el diámetro construye un triángulo de tal forma que el vértice con el ángulo recto quede sobre la línea perpendicular al diámetro por la mitad del mismo. Después, sobre el diámetro, construye un segmento semejante a los que quedan por fuera del triángulo. La lúnula queda definida por los lados curvos y su área es la misma que la del triángulo (es un área cuadrable).

    Otra de las lúnulas que considera está basada en un trapecio isósceles como el de la figura.

    Circunscribe el trapecio en una circunferencia de tal forma que la base b queda por debajo del centro de la circunferencia. Considera un segmento circular como el de la figura de tal forma que cumpla la relación

    El área de la lúnula es la misma que la del trapecio (área cuadrable).

    Desde el punto de vista histórico, es importante la demostración de que un trapecio de las características anteriores se coloca por debajo del centro de la circunferencia. Lo que hay que demostrar es que el ángulo señalado en la figura es agudo.

    Esta demostración pone de manifiesto que hay un gran cuidado por el rigor.

    El tercer caso de lúnula es históricamente más importante. Precisa de un tipo de construcción llamada Neusis y que no se puede realizar por medio de la regla y el compás. Esta construcción no aparece en los Elementos de Euclides.

    Tomamos la construcción como en la figura y hacemos la construcción neuisis. Se considera el haz de recta que pasan por el punto B; en el punto medio del segmento KB traza una perpendicular que corta a todas las rectas del haz y se queda con aquella tal que EZ2 = 3/2·r2, donde r es el radio de la circunferencia, y Z y E son los de la figura. Se cumple que

    3/2·r EZ

    =

    EZ r

    Luego EZ es la media proporcional entre 3/2r y r. Construye ahora el trapecio de la siguiente forma:

    Circunscribe el trapecio en una circunferencia para buscar la lúnula. La construye de la siguiente forma: circunscribe el triángulo EZH en una circunferencia y la lúnula está formada por la parte de fuera de la circunferencia que circunscribe al triángulo y la parte entre esa curva y la parte de la circunferencia que circunscribe al trapecio. Queda como se indica en la figura:

    Ahora la relación de proporcionalidad es 3/2, pero la demostración de esto está perdida.

    También se ocupa de un tipo de lúnula que construye añadiendo a una lúnula cualquiera un círculo. Por la peculiaridad de la figura, da una fórmula del área construida por la lúnula y el círculo. Esto es importante porque en la consecución de este resultado Hipócrates pone de manifiesto que el lado del hexágono es el radio de la circunferencia en la que está inscrito el hexágono.

    Como resultados totales podemos añadir:

    • Rigor matemático

    • Conocimiento de la construcción neusis

    • Manejo de inscripción de figuras en una circunferencia

    • Conocimiento del teorema de Pitágoras.

    Con todo esto nos fijamos en que lo esencial de los libros III y IV de los Elementos de Euclides es muy probable que lo conocieran en la época de Hipócrates (con esto va cobrando sentido el hecho de que Proclo sólo comentara los cuatro primeros libros de Euclides).

    Duplicación del cubo

    Eutocio tiene los textos de Hipócrates que hablan sobre este tema. Afirma que Hipócrates es el primero en darse cuenta de que hallar la duplicación del cubo consistía en encontrar dos media proporcionales en proporción continua entre dos rectas donde la mayor de las rectas es el doble de la menor, de forma que sustituyó una dificultad por otra no menor.

    ARQUITAS DE TARENTO (400-365 A.C)

    Nos vamos a dedicar a hablar de la duplicación del cubo en Arquitas. Fue un pitagórico dedicado a la política y con mucho poder. Algunos de sus textos los cita Diels , pero otros autores no lo considera importante. Arquitas era amigo de Platón; diseñador de autómatas. Algunos afirman que trató de matematizar la mecánica pero por lo que sabemos de la tecnología del mundo antiguo, que no estaba para nada matematizada, esto no debe de ser muy cierto.

    Vamos a estudiar lo que se refiere a su estudio sobre la duplicación del cubo y vamos a basarnos en el dibujo de la página siguiente.

    En realidad de lo que se trata es de hallar dos medias proporcionales y lo consigue tomando los elementos que aparecen en la figura. Tomamos dos segmentos AD y T arbitrarios y el mayor de ellos lo tomamos como el diámetro de una circunferencia. Sobre AD dibujamos una cuerda AB tal que su tamaño sea T (así tenemos dos segmentos sobre la circunferencia). Por el punto D trazamos la perpendicular a AD, de tal forma que la prolongación de la cuerda AB corte con la perpendicular dando lugar al punto N.

    Perpendicular al plano del papel se traza el semicilindro de diámetro AD.

    Girando AD conseguimos un cono de revolución cuyo eje es la recta AD que corta al semicilindro en una curva.

    Consideramos además una tercera superficie; tomando el semicírculo ABD de la figura del plano de la hoja anterior, lo colocamos perpendicular al plano del papel y lo hacemos girar alrededor de un eje que pasa por el punto A. La figura que conseguimos es la del toro (esta figura se presta a darle muchos tipos de cortes por su forma, dando lugar a diferentes cónicas como círculos, óvalos e hipérbolas).

    Por lo tanto, el toro, el cilindro y el cono son las tres superficies de las que disponemos. Estas se cortan en un punto K. Además, consideramos los siguientes elementos:

    • I = pie de la generatriz del cilindro que pasa por K

    • KI = segmento de la generatriz del cilindro que pasa por K

    • AA' = recta que pasa por I

    • A' es un punto que pertenece al toro.

    K está en la generatriz del cono AK que corta al semicírculo AKA', dando lugar al punto M que está en el toro y el cilindro. Por M trazamos una perpendicular al plano que contiene la circunferencia de diámetro AD y trazamos otro plano perpendicular por M, que es el que contiene al semicírculo AKA' del toro. Otro círculo que trazamos por debajo es uno de los del toro (ya que K está en el toro); en particular es el que pasa por K. Llegados a este punto nos fijamos en que estamos circunscribiendo dos círculos: uno que es del cono y es perpendicular al eje del mismo, y el otro del toro, que es perpendicular al plano del papel y que contienen a uno de los círculos constitutivos del toro. Estos dos se cortan en una recta perpendicular al plano del papel (MO).

    Por tetragonismo, es decir, por propiedades geométricas, se cumple: OB·OZ=MO2. Aplicando esto al círculo ZMB (que es del cono) se tiene la anterior relación, que expresa que M está en una circunferencia del cono, que es a la que nos hemos referido anteriormente. Entonces, por propiedades de la circunferencia, la fórmula anterior se puede poner AO·OI=MO2 puesto que lo que estamos persiguiendo es cambiar de la circunferencia del cono a la del toro. Si nos fijamos sólo en la fórmula obtenida sin tener en cuenta la circunferencia observamos que la expresión nos dice que MO es media proporcional entre AO y OI. Pero es que además si nos fijamos en el dibujo esta afirmación es de máxima importancia porque podemos reinterpretar la fórmula como nos apetezca de tal forma que nos queda que el triángulo AMI es semejante al triángulo MOI y como este último es rectángulo entonces también el triángulo AMI lo será. Luego el ángulo en M es recto en el triángulo AMI y como consecuencia se tiene lo siguiente: como el ángulo AKA', M es recto porque está inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es la hipotenusa del triángulo. Por tanto, el ángulo en K es recto y MI y KA' son paralelos. En consecuencia:

    Ya que A'A=DA en longitud porque es del toro, AM=AB ya que están en generatrices del cono, aunque en cuanto a longitud M y B están en el círculo perpendicular al cono. Y con esto, ya tenemos las media proporcionales que estábamos buscando.

    Otras formas de calcular las medias proporcionales en cuanto a la duplicación son menos interesantes matemáticamente hablando. Vamos a desarrollar un poco la forma de Platón de calcularlas.

    Suponemos que tenemos dos segmentos AO y OB de los que queremos calcular las medias proporcionales. Para encontrarlas, Platón utilizaba un aparato de madera que supuestamente inventó él y que era como el de la figura:

    La parte de dentro se deslizaba sobre la parte exterior de tal forma que entre las tablas horizontalmente colocadas en la figura siempre quedaba un rectángulo de un área determinada. Ahora veamos como funcionaba; colocaba el punto marcado en el aparato en el punto B del segmento de tal forma que el punto (1) se posase en la prolongación del segmento AO. Después desliza la parte interior del aparato hasta que pase por el punto A y ahí lo para. Los segmentos OM y ON de la figura siguiente son las medias proporcionales buscadas.

    Como podemos observar es una solución más mecánica que matemática. Eratóstenes es otro que tiene una forma mecánica de encontrar las medias proporcionales.

    HIPIAS (420 A.C)

    Es un sofista que se ocupó de la trisección del ángulo mediante una curva llamada cuadratriz. Según Proclo, la cuadratriz es una curva inventada por Hipias. Pappus describe la cuadratriz sin mencionar a Hipias.

    La cuadratriz es una curva mecánica que sirve para rectificar la circunferencia y con ella Hipias consigue la trisección del ángulo.

    Su construcción se basa en la velocidad y posición de los puntos al recorrer un espacio determinado. Primero tomamos un segmento OB y hacemos que con velocidad angular uniforme se traslade (es decir gire) hasta llegar a alcanzar B el punto C (es decir, realizamos un giro de 90 grados). En segundo lugar, trasladamos OB paralelamente a lo largo del segmento OC con la condición de que el tiempo necesario para este desplazamiento sea el mismo que el necesitado para el giro anterior. La cuadratriz está formada por la unión de los puntos que están sometidos a la vez a los dos movimientos (es decir, la cuadratriz es la curva que representa la composición de ambos movimientos).

    La utilidad de esta curva para la trisección del ángulo queda detallada a continuación.

    Dividimos el segmento OF en tres partes. Supongamos que OD es la tercera parte de OF, es decir, 3OD=OF; trazamos la paralela a OB por el punto D y esa recta corta a la cuadratriz en el punto P. Uniendo P con O nos sale un ángulo tal que cumple la propiedad de que el ángulo que teníamos es tres veces el ángulo nuevo.

    Dinostrato, discípulo de Eudoxo, demostró para la curva cuadratriz que se cumplía la siguiente propiedad:

    Ar CB OB

    =

    OB OG

    Luego el arco está rectificado si conozco OG. Pero esto supone conocer a la perfección la configuración de la cuadratriz y sólo podemos llegar a conocer un dibujo aproximado, con lo que esto queda muy complicado.

    MENAECHMUS (350 A. C)

    Es discípulo de Eudoxo. Se ocupó de la duplicación del cubo con las medias proporcionales. Tenemos que a/x = x/y = y/b entonces nos quedan dos ecuaciones como siguen:

    a·b = x·y

    x2 = a·y

    Luego las medias proporcionales son las soluciones (x, y) de las ecuaciones anteriores, es decir, el punto donde se cortan la hipérbola equilátera y la parábola.

    Menaechmus es por lo tanto conocido por el hecho de que usa los términos de hipérbola y parábola. Esto nos quiere decir que en aquella época ya se conocían las cónicas (aunque en los Elementos de Euclides no aparezcan vemos que este matemático sí que lo conocía). Además nos fijamos en que aparecen al servicio de las medias proporcionales.

    EUDOXO

    Si nos fijamos en su filosofía, sus ideas no coinciden con las platónicas. Consideraba que las cosas que ocurrían entre las estrellas y el cielo era reflejo de lo que había pasado en la tierra. Probablemente fuese uno de los matemáticos más importantes.

    Con él, aparece el método por exhaustividad, que permite calcular áreas de figuras no rectilíneas. Es un método por reducción al absurdo (es curioso observar que cuando aparece algo relacionado con el infinito lo resuelven por reducción al absurdo).

    Nos referimos a las proposiciones 1 y 2 del libro XII donde se afirma que las áreas de los círculos están en la misma proporción que los diámetros al cuadrado. Vamos a asignar estas proposiciones a Eudoxo, ya que Arquímedes dice que él sigue el método de Eudoxo, y el propio Arquímedes era todo un maestro calculando estas áreas. También hemos de fijarnos en que usamos el concepto de razón entre magnitudes geométricas, definición del libro 5 de los Elementos de Euclides.

    El método se basa en la proposición 1 del libro X de los Elementos de Euclides que afirma que “si tenemos dos magnitudes A y B y les restamos más de la mitad a A y a lo que queda le restamos más de la mitad de lo que queda y así sucesivamente, llega un momento en el que lo que queda de A es menor que B

    Para demostrar esto, supongamos que no es cierto que c1/c2=d12/d22. Entonces, existirá S tal que c1/S=d12/d22 donde S>c2 ó S<c2 (esto siempre que supongamos que existe una variación continua de figuras geométricas). Sólo tenemos que ver que ambas posibilidades nos llevan al absurdo. Para ello, consideramos el cuadrado EZHO de las figuras.

    E El cuadrado circunscrito

    tiene el doble de área

    que el inscrito

    Z O

    H

    Tenemos así que el área del cuadrado circunscrito es mayor que c2

    Cuadrado circunscrito = cuadrado inscrito >c2/2

    2

    Si a c2 le quitamos el cuadrado inscrito, le quitamos más de la mitad de la línea del círculo (en la línea de la proposición 1 del libro X). Así, tomamos B = c2 - S, A = c2. Al quitarle el cuadrado a A, nos quedan cuatro segmentos circulares. Veamos que ocurre cuando quitamos los triángulos que quedan del octógono.

    Por lo tanto, le quitamos al segmento más de la mitad. Si vamos ampliando el polígono a 16 lados, etc, llegará un momento en que habrá un polígono, (Polígono)2, tal que

    c2 - (Polígono)2 < c2 - S sí y sólo sí (Polígono)2 > S

    Construimos sobre c1 un polígono semejante al Polígono2, al que llamaremos Polígono1. Se tiene la siguiente relación:

    (Polígono)1 = d12

    (Polígono)2 d22

    Esto es cierto porque los polígonos inscritos en circunferencias se pueden descomponer en triángulos, y la altura de cada triángulo se remite el radio (cuanto mayor sea el número de lados más se parece la altura al radio); luego como el área del polígono es la suma de las áreas de los triángulos, operando nos quedan los diámetros al cuadrado.

    Nos queda entonces la siguiente relación:

    La otra posibilidad es que S>c2. Realizando la misma operación, empezando por c2, también se llega a un absurdo.

    Podemos observar así que Eudoxo llevó a cabo esta demostración sin usar para nada el paso al límite.

    En el libro XII de los Elementos de Euclides, hay otra demostración debida a Eudoxo. Considera pirámides triangulares, y la demostración es acerca de la afirmación de que los volúmenes de pirámides con base triangular están en la misma razón que las áreas de sus bases. Eudoxo demuestra que quitándole a la pirámide los dos prismas de la figura, le quitamos más de la mitad.

    EUCLIDES

    Ya hemos visto mediante el estudio de los Elementos de Euclides que prácticamente nada es de Euclides.

    • Los libros I y II tratan de razonar por áreas y da una expresión de álgebra.

    • El libro III trata de tangencias y circunferencias

    • Los libros V y VI habla de cálculos geométricos y razones de magnitudes geométricas

    • Los libros VII, VIII y IX son pitagóricos

    • El libro XI nos da definiciones fundamentales para la geometría del espacio

    Euclides también escribió la Sección canónica, un libro sobre óptica, un tratado sobre cónicas (que está perdido), y un libro titulado Los Porismos, que aunque estuvo perdido Papus recuperó más adelante y que habla en parte de la actual geometría proyectiva

    TEMA 4: LOS MATEMÁTICOS DEL HELENISMO

    Son matemáticos técnicos que empiezan su andadura en Alejandría y van poco a poco decayendo. El primero es Euclides pero como se aprovecha de conocimientos griegos anteriores no se le puede considerar puramente helenista.

    ARQUÍMEDES (208 A.C.)

    Es helenístico. Se encuentra en Siracusa (Sicilia) que forma parte de la Magna Grecia. Muere a manos de un soldado romano, pues es en esta época cuando los romanos se preocupan seriamente de la conquista del mundo helenista.

    Era hijo de un astrónomo; es probable que viajara a Egipto. Las notas de Arquímedes las tenemos porque se las mandaba a su amigo Conon en forma de enigmas matemáticos, pero sin incluir la solución. Hacía lo mismo con Eratóstenes, pero a él le mandaba soluciones falsas para ridiculizarlo.

    Plutarco comentó que Arquímedes estaba esclavizado ya que olvidaba comer e incluso el cuidado de su cuerpo.

    Arquímedes también se dedicaba a arreglar máquinas como afición. Por la invención de algunas máquinas llegó a hacerse famoso. Por ejemplo, cuando Marcelo sitió Siracusa, Arquímedes inventó dos tipos de catapultas. Por todo esto, Marcelo, general romano, no quería que lo mataran para incorporarlo a los romanos y aprovechar sus conocimientos, pero un soldado desobedeció las órdenes y lo asesinó. Lo más curioso es que el romano se lo encontró elucubrando sobre una figura y lo único que Aristóteles pidió fue que no tocaran la figura. Con esto se pone de manifiesto que en aquella época ya se hacían figuras (las hacían en un bloque de arena)

    Monografías

    Es una forma de escribir bastante moderna puesto que en lugar de escribir libros completos o tratados, lo hacía en forma de monografías que eran pequeños escritos sobre un problema muy concreto.

    “El Método” es la monografía más importante. Se encontraba perdida. Consistía en un método para conjeturar sobre los volúmenes de figuras. Heiberg (editor de Euclides) lo encontró hacia el año 1900 en Constantinopla. Encontró un papiro que había sido reciclado por los monjes; se llamaba palimpsesto y al quitar la parte de arriba se dio cuenta que estaba “El Método”.

    Nos vamos a ocupar del volumen de la esfera.

    Para calcular cualquier tipo de superficie, por ejemplo como la de la figura, lo que se hacía era cortarla en material real (madera, hierro, plomo, etc), cuanto más pesara mejor, y les quedaba el cálculo de áreas reducido a calcular el peso.

    Así tienen que el peso es la densidad por el volumen y el volumen es la altura por el área, con lo que ya pueden despejar el área.

    Pero Arquímedes se hizo más famoso por la ley de la palanca

    P1 L1 L2 P2 P1·L1=P2·L2

    El Cardinal Nicolás de Cusa hizo comentarios de esto aplicado a la vida política.

    Vamos a estudiar cómo calculaba el volumen de la esfera

    El razonamiento de Arquímedes se basaba en que con el Método conjeturaba, y cuando tenía una fórmula probable la demostraba por el método de Eudoxo.

    Consideramos la esfera, el cono y los cilindros de la figura como unión de lonchas (es lo que modernamente se considera una unión infinitesimal).

    Esfera + cono cilindro grande

    Tenemos una situación de equilibrio en cada loncha que viene dada por:

    Consideramos los radios al cuadrado porque esto implica tener las áreas (área = Br2). En esta relación hay cierta asimetría que desaparecerá cuando entre en juego el baricentro. Nos hará falta poner los pesos para aproximarnos a la ley de la palanca. Demostramos a continuación que la relación de equilibrio es cierta:

    Una vez que vemos que esto es cierto, aplicamos que el baricentro del cilindro grande está en K y tomando

    Luego el volumen de la esfera es la mitad del volumen del cono tomando:

    Por lo tanto:

    Es la más famosa de las fórmulas de Arquímedes.

    A parte de este volumen, también calculó los del elipsoide de revolución (que es 2/3 del volumen del cilindro circunscrito), y el paraboloide de revolución, entre otros. También conjeturaba sobre fórmulas de áreas, no solo de volúmenes.

    Otra monografía fue la trisección del ángulo. Su método fue el siguiente:

    Arquímedes aplica el método de construcción por neusis. Considera el haz de rectas que pasa por A y se queda con aquella tal que la distancia de la circunferencia hasta el punto de corte sea r, que es el radio de la circunferencia. Después traza la recta EF paralela a AB; el ángulo AEO es igual al ángulo BOF. Tenemos que el ángulo “2”=2·”1”. Por lo tanto, “1” es la tercera parte del ángulo AOE.

    Área del círculo

    Partimos de la fórmula A=1/2rC, donde parece que tomamos r como el radio de la circunferencia; parece que es la fórmula del área de un triángulo de base C que es el perímetro de una circunferencia. Suponemos esta conjetura cierta y lo que hacemos es demostrar que es cierta. Hay dos posibilidades:

  • A>1/2rC

  • A<1/2rC

  • Demostramos en primer lugar A>1/2rC

    Tomamos B=A-1/2rC. Ajustamos un polígono al círculo de manera que el área del círculo menos el polígono sea menor que B (A - a(P)<B). Entonces

    Para el caso A<1/2rC

    Tomamos en este caso los polígonos circunscritos y tenemos así que

    ESTIMACIÓN DE B

    En las matemáticas helenísticas ya se usa el concepto de fracción. La estimación se calcula por el perímetro de la circunferencia.

    Arquímedes parte de la estimación 3+10/71<B<3+1/7, y llega a ella considerando polígonos de 6, 12, 24,..., 96 lados inscritos y circunscritos en circunferencias. También parte de una estimación de 3.

    Consideramos la siguiente figura:

    que es una ampliación de una parte de un polígono circunscrito de n lados. Podemos observar que t2n no es la mitad de tn. Para simplificar los cálculos podemos considerar AO=1 y OP=OC

    Luego así tenemos de forma recurrente todos los lados de los polígonos circunscritos.

    Para los polígonos inscritos tenemos las siguientes figuras

    Ligamos así Sn con S2n y así ya podemos continuar. Como Arquímedes parte del hexágono, necesita los valores S6=1 y t6 =1/ 3. La estimación que da es 265/153< 3 <1351/780. No sabemos por qué usa esta aproximación ni como la obtuvo. Por Herón de Alejandría y Alkarki sabemos cómo llegó a ello. Dan una fórmula correcta para obtener raíces cuadradas de forma aproximada: si tengo una raíz busco un número que al cuadrado sea próximo a él. Tomamos a2 pero puede que nos pasemos o no lleguemos; por eso, tomamos un factor de corrección b y así calculamos a2 ± b. La estimación es

    Veamos un posible camino de cómo se obtienen la aproximación de 3

    Esta no es la aproximación que tiene Arquímedes. Intentamos otra forma:

    Tampoco esta es la aproximación que tienen Arquímedes. Buscamos otra manera:

    Observamos que al multiplicar por un número mayor la estimación es mejor porque el error que se comete es menor. Tomamos la estimación por defecto y así:

    Con esto sí obtenemos la estimación de Arquímedes. Por lo tanto, por recurrencia sobre t6 y S6 y con la fórmula:

    Llega a obtener t96 y S96, hasta obtener la estimación de B con la siguiente expresión:

    Esta estimación no coincide con la dada por Arquímedes, 3+1/7> B >3+10/71, porque la parte superior sí que coincide pero la inferior es distinta. Veamos cómo llega a ese número:

    La espiral de Arquímedes

    La encontramos en “El tratado sobre la espiral”. Para conseguirla, consideramos un punto que se mueve con velocidad uniforme a lo largo de un segmento que gira con velocidad uniforme. Si consideramos la trayectoria del punto obtenemos una curva que es la espiral de Arquímedes.

    En cierto sentido se puede observar una cierta analogía con la cuadratriz de Hipias por el movimiento uniforme

    Uno de sus estudios a cerca de la espiral es la tangente en un punto. Consideramos un eje de coordenadas cuyo origen sea el punto inicial de la curva (aunque Arquímedes no lo considera así). Dado un punto P en la curva, consideramos la recta OP. Trazamos la recta perpendicular a esa recta por O y en ella tomamos un punto T tal que la longitud del segmento OT sea igual a la longitud del arco PR. La tangente a la curva en el punto P es la recta que resulta de unir los puntos P y T, como podemos observar en la figura siguiente. Para esta demostración utiliza la neusis (sin regla y compás en principio).

    Arquímedes lo demuestra por reducción al absurdo: si la recta TP no fuera la tangente resultaría que OT>PR ó OT<PR y con estas posibilidades llega a contradicción.

    La espiral de Arquímedes también sirve para trisecar el ángulo y para rectificar la circunferencia (aunque de una forma muy rara). Si trazamos la recta tangente a la espiral por el punto P de la figura siguiente, dicha recta corta al eje OX (aunque Arquímedes no lo llama así) en un punto T de forma que la distancia de O a T es igual a la longitud del arco de B/2. Por tanto, OT es la longitud rectificada del arco B/2.

    El problema que tenemos es que no podemos trazar la tangente ya que si trazo la tangente no rectifico la circunferencia y viceversa.

    Veamos ahora cómo hace Arquímedes la trisección del ángulo: se divide el segmento OT en tres partes, como indica la figura.

    Desde cada punto se traza el haz de rectas y nos quedamos con aquella que corta a la curva. Pero tenemos el mismo problema de antes, no se pueden hacer ambas cosas al mismo tiempo.

    Arquímedes también calculó el área de la espiral, pero lo hizo mediante el método de exhaustividad de Eudoxo: cuando la espiral da un vuelta completa, trazamos la circunferencia de radio d1, que es la primera distancia. Después hace divisiones como se indica en la figura un número arbitrario de veces (en este caso hemos tomado 8 divisiones).

    Construimos partes de arcos de circunferencia que encierran porciones de arcos de espiral. Podemos ver que hay cierta analogía con las sumas superiores e inferiores de Cauchy para calcular áreas bajo una curva.

    Otros problemas de Arquímedes

    Dada una esfera dividirla en dos partes de forma que los volúmenes de las dos partes estén en una razón de proporción dada, m/n. La dificultad de la resolución del problema es cómo saber por donde hay que cortar la esfera mediante el plano. Este problema Arquímedes lo traslada a una ecuación cúbica y lo resuelve como intersección de dos cónicas. Para resolverlo utiliza los resultados sobre cónicas de Euclides.

    Cada sección de la circunferencia BMA tiene el siguiente volumen:

    Asimila los volúmenes que quiere conseguir con los volúmenes de ciertos conos. Así:

    Arquímedes, operando, llega a la fórmula

    Luego el problema de dividir la esfera por un plano de forma que los volúmenes queden en razón de proporción m/n lleva a una cúbica en h cuya solución nos dará la división. Para resolverla, vamos a usar la intersección de cónicas haciendo los siguientes cambios de variables:

    Así llegamos a la ecuación

    Esta ecuación recuerda a las cúbicas de los babilónicos; éstos toman una tabla para resolverlos (no es exactamente como esta pero sí una parecida)

    Para resolver la ecuación utiliza las cónicas siguientes:

    x2 = (c / a) · y es una parábola

    (a - x) · y = a · b es una hipérbola

    Por supuesto, él no lo hace tan algebraico. En el manuscrito de Arquímedes que tiene Eutocio aparece esta demostración que se apoyó en el libro de dórico que Arquímedes tenía.

    Consideraciones

    • El hecho de resolver problemas que no se resuelven por regla y compás por medio de la intersección de cónicas es muy aceptado. Pappus los llamará problemas sólidos.

    • Con la demostración anterior hemos constado que las cónicas aparecen en Arquímedes. A parte de en esta demostración aparecen, por ejemplo, para calcular el volumen del elipsoide y del paraboloide.

    • Arquímedes utilizaba el griego dórico que era el más antiguo y los traductores tuvieron problemas con sus textos.

    ERATÓSTENES (284 A.C)

    Bibliotecario de la biblioteca de Alejandría. Tuvo mucho poder entre los tolomeos. Arquímedes no le apreciaba.

    Era alumno de Zenón el estoico y Calímaco. Hizo varias cosas en matemáticas. Escribió el “Platónnicus”, que no nos ha llegado en su totalidad y que no era exactamente matemático (con esto vemos que se interesó por otras áreas). Dicen que escribió un libro sobre medias proporcionales poniéndolas en relación con los lugares geométricos, y lo más probable es que estuviera relacionado con las cónicas.

    Es conocido porque calculó el radio de la Tierra. Teniendo los datos, este cálculo no es muy complicado en cuanto a conocimientos matemáticos; pero si no se tienen los datos hay que movilizar a muchas personas y muchas cosas. Como él tenía ese poder podía hacerlo si se conoce el cálculo de la longitud de un lugar geográfico de la Tierra (esto no se resolvió hasta el s. XIII con los relojes mecánicos; lo resolvieron los ingleses). En el mundo griego, la única forma de calcular esta longitud era mediante los eclipses lunares (tomaban nota de la hora local donde se producía y restaban horas con lo que tenían una distancia). Por ejemplo, el Nilo va de Norte a Sur y si tomamos la hora en Alejandría y en Siena tendríamos que podemos tomar una diferencia de latitudes.

    Lo difícil es conseguir medir el arco, pero como Eratóstenes tiene poder político consiguió llevar un barco sobre el Nilo y contabilizar la distancia entre la dos ciudades por medio de brazadas de una cuerda (las brazadas se señalaban con nudos).

    Otra cosa de la que se ocupó fue del cálculo de medias proporcionales. Nos fijamos en las figuras siguientes donde en la segunda hemos trasladado los triángulos de forma que nos salen dos colecciones de paralelas. Podemos asegurar que nos van a salir paralelas porque las movemos hasta que los puntos de corte entre los triángulos estén alineados.

    Así se cumple la siguiente:

    EK / KF = AK / KB = FK / KG

    EK / KF = AE / BF

    FK / KG = BF / CG

    Entonces tenemos que AE / BF = BF / CG y que BF / CG = CG / DH con lo que llegamos a la conclusión de que BF y CG son medias proporcionales entre AE y DH

    NICOMEDES

    Se ocupó de la duplicación del cubo entre otras cosas. Una de las otras cosas es la trisección el ángulo, que a continuación vamos a detallar.

    Supongamos que tenemos un ángulo que es el que queremos triseccionar y aplicamos neusis tomando la recta tal que la distancia señalada en el dibujo sea 2·a.

    Esta construcción dio lugar a que Nicomedes definiera una curva llamada cocloide (según la terminología de Pappus) o conchoide (según la terminología de Proclo). Estas curvas son de la forma siguiente: fijado un segmento de longitud a se toma el haz de rectas que pasan por B y desde la regla se toma la longitud a en cada recta del haz. Se sigue la curva como se ve en la figura:

    Esta curva está asociada al problema de la trisección de Nicomedes si tomamos la figura como se indica:

    Algunas de las propiedades que tiene la curva son

    • Si a>b la curva tiene un lazo

    • Si a=b la curva tiene un punto cuspidal

    • Si a<b la curva es normal como aparece en la figura.

    Más tarde Pappus resolverá este problema mediante cónicas.

    APOLONIO

    Es un matemático muy importante. Tiene contribuciones esenciales en la astronomía. Entre otras cosas escribió un tratado de cónicas. El primero que buscó ejemplares para hacer una edición fue Eutocio (500 d.C) y dio sólo con los cuatro primeros libros de las cónicas de Apolonio. Esta edición será repetida con posterioridad en Bizancio, en tiempos de León VI. El conocimiento de las cónicas en este entorno era grande (antes de que aparecieran Bizancio se utilizaron para construir la Basílica de Santa Sofía). Más tarde, en territorio musulmán, aparecieron algunos ejemplares con lo que se tradujeron los libros V, VI y VII al árabe. El libro VIII está perdido.

    La edición que se considera princeps es de Halley (1710) y en Europa es casi imposible que alguien más sea capaz de estudiar estos escritos.

    Planudes (1255 - 1305) se ocupó de las cónicas de Apolonio y se conservan los ejemplares en los que se basó. Vivió en tiempos de Andrónico II y fue una persona de formación intelectual muy amplia; no solo en matemáticas, también tradujo a Ovidio del latín al griego. Estudió a Boecio, que era occidental, y a Diofanto (el manuscrito que usó es casi seguro el que se encuentra en la Biblioteca Nacional de Madrid, que es el más antiguo que se conserva).

    La obra de Apolonio es muy importante. Para poderlo estudiar repasamos algunos de los conceptos básicos de las cónicas. En primer lugar, vamos a definir la cónica como la curva que aparece cuando cortamos por un plano a un cono. Esta era la definición que tomó Apolonio aunque en la actualidad las define como los lugares geométricos que distan de una determinada forma de uno o varios puntos llamados focos. Apolonio conocía la existencia de estos focos pero aparecen al final de sus estudios.

    Una definición importante en cónicas es la de diámetro. Tomamos todas las cuerdas que cortan a la cónica en una determinada dirección, todas paralelas, y al lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas, que es una recta, se le llama diámetro. Hay tantos diámetros como posibles direcciones de las cuerdas.

    Veamos cómo podemos definir lo que se llama diámetro conjugado: tomamos la dirección de un diámetro y la colección de cuerdas con esa dirección tiene otro diámetro. Pues bien, decimos que ambos diámetros son conjugados.

    Hay dos tipos de cónicas:

    • Con centro: son la elipse y la hipérbola. Los diámetros se cortan en un punto llamado centro

    • Sin centro

    Otra de las definiciones importantes es la de ejes de cónicas. Los ejes de las cónicas son dos diámetros que se cortan perpendicularmente. La elipse y la hipérbola tienen solamente dos ejes y la parábola tiene un solo eje.

    Las cónicas no aparecen por primera vez en Apolonio. Menaechmus es el primero en citarlas y Euclides tiene un libro sobre cónicas. Aristaeo (del que nos habla Pappus) escribió cinco libros sobre cónicas y es ligeramente anterior a Euclides. Apolonio afirma que en los cuatro primeros libros lo único que hace es retomar el tratado de Euclides aunque mejorado. Parece que el libro de Aristaeo es distinto del libro de Euclides porque Pappus resuelve un problema de cónicas siguiendo un resultado de un libro que no es el tratado de Euclides sobre cónicas sino que es uno sobre superficies, y afirma que Euclides tomó ese resultado de Aristaeo. El problema que resolvió Pappus trata sobre directrices y focos (esto indica que directrices y focos ya son conocidos antes de Euclides). Es probable que el tratado de Aristaeo sea más original que el de Euclides.

    Libro I de Apolonio

    Parte de la definición de un cono por complejo general (cono doble). Toma un plano, una circunferencia, y un punto exterior al plano. Unimos todos los puntos de la circunferencia con el punto exterior y ya tenemos el cono.

    Vemos que la proyección ortogonal de A sobre el plano no tiene por que caer en la circunferencia.

    Conseguirá las distintas cónicas dando cortes por diferentes planos.

    Las líneas que definen el cono se llaman generatrices. El punto de corte de las generatrices se denomina vértice, y la recta que une el vértice con el centro de la circunferencia base se llama eje. Llamamos triángulo axial a aquel triángulo que tiene uno de sus vértices en el vértice del cono, dos de sus lados están formados por generatrices y contiene ea eje.

    Vamos a entender el cono como la unión de lonchas y vamos a estudiar las figuras de la página siguiente.

    Observamos el cono de la figura 0 y estudiamos el corte EDP que es general. DE es una cuerda que está en el cono y que está formada por el corte del cono por el plano. El diámetro BC es perpendicular a la cuerda DE y el segmento PM no es perpendicular a la cuerda DE. Apolonio demuestra que la recta PM corta por la mitad a todas las líneas paralelas a DE que están en la sección del cono. Un ejemplo de esas líneas es la recta QQ'. Así podemos afirmar que la recta PM es el diámetro de la colección de cuerdas con la dirección definida por DE (según la definición de Apolonio de diámetro en una cónica).

    Estudiamos la figura 1 a continuación, que es la correspondiente al corte para formar una parábola. El corte lo realizamos con un plano paralelo a una generatriz del cono. Podemos observar que en la figura 1 están puestos todos los datos que se han tenido en cuanta en la figura 0. Un punto genérico de la parábola es el punto Q (conforme movemos la cuerda aparecen todos los puntos de la parábola). Un punto está en la parábola cuando está en el cono y en el plano; estas afirmaciones también son ciertas si usamos el plano perpendicular que es el que contiene al triángulo axial ABC.

    Si el corte no es el de la parábola estaríamos en el caso de un corte similar al de la figura 2, que particularmente es el de la hipérbola pero que podría haber sido el de la elipse (los datos y las afirmaciones son exactamente las mismas).

    Vamos a ampliar el concepto de pertenencia a la parábola y a la hipérbola:

  • PARÁBOLA

  • A A

    P P

    H V V K

    B C B C

    Vamos a usar el tretagonismo

    II) HIPÉRBOLA

    A P'

    P A

    H V V K

    B F M C

    F

    Vamos a ver quién es PL fijándonos es la figura 3. Trazamos una perpendicular al plano de corte, PL. Tomo una magnitud igual a PL y trazamos una paralela por L. Unimos P' con L y al ampliar la recta nos sale R y trazamos la paralela a PM.

    Vamos a continuar estableciendo semejanzas entre triángulos con la figura 3. Tenemos que PL / PP'= RV / P'V. Como por hipótesis teníamos que se cumplía la relación

    QV2 = (PL / PP') · PV · P'V (que llama “síntoma”)

    Sustituyendo tenemos la ecuación final de la hipérbola que es QV2 = RV · PV.

    Con la parábola ocurre algo muy similar: QV2 = PL · PV

    Considero un cuadrado de lado QV y se aplica sobre el segmento PL completamente, sin que sobre. Esto determina una aplicación parabólica.

    Si hacemos esto en la hipérbola esta manipulación se interpreta como una aplicación por exceso del cuadrado de lado QV. Para obtener la elipse, se inclina la figura hacia la derecha y la aplicación aquí va a ser por defecto.

    Apolonio, en el libro I, de lo primero que se ocupa es del trazado de tangentes ya que lo anteriormente desarrollado está remitido a un diámetro. Se pregunta si el “síntoma” es independiente del diámetro. La respuesta es afirmativa, pero para llegar a ella ha de estudiar primero otros temas, entre ellos el trazado de tangentes. Para ello vamos a ir viendo una serie de proposiciones:

    Proposición 17 del libro I: “La recta que pasa por P y es paralela a la colección de cuerdas QV es tangente a la parábola en P”. Consideramos las letras como en las figuras anteriores. En esta proposición no abandona el diámetro.

    Proposición 33 del libro I: “Para cualquier punto de la parábola existe una tangente”. La demostración de esta proposición la hace por reducción al absurdo. Toma un punto P y traza la cuerda que pasa por él, que en la figura tiene la peculiaridad de que es perpendicular aunque esto no es necesario. Luego toma R de forma que RA=AQ y uniendo R y P sale la tangente.

    Demuestra la misma proposición para la elipse. Divide el segmento AA' de la figura de forma que AQ / A'Q = RA / RA'. Si tomamos R de esta forma uniendo R y P sale la tangente.

    Aparece la noción de centro como el punto medio de un diámetro. Más tarde se dedica a ver que todos los diámetros de una cónica pasan por el centro.

    También prueba que la ecuación de cualquier cónica referida a cualquier diámetro da siempre un mismo “síntoma”. Esto lo razona por áreas (lo que es muy pitagórico) pero esta demostración es muy complicada.

    A la altura de la proposición 52 del libro I aparece la noción de eje (diámetros conjugados que se cortan perpendicularmente), pero antes de esto surge un problema muy importante: dado un parámetro PL, un diámetro y una inclinación relativa a la colección de cuerdas de este diámetro (estos son datos definitorios de una cónica) se pide construir un cono tal que cortado por un plano salga la cónica que con esos elementos hemos definido.

    Libro II de Apolonio

    Empieza con el estudio de las hipérbolas y las asíntotas.

    Toma dos puntos L y L' simétricamente en la tangente por P de forma que satisfacen

    PL2 = PL'2 = (1/4) · p · PP' donde p es un parámetro cónico.

    Uniendo C con L y C con L' tenemos dos asíntotas.

    Libro III de Apolonio

    Aparecen ya resultados que son de geometría proyectiva. Esta geometría no la desarrollaron los griegos, pero en Apolonio y Pappus ya aparecen algunos resultados. Se desarrolló a partir del tema de la perspectiva en los cuadros renacentistas. Se creó una polémica entre la geometría proyectiva que desarrollaron Pascal, Desargues, etc y la geometría analítica que desarrolló Descartes.

    En el libro III de Apolonio, se trata el siguiente problema:

    Dos tangentes por P y Q se cortan en O y trazo dos paralelas cualquiera, cada una paralela a cada tangente, que se cortan en J. Entonces se tiene que:

    JR·JS OP2

    JR'·JS' OG2

    Esto lo utilizó luego Newton ya que cuando escribió sus Principios Métricos utilizó resultados de cónicas porque no se fiaba de sus propios cálculos infinitesimales.

    Esta propiedad se relaciona con las circunferencias. Imaginemos que la elipse es una circunferencia. En este caso, OP2 = OQ2 lo que implica que OP2 / OQ2 = 1 y esta es una propiedad que hemos utilizado en las medias proporcionales de Arquitas.

    Otro resultado de este libro es:

    Consideramos todos los rayos que parten del punto O, y tomo uno cualquiera que cortará a la elipse en R y S y a la recta PQ en el punto I. Así tenemos que I se comporta con respecto a S como lo hace O, es decir, RI / IS = OR / OS. A esta propiedad se le llama armónica porque considerando b = OI, c = OR y a = OS, tenemos que OR< OI<OS y:

    OI - OR = RI ; OS - O = IS

    OI-OR OR si y sólo si b-c c

    OS-OI OS a-b a

    Así tenemos la definición de b como media armónica entre a y c.

    En este punto, Apolonio se encuentra con el problema de los focos, a los cuales no los denomina así. Los define gracias a razonamientos por áreas. Prueba la existencia de los puntos en las elipses y las hipérbolas que verifican que los ángulos de las figuras que están marcados coinciden.

    Esto tiene repercusiones en los espejos convexos, elípticos e hiperbólicos, porque dilatan o comprimen imágenes y en el arte esto es de gran importancia.

    En la parábola, los rayos van hacia el centro.

    Libro IV de Apolonio

    Prosigue la exposición de resultados de naturaleza proyectiva. Uno notable es el siguiente: tomamos dos puntos O y O' de forma que haya una cuaterna armónica. Se ve que P y P' son puntos de tangencia, es decir, que las rectas TP y TP' son tangentes desde P a la elipse.

    Libros V, VI y VII de Apolonio

    En el libro VI se ocupa de la semejanza entre cónicas y en el libro VII se ocupa de establecer nuevas propiedades de los diámetros de las cónicas.

    Sin embargo, el libro V, según la opinión de algunos matemáticos, es muy original y algunos de los resultados que en él se establecen tiene gran importancia a nivel histórico.

    Uno de los problemas que se plantea es calcular las líneas de máxima y mínima distancia de un punto a una cónica. Este es un problema de máximos y mínimos que Apolonio resuelve mediante un método muy complicado. Empieza por el punto centro situado en los ejes principales y va estudiando las distancias. En el caso del centro, la distancia mayor será la mitad de la longitud del eje mayor y la distancia menor la mitad de la distancia del eje menor. Una vez estudiado esto va trasladando el punto hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda de los ejes y va estudiando las distintas distancias. Estudiando todo esto, se fue encontrando con unas curvas que en los casos de la parábola y la elipse están ilustrados en las figuras.

    DIOCLES (FINALES S. II A.C - PRINCIPIOS S. I A.C)

    A él se le debe el uso de una curva llamada cisoide que sirve para calcular medias proporcionales. La construcción de esta curva es la siguiente:

    Se tiene que cumplir siempre que el arco EB sea igual al arco BF. P es un punto genérico de la curva que sale de ir moviendo los triángulos semejantes de forma que se cumpla la condición de arcos iguales.

    Luego HF y HC son medias proporcionales. El problema está en que dados dos segmentos a y b tenemos que arreglarlo para que se ajusten a la cisoide. Lo que tenemos que hacer es tomar un punto K de manera que a / b = DO / OK. Prolongamos DK y en algún momento la recta cortará a la cisoide en un punto que llamaremos Q. Para este Q el razonamiento de la cisoide desarrollado anteriormente es válido (porque Q está en la cisoide). Dibujamos la perpendicular por Q y la llamamos ML. Aplicando el razonamiento anterior y sustituyendo las letras adecuadas, las medias proporcionales son LM y MC. Así obtenemos DM/MQ = DO/OK = a/b.

    El problema de la esfera

    Se trata de dividir una esfera en dos partes cuyos volúmenes estén en una relación dada m/n. Este problema ya lo resolvió Arquímedes antes pero Diocles lo hace de una forma muy elegante.

    Por medio de manipulaciones algebraicas de razones geométricas, se llega a que se cumplen las siguientes relaciones:

    Diocles hace un esfuerzo de abstracción y se concentra en el siguiente problema: dividir un segmento AA' mediante un punto M y encontrar dos punto h y h' de forma que se cumplan las siguientes relaciones

    Parte de la siguiente figura:

    Consideramos las siguientes figuras parciales:

    Tenemos que se cumplen las siguientes relaciones: AF/AM=A'K'/MA' y EA'/MA'=AK/MA. Así por lo anterior se cumple que:

    Por lo tanto podemos garantizar que la siguiente relación es cierta:

    AF+AM AM AK+MA

    A'K+MA' A'M EA'+MA'

    Ya que lo garantizan los productos cruzados. Cambiando la notación observamos que

    ZENODORO (200-90 A.C.)

    Resolvió los problemas isoperimétricos, es decir, problemas de figuras con el mismo perímetro. Estos problemas son famosos porque aparecen en los textos de literatura de vez en cuando.

    Pappus nos habla sobre Zenodoro porque reproduce en sus libros la información que Zenodoro nos dio.

    Zenodoro demostró que “a igual perímetro un polígono abarca más áreas cuanto más lados tiene”. Y algunos otros de los problemas que resolvió fueron: “la circunferencia abarca más área que el área abarcada por cualquier polígono que tenga el mismo perímetro que la circunferencia dada” y “a igualdad de perímetro y número de lados el polígono que abarca más área es el regular y equiángulo

    Las demostraciones son laboriosas pero no difíciles.

    HIPSICLES (2ª MITAD DEL S. II A.C)

    Es importante porque tiene un algoritmo fundamental para la astrología, pero carece de mayor interés que el puramente astrológico y astronómico.

    DIONISODORO

    Es contemporáneo de Apolonio. No conservamos escritos de él. Calculó el volumen del toro por el método de Arquímedes o Eudoxo, es decir, por el método de exhaustividad. También trató el problema de dividir la esfera en dos partes cuyos volúmenes están en una razón dada.

    POSIDONIO (135 - 51 A.C)

    Es muy importante como figura de la Antigüedad Clásica pero no tanto como matemático. Tenía una escuela griega donde, por ejemplo, estudió Cicerón. Viajó a España para observar el crecimiento de las mareas en Cádiz y a Extremadura para ver el crecimiento de las minas (existía una teoría a que afirmaba que los minerales crecían). Defendía el estoicismo pero la mayoría de sus escritos se encuentran perdidos.

    En astronomía se ocupó del cálculo del radio de la Tierra. Consideró que Alejandría y Rodas están en el mismo meridiano, observó la estrella Canopo (que es muy difícil de ver) y con ella calculó la diferencia de arco con un método muy parecido al de Eratóstenes.

    PERSEO (ENTRE EUCLIDES Y 75 A.C)

    Proclo lo cita con bastante frecuencia. Se dedicó a darle cortes a la espira o toro. Parece ser, aunque no nos ha llegado, que estudió los mismos cortes que vimos en Arquitas, es decir, el óvalo, la lemniscata, los dos círculos, etc. Se llamaban secciones espíricas pero todo esto se perdió.

    GÉMINO (73 - 67 A.C)

    Es un alumno de la escuela de Posidonio. Es estoico y la astronomía y la astrología son importantes entre sus conocimientos, pero no es de gran interés para las matemáticas. Sobre todo se dedicó a la astrología e intentó demostrar el postulado de las paralelas.

    NICÓMACO DE GERASA (S. I d. C)

    Es muy importante porque gracias a él pudimos hacer la cronología de los Elementos de Euclides. Pertenece al rebrote neopitagórico en Roma que tiene relación con el pitagorismo de Cicerón.

    TEÓN DE SMIRNA

    Es esencialmente un astrónomo aunque también es conocido por haber escrito un libro de matemáticas que era una ayuda para entender a Platón.

    HERÓN DE ALEJANDRÍA (60 d.C)

    De él se conservan muchas obras, como por ejemplo, “La Métrica”. Fue descubierta en1896 en Constantinopla, ya que aunque se conocía su existencia estaba perdida. El libro está lleno de fórmulas de volúmenes, áreas y cosas de ese estilo. Estaba en papiro. Algunos ejemplos de fórmulas que allí aparecían eran:

    • Área del triángulo

    • Métodos para calcular raíces

    • Áreas de los polígonos regulares desde tres lados a doce.

    • Área del círculo. Con ella da el valor de B.

    • También trata los segmentos circulares, de la elipse, del cilindro, conos, primas pirámides,...

    También abarcó las raíces cúbicas

    Él no da propiamente la fórmula pero es una conjetura por los datos que da. Además también habla de ecuaciones cuadráticas.

    Da la impresión de que en Herón se está ante una amalgama de conocimientos matemáticos, es decir, que ya no es sólo matemática puramente griega sino que se han añadido los conocimientos de oriente, los egipcios no griegos, etc.

    Herón es un exponente del helenismo tardío ya que tiene un libro de autómatas. Ideó una máquina de vapor, distinta de la de Wats, que le permitía abrir las puertas de un templo automáticamente. También ideó un pájaro que cantaba.

    Además tiene un libro sobre dioptría que trataba de espejos e hizo un comentario a los Elementos de Euclides e hizo un par de demostraciones.

    PTOLOMEO ( EN TORNO AL 150 d.C)

    Era un astrónomo y tiene importancia en la trigonometría esférica. El conocimiento es anterior a él pero es el que lo hace de forma más sistematizada, más comprensible, y por lo tanto mejor. Su obra capital es “El Almagesto”. A destacar es el concepto de cuerda y los estudios relativos a ella.

    Los indios o los alejandrinos inventaron el concepto de seno y fueron los indios los que lo desarrollaron. Los matemáticos griegos, desconocedores de este concepto, usan la cuerda para estudiar una circunferencia y las proposiciones relativas al concepto de seno (aunque ellos no lo llaman así).

    La teoría del Almagesto está en las cuerdas y no en los senos por lo tanto Ptolomeo necesita más fórmulas para desarrollar toda la teoría trigonométrica. Por ejemplo necesita las siguientes fórmulas:

    Luego tiene que demostrar estas propiedades y para ello nos da el siguiente teorema: “se considera un cuadrilátero inscrito en una circunferencia que nos servirá de base. El diámetro en astronomía se divide en 120 partes, pero para nosotros tiene radio 1. El cuadrilátero formado tiene dos diagonales d1 y d2. Entonces: a1 · a3 + a2 · a4 = d1 · d2. La siguiente figura ilustra el teorema:

    La demostración no la vamos a ver, la podemos obtener de cualquier tratado de geometría. Lo que sí podemos hacer es demostrar el caso de la cuerda de la diferencia de ángulos con el teorema de Ptolomeo.

    Valiéndose de los resultados del libro XIII de los Elementos de Euclides dedicados a poliedros, se puede elaborar una tabla de cuerdas y de esta forma:

    Así pues se les ve progresar en el cálculo de las cuerdas.

    Ahora, con las fórmulas que hemos obtenido, se pueden calcular los demás, es decir, si damos los valores a los ángulos =72º, =60º, como tenemos la fórmula para Crd( ) podemos calcular Crd 12º. Y así va probando la tabla de valores, todos ellos construidos con regla y compás.

    Ptolomeo afirma que “la cuerda correspondiente al ángulo de 1º no se puede calcular”. Aunque él no llegó a demostrarlo, nosotros podemos hacerlo: si la primera cuerda se pudiera construir entonces la segunda, la cuarta, la octava y la decimosegunda también. Entonces es construible la 12º+8º=20º, y por lo tanto también se podría hacer la de 40º. Pero esto es una contradicción ya que si se puede construir la de 40º estamos afirmando que podemos construir el lado de un polígono de 9 lados (360º/9=40º) y sabemos que esto no es posible.

    Ptolomeo es tributario de los esfuerzos de astrónomos anteriores. Hiparco es un gran astrónomo que no se puede olvidar y Ptolomeo lo cita continuamente. Otro astrónomo de la tradición geocéntrica junto con Hiparco fue Apolonio. Heraclides y Aristarco no fueron reconocidos como astrónomos y sin embargo fueron plagiados en gran parte por Copérnico.

    DIOFANTO

    Es exponente de corrientes matemáticas helenísticas con las que se consumarán las matemáticas griegas. Aporta novedades que rememoran los desarrollos de las matemáticas babilónicas.

    Un obispo de Alejandría del 270 a. C le dedica un libro a Diofanto, por lo que se supone que debió de escribir hacia el año 250 a. C. Además Diofanto dedica su “Aritmética” a Dioniso, obispo de Alejandría en el 247 a. C.

    Escribió un libro sobre poligonales. La “Aritmética” es un libro que contiene 189 problemas, lo que recuerda mucho a las matemáticas babilónicas. Kline afirma que hay cincuenta tipos de problemas; ya hicimos ver cuando interpretamos una tablilla babilónica, que este desciframiento fue posible por utilizar razonamientos aritméticos de Diofanto, aunque es posterior. Por esto se encuentra tanta relación entre Diofanto y las matemáticas babilónicas.

    Es conocido por su simbolismo que no es cabalmente algébrico. El álgebra en lengua árabe parte de aquí prácticamente, salvo algunas referencias a los indios. La incógnita la designa por una especie de S, y además utiliza los siguientes símbolos:

    La unidad...................

    El cuadrado (S2)..........

    El cubo (S3).................

    El cubo cubo (S6)........

    No tiene ningún símbolo especial para la suma (cuando hay dos números seguidos se están sumando). Además está el símbolo , donde pone a su izquierda las cantidades positivas y a su derecha las negativas. Esto no significa que Diofanto maneje números negativos ni que haga restas, sino que es una forma de agrupar. El origen de los números negativos es debido a los indios; nace en los libros de contabilidad por vía de la desinhibición conceptual. El cero ya era utilizado por los indios pero no por Diofanto que tampoco desarrolla notación posicional para los números en base 10. Sólo los astrónomos utilizaban notación posicional en base 60. De Diofanto y de esta liberalidad india surge los que se denominará álgebra, la operatividad de escritura matemática. Nos encontramos con expresiones como las siguientes:

    Con esto desarrolla una prosa con todos estos símbolos, y los va transformando y desarrollando. También se enfrenta con consideraciones como S -1, S -2, S -3...

    No aparecen todas las ecuaciones cuadráticas como casos particulares de una forma cuadrática única sino que cada una es distinta. Esto ya pasaba en Babilonia y pasará en todas las matemáticas árabes. Algunos problemas que se plantea son:

    Encontrar dos números cuya suma sea 20 y su producto 96”. Lo resuelve exactamente igual que los babilonios; los números serán 10-S y 10+S tal que (10+S)·(10-S)=96 y operando tenemos que 100-S2 =96 y por lo tanto S=2.

    Encontrar dos números tales que el cuadrado de uno sumado con el otro sea un número al cuadrado”. Para resolverlo tomamos S y 2S+1. Entonces (S+1)2 =S2 +2S+1, que tiene muchas soluciones. Por lo tanto busca otro método y lo que hace es: (2S+1)2 +S=4S2 +5S+1 y debe tomar los valores de S adecuados para que 4S2+5S+1 sea el cuadrado de un número. Como él no utiliza más de una incógnita hace un truco: 4S2 +5S+1=(2S-2)2 con lo que S=3/13 (aunque le salen más soluciones).

    Para Diofanto las fracciones son soluciones pero los números negativos no.

    Hay muchos más problemas similares y mucho más complicados. Hemos insistido en la estrecha relación entre las matemáticas de Diofanto y los babilonios. Hay un precedente en el papiro de Michigan, un papiro del s. II d. C, en el que hay dos incógnitas. Los indios utilizan varias, por tanto se ve que hay un continuo que une las matemáticas de los indios con las de Diofanto.

    Relacionado con Herón y Diofanto, hay que decir que se conocen más tratados de este estilo tan peculiar. En concreto, uno en hebreo, que seguro que utilizó el matemático persa Asgorismi, que tienen gran importancia aunque no en contenido matemático.

    Las aproximaciones de 2 se deben a Proclo y Teón de Esmirna. Este último informa de ello, con lo cual ayuda a comprenderlo. Afirma que “la unidad es, en tanto que principio de todos los números, tanto el lado como la diagonal”. Supongamos que tenemos dos unidades, siendo una de ellas una diagonal y la otra un lado. Se obtienen un lado añadiendo el lado mitad a la diagonal, y a la diagonal la antigua diagonal más dos veces el lado anterior.

    Entonces a1 y d1 son unidades que indican un proceso iterativo: an+1 = an + dn dn+1 = dn + 2·an

    En el libro II de los Elementos de Euclides vimos una proposición que decía (ajustando las notaciones) en uno de los diagramas espaciales que vimos:

    Proclo afirma un resultado que entonces no apuntamos y que ahora vamos a demostrar por inducción:

    Esta es la tabla que aportamos, que son unas aproximaciones muy buenas.

    Carré Nombre lateral Nombre diagonal

    I 1 1 (+1)

    II 2 3 (-1)

    III 5 7 (+1)

    IV 12 17 (-1)

    V 29 41 (+1)

    VI 70 99 (-1)

    VII 169 239 (+1)

    VIII 408 577 (-1)

    Aproximaciones de 2 de Diofanto

    I 1:1 =1

    II 3:2 =1,500000...

    III 7:5 =1,400000...

    IV 17:12 =1,4166666...

    V 41:29 =1,4137931...

    VI 99:70 =1,4142857...

    VII 239:169 =1,4142011...

    VIII 577:408 =1,4142156...

    PAPPUS

    Es el último gran matemático de las matemáticas griegas en Alejandría. Se puede hacer la siguiente consideración con Pappus: para que un saber se mantenga no es suficiente que haya libros, ya que alguien los tiene que leer y predicar. En Alejandría llegó un momento en el que no había predicadores capaces de verbalizar las matemáticas. En ese instante Pappus hizo un gran esfuerzo, se leyó los papiros, los predicó y nos dejó la obra “La colección de Pappus”. En ella nos cuenta de manera sistemática todo su conocimiento. Hizo un esfuerzo muy grande por hacer revivir las matemáticas deductivas griegas. Esta colección está organizada en libros y de ellos el más interesante en el libro VII. Esto es un poco injusto ya que Pappus trató muchos temas, pero en este libro nos aporta lemas que tienen que ver con la geometría proyectiva y con “Los Porismos” de Euclides.

    En geometría proyectiva hay un instrumento muy importante que es el cuadrilátero completo, y haciendo uso de él existen varios resultados.

    Cuadrilátero completo

    Consideramos la figura prolongando sus lados. Suponemos que D y Z se comportan igual respecto a un par de parejas. D va a definir el comportamiento de A y T, es decir, AD/DT. Y Z define el comportamiento de A y H, es decir, AZ/ZH. Supongamos que AD/DT=AZ/ZH. Entonces, KO||AT.

    E

    B

    K O

    A Z D H T

    Otro resultado es el siguiente:

    L

    K

    O H

    A B T D E Z

    AZ·DE/AD·EZ=AZ·BT/AB·TZ

    Si Z, estando definido todo lo demás como en el caso anterior, resulta que cumple esta relación entonces Z es el que resulta identificable de cortar la recta OH con la recta AE. Podemos afirmar entonces que los puntos de la recta AE están en involución.

    Para ver algunos otros resultados del libro VII nos fijamos en las figuras siguientes:

    Figura 1: sea la recta a fija. Consideramos P y Q como recorriendo las guías p y q, con lo cual las rectas d y c se moverán. Entonces el punto R sale del corte de d y c. Lo que se obtiene es que R recorre una recta que pasa por el punto de intersección de p y q.

    R

    P

    Q

    d

    c b

    D a C B

    p q

    Figura 2: teorema de Desargues: consideramos los triángulos PQR y P'Q'R'. Se prolongan los lados de los triángulos y van a salir los puntos C, D y B que resultan de la intersección de c y c', d y d' y b y b' respectivamente. Aceptamos que los puntos C, D y B están alineados. Si esto es así, entonces las rectas PP', RR' y QQ' se cortan en un punto.

    La situación es muy gráfica ya que a esos triángulos los podemos llamar perspectivos porque tienen un punto de fuga que parece proyectar PQR en P'Q'R' (y a la inversa). Pappus nos asegura que este resultado lo ha tomado de Los Porismos de Euclides.

    Figura 3: se toman dos rectas con tres puntos enfrentados en cada una de ellas. Cada uno de esos puntos se une con todos lo que no tenga enfrente. Entonces salen unas rectas que se cortan en los puntos H, M y K que están alineados. Este teorema lo retomó Pascal, matemático francés del s. XVII.

    Los libros de las matemáticas griegas acaban con la muerte de Hipatías, hija de Teón. Después ya se entra en las matemáticas de los indios. La historia lineal continúa con las matemáticas árabes que son un gran comentario a estas.

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    'Historia de las Matemáticas'

    ______

    ___

    “3' ”= “1” + “2”

    “2”

    “1” “3' ”

    X c

    X y y c

    X/c=c/y si y sólo si Xy=c2

    3000 a. C sumerios entre el Tigris y el Eúfrates. Creación de ciudades estado.

    2800-1800 a.C los acadios.

    1700 a.C primera dinastía babilónica con Hammurabi

    1555-1530 a.C toma de Babilonia.

    Periodo casita (1500-1250 a.C)

    747 a.C Rey Nabonasor

    729 a.C Tiglapileser III (asirio) reina en Babilonia

    Escritura cuneiforme

    Cruce de acadios y semitas debajo del Eúfrates

    Código de Hammurabi

    Mursilis rey hitita aliado de los casitas

    Pueblo semita que al igual que los acadios acaba cayendo en el Valle Fértil

    Tutela asiria. Los asirios empiezan a participar poderosamente en la política babilónica

    Sistema sexagesimal. Los jefes de las ciudades estado son los patesis

    Tablas de dividir y multiplicar

    Desarrollo del álgebra y la geometría

    Series astrológicas, observa -ciones astronómicas

    Comienzo de la astronomía científica

    722 a.C Sargón II (asirio)

    650 a.C Asurbanipal

    Destrucción de Nimire en el 612 a.C

    580 a.C Nabuco-nodosor

    Palacios asirios y corte de astrólogos

    Biblioteca de Asurbanipal

    Puerta de Istlar

    Astronomía series de Mul- Apin

    Astronomía series de Mul- Apin

    Observación de la luna, etc.

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